động cơ bước điện nguyễn đức sinh thư viện tư liệu giáo dục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (408.03 KB, 48 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Mục lục

2 Nền tảng 2

2.1 Đường cong phức trong C2 . . . . 2

2.2 Không gian xạ ảnh phức . . . 6

2.3 Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . 12

2.4 Đường cong afin và xạ ảnh . . . 14

3 Các tính chất đại số 22
3.1 Định lý Bézout . . . 22

3.2 Điểm uốn và các đường cong bậc ba . . . 39

Tài liệu tham khảo 47

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chương 2

Nền tảng

Chương này bao gồm các định nghĩa cơ bản và vật liệu cần thiết để nghiên cứu
đường cong đại số phức. Trước tiên chúng ta sẽ định nghĩa đường cong đại số phức
trong C2, sau đó thêm "các điểm ở vô cùng" để được đường cong xạ ảnh phức.

2.1 Đường cong phức trong C

Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số phức. Ta nói

P (x, y) khơng có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển

P (x, y) = (Q(x, y))2R(x, y),

trong đó Q(x, y), R(x, y) là các đa thức và Q(x, y) khác hằng số.

Định nghĩa 2.1. Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ
số phức và khơng có thành phần bội. Khi đó đường cong đại số phức trong C2 định
nghĩa bởi P (x, y) là

C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0}

Lí do trong Định nghĩa có giả thiết P (x, y) khơng có thành phần bội là Định lý
khơng điểm của Hilbert đã đề đề cập trong §1.3.

Định lý (Định lý Hilbert về không điểm) Nếu P (x, y) và Q(x, y) là các đa thức

với hệ số phức thì

{(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C2 : Q(x, y) = 0}

nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương n và m sao cho P chia hết Qn và Q chia

hết Pm; hoặc một cách tương đương, nếu và chỉ nếu P và Q có cùng các thành phần

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.1. ĐƯỜNG CONG PHỨC TRONGC2
Hệ quả 2.2. Nếu P (x, y) và Q(x, y) khơng có thành phần bội thì chúng định nghĩa

cùng một đường cong đại số phức trong C2 nếu và chỉ nếu mỗi đa thức bằng tích của

đa thức kia với một vơ hướng, tức là

P (x, y) = λQ(x, y)
với λ ∈ C \ {0} nào đó.

Chứng minh. Đây là hệ quả hiển nhiên của Định lý Hilbert về không điểm.

Nhận xét 2.3. Một cách tổng quát để định nghĩa một đường cong đại số phức trong

C2 như là một lớp tương đương các đa thức hai biến khác hằng số, ở đây hai đa thức
tương đương với nhau nếu và chỉ nếu mỗi đa thức bằng tích của đa thức kia với một
vơ hướng. Một đa thức có thành phần bội thì đường cong được hiểu gắn thêm bội; ví
dụ (y − x2)3 định nghĩa cùng đường cong như y − x2 nhưng với bội ba. Mặc dù hầu
hết trong cuốn sách này thì Định nghĩa 2.1 là đủ, nhưng thỉnh thoảng (ví dụ trong

§3.2) chúng ta sẽ cần xét đến đường cong định nghĩa bởi đa thức với thành phần

bội.

Định nghĩa 2.4. Bậc d của đường cong C định nghĩa bởi P (x, y) là bậc của đa thức

P , tức là

d = max{r + s : cr,s 6= 0}

ở đây

P (x, y) =X

r,s

cr,sxrys.

Một điểm (a, b) ∈ C được gọi là một điểm kì dị (hoặc kì dị) của C nếu

∂P

∂x(a, b) = 0 =
∂P

∂y(a, b).

Tập hợp các điểm kì dị của C được kí hiệu bởi Sing(C). C được gọi là khơng có kì dị
nếu Sing(C) = ∅.

Ví dụ 2.5. Đường cong định nghĩa bởi x2 + y2 = 1 khơng có kì dị. Cịn đường cong
định nghĩa bởi y2 = x3 có một điểm kì dị (0, 0).

Định nghĩa 2.6. Một đường cong định nghĩa bởi một phương trình tuyến tính

αx + βy + γ = 0,

trong đó α, β, γ là các số phức và α và β không đồng thời bằng không, được gọi là
một đường thẳng.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2.1. ĐƯỜNG CONG PHỨC TRONGC2 CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG
Định nghĩa 2.7. Một đa thức n biến khác không P (x1, ..., xn) được gọi là đa thức

thuần nhất bậc d nếu

P (λx1, ..., λxn) = λdP (x1, ..., xn)

với mọi λ ∈ C. Một cách tương đương, P có dạng

P (x1, ..., xn) =

r1+...+rn=d

ar1,...,rnx

r1

1 ...xrnn

với ar1,...,rn là các số phức.

Chú ý rằng mọi đa thức nhân tử Q(x1, ..., xn) của một đa thức thuần nhất P (x1, ..., xn)

cũng thuần nhất (xem Phụ lục A).

Bổ đề 2.8. Giả sử P (x, y) là một đa thức khác không thuần nhất bậc d hai biến với

hệ số phức thì nó có phân tích thành tích các đa thức tuyến tính
P (x, y) =

d

i=1

(αix + βiy)

với αi, βi ∈ C.

Chứng minh. Chúng ta có thể viết
P (x, y) =

d

r=0

arxryd−r = yd
d
X
r=0
ar
¡x
y
¢r

trong đó a0, ..., ad ∈ C không đồng thời bằng không. Giả sử e là số lớn nhất trong

{0, ..., d} sao cho ae 6= 0. Khi đó

d
X
r=0

ar
¡x
y
¢r
là một đa thức bậc e với hệ số phức với một biến x

y vì vậy nó có phân tích
d
X
r=0
ar
¡x
y
¢r
= ae

e

i=1

¡x

y − γi

với γ1, ..., γe∈ C. Vì vậy

P (x, y) = aeyd
e

i=1

¡x

y − γi

= aeyd−e
e

i=1

(x − γiy).

