Tuyển tập 25 đề thi và đáp án vào lớp 10 môn Toán 2010- 2011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN. ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN Năm học 2010 – 2011. Thời gian làm bài 120 phút Câu 1(2.0 điểm):. x 1 x 1  1 2 4  x  2y 2) Giải hệ phương trình:  x  y  5 1) Giải phương trình:. Câu 2:(3.0 điểm) 2( x  2) x với x  0 và x  4.  x4 x 2 b) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.. a) Rút gọn biểu thức:. A=. Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x) a) Giải phương trình với m = 3. b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện: x12 – 2x2 + x1x2 = - 12 c) Câu 4:(3 điểm) Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D. a) Chứng minh: NE2 = EP.EM b) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp. c) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K ( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2.. -----------Hết----------. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giải Câu I. x 1 x 1  1  2(x  1)  4  x  1  x  1 Vậy tập nghiệm của phương trình S= a, 2 4. 1.  x  2y  x  2y  x 10 b,  Vậy nghiệm của hệ (x;y) =(10;5)    x  y  5 2y  y  5  y  5 Câu II. a, với x  0 và x  4.. Ta có: A . 2( x  2) x 2( x  2)  x ( x  2) ( x  2)( x  2)    1 ( x  2)( x  2) ( x  2) ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2). b, Gọi chiều rộng của HCN là x (cm); x > 0  Chiều dài của HCN là : x + 2 (cm) Theo bài ra ta có PT: x(x+2) = 15 . Giải ra tìm được :x1 = -5 ( loại ); x2 = 3 ( thỏa mãn ) . Vậy chiều rộng HCN là : 3 cm , chiều dài HCN là: 5 cm. Câu III. a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x2 - 2x  x( x  2)  0  x = 0 hoặc x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình S= 0; 2 b, Để PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì  '  0  4  m  0  m  4 (*) . Theo Vi-et :  x1  x2  2   x1 x2  m  3. (1) (2). Theo bài: x21 -2x2 + x1x2 = - 12 => x1(x1 + x2 ) -2x2 =-12  2x1 - 2x2 = -12 ) ( Theo (1) ) hay x1 - x2 = -6 . Kết hợp (1)  x1 = -2 ; x2 = 4 Thay vào (2) được : m - 3 = -8  m = -5 ( TM (*) ). O. Câu IV . a,  NEM đồng dạng  PEN ( g-g) . M. K. NE ME   NE 2  ME.PE EP NE. H F N. P. I. A A b, MNP ( do tam giác MNP cân tại M )  MPN. A A (cùng  NMP A PNE  NPD ) A A => DNE .  DPE. Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DE và cùng nhìn DE D dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác DNPE nội tiếp . c,  MPF đồng dạng  MIP ( g - g ) . MP MI   MP 2  MF .MI (1) . MF MP. Lop10.com. E.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  MNI đồng dạng  NIF ( g-g ) NI IF    NI 2  MI .IF(2) MI NI. Từ (1) và (2) : MP2 + NI2 = MI.( MF + IF ) = MI2 = 4R2 ( 3). A A A ( cùng phụ HNP ) NMI  KPN A A => KPN  NPI => NK = NI ( 4 ) Do tam giác MNP cân tại M => MN = MP ( 5) Từ (3) (4) (5) suy ra đpcm . Câu V . k. 6  8x  kx 2  8 x  k  6  0 (1) x2  1. +) k=0 . Phương trình (1) có dạng 8x-6=0  x=. 2 3. +) k  0 thì (1) phải có nghiệm   ' = 16 - k (k - 6)  0  2  k  8 . Max k = 8  x =. 1 . 2. Min k = -2  x = 2 .. