Lưu ý khi nâng cấp RAM cho máy tính

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.

A. LÝ thuyÕt:

I./ KiÕn thøc cơ bản:
Đặt : A = <i>abcd</i>

a) A
2 ⇔d ∈

{

0;2;4;6;8

}

b) A
5 ⇔d ∈ ∈

{

0;5

}

II./ KiÕn thøc më réng.
a) A
2; A
5 ⇔d = 0

c) A
4 ⇔ <i>cd</i>
4

d) A
25 ⇔ <i>cd</i>
25

e) A
8⇔ <i>bcd</i>
8

g) A
125⇔ <i>bcd</i>
125
B. Bµi tËp.

Bài 1. Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho 8 , cho 125
5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800.

Giải

+) Các số chia hết cho 2 là: 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 7800.
+) C¸c sè chia hÕt cho 4 là : 1984; 1076; 3452; 7800.

+) Các sè chia hÕt cho 5 lµ: 1010; 7800; 6375.;

+) Các số chia hết cho 8 là: 1984; 7800.

+) Các số chia hết cho 125 là: 6375.

Bi 2. Thay số x, y bằng các chữ số thích hợp để:
a) 375<i>x</i> chia hết cho 5; cho 25; cho 125.
b) <i>12xy</i>4 chia hết cho 2; 4

Gi¶i
a) 375<i>x</i>
5⇔x ∈

{

0;5

}

375<i>x</i>
25 ⇔5<i>x</i>
25 ⇔x = 0

375<i>x</i>
125 ⇔ 375<i>x</i> ⇔ 75<i>x</i>
125 ⇔x = 0

b)

+) <i>12xy</i>4
2⇔víi mäi x, y lµ các chữ số.

+) <i>12xy</i>4
4 <i>y</i>4
4 y

{

0;2;4;6;8

}

Vậy với mọi chữ số x và y

{

0;2;4;6;8

}

thì <i>12xy</i>4
4

Bài 3. Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số :
a) Chia hÕt cho 4. b) Chia hÕt cho 8
c) Chia hÕt cho 25 d) Chia hÕt cho 125.

Gi¶i
Víi cïng c¶ 4 chữ số 2; 5; 6; 7

a) Các số chia hÕt cho 4 cã 2 ch÷ sè tËn cïng chia hết cho 4 nên các số phải tìm là :
6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

6752; 2576

c) Các số chia hết cho 25 có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 25 nên các số phải tìm
là : 7625

Bi 4 . Dựng 4 ch số 0; 1; 2; 5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số , mỗi chữ
số đã cho chỉ lấy một lần sao cho

a) Các số đó chia hết cho 2.
b) Các số đó chia hết cho 5.

c) Các số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5.
Giải

a) C¸c số đợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 0 là :
1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số)
Các số này chia hết cho 2.

Các số đợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 2 là :
5102; 5012; 1502; 1052 (4 số)

Các số này còng chia hÕt cho 2.

Vậy các số tạo thành thoả mãn đề bài chia hết cho 2 có 10 số .
b) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 0 là :

1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số)

Các số đợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 5 là :
1205; 2015; 2105; 1025 (4 sè)

Vậy các số tạo thành thoả mãn đề bài chia hết cho 5 có 10 số ..

c) Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0.
Vậy có 6 số thoả mãn đề bài vừa chia hết cho 2 , vừa chia hết cho 5.

Bài 5.Từ 1đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho 5.
Giải

* Từ 1 đến 100 có các số chia chia hết cho 2 là : 2; 4; ….98; 100.

Từ 1 đến 100 có số các số chia chia hết cho 2 là: (100 - 2) : 2 + 1 = 50 (số)
* Từ 1 đến 100 có các số chia chia hết cho 5 là : 5; 10; ….95; 100.

