bài tập chương 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (312.05 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 
A. Tính giới hạn dãy số

2 1

3 3 2

2 2 1 2 2

2 2

5.2 3.5 3

) lim 1 ) lim ) lim

1
10.2 2.5

sin 6.9 7.4 ( 5) ( 7)

) lim ) lim ) lim

1 3 5.6 2 3

cos

g) lim ) lim 3

n

n n

n n n

n n

n n n

n n

n

a n n n b c

n

n n n n n

d e f

n n n

n n

h n n n

n


 
  

 
  
 
   
    
    
    
   
   
   

3 2

7 4 2

2 2

2 1

5 ) lim

2 1

3 2 3 2

) lim ) lim 5 4 2 5 5 6 ) lim

3 1 1 2 ...

n
n

n

n n n

n

n i

n

n n n

j k n n n n l

n n



  

 
  
    
   
  
        
 
       
 

B. Giới hạn hàm số

Bài 1. Tính các giới hạn sau đây

 

4 1

2 2 4 2 2

2 3

2 2 1

0 0

1 2 3 cos 4 5

) lim ) lim ) lim

2 1

2 2

) lim ) lim 1 1 ) lim 4 13 7 2

sin 4 sin 2 2 1

) lim ) lim ) lim

sin 6 sin 8 sin 2 sin sin

x x x

x
x

x

x x x

x x x x

a b c

x

x x

x

d e x x f x x x

x

x x

g h i

x x x x x

  
  



  
   
 
           
   
    
 
 
 
  





1
2
3

2 2 2

) lim cos x ) lim 2 4 7 4 ) lim 8 3 4 1

x x x

j x k x x x l x x x x


  
           
   
   

Bài 2. Tính các giới hạn một phía và kết luận về giới hạn hàm số tại điểm cho trước.

 

1 1 2 sin

) ; 1 ) ( ) ; 2 ) ; 0

1 2

5 1

) ( ) ; 1 ) ; 0

sin

1 2 1

x x x x

a f x x b f x x c f x x

x x x

x x
x x khi x

d f x x e f x x

x
x khi x

   
     
 
 
   
   
 


Bài 3. Sử dụng các vơ cùng bé tương đương để tìm giới hạn sau

7
2 3
2 3
12
3 4
2

sin . 1

ln(cos ) 2 sin ln(1 )

ln(1 ) tan .ln(1 3 )

0 0 0

(1 )(1 cos ) arcsin ( 1)

tan 2 .ln(1 3 )
sin

0 0

ln( 2 ) (

ln(1 4 )

0 0

) lim ) lim ) lim

) lim ) lim

x

x x

xarc x e

x x x x

x x x

x x x x x x

e x x x e

x x
x x
x x
cos x
x
x x

a b c

d h
e f


  
 
    
 
   
  


 

 
3

4 3 2

1 )(1 cos ) arctan(2 ) 2 sin( 2)

2 sin 2 4

) lim

x

e x x x

x x x x

g

    

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 4. Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm các giới hạn sau





ln
2

0 0

cos

0
2

ln 1 1

) lim ) lim ) lim (1 )

ln sin arctan

ln cos

) lim (tan ) ) lim ) lim 2 arctan

ln cos 3

x
x

x x

x

x x

x

a b c x

x x x x

x

d x e f x x

x

 

 





 

 



 

 

 

 



C. Hàm số liên tục

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 0

2
2

( 3) ln(4 1)

sin , 0

, 0

) ( ) ) ( ) 1

, 0 2 , 0

x

x x

x khi x

khi x

a f x x b f x e

m khi x x x khi x

 



   



  

  

    

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định 
2

2
2

4 1 , 1

, 2

) ( ) 2 ) ( )

2, 1

, 0

ln(2 1)

, 0 1 , 1

) ( ) 1 ) ( )

3 2 , 1

, 0

x

x x khi x

khi x

a f x x b f x

mx khi x
m khi x

x x

khi x x x khi x

c f x e d f x

x khi x
x a khi x

    

  

  

 



  





  

    

  

 



   



Bài 3. Tìm a để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

3
2

, 4

( ) 16

, 4

x

khi x
f x x

a khi x

 




  

 


BÀI TẬP CHƯƠNG II 
A. ĐẠO HÀM

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) y(x23x1)ex; b) yln(sinx2cos )x c)

2 cosx x

ye  ;
d) ysin(3lnx2 )x e) ytg x( 43 )x ; f) yarctg e( 2x1)
g) y(sin )x x h) y(cos )x sinx i)

1
(1 )x
y x
Bài 2. Tính đạo hàm phải, đạo hàm trái của các hàm số sau đây tại x0 0

3 4

, 0

( )

ln , 0

x khi x
f x

x x khi x



 



 b) 5 7

2 , 0

( )

ln 1 , 0

x khi x
f x

x khi x





     

 

  


Bài 3. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau đây

2 x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 4. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây

a) yeax b) ysinx c) ycosx
d) y 1

x

 e) yln(ax b ) f) ysin(ax b )
B. VI PHÂN

Bài 1. Tính vi phân của các hàm số sau đây

a) yln(x2 x 1) b) y exx3 c) ysin(lnx2 )x
Bài 2. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau đây

a) yln(sinxcos )x b) yecosx c) yarctan(ex)
Bài 3. Áp dụng vi phân tính gần đúng : a) arctan1, 01 b) sin 29 0