Vì vậy ta có điều phải chứng minh.

Do P (x, y) là một đa thức nên nó có một khai triển Taylor hữu hạn

P (x, y) = X

i,j≥0

∂i+jP

∂xi∂yj(a, b)

(x − a)i(y − b)j

i!j!

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.1. ĐƯỜNG CONG PHỨC TRONGC2
Định nghĩa 2.9. Giả sử đường cong C định nghĩa bởi P (x, y). Khi đó số bội tại một
điểm (a, b) ∈ C là số nguyên dương bé nhất m sao cho

∂mP

∂xi∂yj(a, b) 6= 0

với i ≥ 0, j ≥ 0 sao cho i + j = m. Khi đó đa thức
X

i+j=m

∂mP

∂xi∂yj(a, b)

(x − a)i(y − b)j

i!j! (2.1)

là thuần nhất bậc m và từ Bổ đề 2.8 nó có phân tích thành tích của m đa thức tuyến

tính có dạng

α(x − a) + β(y − b)

với (α, β) ∈ C2 \ {(0, 0)}. Các đường thẳng được định nghĩa bởi các đa thức tuyến
tính này được gọi là các tiếp tuyến của C tại (a, b). Điểm (a, b) khơng phải là điểm kì
dị nếu và chỉ nếu số bội của nó m = 1; trong trường hợp đó C chỉ có một tiếp tuyến
tại điểm (a, b) được định nghĩa bởi

∂P

∂x(a, b)(x − a) +
∂P

∂y(a, b)(y − b) = 0.

Điểm (a, b) ∈ C được gọi là điểm bội 2 (tương ứng, bội ba, v.v.) nếu số bội của nó là
2 (tương ứng 3, v.v.). Một điểm kì dị (a, b) được gọi là bình thường nếu đa thức (2.1)
khơng có thành phần bội, tức là C có m tiếp tuyến phân biệt tại (a, b).

Ví dụ 2.10. Các đươngf cong bậc 3 định nghĩa bởi
y2 = x3+ x2
và

y2 = x3

đều có điểm bội hai tại gốc tọa độ; đường đầu tiên có điểm bội hai thơng thường,
nhưng đường thứ hai thì khơng (xem hình vẽ 2.1). Đường cong định nghĩa bởi

(x4+ y4)2 = x2y2

có một điểm kì dị bội bốn khơng tầm thường tại gốc tọa độ; cịn đường cong định
nghĩa bởi

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2.2. KHƠNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

Hình 2.1: Đường cong y2 = x3+ x2 và y2 = x3

Hình 2.2: Đường cong (x4+ y4)2 = x2y2 và (x4+ y4− x2− y2)2 = 9x2y2

Định nghĩa 2.11. Một đường cong C định nghĩa bởi đa thức P (x, y) được gọi là bất

khả qui nếu P là bất khả qui, tức là P (x, y) chỉ có các nhân tử là hằng số và vơ

hướng nhân với nó.

Nếu các nhân tử của P (x, y) là

P1(x, y), ..., Pk(x, y)

thì các đường cong định nghĩa bởi

P1(x, y), ..., Pk(x, y)

được gọi là các thành phần (bất khả qui) của C

2.2 Không gian xạ ảnh phức

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.2. KHƠNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

Tính chất 2.12. (i) Một tập con của Rn hay Cn là compắc khi và chỉ khi nó đóng và

bị chặn (định lý Heine-Borel).

(ii) Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục giữa các khơng gian tơpơ và X là
compắc thì f (X) là compắc.

(iii) Từ (i) và (ii) suy ra nếu X là không gian tôpô compắc và f : X → R là một
hàm liên tục thì f bị chặn và đạt giá trị biên.

(iv) Một tập con đóng của một không gian compắc là compắc.
(v) Một tập con compắc của một khơng gian Hausdorff là đóng.
(vi) Một hợp hữu hạn của các không gian compắc là compắc.

Với rất nhiều lí do sẽ hữu ích nếu compắc hóa các đường cong đại số phức trong
C2 bằng cách thêm vào "các điểm tại vơ cùng". Lấy ví dụ, giả sử chúng ta muốn xét
các giao điểm của hai đường cong,

y2 = x2− 1, y = cx

trong đó c là một số phức. Nếu c 6= ±1 các đường cong này cắt nhau tại hai điểm.
Khi c = ±1 chúng không cắt nhau, nhưng lại tiệm cận nhau khi x và y tiến ra vơ
cùng (xem hình vẽ 2.3). Chúng ta muốn thêm các điểm tại vô cùng của C2 sao cho
các đường cong y2 = x2+ 1 và y = cx cắt nhau "tại vô cùng" khi c = ±1. Một cách
tương tự, các đường thẳng song song sẽ "gặp nhau tại vơ cùng".

–2
–1
0
1

–2 –1 1 2

Hình 2.3: Đường cong y2 = x2− 1 và y = ±x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2.2. KHƠNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

khơng nằm trong mặt phẳng {(x, y, z) ∈ C3 : z = 0} đều chứa duy nhất một điểm
có dạng (x, y, 1). Cịn các khơng gian con một chiều của {(x, y, z) ∈ C3 : z = 0} có
thể xem như là "các điểm tại vô cùng".

Định nghĩa 2.13. Tập hợp các không gian con một chiều phức của không gian
vectơ Cn được gọi là không gian xạ ảnh n-chiều P

n. Khi n = 1 ta có đường thẳng xạ

ảnh phức P1 và khi n = 2 ta có mặt phẳng xạ ảnh phức n = 2.

Nhận xét 2.14. Nếu V là một không gian vectơ trên trường K bất kỳ thì khơng gian

xạ ảnh tương ứng P (V ) là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của V . Ở
đây chúng ta chỉ làm việc với K = C và V = Cn+1 và cho đơn giản viết P

n thay cho

P(Cn+1).

