Tài liệu tự học Vec tơ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phần I: VÉC TƠ I/ Phần tự học với SGK(1 buổi) Bạn hãy tự đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau: 1. Câu hỏi: là gì? Véc tơ là gì?Kí hiệu. Độ dài véc tơ là gì? Kí hiệu. Véc tơ không là gì?. Kí hiệu. Véc tơ đơn vị là gì?. Kí hiệu. 2. Câu hỏi: Như thế nào là? Hai véc tơ như thế nào được gọi là: cùng phương? Cùng hướng? Bằng nhau?Đối nhau? Vẽ 6 véc tơ, trong đó có 3 véc tơ bằng nhau và 3 véc tơ không bằng 3 véc tơ ấy. Điền vào chỗ còn thiếu: Một véc tơ hoàn toàn xác định nếu biết …. 3. Tổng của 2 véc tơ. a) Vẽ véc tơ tổng của (Bằng 2 cách) 𝑎 𝑏 b) Vẽ véc tơ tổng của 2 véc tơ: c) Vẽ véc tơ tổng của 3 véc tơ: ( Bằng 2 cách) 𝑎 𝑏 𝑐 Từ việc vẽ thành thạo các véc tơ tổng, hãy: - Định nghĩa: tổng của 2 véc tơ, hiệu của 2 véc tơ.Nêu các tính chất của 2 phép toán. - Trong mặt phẳng cho 3 điểm M,N,P tuỳ ý. Viết biểu thức của quy tắc 3 điểm và mở rộng quy tắc này. 2 4. Cho véc tơ 𝑎 . Hãy vẽ các véc tơ 2𝑎 ; ‒ 3𝑎 ; 𝑎 . Từ đó nêu định nghĩa véc 3 tơ 𝑘.𝑎 ,nêu các tính chất của phép toán này và ĐK để 2 véc tơ cùng phương. II/ Hai định lí quan trọng về véc tơ ( Điền vào chỗ trống và chứng minh) Định lí 1: ChoM là trung điểm của đoạn thẳng AB, I là 1 điểm bất kì. Ta luôn có: 𝐼𝐴 + … 𝐼𝑀 = 2 Định lí 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta luôn có: 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = … III/ Những thử thách 1. Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài 1: Cho 4 điểm A,B,C,D. Gọi M,N,I lần lượt là trung điểm của AB,CD và MN. Chứng minh: 1 a) 𝑀𝑁 = (𝐶𝐵 + 𝐷𝐴) 2 b) 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 + 𝑂𝐷 = 0. c) 𝐸𝐴 + 𝐸𝐵 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝐷 = 4𝐸𝑂 Bài 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì. Chứng minh 𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 3𝐼𝐺 . Bài 3: Cho tam giác ABC a) M là 1 điểm trên BC sao cho MB = 2MC. Biểu diễn 𝐴𝑀𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐴𝐵𝑣à𝐴𝐶 b) P, Q lần lượt là điểm trên AB và AC sao cho AP = PB, AQ = 3QC. Gọi I là điểm thuộc PQ sao cho PQ = 3 PI. Biểu diễn 𝐴𝐼𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐴𝐵𝑣à𝐴𝐶. 1. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 4 : Cho tam giác ABC. M là điểm đố xứng của trọng tâm G qua A. ch/m rằng : a) 5𝑀𝐴 ‒ 𝑀𝐵 ‒ 𝑀𝐶 = 0 b) Gọi N là điểm đối xứng của B quaG. Ch/m : 3𝐴𝑁 = 2𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵. 2 2 Bài 5: Tam giác ABC. Gọi D và E là 2 điểm sao cho : 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶; 𝐶𝐸 = 𝐶𝐴 . 3 3 1 Chứng minh 𝐷𝐸 = (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶) . 3 2. Tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm I,K,M biết; a. 2𝐼𝐴 ‒ 𝐼𝐵 = 0 ; b. 2𝐾𝐴 + 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 = 𝐴𝐵 ; c. 3𝑀𝐴 ‒ 2𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 = 0 3. Giải bài toán bằng phương pháp véc tơ. Bài 1: Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M,N,P sao cho: 𝑀𝐴 + 3𝑀𝐵 = 6𝑁𝐵 ‒ 𝑁𝐶 = 𝑃𝐶 + 2𝑃𝐴 = 0 . a) Tính 𝐴𝑁 theo𝐴𝑀 và 𝐴𝑃 . b) Chứng tỏ M,N,P thẳng hàng. Bài 2: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm P,Q sao cho 𝑃𝐴 = 2𝑃𝐵 ; 3𝑄𝐴 + 2𝑄𝐶 = 0 Chứng minh: PQ đi qua trọng tâm của tam giác ABC. IV/ Một vài tham khảo VD1: Tam giác ABC. Lấy M,N,P sao cho: 𝑀𝐵 = 2𝑀𝐶 ; 𝑁𝐴 + 2𝑁𝐶 = 0 ; 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 0 2 1 a) Chứng minh: 𝑃𝑁 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 3 2 b) Chứng tỏ M,N,P thẳng hàng. Bài giải: Ý tưởng Hiện thực a. A a. Theo quy tắc 3 điểm ta có: 𝑃𝑁 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝑁 (*) 1 P N Mà: 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 0→𝑃𝐴 = 𝐴𝐵 