Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương IX: Hệ phương trình lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHÖÔNG IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHEÙP THEÁ Baø i 173:. ⎧2 cos x − 1 = 0 (1) ⎪ Giaû i heä phöông trình: ⎨ 3 ( 2) ⎪sin 2x = ⎩ 2. Ta coù : (1) ⇔ cos x =. ⇔x=±. 1 2. π + k2π ( k ∈ Z ) 3. π + k 2π thay vào (2), ta đượ c 3 3 ⎛ 2π ⎞ sin 2x = sin ⎜ + k4 π ⎟ = 2 ⎝ 3 ⎠ π x = − + k 2π thay vào (2), ta đượ c Vớ i 3 3 3 ⎛ 2π ⎞ sin 2x = sin ⎜ − + k4π ⎟ = − ≠ (loạ i) 2 2 ⎝ 3 ⎠ π Do đó nghiệ m của hệ là : x = + k 2π, k ∈ 3 Vớ i. Baø i 174:. x=. ⎧sin x + sin y = 1 ⎪ Giaû i heä phöông trình: ⎨ π ⎪⎩ x + y = 3. Caù c h 1:. x+y x−y ⎧ ⎪⎪2 sin 2 .cos 2 = 1 Hệ đã cho ⇔ ⎨ ⎪x + y = π ⎪⎩ 3 x−y π ⎧ ⎪⎪2.sin 6 .cos 2 = 1 ⇔⎨ ⇔ ⎪x + y = π 3 ⎩⎪. Lop12.net. x−y ⎧ ⎪⎪cos 2 = 1 ⎨ ⎪x + y = π 3 ⎩⎪.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> π ⎧ ⎧x− y − = π x y 4 k = + k 2π x = π k 2 ⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ 2 ⎪ 6 ⇔⎨ ⇔⎨ (k ∈ Z ) π ⇔⎨ π π + = x y ⎪ y = − k 2π ⎪x + y = 3 ⎩⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ 3 6. Caùc h 2: Hệ đã cho π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ y = 3 − x ⎪⎪ y = 3 − x ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin x + sin ⎛⎜ π − x ⎞⎟ = 1 ⎪ 3 cos x + 1 sin x = 1 ⎪⎩ ⎪⎩ 2 ⎝3 ⎠ 2 π ⎧ π ⎧ y = −x ⎪⎪ y = 3 − x ⎪⎪ 3 ⇔⎨ ⇔⎨ π ⎛ ⎞ ⎪sin ⎜ + x ⎟ = 1 ⎪ π + x = π + k 2π ⎪⎩ 3 2 ⎠ ⎩⎪ ⎝ 3. π ⎧ x = + k 2π ⎪⎪ 6 k∈ ⇔⎨ π ⎪ y = − k 2π ⎪⎩ 6 Baø i 175: Giaû i heä phöông trình:. ⎧⎪sin x + sin y = 2 (1) ⎨ ⎪⎩cos x + cos y = 2 (2). Caùc h 1:. x+y x−y ⎧ ⎪⎪2 sin 2 cos 2 = 2 (1) Hệ đã cho ⇔⎨ ⎪2 cos x + y cos x − y = 2 (2) ⎪⎩ 2 2 Lấy (1) chia cho (2) ta được : x−y ⎛x+ y⎞ = 0 khoân g laø nghieä m cuû a (1) vaø (2) ) tg ⎜ ⎟ = 1 ( do cos 2 ⎝ 2 ⎠ x+ y π ⇔ = + kπ 2 4 π π ⇔ x + y = + k 2 π ⇔ y = − x + k 2π 2 2 ⎛π ⎞ thay và o (1) ta được : sin x + sin ⎜ − x + k2π ⎟ = 2 ⎝2 ⎠ ⇔ sin x + cos x = 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> π⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 2 4⎠ ⎝ π ⇔ x − = h 2π, h ∈ 4 π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + h 2π, h ∈ Do đó : hệ đã cho ⇔ ⎨ ⎪ y = π + ( k − h ) 2π, k , h ∈ ⎪⎩ 4 ⎧A = B ⎧A + C = B + D Caù c h 2: Ta coù ⎨ ⇔⎨ ⎩C = D ⎩A − C = B − D. Hệ đã cho ⎧⎪( sin x − cos x ) + ( sin y − cos y ) = 0 ⇔⎨ ⎪⎩( sin x + cos x ) + ( sin y − cos y ) = 2 2. ⎧ ⎛ ⎪ 2 sin ⎜ x − ⎪ ⎝ ⇔⎨ ⎪ 2 sin ⎛ x + ⎜ ⎪⎩ ⎝. π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ + 2 sin ⎜ y − ⎟ = 0 4⎠ 4⎠ ⎝ π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ + 2 sin ⎜ y + ⎟ = 2 2 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎧ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎧ ⎛ π⎞ π⎞ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎪ ⎝ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎪ ⎛ π⎞ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎨sin ⎜ x + ⎟ = 1 4⎠ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = 2 ⎪ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝⎜ ⎪ 4⎠ 4⎠ π⎞ ⎝ ⎛ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = 1 4⎠ ⎩ ⎝ ⎧ π π ⎪ x + = + k 2π 4 2 ⎪ π π ⎪ ⇔ ⎨ y + = + h 2π 4 2 ⎪ ⎪ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝. π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + k2π ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h, k ∈ Z ⎪⎩ 4. Baø i 176:. ⎧⎪tgx − tgy − tgxtgy = 1 Giaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪⎩cos 2y + 3 cos 2x = −1. Lop12.net. (1) (2).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ta coù : tgx − tgy = 1 + tgxtgy ⎧1 + tgxtgy = 0 ⎧⎪tg ( x − y ) = 1 ⎪ ⇔⎨ ∨ ⎨tgx − tgy = 0 ⎪⎩1 + tgxtgy ≠ 0 ⎪ 2 ⎩1 + tg x = 0 (VN) π π ⇔ x − y = + kπ ( k ∈ Z) , vớ i x, y ≠ + kπ 4 2 π π ⇔ x = y + + kπ, vớ i x, y ≠ + kπ 4 2 π ⎛ ⎞ Thay vào (2) ta được : cos 2y + 3 cos ⎜ 2y + + k2π ⎟ = −1 2 ⎝ ⎠. ⇔ cos 2 y − 3 s in 2 y = −1 π⎞ 1 3 1 1 ⎛ s in 2 y − cos 2 y = ⇔ sin ⎜ 2 y − ⎟ = 2 2 2 6⎠ 2 ⎝ π π π 5π ⇔ 2 y − = + h 2π hay 2 y − = + h 2π ( h ∈ Z ) 6 6 6 6 π π ⇔ y = + hπ, h ∈ hay y = + hπ, h ∈ ( loï ai) 6 2 Do đó : 5π ⎧ ⎪⎪ x = 6 + ( k + h ) π Hệ đã cho ⇔⎨ ( h, k ∈ Z ) ⎪ y = π + hπ ⎪⎩ 6 ⇔. Baø i 177:. ⎧⎪cos3 x − cos x + sin y = 0 (1) Giaû i heä phöông trình ⎨ 3 ⎪⎩sin x − sin y + cos x = 0 (2). Lấy (1) + (2) ta được : sin3 x + cos3 x = 0 ⇔ sin 3 x = − cos3 x. ⇔ tg 3 x = −1 ⇔ tgx = −1 π + kπ (k ∈ Z) 4 Thay vào (1) ta được : sin y = cos x − cos3 x = cos x (1 − cos2 x ) ⇔x=−. 1 sin 2x sin x 2 1 ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ π ⎞ = − sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝ 4 ⎠ = cos x. sin 2 x =. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ⎧ 2 (neá u k chaü n) ⎪ ⎪ 4 =⎨ ⎪− 2 (neá u k leû ) ⎪⎩ 4. Ñaë t sin α =. 2 4. (vớ i 0 < α < 2π ). π ⎧ ⎪ x = − 4 + 2mπ, m ∈ ⎪ Vaäy nghieäm heä ⎨ y = α + h2π, h ∈ ⎪⎡ ⎪⎩ ⎢⎣ y = π − α + h2π, h ∈. π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π, m ∈ ⎪ ∨⎨ y = −α + 2hπ, h ∈ ⎪⎡ ⎪⎩ ⎢⎣ y = π + α + h2π, h ∈. II. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP COÄNG Baø i 178:. 