Một không gian con một chiều U của Cn+1 được sinh bởi một vectơ khác khơng

u ∈ U. Do đó ta có thể đồng nhất Pnvới tập tất cả các lớp tương đương của Cn+1\{0},

trong đó quan hệ tương đương a ∼ b khi và chỉ khi tồn tại một giá trị λ ∈ C \ {0}
sao cho a = λb.

Định nghĩa 2.15. Một vectơ bất kỳ

(x0, ..., xn)

trong Cn+1đại diện cho một phần tử x của P

n; ta gọi (x0, ..., xn) là tọa độ thuần nhất

cho x và viết

x = [x0, ..., xn].

Do đó

Pn= {[x0, ..., xn] : (x0, ..., xn) ∈ Cn+1\ {0}}

và

[x0, ..., xn] = [y0, ..., yn]

khi và chỉ khi có một λ ∈ C \ {0} sao cho xj = λyj với mọi j.

Bây giờ chúng ta sẽ trang bị để Pn trở thành một không gian tôpô (chúng ta sẽ

chỉ ra rằng khơng như Cnnó là khơng gian compăc). Xét ánh xạ Π : Cn+1\ {0} → P
n

xác định bởi

Π(x0, ..., xn) = [x0, ..., xn]

và trang bị cho Pn tôpô thương cảm sinh từ tôpô thông thường trên Cn+1\ {0} (xem

[Sutherland 75] trang 68). Đó là, một tập con A của Pn là tập mở khi và chỉ khi

Π−1(A) là tập con mở của Cn+1\ {0}.

Nhận xét 2.16. Chú ý rằng

(i) một tập con B của Pn là tập đóng khi và chỉ khi Π−1(A) là tập con đóng của

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.2. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

(ii) Π : Cn+1\ {0} → P

nlà ánh xạ liên tục;

(iii) nếu X là một khơng gian tơpơ bất kỳ thì ánh xạ f : Pn → X liên tục khi và

chỉ khi

f ◦ Π : Cn+1\ {0} → X

liên tục; tổng quát hơn nếu A là một tập con bất kỳ của Pn thì ánh xạ f : A → X

liên tục khi và chỉ khi

f ◦ Π : Π−1(A) → X

liên tục.

Chúng ta định nghĩa các tập con U0, ..., Uncủa Pn như sau

Uj = {[x0, ..., xn] ∈ Pn : xj 6= 0}.

Chú ý rằng điều kiện xj 6= 0 độc lập với việc chọn các tọa độ thuần nhất, và

Π−1(U

j) = {(x0, ..., xn) ∈ Cn+1 : xj 6= 0}.

là một tập con mở của Cn+1\ {0}, do đó U

j là một tập con mở của Pn.

Định nghĩa φ0 : U0 → Cn bởi

φ0[x0, ..., xn] =

¡x1

x0

, ...,xn
x0
¢

.

Đây là một ánh xạ định nghĩa tốt với ánh xạ ngược
(y1, ..., yn) 7→ [1, y1, ..., yn]

bởi Định nghĩa 2.15. Tọa độ (y1, ..., yn) được gọi là tọa độ xạ ảnh không thuần nhất

trên U0.

Nhờ Nhận xét 2.16 dễ dàng chứng tỏ được φ0 : U0 → Cn là ánh xạ liên tục (chỉ
cần chứng minh hợp thành của nó với Π : Π−1(U

0) → U0 liên tục) và ánh xạ ngược
của nó là hợp thành của Π và ánh xạ liên tục từ Cn đến Cn+1\ {0} xác định bởi

(y1, ..., yn) 7→ (1, y1, ..., yn).

Do đó φ0 là một đồng phơi. Tương tự ta có các đồng phơi φj : Uj → Cn với mọi

1 ≤ j ≤ n, xác định bởi

φj[x0, ..., xn] =

³x0

xj

, ..., xj−1
xj

,xj+1
xj

, ..., xn
xj

.
Nhận xét 2.17. Phần bù của Untrong Pnlà siêu phẳng

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2.2. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

Rõ ràng có thể đồng nhất nó với Pn−1. Như vậy chúng ta có thể xây dựng khơng gian

xạ ảnh Pnbằng qui nạp. P0 là một điểm. P1 có thể xem như là C cùng với một điểm

∞ (tức là một bản sao của P0) và như thế có thể đồng nhất với mặt cầu Riemann
C ∪ {∞}.

P2 là C2 cùng với một "đường thẳng ở vô cùng" (tức là một bản sao của P1), và tổng
quát hơn Pn là Cn cùng với một bản sao của Pn−1tại vô cùng.

Do {Uj : 0 ≤ j ≤ n} là một phủ mở của Pnvà

φj : Uj → Cn

là một đồng phôi với mỗi j, một liên tục f từ Pn đến một không gian tôpô X là khi

và chỉ khi

f ◦ φ−1j : Cn → X

liên tục với mỗi j. Tương tự một ánh xạ f : X → Pn liên tục khi và chỉ khi f−1(Uj)

là tập mở trong X và

φj ◦ f : f−1(Uj) → Cn

liên tục vơi mỗi j.

Mệnh đề 2.18. Pn là tập compắc.

Chứng minh. Giả sử

S2n+1 = {(x0, ..., xn) ∈ Cn+1 : |x0|2+ ... + |xn|2 = 1}.

Tức là S2n+1 là một mặt cầu 2n + 1 chiều. Hơn nữa nó là một tập con đóng, bị chặn
của Cn+1, vì vậy theo định lý Heine-Borel 2.12(i) nó là tập compăc. Hạn chế của ánh

xạ Π : S2n+1 → P

n như định nghĩa ở trên là ánh xạ liên tục, vì vậy ảnh của nó là

ảnh của một tập compăc qua một ánh xạ liên tục, là tập compăc do 2.12(ii).
Bây giờ nếu [x0, ..., xn] ∈ Pnthì

λ = |x0|2+ ... + |xn|2 > 0

do đó

[x0, ..., xn] = [λ−

2x0, ..., λ−
1
2xn].

