Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 - 2021 trường Phùng Khắc Khoan - Hà Nội - TOANMATH.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (415.72 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN THI: TỐN 11 
Thời gian làm bài: 150 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm: 01 trang 
Câu 1. (2,5 điểm) Giải phương trình 2

cos 2x=2sin x+4 cosx
Câu 2. (4,5 điểm)

a. Giải hệ phương trình :

2 2

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

 + + = −




− − = −



b. Tính giới hạn

2
1

2020(2021 ) 2020
lim

x

x
I

x

→

− −

−

Câu 3. (3,0 điểm) 
a. Tìm hệ số của 9

x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

2 3

2x
x

 − 

 

 

b. Cho một đa giác lồi ( )H có 30 đỉnh A A1 2...A30. Gọi X là tập hợp các tam giác có 3
đỉnh là 3 đỉnh của ( )H . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . Tính xác suất để chọn được 2
tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H).

Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số

( )

un xác định bởi:

(

)

1
7

7 4

2 5

n
n

n

u

n
u

u



 =

 

 +

 =

+


a. Gọi

( )

vn là dãy số xác định bởi

2
1

n
n

n

u
v

u

−
=

+ . Chứng minh rằng dãy số

( )

vn là một

cấp số nhân lùi vơ hạn.

b. Tính giới hạn của dãy số

( )

un

Câu 5. (5,0 điểm)

a. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt phẳng thay đổi
qua AB và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại M N, (M khác ,S C và N khác ,S D. Gọi K là
giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức T AB BC

MN SK

= − có

giá trị khơng đổi.

b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên
đều là hình vng. Gọi M N E, , lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AA A C, ', ' '. Tính
diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC A B C. ' ' ' bởi mặt phẳng

(

MNE

)

Câu 6. (2,0 điểm)

)

.

Cho , ,x y z là 3 số thực dương thỏa mãn x+ + =y z 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:

2 2 2

xy yz zx

P

xy z yz x zx y

= + +

+ + +

--- Hết ---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm. 
Họ và tên học sinh: ………...… Số báo danh:………

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN 
 THẠCH THẤT

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 
NĂM HỌC: 2020-2021

MƠN: TỐN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câ

u

Nội dung Điể

m 
1 Giải phương trình sau:

cos 2x=2sin x+4 cosx

2.5 
2

cos 2x=2sin x+4 cosx

2 2

2 cos 1 2(1 cos ) 4 cos
4 cos 4 cos 3 0

3
cos

2
1
cos

x x x

x x

x
x

 − = − +

 − − =

 =


 

 = −



1.5

+ cos 3
2

x= (vô nghiệm)

+ cos 1 2 2 ,

2 3

x= −  = x  +k  k

KL: Vậy phương trình có nghiệm 2 2 ,
3

x=   +k  k

1.0

2.a

a. Giải hệ phương trình :

( )

2 2

2 1

2 1 2 2 2

xy x y x y

x y y x x y

 + + = −




− − = −

 2.0

ĐK: x1; y0

( )

2 2 2

( ) ( ) ( )( )

( )( 1 ) 0

2 1

xy y x y x y

y x y x y x y x y

x y y x y

x y

 + + + = −

 + + + = − +

 + + − + =

+ =


  = +



0.5

0.5
+) x+ =y 0 (Loại do x1; y0)

+) x=2y+1 thế vào (2) ta được

(2 1) 2 2 4 2 2

2 ( 1) 2 2

( 1)( 2 2) 0

2 2 2

y y y y y y

y y y

y y

y

y y

+ − = + −

 + = +

 + − =

= −


 

=  =


+) Với y= −1 ( )L

+) Với y=  =2 x 5

(

TM

)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm

( ) ( )

x y; = 5;2

0.5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2.b Tính giới hạn

2
1

2020(2021 ) 2020
lim

x

x
I

x

→

− −

− 2,5

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

1 1 2

1 2 1 2

2020 2021 2020

2020(2021 ) 2020

lim lim

1 1 2020(2021 ) 2020

2020 1 2020 1 2

lim lim 1

1 2020(2021 ) 2020 2020(2021 ) 2020

x x

x
x

I

x x x

x x

x x x

→ →

− −

= =

− − − +

− − − −

= = = = −

− − + − +

1.0

1.5

3.a Tìm hệ số của x9 trong khai triển nhị thức Niutơn

2 3

2x
x

 − 

 

  1.5

( )

15 15

2 2

15
0
15

15 30 3

15
0

3 3

2 . 2

.2 . 3 .

k
k

k

k k k

k

x C x

x x

C x

−

− −

 −  = − 

   

   

= −



Hệ số của 9

x trong khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 3− k =  =9 k 7
 Hệ số của 9

x trong khai triển

2 3

2x
x

 − 

 

  là:

7 8 7 7 8 7

15.2 .( 3) 15.2 .3

C − = −C

0.5

0.5
0.5

3.b

Cho một đa giác lồi (H)có 30 đỉnh A A1 2...A . Gọi X là tập hợp các tam 30
giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . 
Tính xác suất để chọn được 2 tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của 
đa giác (H).

1.5

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác (H)là: 3

30 4060

C =

Số phần tử của không gian mẫu n( ) =C40602

Gọi A là biến cố: ’’Hai tam giác được chọn là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của
đa giác ( )H ”.