1 ⎧ ⎪sin x.cos y = − 2 Giaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪tgx.cotgy = 1 ⎩. (1 ) ( 2). cos x.sin y ≠ 0 1 ⎧1 sin x y sin x y + + − = − ⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ ⎪⎪ 2 2 Cá c h 1: Hệ đã cho ⇔ ⎨ sin x.cos y ⎪ −1 = 0 ⎩⎪ cos x.sin y Ñieà u kieän :. ⎧⎪sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⇔⎨ ⎪⎩sin x cos y − sin y cos x = 0 ⎪⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⇔⎨ ⎪⎩sin ( x − y ) = 0 ⎧⎪sin ( x + y ) = −1 ⇔⎨ ⎪⎩sin ( x − y ) = 0 π ⎧ ⎪ x + y = − + k2π, k ∈ ⇔⎨ 2 ⎪⎩ x − y = hπ, h ∈ π π ⎧ = − + + x 2k h , k, h ∈ ( ) ⎪⎪ 4 2 ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π , k, h ∈ ⎪⎩ 4 2 (nhaä n do sin y cos x ≠ 0). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Caù c h 2:. ( 2) ⇔. sin x cos y = 1 ⇔ sin x cos y = cos x sin y cos x sin y. Thế (1) và o ( 2 ) ta đượ c:. 1 ⎧ ⎪⎪sin x cos y = − 2 ⎨ ⎪cos x sin y = − 1 ⎪⎩ 2 ⎧⎪sin ( x + y ) = −1 ⇔⎨ ⎪⎩sin ( x − y ) = 0. ( 3) ( 4). π ⎧ ⎪ x + y = − + k 2π, k ∈ ⇔⎨ 2 ⎪⎩ x − y = hπ, h ∈ π π ⎧ ⎪⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π ⎪⎩ 4 2. ( 3) + ( 4 ) ( 3) − ( 4 ). ( h, k ∈ Z ). III. GIAÛ I HEÄ BAÈN G AÅ N PHUÏ Baø i 179:. Giaû i heä phöông trình: ⎧ 2 3 ⎪tgx + tgy = ⎪ 3 ⎨ ⎪cotgx + cotgy = −2 3 ⎪⎩ 3. (1) ( 2). X = tgx, Y = tgy ⎧ ⎧ 2 3 2 3 ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ ⎪ 3 3 Hệ đã cho thà n h: ⎨ ⇔⎨ 2 3 ⎪1 1 ⎪Y + X = − 2 3 ⎪⎩ X + Y = − 3 ⎪⎩ YX 3 ⎧ 2 3 ⎧ 2 3 ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ 3 ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ⎪ ⎪ 2 2 3 ⎩ XY = −1 ⎪⎩ X − 3 X − 1 = 0 ⎧X = 3 ⎧ 3 ⎪ ⎪X = − ⇔⎨ 3 3∨⎨ ⎪Y = − ⎪Y = 3 3 ⎩ ⎩ Do đó : Ñaë t. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⎧ tgx = 3 ⎧ 3 ⎪ ⎪tgx = − Hệ đã cho : ⇔ ⎨ 3 3∨⎨ ⎪ tgy = − ⎪tgy = 3 3 ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = 3 + k π, k ∈ ⎪⎪ x = − 6 + k π, k ∈ ⇔⎨ ∨⎨ π ⎪ y = − + hπ, h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪⎩ ⎪⎩ 6 3. Baø i 180:. 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = Cho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪⎩cos 2x + cos 2y = m 1 a/ Giaû i heä phöông trình khi m = − 2 b/ Tìm m để hệ có nghiệ m .. Hệ đã cho. 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⇔⎨ ⎪(1 − 2 sin 2 x ) + (1 − 2 sin 2 y ) = m ⎩. 