06. Noi trong len cac ban oi.mp3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (169.93 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành

Ph

ầ

n I: M

ở

đầ

u

I/Đặt vấn đề.

Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của hàng năm bài tốn
tích phân hầu như khơng thể thiếu, bài tốn về tích phân là một trong những bài tốn khó vì
nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của
tích phân.

Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh hiểu sâu hơn và tránh
được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài tốn về tích phân.

II/ Phương pháp

- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.

- Bài tập ứng với từng dạng toán, và chỉ ra những lỗi thường mắc phải của học sinh.

Ph

ầ

n II: N

ộ

i dung

I/ cơ sở khoa học 
1/Nguyên hàm:

Đn: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) =f(x) với mọi x thuộc K.

Kí hiệu:

( )

f x dx F x C

=

+

∫

Nhận xét: khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và hay
bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên nhớ rằng : “ để tính

∫

f x dx( ) ta cần 
tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)”

T/c: các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từđịnh nghĩa
a) (

∫

f x dx( ) ) '= f x( )

∫

kf x dx( ) =k f x dx

∫

( )

∫

[

f x( )±g x dx( )

]

∫

f x dx( ) ±

∫

g x dx( )
2. Tích phân:

ĐN: Ta có cơng thức Niu tơn – Laipnitz

( ) ( ) ( ) ( )

b
b

a a

f x d x = F x = F b − F a

∫

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành

Tính chất 1:

( )

b a

a b

f

x d x

= −

f

x d x

∫

Tính chất 2:

( )

b b

a a

kf x dx

=

k f x dx

∫

với k thuộc R

Tính chất 3:

[

( )

]

( )

b b b

a a a

f x

±

g x dx

=

f x dx

±

g x dx

∫

Tính chất 4:

( )

c b c

a a b

f x dx

=

f x dx

+

f x dx

∫

A) các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân.

Việc tính nguyên hàm của một hàm số là không hề đơn giản chút nào. Do vậy mà ở
đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đườn lối. Nó được dẫn dắt từ đạo hàm của hàm
hợp và đạo hàm của hai hàm.

Đó là phương pháp sử dụng các nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số,
phương pháp tính Tích phân từng phần.

I/ Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản:

Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được
các nguyên hàm từđó tính được các giá trị các tích phân.

∫

kdx=kx C+
2.

x

x dx C

α
α

α
+

= +

∫

((α∈R,α ≠ −1)
3. dx ln x C

x = +

∫

x

x a

a dx C

a

= +

∫

5. x x

e dx=e +C

∫

6. 2 arctanx+C
1

dx
x =

∫

( hoặc có thếđặt x= tant/2)
7.

2 arcsinx+C

dx
x

=
−

∫

( hoặc có thểđặt x= sint)
8.

∫

s inx dx= - cosx + C

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
Bài tập 1: Tính các tích phân sau

a) I=

2
3
1

(

x

+

2 x

+

1)

dx

∫

b) I=

1
3 1
1
3

x

e

dx

−

∫

Giải:

a) I =

(

)

2 2

1 3

1 2 2 1 1 2

4 4 4

x

x x

   

+ + = + + − + + = +

   

 

b) I=

3 1

1 4 0

1
3

( )

3 3

x

e

e e

+
−

 

= −

 
 

Bài tập 2: Tính tích phân sau
I =

∫

− +

)
1
(x

dx

Giải

Hàm số y = 2
)
1
(

1
+

x không xác định tại x= -1∈

[

−2;2

]

suy ra hàm số không liên tục trên

[

−2;2

]

do đó tích phân trên khơng tồn tại.

* chú y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau: I =

∫

− +

)
1
(x

dx

∫

− +

)
1
(

x
x
d

=-1
1
+

x
2

−
=-3
1

1 =
-3
4

* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y = 2

)
1
(

1
+

x không xác định tại x= -1∈

[

−2;2

]

suy ra hàm số không liên tục trên

[

−2;2

]

nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.

* Chú ý đối với học sinh: 
Khi tính f x dx

b
a

)
(

∫

cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên

[

a;b

]

khơng? nếu có thì áp
dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho cịn nếu khơng thì kết luận ngay tích
phân này khơng tồn tại.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
1/

∫

−

)
4
(x

dx

2/ x x 2dx
1
3

2
2

)
1
( −

∫

−

3/ dx

x

∫

0
4

cos
1

4/ dx

x
x
e
x x

∫

−

+
−

3
2
3

Chú ý: Trong dạng tốn này có những bài tốn khó. Các bạn thường phải áp dụng phương
pháp hệ số bất đinh để làm. Xét dạng như sau ( ) x, p(x) x

( )( ) (x-a)(x-b)(x-c)

p x

d d

x−a x b−

∫

trong

đó P(x) là đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu. Khi đó ta phải thiết lập các hệ
phương trình đểđi tìm A,B,C như sau: ( ) x = A x