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Sở GD& ĐT Nghệ An. KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2008 - 2009. Đề chính thức. I Phần trắc nghiệm : ( 2 điểm) Em hãy chọn một phương án đúng trong các phương án trả lời ( A, B, C, D) của từng câu sau rồi ghi vào bài làm . Câu 1 ( 0,5 điểm ) Đồ thị hàm số y = - 3x + 4 đi qua điểm : A.(0;4) B.(2;0) C.(-5 ; 3) D . (1; 2) Câu 2 ( 0,5 điểm ) 16 + 9 bằng : A. - 7 B.- 5 C.7 D. 5 Câu 3 ( 0,5 điểm ) Hình tròn đường kính 4cm thì có diện tích là : A. 16  (cm2) B. 8  (cm2) C. 4  (cm2) D.2  (cm2) Câu 4 ( 0,5 điểm ) Tam giác ABC vuông ở A , biết tgB = và AB = 4 . Độ dài cạnh AC là : A.2 B .3 II) TỰ LUẬN (8điểm). C.4. D.6. Câu 1 (3điểm) Cho biểu thức.  3 P   x 1. 1  : x 1. 1 x 1. a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của x để P = . c) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M . x  12 1 . . x 1 P. Câu 2 (2điểm) Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong một ngày thì xong công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc ? Câu 3 (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M . Trên cung nhỏ AM lấy điểm E. ( E  A; M )Kéo dài BE cắt AC tại F. A A a). Chứng minh rằng BEM từ đó suy ra tứ giác MEFC nội tiếp .  ACB b) Gọi K là giao điểm ME và AC. Chứng minh AK2 = KE . KM c). Khi điểm E ở vị trí sao cho AE + BM = AB. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác A A của AEM và BME thuộc đoạn thẳng AB . ............ Hết ................. Họ và tên thí sinh : ................................ ...........Số báo danh : Sở GD& ĐT Nghệ An KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Đề chính thức Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu. 1,5đ). 0,75đ). NĂM HỌC 2008 - 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : Toán ( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang ) I . PHẦN TRẮC NGHIỆM : (2đ) Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm . Câu 1 : A Câu 2 : D Câu 3 : C Câu 4 : B Nội dung 3 điểm x  0 x  1. 0,25 0,25 0,25. ĐKXĐ của P :   P      . . . . 3. . x 1. .  . x 1.  : x 1   1.  . 1. . x 1. 0,5.  A x  1 x 1  1 . 3  x 1 x 1. . Điểm. . 0,25. x 2 x 1. 0,25. x 2 5  x 1 4. 5 4. Với x  0; x  1; P    4( x  2)  5( x  1). 0,25.  x  13  x  169. 0,25. Kết hợp với điều kiện ta cóvới x = 169 thì P = 5 /4 0,25. x  12 1 x  12 x  1 x  12     x 1 p x 1 x  2 x 2 x  4  16 16 16   x 2  x 2  4 x 2 x 2 x 2. Với x  0; x  1 M . .   x 2   M 4. . 0,25. 2.   4 x  2  4. ( Học sinh có thể áp dụng BĐT Cối cho hai số dương ta có M  2. 0,25. . x 2. . x  2 và. 16 x 2. 16  4  4 thì vẫn cho điểm tối đa ) x 2. Đẳng thức xẩy ra  x  2 = 4  x = 4 (TMĐK) Vậy GTNN của M là 4 khi x = 4 2 điểm Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x ( ngày). Lop10.com. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y ( ngày) Điều kiện : x > 0 , y > 0 (Nếu điều kiện x > 2 , y > 2 vẫn cho điểm ) 1 1 ( công việc ) ; người thứ hai làm được y x 1 1 1 (công việc ) . Ta có phương trình + = (1) x y 2 4 Trong 4 ngày , người thứ nhất làm được ( công việc ) x. Một ngày người thứ nhất làm được. 0,25. 0,25. Vì người thứ nhất làm trong 4 ngày rvà người thứ hai làm tiếp trong một ngày thì 1 4 + = 1 (2) y x 1 1 1 x  y  2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  4  1 1  x y. xong việc nên ta có phương trình. 