Nhưng do

|λ−1

2x0|2+ ... + |λ−12xn|2 = 1

nên

[x0, ..., xn] ∈ Π(S2n+1).

Vậy Π : S2n+1 → P

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.2. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

Định nghĩa 2.19. Một phép biến đổi xạ ảnh của Pnlà một song ánh

f : Pn → Pn

sao cho với đẳng cấu tuyến tính α : Cn+1 → Cn+1nào đó, ta có

f [x0, ..., xn] = [y0, ..., yn]

trong đó

(y0, ..., yn) = α(x0, ..., xn),

tức là

f ◦ Π = Π ◦ α

ở đây Π : Cn+1\ {0} → P

n định nghĩa như trước bởi

Π(x0, ..., xn) = [x0, ..., xn].

Bổ đề 2.20. Một phép biến đổi xạ ảnh f : Pn→ Pnlà ánh xạ liên tục.

Chứng minh. Ta có

f ◦ Π = Π ◦ α

với đẳng cấu tuyến tính α : Cn+1 → Cn+1nào đó. Do Π liên tục (do 2.16(ii)) và α liên

tục suy ra f ◦ Π liên tục, và vì vậy theo 2.16(iii) suy ra f liên tục.

Định nghĩa 2.21. Một siêu phẳng trong Pn là ảnh của V \ {0} qua ánh xạ Π :

Cn+1\ {0}, trong đó V là khơng gian con n chiều của Cn+1.

Bổ đề 2.22. Cho n + 2 điểm phân biệt p0, ..., pn và q của Pn, trong đó khơng có n + 1

điểm nào nằm trên cùng một siêu phẳng, chứng minh có duy nhất một phép biến
đổi xạ ảnh biến pi thành [0, ..., 0, 1, 0, ..., 0] trong đó 1 ở vị trí thứ i, và biến q thành

[1, ..., 1].

Chứng minh. Giả sử u0, ..., un và v là các phần tử của Cn+1\ {0} mà ảnh của chúng

qua ánh xạ Π là p0, ..., pn và q. Khi đó u0, ..., unlà một cơ sở của Cn+1, nên tồn tại duy

nhất một phép biến đổi tuyến tính α của Cn+1 biến u

0, ..., un thành cơ sở chính tắc

(1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1). Mặt khác điều kiện cho p0, ..., pn và q dẫn tới

α(v) = (λ1, ..., λn)

với λ1, ..., λn là các số phức khác khơng. Vì vậy hợp thành của α với phép biến đổi

tuyến tính xác định bởi ma trận đường chéo








1

λ1 0 · · · 0

0 . .. 0

... . .. ...
0 · · · 0 1

λn

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2.3. ĐƯỜNG CONG XẠ ẢNH PHỨC TRONGP2 CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG
định nghĩa một phép biến đổi xạ ảnh biến pi thành

[0, ..., 0, 1

λi

, 0, ..., 0] = [0, ..., 0, 1, 0, ..., 0]

và q thành [1, ..., 1]. Dễ dàng kiểm tra sự duy nhất.

Mệnh đề 2.23. Không gian xạ ảnh Pn là không gian Hausdorff.

Chứng minh. Chúng ta cần chứng minh rằng nếu p và q là hai điểm phân biệt của

Pnthì sẽ có các lân lận mở của chúng trong Pnrời nhau.

Chúng ta phải chỉ ra rằng có một đồng phơi φ0 : U0 → Cn trong đó U0 là một tập
mở của Pn. Nếu p và q nằm trong U0 thì φ0(p) và φ0(q) có các lân cận mở V và W rời
nhau trong Cn (do Cnlà Hausdorff) và φ−1

0 (V ) và φ−10 (W ) là các lân cận mở rời nhau
của p và q trong Pn. Cụ thể ta áp dụng cho p = [1, 0, ..., 0] và q = [1, 1, ..., 1].

Tổng qt hơn ta có thể tìm được các điểm p0, ..., pn của Pn sao cho p0 = p và
không có n + 1 điểm nào trong n + 2 điểm p0, ..., pn và q nằm trên cùng một siêu

phẳng. Do đó theo Bổ đề 2.20 tồn tại một phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pn biến

p thành [1, 0, ..., 0] và q thành [1, 1, ..., 1]. Như chúng ta đã chứng minh [1, 0, ..., 0] và

[1, 1, ..., 1] có các lân cận mở rời nhau φ−1(V ) và φ−1(W ) trong P

n. Do f liên tục (theo

Bổ đề 2.20) và là một song ánh, nên các tập con f−1(φ−1(V )) và f−1(φ−1(W )) là các

lân cận mở rời nhau của p và q trong Pn, đó là điều cần chứng minh.

2.3 Đường cong xạ ảnh phức trong P

2

Nhắc lại ở trong §2.2 ta có mặt phẳng xạ ảnh P2 là khơng gian con một chiều phức
của C3. Kí hiệu [x, y, z] là không gian con sinh bởi (x, y, z) ∈ C3\ {0}, như thế

P2 = {[x, y, z] : (x, y, z) ∈ C3\ {0}}

và

[x, y, z] = [u, v, w]
khi và chỉ khi tồn tại λ nào đó thuộc C \ {0} sao cho

x = λu, y = λv, z = λw.

Nhắc lại một đa thức P (x, y, z) được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu

P (λx, λy, λz) = λdP (x, y, z)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.3. ĐƯỜNG CONG XẠ ẢNH PHỨC TRONGP2
Định nghĩa 2.24. Giả sử P (x, y, z) là đa thức thuần nhất khác hằng số của ba biến

x, y, z với các hệ số phức. Giả sử P (x, y, z) khơng có thừa số bội. Khi đó đường cong

xạ ảnh C định nghĩa bởi P (x, y, z) là

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.