( )( )

p x B

d d

x a x b x a x b

 

 

− −  − − 

∫

( ) x = A x

( )( )( )

p x B C

d d

x a x b x c x a x b x c

 

+ +

 

− − −  − − − 

∫

II/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:

Giả sử ta cần phải tìm

∫

f u du( ) . Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi như u
như một hàm khả vi theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm

∫

f u du( ) đưa về việc tìm

( ( )) '( )

f u x u x dx

∫

một cách đơn giản hơn.
 Bài 1: Tính tích phân:

I =

5 2

1 x

+

x dx

∫

Giải:

Đặt t = 2 2 2

1+x ⇔t = +1 x ⇒2tdt=2xdx

Đổi cận:

1

3

2 x

o

t

x

t

=

⇒

=

⇒

=

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành

3 2

4 2 2 2 2

0 1

7 5 3

2
1

1 . ( 1)

2 848

7 5 3 105

x x xdx t t dt

t t t

+ = −

 

= − +  =

 

∫

Bài 2 :Tính tích phân: I =

∫

01 sinx

dx

* Giải:

I =

∫

01 sinx

dx
=

∫







−
=







−






−
=






−
+
π
π
π
π
π
π
π
0
0
2

0 2 4

4
2
cos
4
2
2
cos
1
x
tg
x
x
d
x
dx

= tg 2

4
4 =




−
− π
π
tg

* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2

x

thì dx = 2
1

t
dt

+ ;1 sinx

+ = 2

2
)
1
(
1
t
t
+
+
⇒

∫

+ x
dx
sin

1 =

∫

+ 2

)
1
(
2
t
dt

∫

+ −2

)
1
(

2 t d(t+1) =

1
2
+

t + c

⇒ I =

∫

01 sinx

dx

= 2

tan 1
2
x
−
+
π
0 =
2
tan 1
2
π
−
+

- 2
tan 0 1+

do tan
2

không xác định nên tích phân trên khơng tồn tại
*Ngun nhân sai lầm:

Đặt t = tan
2

x

x∈

[

0;π

]

tại x = πthì tan
2

x

khơng có nghĩa.
.

* Chú ý đối với học sinh:

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có
đạo hàm liên tục trên

[

a;b

]

*Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:
1/

∫

0 sinx

dx

∫

01 cosx

dx

Bài 3: Tính

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chun tốn THPT GV: Bá Thành 
Giải:

Đặt

t

x

a

dt

dx

2

t

x

a

=

+

−

⇒

=

−

2 ln

dx dt

t C
t

x a

⇒ = = +

−

∫

Bài 4: Tính I =

∫

− +

0
2

9
6x

x dx

* Sai lầm thường gặp:

I =

∫

− +

9
6x

x dx =

(

)

(

) (

)

(

)

2
9
2
1
2

3
3

3 40

2
4

−
=
−
=
−

=
−
−

−

∫

x dx x d x x

* Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi

(

x−3

)

2 =x−3 với x ∈

[ ]

0;4 là không tương đương.
* Lời giải đúng:

I =

∫

− +

0
2

6x

x dx

∫

(

−

)

∫

−

(

−

)

∫

−

(

−

) (

−

)

∫

(

−

) (

−

)

3
4

0
4

3
3

3 dx x d x x d x x d x

x

= -

(

)

(

)

2
1
2
9
2

3
2

3 4

3
2
3

0
2

=
+
=
−

− x

x

* Chú ý đối với học sinh:

( )

(

f x

)

f

( )

x

n n =

2 2

(

n≥1,n∈N

)

I =

∫

(

( )

)

b
a

n f x n

2 2 f

( )

x dx

b
a

∫

ta phải xét dấu hàm số f(x) trên

[

a;b

]

rồi dùng tính chất tích phân
tách I thành tổng các phân khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Một số bài tập tương tự: 
1/ I =

∫

−

2
sin

1 xdx ;

2/ I =

∫

− +

2
3

2x x

x dx

3/ I =

∫










−
+

2
1

2
2

2
1

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành

4/ I =

∫

+ −

2
2

2
cot

x
g
x

tg dx

Bài 4: Tính I =

∫

− + +

1
2

2
2x
x

dx

* Sai lầm thường gặp:

I =

(

)

(

)

(

)

0
1
2

arctan 1 arctan1 arctan 0
4
1 1

d x

x
x

−

= + = − =

+ +

∫

* Nguyên nhân sai lầm :

Đáp số của bài tốn thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào
chương trình thpt.