2 B C M 2 𝑁𝐴 + 2𝑁𝐶 = 0→ 𝐴𝑁 = 𝐴𝐶  Vẽ hình đúng 3 2 1  Suy ra: PA=PB; CM=CB; AN=2NC Thay vào (*): 𝑃𝑁 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 Có thể biểu diễn 𝐴𝑃 theo 𝐴𝐵 và 𝐴𝑁 3 2 theo 𝐴𝐶. b. Chứng minh tương tự ta được: 1  Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với 𝑃𝑀 = 2𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 . P,A,N. 2 b. ĐK để M,N,P thẳng hàng là:2 véc tơ Mà 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 Suy ra 𝑃𝑀 và 𝑃𝑁 cùng phương ↔𝑃𝑀 = 𝑘𝑃𝑁 3 𝑃𝑀 = 2𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 (**) Nhìn vào câu a thấy cần biểu diễn 𝑃𝑀 2 theo 2 véc tơ 𝐴𝐵 𝑣à 𝐴𝐶 So sánh (*) và (**) ta có: 𝑃𝑀 = 3𝑃𝑁 Chứng tỏ 𝑃𝑀𝑣à𝑃𝑁 cùng phương Vậy 3 điểm M,N,P thẳng hàng. VD 2: Cho tam giác ABC. Xác định điểm K biết 2𝐾𝐴 + 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 = 𝐴𝐵 (*) 2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài giải: Đến đây nên chú ý rằng: Quy tắc 3 điểm là công cụ quan trọng trong biến đổi véc tơ..  . . . Ý tưởng Làm thế nào để xác định K? 3 điểm A,B,C là đã cho, như vậy K phụ thuộc vào A,B,C. Nhìn vào (*) ta chợt để ý: 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 Và nghĩ tới quy tắc 3 điểm. Từ đó biến đổi đơn giản (*)  𝐴𝐵 ‒ 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 𝐾𝐴 =‒ 𝐴𝐾 Có thể làm gọn (*) bằng cách nào khác không ? Với điểm O bất kì, sử dụng quy tắc 3 điểm ta có thể « gom K về 1 chỗ » Thử vẽ điểm K : B K. A. C. Hiện thực C1/ Ta có 𝐾𝐵 ‒ 𝐾𝐶 = 𝐶𝐵 ( qt 3 điểm) ( ∗ )↔2𝐾𝐴 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 ↔2𝐾𝐴 = 𝐴𝐵 ‒ 𝐶𝐵 1 ↔𝐴𝐾 =‒ 𝐴𝐶 (**) 2 Vậy K là 1 điểm thoả (**) C2/ Với điểm O bất kì ta luôn có: ( ∗ ) ↔2(𝐾𝑂 + 𝑂𝐴) + (𝐾𝑂 + 𝑂𝐵) ‒ (𝐾𝑂 + 𝑂𝐶) = 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵 ↔2𝐾𝑂 =‒ 3𝑂𝐴 + 𝑂𝐶 1 ↔𝑂𝐾 =‒ (𝑂𝐶 ‒ 3𝑂𝐴) (***) 2 1 Nếu ta chọn O là A :(***) ↔𝐴𝐾 =‒ 𝐴𝐶 2 3 Nếu ta chọn O là C :(***) ↔𝐶𝐾 = 𝐶𝐴 2. V/ Tích vô hướng của 2 véc tơ. 1. Bạn đọc sách và cho biết : - Tích vô hướng của 2 véc tơ là gì ? Kí hiệu. - Tích vô hướng có những tính chất gì ? - ĐK để 2 véc tơ vuông góc với nhau. 2. Những thử thách Bài 1 : Tam giác đều ABC cạnh bằng 2a,H là trung điểm của BC.Tính 𝐴𝐵.𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵.𝐻𝐴 Bài 2 : Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Tính 𝐵𝐴.𝐵𝐶 Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Ch/m rằng 𝐴𝐵.𝐶𝐷 + 𝐴𝐶.𝐵𝐷 + 𝐴𝐷.𝐵𝐶 = 0, từ đó suy ra rằng trong 1 tam giác 3 đường cao đồng quy. Bài 4: Tam giác ABC. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm của BC. 𝐵𝐶2 Ch/m rằng 𝑀𝐴.𝑀𝐻 = 4 Bài 5: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. CMR: điều kiện cần và đủ để 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc là b2 + c2 = 5a2. 3. Một tham khảo: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ch/m AB2 = BH.BC (1) Để ý : AB ┴ AC suy ra AB.AC = 0 ; AH ┴ BC suy ra AH.BC = 0(2) (Bằng cách nào sử dụng các kết quả trên để ch/m (1) ?) Do AB2 = AB2; BH và BC cùng hướng nên BH.BC = BH.BC (1) Có thể viết lại AB2 = BH.BC Bài giải: C1/ Sử dụng tam giác đồng dạng 3. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> C2/ Ta có 𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 ‒ 𝐴𝐵; 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵 (quy tắc 3 điểm) Do đó VP = (𝐴𝐻 ‒ 𝐴𝐵). (𝐴𝐶 ‒ 𝐴𝐵) Sử dụng tính chất phân phối ta được VP = 𝐴𝐵2 ‒ 𝐴𝐵.𝐴𝐶 + 𝐴𝐻.𝐵𝐶 Sử dụng kết quả (2) suy ra VP = 𝐴𝐵2 = VT Tài liệu này là một trong những nội dung nhỏ mà chúng tôi soạn cho học sinh tự học, tự làm việc với SGK có gì sai sót quý thầy cô bổ sung ý kiến giúp. Và phần sau còn nữa quý vị nào quan tâm thì truy cập vào trang website của trường chúng tôi Trường THPT Nguyễn Khắc Viện – Hương Sơn – Hà Tĩnh.. 4. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>