Từ 1 đến 100 có số các số chia chia hết cho 2 là: (100 - 5) : 5 + 1 = 20 (số)
Bài 6. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5
và

a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001
Gi¶i

a) Ta cã 136 < n < 182 => n ∈

{

137;138;;180;181

}

Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng là 0
Do đó: . Tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5
và 136 < n< 182 là: n ∈

{

140;150;160;170,

}

b) Ta cã 1995 < n < 2001 => n ∈

{

1996;1997;;1999;2000

}

Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng là 0
Do đó: . Tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5
và 136 < n< 182 là: n ∈

{

2000

}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) (8n + 1)(6n +5) kh«ng chia hÕt cho 2.
c) (n + 3)(n +6) chia hÕt cho 2

Gi¶i
a) Ta cã : (5n + 7)(4n +6) = (5n + 7) . 2 . (2n +3) .

V× 2
2 ⇒(5n + 7) . 2 . (2n +3) ⇒ (5n + 7)(4n +6)
2

b) Ta cã : (8n + 7)(6n +5)

Vì ⇒8n + 7; 6n +5 là số lẻ nên (8n + 7)(6n +5) là số lẻ, do đó :k
2

(8n + 7)(6n +5) k
2

c) * NÕu n = 2k (k∈N) th×:

(n + 3)(n +6) = (2k +3)(2k + 6) = (2k +3).2.(k+3) = 2(k + 3)(2k + 3)
V× 2
2 ⇒2(k + 3)(2k + 3) ⇒(n + 3)(n +6)
2

* NÕu n = 2k + 1 (k∈N) th×:

(n + 3)(n +6) = (2k + 1 +3)(2k + 1 + 6)
2 = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7)
V× 2
2 ⇒2(k + 2)(2k + 7)
2⇒(n + 3)(n +6)
2

VËy ⇒(n + 3)(n +6)
2

Bµi 8. Chøng minh r»ng:

a) 94260_{- 351}37_{chia hÕt cho 5.}

b) 995_{- 98}4<b>_{+ 97}</b>3_{- 96}2<b>_{chia hÕt cho 2 vµ 5}</b>

c) 5n_{- 1}_{4 (n}_∈_N)

d) 92n_{- 1}_{2 vµ 5 (n}_∈_N)

e) n2_{+ n + 1 kh«ng chia hÕt 4 và không chia hết cho 5.}

g) n2_{+ n + 6 không chia hết cho 5}

Giải
a) 94260_{- 351}37_{= 942}4. 15_{- 351}37₌

)
5
(
)
1
(
)
6
( −  = 

V× (5)
5 ⇒ 94260 - 35137
5

b) 995_{- 98}4_{+ 97}3_{- 96}2₌

)
0
(
)
6
(
)
3
(
)
6
(
)
9
( −  +  −  = 

Vì (0)
2 và 5 nên 995 - 984 + 973 - 962
2 vµ 5
c) 5n_{- 1}_{4 (n}

∈N)

- Víi n = 0 th× 5n_{- 1 = 5}0_{- 1 = 1- 1 = 0 . V× 0}_{4 nªn 5}n_{- 1}₄

- Víi n = 1 th× 5n_{- 1 = 5}1_{- 1 = 5- 1 = 4 . Vì 4}_{4 nên 5}n_{- 1}₄

- Víi n > 1 th× 5n_{- 1 =}

)
5

( - 1 = (4). Vì (4)
4 nên 5n - 1
4

VËy 5n_{- 1}_{4 (n}

∈N)

d) 92n_{- 1}

2 vµ 5 (n ∈N)

Ta cã : 92n_{- 1 = (9}2₎n_{- 1 =}

)
1

( - 1 = 0

v× 0
2 và 5 nên 92n - 1
2 vµ 5 (n ∈N)

e) n2_{+ n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5.}

Ta cã : n2_{+ n + 1 = n(n + 1) + 1.}

- Vì n(n+1) là tích 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n(n+1)
2 tức n(n + 1) là một số chẵn

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=> n(n + 1) + 1 k
4
=> n2_{+ n + 1 k
4}