Bài 4. Viết khai triển của hàm số ysinx tại lân cận điểm x0 0.
Bài 5. Viết khai triển của hàm số yex tại lân cận của điểm x0 0.
Bài 6. Tính đạo hàm và vi phân cấp một, cấp hai của các hàm số sau đây

a) y 1x2 b) yln(1x2) c) ye2x(cosxsin )x
d) yln(x x21) e) ysin2x f) yln(cos 2xx)

BÀI TẬP CHƯƠNG III. HÀM NHIỀU BIẾN 
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số:

 

2

2 2 2 2

) , ) ( , ) ln(2 1)

ln( 1)

c) 4 1 ) sin 4 ) arcsin

a f x y b f x y x y

y x

y

z x y x y d z x y e z

x

   

 

        

Bài 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau đây 
a) z x y

x y



 b) z xexy c) z y e2 2x y d) 2 3
xyz
u

x y z


 

Bài 3. Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp một, cấp hai của hàm số sau đây 
a) z3x22xy3y2 b) z xy

x y


 c) zln(3x2 )y
Bài 4. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm ẩn y = y(x) cho bởi phương trình sau đây

a) x y ex y b) x y arctgy0 c) x22xyy2 0
Bài 5. Tìm cực trị của hàm số sau đây

a) z 4 x2y2 b) z xy 1 1
x y

   c) z2x3y33x23y12x4
Bài 6. Tìm cực trị với điều kiện của các hàm số sau đây

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BÀI TẬP CHƯƠNG IV 
A. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Bài 1. Tính các tích phân sau đây





x3x2  x dx



b) 2x 4ex 3 dx
x

   

 

 



2 2

sin cos
dx
x x





2cos 2x8sin4x



dx

Bài 2. Tính các tích phân sau đây 
a) tan



xdx b)

2 1

1
x

dx
x






c)
2

4 1

4
x

dx
x






x

dx
e 



Bài 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số

2
ln

dx
x x



b)



x 2x dx2 c)

2
sin
1 cos

x
dx
x




x



1x



2008dx
e) lnx 1x2dx

 



2
sin

xdx
x



e xdx h)
2

6
1

x
dx
x




2
arcsin

1
x

dx
x




cos3xdx
B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài 1. Tính các tích phân xác định sau đây









1 2 3 2 4

2 2

0 1 0

1 3 2 1 2 3 2

2
2

0 0 1

1 1

4 3 2

2 2

0 0 1

2 3 3

2 1

3 4 2 1

) 3 4 2 ) ) cos

3 2 2 3 4 2 1

) ) 3 4 2 )

2
1

3 2 2

) cos ) )

1 1

) )

x x x

a x x dx b dx c xdx

x

x x x x x x

d dx e x x dx f dx

x
x

x x x dx

g xdx h dx i

x x

x dx

j k x dx

x





 

  

 



       




  

 





Bài 2. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần 
1

2 2

) ln ) (2 1)sin ) ) cos

e

a x xdx b x xdx c xarctgxdx d x xdx

 



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 3. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp đổi biến số

7 2 3 2

2 3

0 1 0

cos ln

) 2 ) ) ) sin

1 sin

e

xdx x

a x x dx b c dx d xdx

x
x
 





Bài 4. Tính các tích phân xác định sau đây 
a)
1
sin(ln )
e
x
dx
x



b)
6

11 3 2

dx
x
 



c)
1
0

(2x3)e dxx



1
0

arctgxdx



1
0

sin xdx



15
1

(2 )
x x dx



C. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 
Ví dụ 1.

2 2

1 1

1 1 1 1

lim lim lim 1 1

b

b b b

b
dx dx
x b

x x

  
   
       
   



Ví dụ 2.





0 0

2 2

1 1

lim lim arctan lim ( arctan )

1 a 1 a a

a

dx dx x a

a
x x


  

    
 



Ví dụ 3.

2 2 2

1 1 1

lim lim

1 1 1

b

a b

a

dx dx dx

x x x


 

  
  



lim ( arctan ) lim arctan

2 2

a b

a b   

 

     

Ví dụ 4.









2 2

0 0 0

1 1

lim lim 2 1 lim 2 2 2

1 1

dx dx

x

x    x      



     



 



Ví dụ 5.









2 2

0 0 0

1 1

lim lim ln(2 ) lim ln

2 xdx 2 xdx x


  


  

  

       
 



Ví dụ 6.





1 1

2 0 2 0

1 1

lim lim arcsin(1 ) arcsin( 1 )

2 2
1 1
dx dx
x x

  
 
  
 

 
  
 
         
 
 



Ví dụ 7.





1 0 1 1

0 0 0

1 1 0 1

lim lim ln ln lim ln ln 0

dx dx dx dx dx

x x

x x x x x


   

 

  

  
  
    
 
         
    
 



Bài tập. Tính các tích phân suy rộng sau 
đây:

2 2

1 1

3 3

3 3 2

1 1 1 0 3 2

) , ) , ) )

(2 1)

dx dx dx dx

a b x dx x dx c d

x x

x x x

     

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6></div>