0,25. x  6 y  3. 0,5. Giải đúng . Đối chiếu với điều kiện thoả mãn Vậy : Người thứ nhất làm một mình trong 6 ngày thì xong việc Người thứ hai làm một mình trong 3 ngày thì xong việc 3 điểm. 0,25. 0,25 A. Vẽ hình đúng. K F. E. C. M. B. Vì AC  AB nên AC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. 0,25. 1 1 A Ta có AACB  (sđ AAB - sđ AAM ) = sđ BM 2. 2. a 1 A A A A 1 điểm) BEM  2 sđ BM  BEM  ACB A A A A Ta có BEM ( chứng minh trên)  FEM  180 Mà BEM  FCM A A  FCM  FEM  180 Suy ra MÈC là tứ giác nội tiếp Xét AKE và MKA có : + AAKE chung. 0,25 0,25 0,25 0,25. 1 A A + KAE = KMA ( bằng sđ AAE ) 2.  AKE đồng dạng với MKA (g-g). AK KE    AK 2  KE.KM KM AK. 0,25 0,25. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> c 1điểm. A. I P. 0,25. E. M B. A  AAEM lúc đó tứ giác AEMB là hình thang cân có AE = BM = TH 1: BEM. AB 2. A Suy ra phân giác của BEM và AAEM cắt nhau tại trung điểm của AB A  AAEM TH 2 : BEM A  AAEM Không mất tính tổng quát , giả sử BEM A Vẽ phân giác BEM cắt đeọan AB tại I A A A ( Vì 0  BEM  180  0  BMI , nên tia MI luôn nằm giữa hai tia MA  90  BMA và MB ) Trên AB lấy điểm P sao cho AP = AE . Do AE + BM = AB nên ta có BP + BM  BMP cân tại B .. Ta có APE cân tại A  AAPE . A A 180  BAE BME A   EMI 2 2. 0,25 0,25. 0,25. Suy ra tứ giác PIEM nội tiếp được 1 A A A A  AAEM (cùng bù với ) IPM . Kết hợp với (1)  IEM  IEM  BPM 2 Hay EI là phân giác của AAEM . A Vậy phân giác của AAEM và BME cắt nhau tại I thuộc đoạn AB. 0,25. Kết hợp cả hai trường hợp trên , ta có ĐPCM. Ghi chú : + Nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì khônh chấm bài hình . + Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa . + Điểm bài thi glà tổng đieemr thành phần của tưnhgf câu hỏi trong đề thi , điểm lẻ đến 0,25.. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trường đại học sư phạm hà nội. Đ? ch?nh thức. đ? thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi th? sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1: 3  x 4  1   x 3  x (4 x  1)  4    x 2  29 x  78  A     x4  2   7     x  1   x  6 x 6  x  6    3 x 2  12 x  36  2 . 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá tr? nguyên của x để biểu thức A c? giá tr? nguyên Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m2x + m – 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố đ?nh. Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ.  x  1  y  z (1)  2  xy  z  7 z  10  0(2) 1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17 Câu 4 : Cho hình vuông ABCD c? độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đ?u. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. T?nh độ dài KC theo a a. 3 2. Trên AD lấy I sao cho DI  CI cắt BP ở H. 3 Chứng minh CHDP là nội ti?p. 3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =. a 2. Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 ----------------------------------H?t----------------------------------Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải th?ch gì thêm Họ và tên th? sinh.................................................................số báo danh. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Giải đ? thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi th? sinh thi vào trường chuyên) Câu 1: 3  x 4  1   x 3  x (4 x  1)  4    x 2  29 x  78  A     x4  2   7    2  6 2 x  1 x  6 x  x  6      3 x  12 x  36   1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá tr? nguyên của x để biểu thức A c? giá tr? nguyên Hướng dẫn 1.  3  x 6  x 4  x 4  1   x 3  4 x 2  x  4   x 2  3 x  26 x  78  . 6  :   A     2 2 2 x  1 x ( x  6 )  ( x  6 ) 3 ( x  2 x  6 x  12 )        3  x 6  1   ( x  4)( x 2  1)   ( x  3)( x  26)  .  :   A     2 6 2 3 ( x  2 )( x  6 ) x  1 ( x  6 )( x  1 )          3 x  4  3( x  2)( x  6) 3 x  18  2 x  8 3( x  2)( x  6) A  .  . 2( x  6) ( x  3)( x  26)  2 x  6  ( x  3)( x  26) A. 3 x  18  2 x  8 3( x  2)( x  6) x  26 3( x  2)( x  6) 3( x  2) .  .  2( x  6) ( x  3)( x  26) 2( x  6) ( x  3)( x  26) 2( x  3). 2. A  X?t x+3 x 2A A. 3( x  2) 2( x  3). 2A . 3( x  2) 3( x  3)  15 15   3  Z  x  3  U (15) x3 x3 x3 -5 -3 -1 1 3 5 -8 -6 -4 -2 0 2 6 8 18 -12 -2 0 3 4 9 -6 -1 0. -15 15 -18 12 4 2 2 1 Vậy x   18;8;6;4;2;0;2;12  thì A nguyên Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố đ?nh. Hướng dẫn. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1.Giải hệ  y  (2m 2  1) x  2m  1 (2m 2  1) x  2m  1  m 2 x  m  2  0    y  m 2 x  m  2  y  m 2 x  m  2  (m  1)  (m  1)   x x 2 2   (m  1) x  (m  1)  m 1  m2  1      2 3 2 3 2  y  m 2 x  m  2  y   m (m  1)  m  2  y   m  m  m  m  2m  2   m2  1 m2  1  (m  1)   x  m 2  1  2  y   3m  m  2  m2  1   (m  1)  3m 2  m  2   ; ta đựợc I  2 m2  1  m 1 . 2.ta c? y .  3(m 2  1)  (m  1)  3  x m2  1. Vởy I thuộc đường thẳng y=-x-3 cố đ?nh Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ.  x  1  y  z (1)  2  xy  z  7 z  10  0(2) 1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17 Hướng dẫn 1.T? (1) ta c? x-y=z-1  x2-2xy+y2=1-2z+z2  x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*) T? (2) ta c? xy=-z2+7z-10 thay vào (*) ta c? x2 + y2 =2(=-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1  x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (đpcm) 2. ta c? -z2 + 12z – 19=17  z2-12z+36=0  ( z  6) 2  0  z=6 thay vào ta c? hệ.  x  y  5 y  x  5 y  x  5    2   2 2 2 2  x  y  17  x  ( x  5)  17  0 2 x  10 x  8  0  x  1  y  x  5 y  4    x  4 ( x  4)( x  1)  0   y  1 Hệ c? 2 nghiệm (x,y,z)=(-1;4;6);(-4;1;6). Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Câu 4 : Cho hình vuông ABCD c? độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đ?u. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. T?nh độ dài KC theo a a. 3 2. Trên AD lấy I sao cho DI  CI cắt BP ở H. 3 Chứng minh CHDP là nội ti?p. 3.Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = B. E. A. a 2. I. D. K. L. H. Q. N. C. M. P. Hướng dẫn 1.Kẻ KQ  BC trong tam g?ac vuông BQK c? BK=a;.  KBQ=30. 0. nên KQ . a áp dụng 2. Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta c? BQ  BK 2  KQ 2  a 2 . a2 a 3  nên 4 2. CQ  BC  BQ  a . a 3 a(2  3 )  2 2. áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta c? KC  CQ  KQ  2. 2. a 2 (7  4 3) 3a 2 a 10  4 3   4 4 2. 