1 ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = 2 ⇔⎨ ⎪sin 2 x + sin 2 y = 2 − m ⎪⎩ 2 1 ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = 2 ⇔⎨ ⎪( sin x + sin y )2 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪⎩ 2 1 ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = 2 ⇔⎨ ⎪ 1 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪⎩ 4 2 1 ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = 2 ⇔⎨ ⎪sin x sin y = − 3 + m ⎪⎩ 8 4 Đặ t X = sin x, Y = sin y vớ i X , Y ≤ 1. thì X, Y laø nghieäm cuûa heä phöông trình 1 m 3 t2 − t + − = 0 ( *) 2 4 8 1 a/ Khi m = − thì ( *) thaønh : 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 t− =0 2 2 2 ⇔ 2t − t − 1 = 0. t2 −. ⇔ t =1∨ t = −. 1 2. 1 ⎧sin x = 1 ⎧ ⎪ ⎪sin x = − Vậy hệ đã cho ⇔ ⎨ 2 1∨⎨ sin y = − ⎪⎩ 2 ⎪⎩sin y = 1 π ⎧ ⎧ h π ⎪⎪ x = 2 + k 2π, k ∈ ⎪⎪ x = −(−1) 6 + hπ, h ∈ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −(−1) h π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + k 2π, k ∈ 6 2 ⎩⎪ ⎩⎪ m 1 3 = −t 2 + t + b/ Ta coù : ( *) ⇔ 4 2 8 1 3 Xeù t y = −t 2 + t + ( C ) treâ n D = [ −1,1] 2 8 1 y ' = −2t + thì: 2 1 y' = 0 ⇔ t = 4. Hệ đã cho có nghiệ m ⇔ ( * ) có 2 nghiệ m trê n [ -1,1]. ⇔ (d ) y =. m caé t (C) taï i 2 ñieå m hoặc tiếp xúc treâ n [ -1,1] 4. 1 m 7 ≤ ≤ 8 4 16 1 7 ⇔− ≤m≤ 2 4 Caù c h khaù c ycbt ⇔ f (t ) = 8t 2 − 4t − 3 + 2m = 0 coù 2 nghieäm t1 , t 2 thoû a ⇔ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1. ⇔−. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ⎧Δ / = 28 − 16m ≥ 0 ⎪ ⎪⎪af (1) = 1 + 2m ≥ 0 1 7 ⇔ ⎨af (−1) = 9 + 2m ≥ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 2 4 ⎪ S 1 ⎪−1≤ = ≤ 1 ⎪⎩ 2 4. Baø i 181:. Cho heä phöông trình:. a/ b/. ⎧⎪sin2 x + mtgy = m ⎨ 2 ⎪⎩tg y + m sin x = m. Giaû i heä khi m = -4 Vớ i giá trị nà o củ a m thì hệ có nghiệ m .. Ñaë t. X = sin x vớ i X ≤ 1 Y = tgy. ⎧⎪ X 2 + mY = m (1 ) Heä thaøn h: ⎨ 2 ( 2) ⎪⎩ Y + mX = m Lấy (1) – (2) ta được : X 2 − Y 2 + m ( Y − X ) = 0 ⇔ ( X − Y )( X + Y − m ) = 0 ⇔ X = Y∨Y =m−X ⎧⎪Y = m − X ⎧X = Y hay ⎨ 2 Heä thaøn h ⎨ 2 ⎪⎩ X + m ( m − X ) = m ⎩ X + mX = m ⎧⎪ X = Y ⎧⎪ Y = m − X ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 2 ⎪⎩ X + mX − m = 0 ( *) ⎪⎩ X − mX + m − m = 0 a/Khi m = -4 ta đượ c hệ. ⎧⎪ Y = −4 − X ⎧X = Y ∨⎨ 2 ⎨ 2 ⎩ X − 4X + 4 = 0 ⎩⎪ X + 4X + 20 = 0 ( voâ nghieä m ). ⎧⎪ X = 2 ( loạ i do X ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩ Y = 2 Vậy hệ đã cho vô nghiệ m khi m = 4. b/ Ta có (*) ⇔ X 2 + mX − m = 0 vớ i X ≤ 1. ⇔ X 2 = m (1 − X ) X2 ⇔ = m ( do m khoâ ng laø nghieä m cuû a *) 1− X X2 − X 2 + 2X Xeù t Z = ; treâ n [ −1,1) ⇒ Z ' = 2 1−X (1 − X ). Z' = 0 ⇔ X = 0 ∨ X = 2. Lop12.net. ( * *).