- V× n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 và 9 nên

n(n + 1) + 1 không có tận cùng là 5, 0

=> n(n + 1) + 1 k
5
=> n2_{+ n + 1 k
5}

g) n2_{+ n + 6 k
5}

Ta cã : n2_{+ n + 6 = n( n + 1) + 6}

Vì n(n + 1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng có thể là 0; 2; 6 nªn :
n( n + 1) + 6 có tận cùng là 6; 8; 2 không chia hÕt cho 5 nªn n2_{+ n + 6 k}₅

Bài 9. Không làm tính hÃy cho biết các số sau đây có chia hết cho 2 kh«ng?
a) A = 20022001_{- 2001}2000

b) B = 20012002_{+ 1999}2000_.

c) C = 1 + 33_{+ 3}4_{+ 3}5

Gi¶i

a) A = 20022001_{- 2001}2000_{= 2002 . 2002}2000_{- 2001}2000_{= 2.2001.2002}2000_{- 2001}2000

Tích các số lẻ là một số lẻ nên 20012000_{là một số lẻ. Do đó:}

20012000 _{kh«ng chia hÕt cho 2}

⇒2.2001.20022000 - 20012000 K
2

2.2001.20022000₂

b) Tích các số lẻ là một số lẻ nên 20012002_{, 1999}2000_{là các số lẻ. Do đó:}

B = 20012002_{+ 1999}2000<sub> là số chẵn => B
2. </sub>

c) 1 , 33_{, 3}4_{, 3}5_{là các số lẻ nên tổng C = 1 + 3}3_{+ 3}4_{+ 3}5_{là một số chẵn. Do đó: C}

2.

Bµi 10. Chøng minh B = 20002001_{- 2001}2002_{không chia hết cho 5.}

Giải
B = 20002001_{- 2001}2002_{= 2000 . 2000}2000_{- 2001}2002

v× 2000
5 => 2000 . 20002000₅

⇒ 2000 . 20002000 - 20012002K
5
2001 K
5 ⇒20012002 K
5

⇒ B K
5

Bµi 11. Gọi A là tổng tất cả các số chẵn không vợt quá 2002, B là tổng tất cả
các số lẻ không vợt quá 2002. Hỏi hiệu A - B cã chia hÕt cho 2 kh«ng, cã chia
hÕt cho 5 không.

Giải

A là tổng tất cả các số chẵn không vợt quá 2002 là:
A = 2 + 4 + 6+ …+ 1998 + 2000 + 2002
Tỉng A cã tÊt c¶: (2002 - 2) : 2 + 1 = 1001 sè

B lµ tổng tất cả các số lẻ không vợt quá 2002

B = 1 + 3 + 5 + …+ 1997 + 1999 + 2001
Tỉng B cã tÊt c¶: (2001 - 1) : 2 + 1 = 1001 sè

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

= __{ }_ _{ }_

1
so
1001

1
1

1

1+ + +…+ = 1001

Vì 1001 K
2 và 5 nên A - B K
2 và 5

Bài 12 .Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ
không.

Giải

Số lớn gấp 4 lần số nhỏ thì tổng của chúng bằng 5 lần số nhỏ , nên tổng của chúng
chia hết cho 5.

Mà 3456 không chia hết cho 5 nên không có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng
3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không.

Bài 13. Cho a, b ∈ N . Hái ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không?

Giải

- Nếu a hoặc b là một số chẵn thì ab(a + b) là một số chẵn thì ab(a + b)
2
nªn ab(a + b) k
9

- NÕu a và b là một số lẻ thì ab(a + b) là một số chẵn => ab(a + b)
2

nªn ab(a + b) k
9

VËy víi a, b ∈ N th× ab(a + b k
9

Bµi 14. Cho A = 13! - 11!

a) A cã chia hÕt cho 2 hay kh«ng?
b) A cã chia hÕt cho 5 hay kh«ng?
c) A có chia hết cho 155 hay không?