2.X?t tam giácvuông DCI c? DC=a; DI  theo GT ta c?.  KBC=30. 0. suy ra. a 3 DI 3  nên TgDCI  nên 3 DC 3.  DPH=30. 0. Lop10.com. (So le).  DCI=30. 0.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Vởy  DPH=  DCH =300 nên theo QT cung chứa g?c 2 điểm P ; C thuộc cung chứa g?c 300 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội ti?p 3. Kẻ KE  AB thì HA=HB và KE//AP x?t tam giác ABP c? HA=HB; KH//AP nên a a KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và LN  ; MN//KP; MN  2 2 0 Vởy tam giác MNL cân tại N c? MNL  ABK  60 (cạnh tương ứng //) Nên tam g?c a MNL đ?u suy ra LM  ( đpcm) 2 Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*) Hướng dẫn Đặt. x2. -5x + 1-=a;. x2. 2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra ( x  1) . ( a  b) 2 25. 6(a  b) 2  25ab  6a 2  12ab  6b 2  6a 2  37 ab  6b 2  0 25 a  6b  6a 2  36ab  ab  6b 2  0  (6a  b)(a  6b)  0   b  6a N?u thì a=6b ta c? PT   1  21 x  2 x 2  5 x  1  6 x 2  24  5 x 2  5 x  25  0  x 2  x  5  0     1  21 x  2  N?u b=6a ta c? PT x  3  7 6 x 2  30 x  6  x 2  4  5 x 2  30 x  10  0  x 2  6 x  2  0    x  3  7 PT(*) c? 4 nghiệm (*)  ab . x1 .  1  21  1  21 ; x 21  ; x3  3  7 ; x 4  3  7 2 2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội. cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc. Đ? ch?nh thức. đ? thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi th? sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian làm bài :150 phút Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a  b  1  b 2  1  a 2 a2  b2  1 Chứng minh rằng 2009 2  2009 2.2010 2  2010 2 là số nguyên dương. 2.Chứng minh rằng số. Câu 2: Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai đi?u kiện sau i) Phương trình x 2  2cx  5d  0 c? 2 nghiêm a và b ii) Phương trình x 2  2ax  5b  0 c? 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt S  m 2 n 2  4m  4n Chứng minh rằng:. . . 2. 1.N?u m>n thì mn  2  n S  m n 2.N?u S là số ch?nh phương thì m=n Câu 4 Cho tam g?ac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA ( P  CA; Q  CB ) .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho g?c ACB=900 , g?c CAB=300 và AB= a . T?nh diện t?ch tam giác MCN theo a. 1 Câu 5 Trên bảng đen vi?t ba số 2 ;2; .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau : 2 Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đ? trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi vi?t vào 2 v? tr? v?a xoá hai số mới. ab 2. 2. và. ab 2. 2. 2. 4. đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi. lần chơi trên bảng luôn c? ba số .Chứng minh rằng dù ta c? chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời c? ba số. 1 2 2. ; 2 ;1  2 .. ----------------------------------H?t----------------------------------Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải th?ch gì thêm Họ và tên th? sinh.................................................................số báo danh Giải đ? thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi th? sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a  b  1  b 2  1  a 2 a2  b2  1 Chứng minh rằng 2.Chứng minh rằng số Hướng dẫn. 2009 2  2009 2.2010 2  2010 2 là số nguyên dương a2  b2. 