+)Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H): 
- Chọn ra một cạnh của đa giác (H) có 1

30
C

- Chọn ra 1 trong 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh đã chọn của (H) có 1

26
C

 Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H) là 1 1

30. 26 780
C C =
2

780
2
780
2
4060
( )

247
( )

6699
n A C

C
P A

C

 =

 = =

KL: Vậy xác suất để chọn được 2 tam giác là tam giác có 1 cạnh là cạnh của
đa giác (H) là 247

6699

0.5

0.5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4

Cho dãy số

( )

un xác định bởi:

(

)

1
7
2

7 4

2 5

n
n

n

u

n
u

u



 =

 

 +

 =

+


a. Gọi

( )

vn là dãy số xác định bởi 2
1

n
n

n

u
v

u

−
=

+ . Chứng minh rằng dãy số

( )

vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b. Tính giới hạn của dãy số

( )

un

3.0

Ta có:

1
1

7 4

2 2 5 3 6 1 2 1

7 4

1 1 9 9 3 1 3

2 5

n

n n n n

n n

n

n n n

n
u

u u u u

v v

u

u u u

u
+

+ −

− + − −

= = = = =

+ + + +

Suy ra 1 1
3

n n

v+ = v . Vậy

( )

vn là một cấp số nhân với công bội 1
1

1 2 1

3 1 3

u

q v

u

−

= = =

Vì q 1 nên

( )

vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.

1.0

1 1 1

3 3 3

n n

n
n

v v q

−

−    

= =   = 

    limvn =0

Ta có 2 2

1 1

n n

u v

v u

u v

− +

=  =

+ −

Do đó lim lim2 2

n
n

n

v
u

v

= =

−

0.5

5a Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt 
phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại M N, . Gọi K là 
giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức

AB BC
T

MN SK

= − có giá trị khơng đổi.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có

( )

( ) (

AB

)

MN SCD MN AB CD

AB CD




 

 =  





+) SK

(

SAD

) (

SBC

)

SK AD BC
AD BC

 = 






Từ đó suy ra:

AB CD CS

MN MN MS

BC CM

SK SM

= =

AB BC CS CM MS

MN SK MS SM MS

 − = − = =

0.5

5b Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các

mặt bên đều là hình vuông. Gọi M N E lần lượt là trung điểm của các , ,
cạnh AB AA A C, ', ' '. Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC A B C. ' ' '
bởi mặt phẳng

(

MNE

)

.

3.0

*)

Dựng thiết diện

0.5 
K

S

N

M

D

C
B

A

H
M

N

E

F
J
I

C'
B'

A'

B

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trên

(

ACC A' '

)

gọi ; ' AI=C'J=a
2
NEAC=I NECC = J

Trên

(

ABC

)

gọi =a

4
IM BC=H BH

Trên

(

BCC B' '

)

gọi ' ' '=a
4
HJB C = F FC
Thiết diện là ngũ giác MNEFH

1.0

0.5

Tính diện tích thiết diện

2 2 2

3 3 3 3 3 3 5 18

3 3 ; ( ) ( ) ;

4 4 4 2 4 4

a a a a a a

IH = MH = = HJ = + = IJ =

HIJ

 

vuông tại H

EFJ

IHJ HIJ

IHJ MNI JEF IJ

. 2 1 2 . 1 1 1

. ; .

.IJ 3 3 9 . 3 3 9

2 1 3 3 3 5 3 15

. .

3 3 4 4 16

MNI

MNEFH H

S IM IN S JE JF

S IH S JI JH

a a a

S S S S S

= = = = = =

 = − − = = =

0.5

6 Cho x y z là 3 số thực dương thỏa mãn , , x+ + =y z 2. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

2 2 2

xy yz zx

P

xy z yz x zx y

= + +

+ + +

2.0

Ta có:

(

)

(

)(

)

2 2

xy xy xy x y

xy z xy z x y z x z y z x z y z

 

= =   + 

+ + + + + +  + + 

Đẳng thức xảy ra

x y x y

x z y z

 =  =

+ +

Tương tự

:

2 2

yz y z

yz x y x z x

 

  + 

+  + + 

Đẳng thức xảy ra

 =y z

2 2

zx z x

zx y z y x y

 

  + 

+  + + 

Đẳng thức xảy ra

 =z x

1 3

2 2 2 2 2

xy yz zx x y y z z x

P

xy z yz x zx y x y y z z x

 + + + 

 = + +   + + =

+ + +  + + + 

Dấu bằng xảy ra khi

x= = =y z

Vậy

max 3

P =

khi

3
x= = =y z

0.5

N

ếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì

</div>

Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 - 2021 trường Phùng Khắc Khoan - Hà Nội - TOANMATH.com

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

<i> )</i>

.

( )

( )

( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )





( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (

)

(

) (

)

(

)

<b>*) </b>

(

)

(

)

(

)

Tính diện tích thiết diện

vuông tại H

<b>Ta có: </b>

(

)

(

)(

)

<b> </b>

Đẳng thức xảy ra

Tương tự

<b> : </b>

<b> </b>

Đẳng thức xảy ra

Đẳng thức xảy ra

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy

khi

<b> </b>

<i><b>N</b></i>