Chú ý rằng điều kiện P (x, y, z) = 0 không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ thuần
nhất (x, y, z), vì P là một đa thức thuần nhất nên với λ ∈ C \ {0}

P (λx, λy, λz) = 0 ⇔ P (x, y, z) = 0.

Nhận xét 2.25. Như với các đường cong trong C2, hai đa thức thuần nhất khơng có
thừa số bội P (x, y, z) và Q(x, y, z) định nghĩa cùng một đường cong xạ ảnh trong P2
khi và chỉ khi đa thức này bằng đa thức kia nhân với một vô hướng, và một đa thức
thuần nhất với các thừa số bội có thể xem như một đường cong có những thành
phần bội.

Định nghĩa 2.26. Bậc của một đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi đa
thức thuần nhất P (x, y, z) là bậc d của P (x, y, z). Đường cong C được gọi là bất khả
qui nếu P (x, y, z) bất khả qui, tức là P (x, y, z) có các đa thức thừa số khác hằng số
và khác vơ hướng nhân với chính nó. Một đường cong xạ ảnh D định nghĩa bởi một
đa thức thuần nhất Q(x, y, z) được gọi là một thành phần của C nếu Q(x, y, z) chia
hết P (x, y, z).

Định nghĩa 2.27. Điểm [a, b, c] của đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi
một đa thức thuần nhất P (x, y, z) được gọi là điểm kì dị nếu

∂P

∂x(a, b, c) =
∂P

∂y(a, b, c) =
∂P

∂z(a, b, c) = 0.

Tập tất cả các điểm kì dị của C được kí hiệu bởi Sing(C). Đường cong C được gọi là
khơng có kì dị (trơn) nếu Sing(C) = ∅.

Ví dụ 2.28. Đường cong xạ ảnh trong P2 cho bởi x2+ y2 = z2 là đường cong trơn.
Đường cong định nghĩa bởi y2z = x3 có một điểm kì dị [0, 0, 1].

Định nghĩa 2.29. Một đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi một phương trình tuyến
tính

αx + βy + γz = 0,

trong đó α, β, γ đều khác khơng, được gọi là một đường thẳng (xạ ảnh).

Đường tiếp tuyến của một đường cong C trong P2 định nghĩa bởi một đa thức
thuần nhất P (x, y, z) tại một điểm không kì dị [a, b, c] ∈ C là đường thẳng

∂P

∂x(a, b, c)x +
∂P

∂y(a, b, c)y +
∂P

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

Như là một kế thừa, là tập con của P2 đường cong xạ ảnh, C trong P2 được trang
bị tôpô (xem [Sutherland 75] tr.51).

Bổ đề 2.30. Một đường cong xạ ảnh

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}

trong P2 là compăc và Hausdorff.

Chứng minh. Để chứng minh C là compăc, theo các Mệnh đề 2.12(iv) và 2.18 là đủ

nếu chứng minh được C là tập con đóng của P2. Do 2.16(i) điều này xảy ra khi và
chỉ khi

Π−1(C) = {(x, y, z) ∈ C3\ {0} : P (x, y, z) = 0}

là một tập con đóng của C3\ {0}. Điều này đúng do các đa thức là liên tục.

Một tập con của một không gian Hausdorff là Hausdorff do đó kết quả được suy
ra từ Mệnh đề 2.23.

2.4 Đường cong afin và xạ ảnh

Đường cong đại số phức

C = {(x, y) ∈ C2 : Q(x, y) = 0}

trong C2 thường được gọi là đường cong afin để phân biệt nó với đường cong xạ ảnh
˜

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.

Mặc dù khác nhau, nhưng các đường cong afin và xạ ảnh có quan hệ gắn bó. Từ
đường cong afin C chúng ta có thể thu được đường cong xạ ảnh ˜C bởi thêm "các

điểm ở vô cùng".

Nhắc lại trong §2.2, ta có thể đồng nhất C2 với tập con mở

U = {[x, y, z] ∈ P2 : z 6= 0}
trong P2 thông qua đồng phôi φ : U → C2 xác định bởi

φ[x, y, z] =¡x

z,

y
z

¢
với ánh xạ ngược

(x, y) 7→ [x, y, 1].

Phần bù của U trong P2 là đường thẳng xạ ảnh định nghĩa bởi z = 0 mà ta có thể
đồng nhất với P1 qua ánh xạ

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

Nói cách khác P2 là hợp rời của một bản sao của C2 và một bản sao của P1 mà được
xem như "tại vô cùng".

Giả sử P (x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d khác hằng số. Ta có đồng nhất

U với C2 như mô tả vừa rồi, phần giao giữa U và đường cong xạ ảnh ˜C định nghĩa
bởi P là đường cong afin C trong C2 định nghĩa bởi đa thức không thuần nhất hai
biến

P (x, y, 1).

Đa thức này có bậc bằng d nên z khơng phải là ước của P (x, y, z), có nghĩa là ˜C

khơng chứa đường thẳng z = 0.

Ngược lại nếu Q(x, y) là một đa thức không thuần nhất bậc d với hai biến x và y,
chẳng hạn

Q(x, y) = X

r+s≤d

ar,sxrys

thì đường cong afin định nghĩa bởi Q(x, y) là giao của U (đồng nhất với C2) với đường
cong xạ ảnh ˜C trong P2 định nghĩa bởi đa thức thuần nhất

zdQ(x

z,
y
z) =

r+s≤d

ar,sxryszd−r−s.

Giao của đường cong xạ ảnh này với đường thẳng tại vô cùng z = 0 là tập hợp các
điểm

{[x, y, 0] ∈ P2 :
X
0≤r≤d

ar,d−rxryd−r = 0}

Theo Bổ đề 2.8 đa thức thuần nhất
X
0≤r≤d

ar,d−rxryd−r

có thể phân tích thành tích của các thừa số tuyến tính
Y

1≤i≤d

(αix + βiy).