1. t? GT a  b  1  b 2  1  a 2 . 1 b  1 a 2. 2. . (a  b)(a  b) 1 b  1 a 2. 2. ; ( a  b). suy ra a  b  1  b 2  1  a 2 a  b  1  b 2  1  a 2 a  1  b 2   a2  b2  1 ta c? hệ  2 2 2 a  b  1  b  1  a b  1  a. 2 Đặt a= 2009 ta c?. 2009 2  2009 2.2010 2  2010 2 =. a 2  a 2 .(a  1) 2  (a  1) 2  a 2 .(a  1) 2  2a (a  1)  1  (a 2  a  1) 2  a 2  a  1  Z. Câu 2: Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai đi?u kiện sau iii) Phương trình x 2  2cx  5d  0 c? 2 nghiêm a và b iv) Phương trình x 2  2ax  5b  0 c? 2 nghiêm c và d Chứng minh rằng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 Hướng dẫn a  b  2c(1) ab  5d (2) c  d  2a (3) Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-?t ta c?  cd  5b(4). 1. Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-?t ta c? . T? (1) ta c? a-c=c-b t? (3) ta c? c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a 2.nhân (2) và (4) ta c? abcd=25bd suy ra ac=25 Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên a 2  2ca  5d  0  a 2  5d  50(5) c là nghiệm PT(1) nên c 2  2ca  5b  0  c 2  5b  50(6) t? (5) và (6) ta c? a 2  c 2  5(b  d )  100  (a  c) 2  2ac  5(a  c)  100  (a  c) 2  5(a  c)  150  0  a  c  15; ma : a  c  a  d  a  b  c  d  30(dpcm) Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt S  m 2 n 2  4m  4n Chứng minh rằng:. . . 2. 2 2 2 4 1.N?u m>n thì mn  2  n S  m n 2.N?u S là số ch?nh phương thì m=n Hướng dẫn. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1.ta chứng minh mn 2  2  n 2 (m 2 n 2  4m  4n)  m 2 n 4 Bằng cách x?t hiệu 2. . . 2. H  mn 2  2  n 2 (m 2 n 2  4m  4n) H  m 2 n 4  4mn 2  4  m 2 n 4  4mn 2  4n 3  4n 3  0; vi : n  1 Mặt khác n 2 (m 2 n 2  4m  4n)  m 2 n 4  4n 2 (m  n)  0 vì n>1; m>n. 2.Ta chứng minh mn  2   S  mn  2  x?t S=(mn-1)2 thì m 2 n 2  4m  4n  m 2 n 2  2mn  1  4n  4m  2mn  1 không tồn tại m,n vì v? phải chẵn X?t S=(mn+1)2 thì m 2 n 2  4m  4n  m 2 n 2  2mn  1  4n  4m  2mn  1 không tồn tại m,n vì v? phải chẵn T? đ? ta c? S=m2n2 thì m 2 n 2  4m  4n  m 2 n 2  4n  4m  0 suy ra m=n 2. 2. Câu 4 Cho tam g?ac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA ( P  CA; Q  CB ) .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho g?c ACB=900 , g?c CAB=300 và AB= a . T?nh diện t?ch tam giác MCN theo a. Hướng dẫn A. M. P. H. N. B. Q. C. 1. Ta c? BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N  BM 2. Ta c?. AC AB AC.MB   PC  (1) PC MB AB. BC AB BC.NA   QC  ( 2) QC NA AB. Mà MB=BC; NA=AC k?t hợp với (1) và (2) ta c? CP=CQ (đpcm). Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a 2. 3.N?u ACB=900 , g?c CAB=300 và AB= a .thì BC  ; AC  ta c? MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=. a 3 2. ( 3  1)a 2. CA.CB a 2 3 a 3  :a  AB 4 4 2 1 1 ( 3  1)a a 3 (3  3 )a .  Vậy: S CMN  MN .CH  . ( đvdt) 2 2 2 4 16 1 Câu 5 Trên bảng đen vi?t ba số 2 ;2; .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau : 2 Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đ? trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi vi?t vào 2 v?. Kẻ CH  AB thì AB.CH  CA.CB  CH . tr? v?a xoá hai số mới. ab 2. và. ab 2. đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi. lần chơi trên bảng luôn c? ba số .Chứng minh rằng dù ta c? chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời c? ba số Hướng dẫn 2  a  b   a  b   Ta c?  2    2. 