* Lời giải đúng:

Đặt x+1 = tant

(

)

1 tan

dx t dt

⇒ = +

với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t =

Khi đó I =

(

)

4 4

4
0

0 0

1 tan

tan 1 4

t dt

dt t
t

π π

= = =

∫

* Chú ý đối với học sinh:

Các khái niệm arcsinx , arctanx khơng trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thểđọc
thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết
theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này
không có trong sách giáo khoa nên học sinh khơng được áp dụng phương pháp này nữa. Vì
vậy khi gặp tích phân dạng

∫

b
a

dx
x2

1
1

ta dùng phương pháp đổi biến sốđặt t = tanx hoặc t

= cotx

∫

−

b
a

dx
x2

1
1

thì đặt x = sint hoặc x = cost

*Một số bài tập tương tự:
1/ I =

∫

−

4
2

dx
x
x

2/ I = dx

x
x
x

∫

1 ++ +

0
2
3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
3/ I =

∫

−

3
1

0 8

1 x
dx
x

Bài 5:

Tính :I =

∫

−

4
1

0 2

dx
x
x

*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt

∫

−

dt
t

t
dx

x
x

cos
sin
1

3
2

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=

4
1

thì t = ?

* Nguyên nhân sai lầm:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2

1−x thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích
phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

4
1

khơng tìm được chính xác t = ?
* Lời giải đúng:

Đặt t = 2

1−x ⇒dt = dx tdt xdx
x

x

⇒

− 2

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1

thì t =
4
15

I =

∫

−

4
1

0 2

dx
x
x

∫

(

)

∫

(

)

− = −









−
=









−
=
−

=
−

4
15

4
15
1
3
2

3
2
192

15
33
3
2
192

15
15
4
15
3

1 t

t
dt
t
t

tdt
t

* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1−x2 thì thường đặt x =
sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận
của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo
phương pháp này còn nếu khơng thì phải nghĩđếnphương pháp khác.

*Một số bài tập tương tự:

1/ tính I = dx
x
x

∫

0 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
2/tính I =

∫

1 x x2 1

dx

Bài 6: Tính I =

∫

− +
−
1
1

4
2
1
1
dx
x
x

* Sai lầm thường mắc: I =

∫

− −
−






+






−
=
+
−
1

1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x

Đặt t = x+ dx

x
dt

x 





−
=
⇒
2
1
1
1

Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I =

∫

− −
2
2
2
2
t
dt
= dt
t

t 2)

1
2
1

(
2
2 −
−
+

∫

−

=(lnt+ 2 -lnt− 2 ) 2

2
2
2
2
2
ln −
−
−
+
=
t
t
= ln
2
2
2
2
ln
2
2

2
2
2
ln
2
2
2
2
−
+
=
−
−
+
−
−
−
+

* Nguyên nhân sai lầm:

2
2
2
4
2
1
1
1
1

1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−

là sai vì trong

[

−1;1

]

chứa x = 0 nên không thể

chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x=0 khơng
thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời.

* Lời giải đúng:
Xét hàm số F(x) =

1
2
1
2
ln
2
2
1
2
2

+
+
+
−
x
x
x
x

( áp dụng phương pháp hệ số bất định )

F’(x) =

1
1
)
1
2
1
2
(ln
2
2
1
4
2
2
2
+
−

=
′
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x

Do đó I =

∫

− +
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
1
2
1
2

ln
2
2
1
2
2
+
+
+
−
x
x
x
x
ln
2
1
1
1 =
−
2
2
2
2
+
−

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
BÀI TẬP ĐỀ NGHI

1) a)Tính 2
x +adx

∫

( tính đạo hàm của hàm số f(x)= 2

x x +a )

(

)

3 4

1 x

+

d x

∫

( đặt 2

t=x + )

3) 2

sin

1 os

x

dx

c

x

+

∫

( đặt x=π −t )
4)

2 2

4
1

1 x
dx
x

∫

( đặt t = 1

x)

5) 2 2

a

a −x dx

∫

a2+x dx2

4
2
0 tan

dx
x
π

∫

( đặt t=tan x)
8)

4
2
0

1 sin 2
os

x
dx
c x
π

∫

( đặt t= 1+sin2x )
III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN;

Từđẳng thức (uv)’=uv’+u’v

Ta có:

∫

uv dx' =uv−

∫

u vdx' đó là cơng thức tính tích phân từng phần
Để tính tích phân ( )

b
a

I =

∫

f x dx ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng

1 2

( ) ( ) ( )

b b

a a

I =

∫

f x dx=

∫

f x f x dx

Bước 2: đặt

1
2

u = f ( ) u '

v '= f ( ) v

{

xx

⇒

{

Bước 3: Khi đó

'

b
b
a

a

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân
thủ theo các nguyên tắc sau :

1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
2. Tích phân '

b
a

vu dx

∫

được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau :

Dạng 1 :

lnx dx,

I

=

∫

x

α khi đó cần đặt u= lnx

Dạng 2:
( ) x

I =

∫

p x e dxα với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u= p(x)