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ⎧⎪ X = Y ( X ≤ 1) coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 ⎨ 2 ⎪⎩ X + mX − m = 0 X 2 − mX + m2 − m = 0 Xeù t (**): Ta coù Δ = m 2 − 4 ( m 2 − m ) = −3m 2 + 4m Do đó hệ. 4 3 Kế t luận : i Khi m ≥ 0 thì (I) có nghiệ m nê n hệ đã cho có nghiệ m i Khi m < 0 thì (I) voâ nghieäm maø (**) cuø n g voâ nghieä m (do Δ < 0) nê n hệ đã cho vô nghiệ m Do đó : Hệ có nghiệ m ⇔ m ≥ 0 Caù c h khaù c Heä coù nghieä m ⇔ f (X) = X 2 + mX − m = 0 (*)hay Δ≥0⇔0≤m≤. g(X) = X 2 − mX + m2 − m = 0 (**) coù nghieä m treân [-1,1] ⎧Δ1 = m 2 + 4m ≥ 0 ⎪ ⎪⎪af (1) ≥ 0 ⇔ f (−1) f (1) ≤ 0 hay ⎨af (−1) ≥ 0 ⎪ ⎪ −1 ≤ S = − m ≤ 1 ⎪⎩ 2 2 2 ⎧Δ 2 = −3m + 4m ≥ 0 ⎪ 2 ⎪⎪ag (−1) = m + 1 ≥ 0 hay g (−1) g (1) ≤ 0 hay ⎨ag ( 1) = (m − 1) 2 ≥ 0 ⎪ ⎪−1≤ S = m ≤ 1 ⎪⎩ 2 2 2 ⎧Δ1 = m + 4m ≥ 0 4 ⎪ ⇔ 1 − 2m ≤ 0 hay ⎨1 − 2m ≥ 0 hay m = 1 hay 0 ≤ m ≤ 3 ⎪ −2 ≤ m ≤ 2 ⎩. ⇔m≥0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> IV. HỆ KHÔNG MẪU MỰC. Baø i 182:. ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎠ ⎪ ⎝ Giaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝. Caù c h 1:. sinα cos α sin2 α + cos2 α 2 + = = cosα sin α sin α cos α sin 2α ⎧ 1 π⎞ ⎛ ⎪ sin 2x = sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎝ ⎠ ⎪ Vậy hệ đã cho ⇔ ⎨ ⎪ 1 = sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ sin 2y 4⎠ ⎝ Ta coù : tgα + cotgα=. ⎧ π⎞ ⎛ ⎪1 = sin 2x sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎠ ⎪ ⎝ ⇔⎨ ⎪1 = sin 2y. sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝ ⎧sin 2x = 1 ⎧sin 2x = −1 ⎪ ⎪ ∨⎨ Ta coù : (1) ⇔ ⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ 4 4 ⎩⎪ ⎩⎪ π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + kπ, k ∈ Thay ⎨ và o (2) ta đượ c π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪⎩ 4 π⎞ π ⎛ sin 2y.sin ⎜ x − ⎟ = sin .sin kπ = 0 ≠ 1 (loạ i ) 4⎠ 2 ⎝ −π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + kπ, k ∈ Thay ⎨ và o (2) ta đượ c 3 π ⎪y = − + h2π, h ∈ ⎪⎩ 4 π⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π sin 2y. sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ( neá u k leû ) ⎛ π ⎞ ⎧1 = sin ⎜ − + kπ ⎟ = ⎨ ( neá u k chaü n) ⎝ 2 ⎠ ⎩−1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Do đó hệ có nghiệ m π ⎧ x = − + ( 2m + 1) π ⎪⎪ 4 ⎨ ⎪ y = − 3π + h2π ⎪⎩ 4. ( m, h ∈ Z ) •. Caù c h 2: Do bấ t đẳ n g thức Cauchy tgx + cotgx ≥ 2 daá u = xaû y ra ⇔ tgx = cotgx ⇔ tgx=. ⇔ tgx = ±1. 