1 2 2. ; 2 ;1  2 .. 2.  a 2  2ab  b 2  a 2  2ab  b 2    a2  b2  2 . Như vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới. ab 2. và. ab 2. thì tổng bình phương hai. số mới không đổi nên tổng bình phương của ba số trên bảng không đổi bằng 1 13 24  2 2 1 1 13 ; 2 ;1  2 là (  2  3  2 2 )  ( đpcm) mà tổng bình phương ba số 8 2 2 2 ----------------------------------H?t-----------------------------------. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ĐỀ SỐ 1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Khóa ngày 2 tháng 7 năm 2006 MÔN: TOÁN ( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao. đề ) Phaàn I : Traộc nghieọm khaựch quan ( 2.0 ủieồm ) Ch?n ch? cỏi đ?ng trý?c cõu tr? l?i đỳng nh?t. 1. Bieồu thửực 1 4. A. x ?. 1  4x xaực ủ?nh vụựi giaự tr? naứo sau ủaõy cuỷa x ? x2 1 1 B. x ? C. x ? vaứ x ? 0 D. x ? 0 4 4. 2. Caực ủửụứng thaỳng sau, ủửụứng thaỳng naứo song song vụựi ủửụứng thaỳng y = 1 - 2x B. y  2 1  2 x  D. y  2 1  2 x  A. y = 2x - 1 C. y = 2 - x kx  3 y  3 vaứ x  y  1. 3. Hai heọ phửụng tr?nh  A. -3. B. 3 . 3 x  3 y  3 laứ tửụng ủửụng khi k baống  x  y  1. C. 1. D. -1. 1 . 4. ẹieồm Q   2;  thuoọc ủoà th? haứm soỏ naứo trong caực haứm soỏ sau ủaõy 2  ? A. y . 2 2 x 2. B. y  . 2 2 x 2. C. y . 2 2 x 4. D. y  . 2 2 x 4. 5. Tam giaực GEF vuõng tái E, coự EH laứ ủửụứng cao . ẹoọ daứi ủoán GH = 4, HF = 9. Khi ủoự ủoọ daứi ủoán EF baống : B. 13 C. 2 13 D. 3 13 A. 13 6. Tam giaực ABC vuoõng taùi A, coự AC = 3a, AB = 3 3 a, khi ủoự sinB baống A.. 3 a 2. B.. 1 2. C.. 3 2. D.. 1 a 2. 7. Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, coự AB = 18cm, AC = 24cm . Baựn kớnh ủửụứng troứn ngoái tieỏp tam giaực ủoự baống . A. 30cm C. 20cm D. 15cm B. 15 2cm 8. Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, AC = 6cm, AB = 8cm. Quay tam giaực ủoự moọt voứng quanh caùnh AC coỏ ủ?nh ủửụùc moọt h?nh noựn . Dieọn tớch toaứn phaàn h?nh noựn ủoự laứ A. 96 cm2 B. 100  cm2 C. 144  cm2 D. 150  cm2 Phaàn II : Tửù luaọn ( 8.0 ủieồm ) Baứi 1: ( 1,5 ủieồm ) Cho phửụng tr?nh baọc hai, aồn soỏ x: x2 - 4x + m + 1 = 0 1. Giaỷi phửụng tr?nh khi m = 3. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 2. Vụựi giaự tr? naứo cuỷa m th? phửụng tr?nh coự nghieọm. 3. T?m giaự tr? cuỷa m sao cho phửụng tr?nh ủa? cho coự 2 nghieọm x1, x2 thoaỷ ma?n ủieàu kieọn x12 + x22 = 10 Baứi 2 : ( 1 ủieồm ) 3 x  2  y  2  1 Giaỷi heọ phửụng tr?nh :   x  2  y  2  3. Baứi 3: ( 1,5 ủieồm ) Ruựt goùn bieồu thửực : 1. A  6  3 3  6  3 3 2. B . 5  2 6 49  20 6  5  2. 6. 9 3  11 2. Baứi 4: ( 4 ủieồm ) Cho ủoán thaỳng AB vaứ moọt ủieồm C naốm giử?a A vaứ B. Trẽn moọt nửỷa maởt phaỳng coự bụứ laứ ủửụứng thaỳng AB, keỷ hai tia Ax vaứ By cuứng vuoõng goực vụựi AB. Treõn tia Ax laỏy moọt ủieồm I . Tia vuoõng goực vụựi CI taùi C caột tia By taùi K. ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh IC caột IK ụỷ P. 1. Chửựng minh tửự giaực CPKB noọi tieỏp 2. Chửựng minh AI.BK = AC.CB 3. Chửựng minh tam giaực APB vuoõng . 