Dạng 3: I =

∫

p x( ) sinαxdx (hoặc I =

∫

p x c( ) osαxdx) Với P(x) là một đa thức và khi đó
ta đặt u=P(x)

Dạng 4: ax

I =

∫

e c αxdx (hoặc ax

sin

I =

∫

e αxdx ) Khi đó đặt u= cos ax (hoặc u= sin
ax)

Bài 1: a) Tìm 3

lnx dx

x

∫

b)Tìm 2

s inxdx

x

∫

Giải:

a) đặt u= lnx, u’=1/x
v’=

4
3

,
4

x
x v=
Khi đó ta có

4 4

3 4

ln

1 ln

4 x

I

=

−

∫

x d x

=

−

x

+

C

b)Đặt

, '

2 '

s inx, v=-cosx

u

x

u

x

v

=

Khi đó :

2 2

o sx -2 x co sx d x

o sx + 2 (x sin x - sin x d x )

o sx + 2 (x sin x + co sx ) + C

I

x c

= −

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 
Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài tốn tích phân mà chứa các hàm như
ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân
từng phần nếu như gặp khó khăn. Có những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng
tích phân từng phần nhiều lần. Chú y bài tốn sau

Bài 2: Tính

2
2
0

os3xdx

x

e c
π

∫

Giải:

Đặt

u

=

e

2 x

,

u

'

=

2 e

2 x
v = cos 3x, v’=sin 3x

2
2

2 x 2 x

0 0

sin 3x

2 sin 3x dx=

3 e

I

e

I

π
π





=





−





∫

Tính I1 Đặt 2x 2x

' 2e

u=e ⇒u =

sin 3x, v'= -cos3x
3

v=

2 2 2

2 x 2 x 2 x

0 0

o s 3 x 2

s i n 3 x d x o s 3 x d x

3 3

π π

 

= = −  +

 

∫

c

∫

I e e e c

1

3 I

=

+

Do đó:

2 1 2 4

3 3 3 3 9 9

3e 2

1 3

e e

I I I

I

π π

 

= − −  +  = − − −

 

⇒ = −

Chú ý: Tích phân trên nếu các bạn khơng biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn.
Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính
chất lặp đi lặp lại.

Bài tập tương tự: a)Tính

sin(ln x)dx

∫

b)Tính 2x
0

sin 2xdx

e
π

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chuyên toán THPT GV: Bá Thành

Bài 3: Tính
2
4

sin

x d

x

∫

Giải: 
Đặt

, 2 d t= d x

x = o t= o

x =

4 2

t x x t t

t

π

= → =

⇒

⇒ =

Khi đó ta có:
2

4 2

0 0

sin

x d

x

2 sintdt

t

π π

=

∫

Đặt: u = t, u’=1

v = sint, v’= -cos t
khi đó :

2 2

o 0

0 0

s in t d t= -tc o s t

o s t d t

s in

1 t

c

t

π π

+

=

∫

Bài tập đề nghị : Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau

1
2

0 0

(x 1) s inx dx b) (x+1)e dx
π

∫

2
2

2 5

0 1

osx sin dx d) x ln xdx

xc x

∫

2
0

x
(1 )

x

xe
d
x

∫

( đặt ẩn số phụ t=1+x sau đó lại tiếp tục chuyển về tích phân từng phần)
Phần III : TỔNG KẾT

Qua chuyên đề này tôi muốn gủi đến các thầy cô, cũng như các em học sinh một hệ thống
lí thuyết về nguyên hàm và tích phân. Trong chuyên đề này tơi khơng đưa ra những bài q
khó, vì thực tế với đối tượng học sinh của chúng ta thì khơng cần phải mang tích chất đánh
đố. Mục đích của chuyên đề là nêu ra các phương pháp có tính chât đường lối, và chỉ ra
một số sai lầm thường gặp. Ngoài ra các bạn có thể tìm hiểu một số phương pháp như là PP
hệ số bất định, Phương pháp lặp lại hàm.

</div>

06. Noi trong len cac ban oi.mp3

<b>Ph</b>

ầ

<b>n I: M</b>

ở

đầ

<b>u </b>

<b>Ph</b>

ầ

<b>n II: N</b>

ộ

<b>i dung </b>

( )

( )

<i>f x dx F x C</i>

=

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

[

]

∫

∫

∫

( )

( )

<i>f</i>

<i>x d x</i>

= −

<i>f</i>

<i>x d x</i>

∫

∫

( )

( )

<i>kf x dx</i>

=

<i>k f x dx</i>

∫

∫

[

( )

( )

]

( )

( )

<i>f x</i>

±

<i>g x dx</i>

=

<i>f x dx</i>

±

<i>g x dx</i>

∫

∫

∫

( )

( )

( )

<i>f x dx</i>

=

<i>f x dx</i>

+

<i>f x dx</i>

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(