Giải

Ta cã A = 13! - 11! = 1 .2…12.13 - 1 . 2. . . 10 . 11 = (...0)−(...0)=(...0)

a) Vì (...0)
2 nên A
2

b) Vì (...0)
5 nªn A
5

c) Ta cã A = 13! - 11! = 1 .2…11.12.13- 11! = 11! . 12 . 13 - 11!
= 11! (12 . 13 -1) = 11! (156 - 1) = 155.

V× 155
5 nªn A
5.

Bài 15 Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2, cho 5 không?
Giải

Gọi A là tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154. Ta có:
A = 1 + 2 + … + 154

₌

2
154
).
154
1
( +

= 155 . 77
+) V× 155 k
2 ⇒ 155 . 77 k  2 ⇒ Ak 2

+) 155
5 ⇒ 155 . 77 5 ⇒A 5

Bµi 16. Cho A = 119<b>_{+ 11}</b>8_{+ 11}7_{+ … + 11 + 1. Chøng minh A}₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta cã A = 119_{+ 11}8_{+ 11}7_{+ … + 11 + 1 =}

( ) ( ) ( )

( )







 





 
   
1
tan
10
1
+
1
+
…
+
1
+

1
+
1

<i>la</i>
<i>cung</i>
<i>co</i>
<i>so</i>

= (...0)

V× (...0)
5 nên A
5

Bài 17. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2
nhng không chia hết cho 5.

Giải
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là: 0; 1; 2 … 999 .

C¸c sè chia hÕt cho 2 nh−ng không chia hết cho 5 có tận cùng là 2; 4; 6; 8.
Mỗi một chục số có 4 số nh− vËy.

Từ 0 đến 999 có 100 chục số.
Do đó có tất cả : 4 . 100 = 400 s.

Vậy trong các số tự nhiên nhỏ h¬n 1000 cã 400 sè chia hÕt cho 2 nh−ng không chia
hết cho 5.

Bài 18. Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì d 1; còn chia cho 25 thì d 3.
Giải

- Các số chia hÕt cho 25 cã tËn cïng lµ 00; 25; 50; 75; nên các số chia cho 25 d 3
cã tËn cïng lµ 03; 28; 53 ; 78.

- Các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 nªn sè chia
hÕt cho 4 d− 1 cã 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 d− 1. Trong c¸c sè
00; 25; 50; 75 cã sè 75 chia cho 4 d− 1.

VËy sè tự nhiên có tận cùng là 53 chia cho 4 thì d 1; còn chia cho 25 thì d 3.

Bài 19. Tìm các số tự nhiên chia cho 8 d− 3 , chia cho 125 th× d− 12.

Giải

- Các số chia hết cho 125 có tận cïng lµ 000; 125; 250; 375; 500; 625; 750; 875;
nên các số chia cho 125 d 12 có tËn cïng lµ 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762;
887;

- C¸c sè chia hÕt cho 8 cã 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 nªn sè chia
hÕt cho 8 d− 3 cã 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 d− 3. Trong c¸c sè
012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887cã sè 387 chia cho 8 d 3.

Vậy số tự nhiên có tận cùng là 387 chia cho 8 thì d 3; còn chia cho 125 thì d 12
Bài 20. Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ
bằng 1030 hay không?

Gi¶i
NX : SBT - ST = H => SBT = ST + H

Số trừ gấp 3 lần hiệu thì số bị trừ gấp 4 lần hiệu do đó SBT chia hết cho 4 mà 1030
không chia hết cho 4 nên nên khơng có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp
3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030.