4. Giaỷ sửỷ A, B, I coỏ ủ?nh . Ha?y xaực ủ?nh v? trớ cuỷa C sao cho tửự giaực ABKI coự dieọn tớch lụựn nhaỏt .. éÁP ÁN é? S? 1. I/ Trắc nghiệm khách quan. 1- C 5-d. 2-b 6-b. 3-a 7-d. Lop10.com. 4-c 8-c.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> II/ tự luận. Bài 1: 1. Khi m = 3, phương trình đã cho trở thành : x2- 4x + 4 = 0  (x - 2)2 = 0  x = 2 là nghiệm k?p của phương trình. 2. Phương trình c? nghiệm  ’ ? 0  (-2)2 -1(m + 1) ? 0  4 - m -1 ? 0  m ? 3. Vậy với m ? 3 thì phương trình đã cho c? nghiệm. 3. Với m ? 3 thì phương trình đã cho c? hai nghiệm . Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 .Theo đ?nh l? Vi?t ta c? : x1 + x2 = 4 (1), x1.x2 = m + 1 (2). Mặt khác theo gt : x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 = 10 (3). T? (1), (2), (3) ta được :16 2(m + 1) = 10  m = 2 < 3(thoả mãn) . Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho c? 2 nghiệm thoả mãn đi?u kiện x12 + x22 = 10. Bài 2:  x2  a 0 x  2  0 x  2 . Đặt  Khi đ? hệ phương trình  y  2  0  y  2  y  2  b  0 3a  b  1 a  1  0 đã cho trở thành :  .Giải hệ này ta được  (TM). a  b  3 b  2  0  x  2 1 x  2  1 x  3 a  1   Với  ta c? :  (TM).Vậy (x;y) = (3 ; 2) là nghiệm của hệ y  2  4 y  2 b  2  y  2  2. Đi?u kiện để hệ c? nghiệm: . phương trình đã cho. Bài 3: 1. Ta c? A2  6  3 3  6  3 3  2. 6  3 3 6  3 3  12  2.  . 62  3 3. 2.  12  2  3  18  A = 3 2 (vì A > 0).  B. . 5 2 6 52 6. 2.. . 9 3  11 2 9 3  11 2. . 2. 9 3  11 2. 52 6. 5  2 6   3  2   3  2     2. 9 3  11 2. 3. 9 3  11 2. 1. Bài 4:. A A (cặp g?c nhọn c? cạnh tương ứng 2. Ta c? KC  CI (gt), CB  AC (gt)  CKB  ICA A A (cm/t) .Suy ra vuông g?c).X?t hai tam giác vuông AIC và BCK ( AA  BA  900 ) c? CKB  ICA. AIC đồng dạng với BCK. T? đ? suy ra. AI BC   AI  BK  BC  AC (đpcm). AC BK. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> A A 3. Tứ giác CPKB nội ti?p (câu 1) PBC (1) (2 g?c nội ti?p cùng chắn một  PKC A  900 (gt)  A  O; IC  , mặt khác P   O; IC  (cm/t) .T? đ? suy ra tứ cung). Lại c? IAC     2 2.     A A giác AIPC nội ti?p  PIC  PAC (2). Cộng v? theo v? của (1) và (2) ta được : A A A A .Mặt khác tam giác ICK vuông tại C (gt) suy ra PKC A A  900  PBC  PAC  PKC  PIC  PIC A A PBC  PAC  900 , hay tam giác APB vuông tại P.(đpcm). 4. IA // KB (cùng vuông g?c với AC) .Do đ? tứ giác ABKI là hình thang vuông. Suy ra sABKI =.  AI  BK  AB  Max SABKI  Max 2.  AI  BK  AB nhưng A, I, B cố đ?nh do đ?. AI, AB không đổi .Suy ra Max  AI  BK  AB  Max BK . Mặt khác BK .  AC  CB  câu 2) .Nên Max BK  Max AC.CB . Mà AC  CB . 2. 4. . AC  CB (theo AI. AB 2 (không đổi) . 4. Dấu “=” xảy ra  AC = BC  C là trung điểm của AB . Vậy khi C là trung điểm của AC thì SABKI là lớn nhất .. é? S? 2. S? GIÁO D?C & éÀO T?O QU?NG B?NH. K? THI TUY?N SINH VÀO L?P 10 Khúa ngày 3 thỏng 7 nóm 2006 MễN: TOÁN ( Th?i gian 120 phỳt, khụng k? th?i gian giao. đ? ) Câu 1: ( 2 điểm ) 1) Phân t?ch x2 – 9 thành t?ch. 2) x = 1 c? là nghiệm của phương trình x2 – 5x + 4 = 0 không ? Câu 2: ( 2 điểm ) 1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng bi?n hay ngh?ch bi?n ? 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>