1 tgx. Do đó :. π⎞ ⎛ tgx+cotgx ≥ 2 ≥ 2 sin ⎜ y + ⎟ 4⎠ ⎝ Daá u = taï i (1) chæ xaû y ra khi ⎧tgx = 1 ⎧tgx = −1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎩⎪ 4. π ⎧ ⎪⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ (I) ∨ ⎨ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎩⎪ 4 ⎛ π⎞ thay (I) vaø o (2): tgy + cotgy=2sin ⎜ x - ⎟ ⎝ 4⎠ ta thaá y 2 = 2sin kπ = 0 khoâ n g thoûa ⎛ π ⎞ thay (II) vaøo (2) ta thaáy 2 = 2 sin ⎜ − + k π ⎟ ⎝ 2 ⎠ chæ thoûa khi k leû π ⎧ ⎪⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π Vậy : hệ đã cho ⇔ ⎨ , m, h ∈ ⎪ y = − 3π + 2hπ ⎪⎩ 4 Baø i 183:. (II). Cho heä phöông trình: (1) ⎧⎪ x − y = m ⎨ 2 ⎪⎩2 ( cos 2x + cos 2y ) − 1 − 4 cos m = 0 (2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệ m .. ⎧⎪ x − y = m Hệ đã cho ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩4 cos ( x + y ) cos ( x − y ) = 1 + 4 cos m. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ⎧⎪ x − y = m ⇔⎨ 2 ⎪⎩−4 cos ( x + y ) cos m + 4 cos m + 1 = 0 ⎧⎪ x − y = m ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩[2 cos m − cos ( x + y )] + 1 − cos ( x + y ) = 0 ⎧⎪ x − y = m ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩[2 cos m − cos ( x + y )] + sin ( x + y ) = 0 ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨cos ( x + y ) = 2 cos m ⎪ ⎩sin ( x + y ) = 0 ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨ x + y = kπ , k ∈ ⎪cos(kπ) = 2 cos m ⎩ Do đó hệ có nghiệ m ⇔ m = ±. π 2π + h2π ∨ m = ± + h2π, h ∈ 3 3. BAØI TAÄP 1. Giaû i caùc heä phöông trình sau: ⎧sin x + sin y = 2 a/ ⎨ 2 2 ⎩sin x + sin y = 2 1 ⎧ ⎪⎪sin x sin y = − 2 b/⎨ ⎪cos x cos y = 1 ⎪⎩ 2. ⎧⎪ 2 cos x = 1 + cos y c/⎨ ⎩⎪ 2 sin x = sin y 1 ⎧ ⎪sin x cos y = d/⎨ 4 ⎪⎩3tgx = tgy. ⎧tgx + tgy + tgxtgy = 1 f /⎨ ⎩3sin 2y − 2 = cos 4x ⎧ 3 ⎪⎪sin x − sin 2y = 2 g/⎨ ⎪cos x + cos 2y = 1 2 ⎩⎪ ⎧cos ( x + y ) = 2 cos ( x − y ) ⎪ h/⎨ 3 ⎪cos x.cos y = ⎩ 4 ⎧sin x = 7 cos y k/⎨ ⎩5 sin y = cos x − 6. ⎧tgx + tgy = 1 ⎪ l/⎨ x y ⎪⎩tg 2 + tg 2 = 2 ⎧cos x cos y = m + 1 2.Cho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎩sin x sin y = 4m + 2m 1 a/ Giaû i heä khi m = − 4 ⎧⎪sin 2 x = cos x cos y e/⎨ 2 ⎪⎩cos x = sin x sin y. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3 1 ⎛ ⎞ b/ Tìm m để hệ có nghiệ m ⎜ ĐS − ≤ m ≤ − hay m=0 ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ 3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhấ t: ⎧⎪ y 2 + tg 2 x = 1 ⎨ 2 ( ÑS a= 2) ⎪⎩ y + 1 = ax + a + sin x 4. Tìm m để các hệ sau đâ y có nghiệ m . 3 ⎧sin x cos y = m 2 ⎪⎧cos x = m cos y a/⎨ b / ⎨ 3 ⎩sin y cos x = m ⎩⎪sin x = m cos y. ( ÑS. 1 ≤ m ≤ 2). ⎛ 1- 5 1+ 5 ⎞ ≤m≤ ⎜⎜ ÑS ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>