Các đường thẳng định nghĩa bởi

αix + βiy = 0

tiệm cận với đường cong trong C2 định nghĩa bởi Q. Những đường thẳng này tương
ứng với các điểm [−βi, αi] trong P1; khi lấy P1 là đường thẳng z = 0 trong P2 thì
những điểm này chính là các điểm của ˜C \ C.

Bằng cách này thu được một song ánh giữa các đường cong afin C trong C2 và
đường cong xạ ảnh ˜C trong P2 không chứa đường thẳng tại vô cùng z = 0.

Nếu ˜C là đường cong trơn thì C cũng vậy, nhưng điều ngược lại không đúng: ˜C

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

Bổ đề 2.31. Giả sử [a, b, c] là một điểm của đường cong xạ ảnh
˜

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.

Nếu c 6= 0 thì [a, b, c] là một điểm trơn của ˜C khi và chỉ khi ¡a
c,bc

là một điểm trơn
của đường cong afin

C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y, 1) = 0}.

Hơn nữa, giao của C2, đồng nhất với

U = {[x, y, z] ∈ C2 : z 6= 0},

và tiếp tuyến xạ ảnh của ˜C tại [a, b, c] trong P2 là tiếp tuyến của C tại
¡a

c,bc

trong C2.
Để chứng minh trước hết ta cần kết quả sau:

Bổ đề 2.32 (Quan hệ Euler). Nếu R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc m thì

x∂R

∂x(x, y, z) + x
∂R

∂y(x, y, z) + x
∂R

∂z(x, y, z) = mR(x, y, z).

Giả sử có bổ đề này, ta sẽ chứng minh Bổ đề ??. Điểm¡a
c,bc

là một điểm kì dị của

C khi và chỉ khi

P¡a
c,

b
c, 1

= 0 = ∂P

∂x(
a
c,

b
c, 1

¢
= ∂P
∂y(
a
c,
b
c, 1

.

Do P (x, y, z) và các đạo hàm riêng của nó là các đa thức thuần nhất và c 6= 0 nên
điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi

P (a, b, c) = 0 = ∂P

∂x(a, b, c) =
∂P

∂y(a, b, c),

và từ quan hệ Euler suy ra điều này xảy ra khi và chỉ khi

P (a, b, c) = 0 = ∂P

∂x(a, b, c) =
∂P

∂y(a, b, c) =
∂P

∂z(a, b, c),

tức là khi và chỉ khi [a, b, c] là một điểm kì dị của ˜C.

Giao của C2, đồng nhất với U, và tiếp tuyến xạ ảnh

x∂P

∂x(a, b, c) + y
∂P

∂y(a, b, c) + z
∂P

∂z (a, b, c) = 0

là đường thẳng trong C2 định nghĩa bởi

x∂P

∂x(a, b, c) + y
∂P

∂y(a, b, c) +
∂P

∂z(a, b, c) = 0.

Do tính thuần nhất của các đạo hàm riêng, một lần nữa theo quan hệ Euler, đây
chính xác là tiếp tuyến

(x −a

c)
∂P
∂x
³a
c,
b
c, 1

+ (y − b

c)
∂P
∂y
³a
c,

b
c, 1

´
= 0
của C tại¡a

c

¢
.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

Bổ đề 2.32. Quan hệ Euler thu được bằng cách lấy đạo hàm của đẳng thức
R(λx, λy, λz) = λmR(x, y, z)

ứng với λ, rồi lấy λ = 1.

Nhận xét 2.33. Tương tự các định nghĩa về bội và tiếp tuyến tại điểm kì dị của các

đường cong afin như trong §2.1, ta có thể định nghĩa cho các đường cong xạ ảnh
tương ứng với các đường cong afin cộng thêm "các điểm ở vô cùng" (xem bài tập
2.8).

BÀI TẬP

2.1. Chứng minh tập con tất cả các điểm trong C2 có dạng
(t2, t3+ 1), t ∈ C
là một đường cong đại số phức.

2.2. Tìm các điểm kì dị và các tiếp tuyến tại các điểm kì dị của mỗi đường cong
trong C2 dưới đây:

(a) y3− y2+ x3− x2+ 3y2x + 3x2y + 2xy = 0.
(b) x4+ y4 − x2y2 = 0.

(c) y2 = x3 − x.

2.3. Giả sử P (x, y) là một đa thức có bậc d và a và b là các số phức, chứng minh
rằng P (x, y) bằng

X
0≤i+j≤d

i!j!(x − a)

i(y − b)j ∂i+jP

∂xi∂yj(a, b).

2.4. Giả sử (a, b) là điểm kì dị của đường cong afin C trong C2 định nghĩa bởi đa
thức P (x, y). Chứng tỏ rằng (a, b) là điểm kì dị thường nếu và chỉ nếu

³ ∂2P

∂x∂y

´2

6=³∂2P
∂x2

´³∂2P

∂y2
´

tại điểm (a, b).

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

2.6. (a) Chứng minh rằng hợp hữu hạn của các đường cong afin trong C2 là một
đường cong afin.

(b) Chứng minh rằng hợp hữu hạn của các đường cong xạ ảnh trong mặt phẳng
xạ ảnh là một đường cong xạ ảnh.

2.7. Chứng tỏ rằng đường cong đại số trong C2 không bao giờ compắc. (Gợi ý: nhắc
lại một tập con trong C2 là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Chứng tỏ
rằng nếu P (x, y) là đa thức bất kỳ khác hằng số, với các hệ số phức, thì với hầu
hết ngoại trừ một số hữu hạn giá trị a ∈ C tồn tại b ∈ C sao cho P (a, b) = 0).
2.8. Bội của một điểm [a, b, c] của một đường cong xạ ảnh C, định nghĩa bởi P (x, y, z) =

0, là số nguyên m nhỏ nhất sao cho

∂mP

∂xiyjzk(a, b, c) 6= 0

với i, j, k sao cho i + j + k = m. Hãy tìm các điểm kì dị và bội của chúng trong
các đường cong sau đây:

(a) xy4+ yz4+ zx4 = 0.
(b) x2y3+ x2z3+ y2z3 = 0.