Bµi 21. Chøng minh rằng một số tự nhiên đợc viết toàn bằng chữ số 4 thì
không chia hết cho 8.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

NhËn xÐt : 44 k
8; 444 k
8

Giải sử A đợc ghi bởi n ch÷ sè 4 (n >3)
Ta cã : A = ____

4

4444
...
44

<i>so</i>
<i>chu</i>
<i>n</i>

= 44…4000 + 444 = 44…4 . 1000 + 440
= 44…4 . 125 . 8 + 444

V× 8
8 ⇒44…4 . 125 . 8
8 mµ 444 k
8 ⇒44…4 . 125 . 8 + 44
8 ⇒ A
8

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

bµi tËp vỊ dÊu hiƯu chia hÕt cho 2 vµ 5.

Bài 1. Trong các số sau, số nào chia hÕt cho 2, cho 4, cho 5, cho 8 , cho 125
5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800.

Bài 2. Thay số x, y bằng các chữ số thích hợp để:
a) 375<i>x</i> chia hết cho 5; cho 25; cho 125.

Bµi 3. Víi cïng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số :
a) Chia hết cho 4. b) Chia hÕt cho 8
c) Chia hÕt cho 25 d) Chia hÕt cho 125.

Bài 4 . Dùng 4 chữ số 0; 1; 2; 5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số , mỗi chữ
số đã cho chỉ lấy một lần sao cho

a) Các số đó chia hết cho 2.
b) Các số đó chia hết cho 5.

c) Các số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5.

Bài 5.Từ 1đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho 5.
Bài 6. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5
và

a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001
Bµi 7. Chøng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích :

a) (5n + 7)(4n +6) chia hÕt cho 2.

b) (8n + 1)(6n +5) kh«ng chia hÕt cho 2.
c) (n + 3)(n +6) chia hÕt cho 2

Bµi 8. Chøng minh r»ng:

a) 94260_{- 351}37_{chia hÕt cho 5.}

b) 995_{- 98}4<b>_{+ 97}</b>3_{- 96}2<b>_{chia hÕt cho 2 vµ 5}</b>

c) 5n_{- 1}_{4 (n}_∈_N)

d) 92n_{- 1}_{2 vµ 5 (n}_∈_N)

e) n2_{+ n + 1 không chia hết 4 và không chia hÕt cho 5.}

g) n2_{+ n + 6 không chia hết cho 5}

Bài 9. Không làm tính hÃy cho biết các số sau đây có chia hÕt cho 2 kh«ng?
a) A = 20022001_{- 2001}2000

b) B = 20012002_{+ 1999}2000_.

c) C = 1 + 33_{+ 3}4_{+ 3}5

Bµi 10. Chøng minh B = 20002001_{- 2001}2002_{không chia hết cho 5.}

Bài 11. Gọi A là tổng tất cả các số chẵn không vợt quá 2002, B là tổng tất cả
các số lẻ không vợt quá 2002. Hỏi hiệu A - B cã chia hÕt cho 2 kh«ng, cã chia
hÕt cho 5 không.

Bài 12 .Có hai số tự nhiên nµo mµ tỉng b»ng 3456 vµ sè lín gÊp 4 lần số nhỏ
không.

Bài 13. Cho a, b ∈ N . Hái ab(a + b) cã tËn cùng bằng 9 không?

Bài 14. Cho A = 13! - 11!

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

b) A cã chia hÕt cho 5 hay kh«ng?
c) A cã chia hÕt cho 155 hay kh«ng?

Bài 15 Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2, cho 5 không?
Bài 16. Cho A = 119_{+ 11}8_{+ 11}7_{+ … + 11 + 1. Chứng minh A}₅

Bµi 17. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có bao nhiêu sè chia hÕt cho 2
nh−ng kh«ng chia hÕt cho 5.

Bài 18. Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì d 1; còn chia cho 25 thì d 3.
Bài 19. Tìm các số tự nhiên chia cho 8 d− 3 , chia cho 125 th× d− 12.

Bµi 20. Cã phÐp trõ hai sè tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ
bằng 1030 hay không?

Bài 21. Chứng minh rằng một số tự nhiên đợc viết toàn bằng chữ số 4 thì
không chia hết cho 8.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

</div>

<!--links-->