(c) y2z = x(x − z)(x − λz), λ ∈ C.
(d) xn+ yn+ zn= 0, n > 0.

2.9. Với giá trị nào của λ ∈ C các đường cong xạ ảnh trong P2 sau đây khơng có kì
dị? Hãy mơ tả các điểm kì dị trong trường hợp nó có.

(a) x3+ y3 + z3+ 3λxyz = 0.

(b) x3+ y3 + z3+ λ(x + y + z)3 = 0.

2.10. Cho chín điểm trong P2, biết rằng tất cả chúng không nằm trên một đường
thẳng. Giả sử bất kỳ một đường thẳng đi qua hai trong chín điểm này đều
đi qua một điểm thứ ba. Chứng minh rằng tồn tại một phép biến đổi xạ ảnh
chuyển chín điểm này thành các điểm:

[0, 1, −1] [−1, 0, 1] [1, −1, 0]
[0, 1, α] [α, 0, 1] [1, α, 0]
[0, α, 1] [1, 0, α] [α, 1, 0]

với α ∈ C nào đó. Chứng minh rằng α2− α + 1 = 0. Chứng tỏ một đường cong
xạ ảnh bậc 3 đi qua chín điểm này khi và chỉ khi nó định nghĩa bởi một đa
thức có dạng

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

với λ ∈ C ∪ ∞ nào đó, và nó có kì dị khi

λ ∈ {∞, −1, α, ¯α},

trong mỗi trường hợp nó là hợp của ba đường thẳng trong P2.

2.11. Chứng minh rằng đường thẳng phức trong P2 đi qua hai điểm [0, 1, 1] và [t, 0, 1]
cắt đường cong xạ ảnh C định nghĩa bởi

x2+ y2 = z2

tại hai điểm [0, 1, 1] và [2t, t2 − 1, t2 + 1]. Chứng tỏ rằng có một song ánh từ
đường thẳng xạ ảnh định nghĩa bởi y = 0 đến C như sau

[t, 0, 1] 7→ [2t, t2− 1, t2+ 1]
và

[1, 0, 0] 7→ [0, 1, 1].

Từ đó suy ra các nghiệm phức của phương trình Pythargora

x2+ y2 = z2
là

x = 2λµ, y = λ2− µ2, z = λ2+ µ2
với λ, µ ∈ C. Chứng tỏ rằng các nghiệm thực là

x = 2λµ, y = λ2 − µ2, z = ±(λ2+ µ2)
với λ, µ ∈ R, và các nghiệm nguyên là

x = 2λµν, y = (λ2− µ2)ν, z = (λ2+ µ2)ν

trong đó λ và µ là các số nguyên tố cùng nhau, không cùng lẻ, và ν ∈ Z, hoặc

x = λµν, y = 1

2(λ

2− µ2)ν, z = 1
2(λ

2+ µ2)ν

trong đó λ và µ là các số nguyên lẻ, nguyên tố cùng nhau, và ν ∈ Z.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG

(a) Sử dụng lý thuyết chéo hóa dạng toàn phương để bằng một phép biến đổi
xạ ảnh, định nghĩa bởi một ma trận với các hệ số hữu tỷ, đưa C về đường
cong định nghĩa bởi

ax2+ by2 = z2
với a, b ∈ Q \ {0}.

(b) Chứng minh rằng nhờ thêm một phép biến đổi chéo hóa chúng ta có thể
giả thiết thêm a và b là các số ngun khơng có thừa số chính phương, tức
là chúng là tích của các số nguyên tố phân biệt. Chứng tỏ rằng chúng ta

có thể giả thiết |a| ≥ |b|.

(c) Chứng minh rằng nếu C có một điểm hữu tỷ thì b là một số chính phương
mod p với mọi số nguyên tố p chia hết a. Suy dẫn từ định lý thặng dư
Trung Hoa rằng b là một số chính phương mod a, vì vậy tồn tại các số
nguyên m, a1 sao cho |m| < |a|/2 và

m2 = b + aa1.
(d) Chứng minh rằng nếu m2 = b + aa

1 và

ax2+ by2 = z2
thì

a1(z2− by2)2+ b(my − z)2x2 = (mz − by)2x2.

Suy ra rằng C có một điểm hữu tỷ khi và chỉ khi cũng đúng đối với đường
cong định nghĩa bởi

a1x2+ by2 = z2.

(e) Chứng minh rằng nếu |a| > 1 thì |a1| < |a|, như vậy ta quy về vấn đề
tương tự với |a| + |b| bé hơn. Suy ra rằng có thể lặp lại điều này đến khi b
khơng cịn là một số chính phương mod a hoặc đến khi

|a| = |b| = 1,

khi đó đường cong có một điểm hữu tỷ khi và chỉ khi trong a và b có ít
nhất một số dương.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

CHƯƠNG 2. NỀN TẢNG 2.4. ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

2.14. Giả sử p là một số nguyên tố lẻ bất kỳ. Nếu λ ∈ Z ta có thể rút gọn thành λ
mod p và có thể rút gọn mod p cho đường cong xạ ảnh bậc ba C định nghĩa bởi

y2z = x(x − z)(x − λz)

thành tập con của mặt phẳng xạ ảnh P((Fp)3) trên trường hữu hạn Fp = Z/pZ

định nghĩa bởi phương trình tương ứng. Chứng minh rằng với mỗi x ∈ Fp,

phương trình

y2 = x(x − 1)(x − λ)
có một nghiệm nếu x = 0, 1 hoặc λ, có hai nghiệm nếu

(x(x − 1)(x − λ))(p−1)/2 ≡ 1 (modp)

và vơ nghiệm trong trường hợp cịn lại, tức là nếu

(x(x − 1)(x − λ))(p−1)/2 ≡ −1 (modp).

[Gợi ý: chú ý nhóm nhân của một trường hữu hạn bất kỳ là một nhóm xyclic].
Suy ra rằng số điểm của C rút gọn mod p là

1 + X

x∈Fp

(1 + (x(x − 1)(x − λ)))(p−1)/2.

Khai triển (1 + (x(x − 1)(x − λ)))(p−1)/2như một đa thức theo x và sử dụng công
thức

x∈Fp

xl≡





0 (modp) nếu p − 1 - l

−1 (modp) nếu p − 1 | l
chứng tỏ rằng số các điểm trên C rút gọn mod p là

1 + p + (1)(p1)/2
(p1)/2X

r=0

àp1
2

r

ả

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Chng 3

Cỏc tớnh cht i số

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất đại số của các đường
cong đại số phức. Trong §3.1 chúng ta sẽ khảo sát xem hai đường thẳng xạ ảnh
trong P2 giao với nhau như thế nào. Trong §3.2 chúng ta sẽ nghiên cứu "các điểm
uốn" của một đường cong xạ ảnh phức và chứng tỏ mọi đường cong xạ ảnh trơn bậc
ba sau một phép biến đổi xạ ảnh đưa được về dạng

y2z = x(x − z)(x − λz)
với λ ∈ C \ {0, 1}.

3.1 Định lý Bézout

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu hai đường thẳng xạ ảnh C và D trong P2
giao với nhau như thế nào. Chúng ta sẽ thấy C và D giao nhau ít nhất tại một điểm,
và nếu C và D khơng có thành phần chung thì chúng sẽ giao với nhau nhiều nhất
tại nm điểm, trong đó n là bậc của C và m là bậc của D. Chúng ta sẽ thấy C và D
giao với nhau chính xác tại nm điểm nếu mọi điểm của C ∩ D khơng phải là điểm kì
dị của cả C lẫn D và các tiếp tuyến của C và D tại các điểm đó là phân biệt. Các kết
quả này là các trường hợp của định lý mang tên nhà toán học Bézout người Pháp
ở thế kỷ XVIII.1 Để có thể chứng minh kết quả tổng quát hơn về số các giao điểm
của C và D trước hết chúng ta đưa ra khái niệm số giao Ip(C, D) ò C và D tại điểm

p. Qui ước số giao bằng vô cùng nếu p nằm trên một thành phần chung của C và
D, ngồi ra số giao là một số ngun khơng âm, nó bằng khơng khi p khơng thuộc
C ∩ D. Chúng ta sẽ chứng minh Ip(C, D) = 1 khi và chỉ khi p khơng phải là điểm

kì dị của cả C lẫn D và các tiếp tuyến chung của C và D tại p phân biệt. Định lý
Bézout mạnh nhất được phát biểu như sau:

1Lý do tại sao định lý này được mang tên Bézout cũng không thật sự rõ ràng, vì thật ra Bézout

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

Định lý 3.1 (Định lý Bézout). Giả sử C và D là hai đường cong xạ ảnh trong P2 có

bậc bằng n và m. Nếu C và D khơng có thành phần chung thì chúng có chính xác
nm điểm giao tính cả bội; tức là

p∈C∩D

Ip(C, D) = nm.

Chất liệu quan trọng trong chứng minh định lý Bézout của chúng ta là kết thức
(đơi khi cịn gọi là khử).

Định nghĩa 3.2. Giả sử

P (x) = a0+ a1x + ... + anxn,

với a0, ..., an∈ C, an 6= 0, và

Q(x) = b0+ b1x + ... + bmxm,

với b0, ..., bm ∈ C, bm 6= 0, là các đa thức bậc n và m với biến x. Khi đó kết thức RP,Q

của P và Q là định thức của ma trận (m + n) × (m + n) dưới đây



















a0 a1 · · · an 0 0 · · · 0

0 a0 a1 · · · an 0 · · · 0

· · · · ·

0 0 · · · 0 a0 a1 · · · an

b0 b1 · · · bm 0 · · · 0

0 b0 b1 · · · bm 0 · · · 0

· · · · ·

0 · · · 0 b0 b1 · · · bm



















Nếu

P (x, y, z) = a0(y, z) + a1(y, z)x + ... + an(y, z)xn

và

Q(x, y, z) = b0(y, z) + b1(y, z)x + ... + bm(y, z)xm

là các đa thức ba biến x, y, z thì kết thức

RP,Q(y, z)

của P và Q đối với x được định nghĩa bởi định thức giống như RP,Q nhưng thay

ai(y, z) và bj(y, z) cho ai và bj với 0 ≤ i ≤ n và 0 ≤ j ≤ m. Chú ý RP,Q(y, z) là đa thức

với biến y và z, khi cho y = b và z = c nó nhận giá trị bằng kết thức của hai đa thức

P (x, b, c) và Q(x, b, c) theo x, với giả thiết an(b, c) và bm(b, c) khác không.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

Bổ đề 3.3. Giả sử P (x) và Q(x) là các đa thức biến x. Khi đó P (x) và Q(x) có nhân

tử chung khác hằng số khi và chỉ khi

RP,Q= 0.

Bổ đề 3.4. Giả sử P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất khác hằng số với

biến x, y, z, ngoài ra

P (1, 0, 0) 6= 0 6= Q(1, 0, 0).

Khi đó P (x, y, z) và Q(x, y, z) có nhân tử chung là đa thức thuần nhất khác hằng số
khi và chỉ khi đa thức RP,Q(y, z) với biến y và z đồng nhất với khơng.

RP,Q= 0.

Nhận xét 3.5. Lí do có thêm điều kiện

P (1, 0, 0) 6= 0 6= Q(1, 0, 0).

trong bổ đề này để bảo đảm P (x, y, z) và Q(x, y, z) giữ nguyên bậc đối với biến x với
các hệ số trong vành C[y, z].

Bổ đề 3.6. Giả sử

P (x) = (x − λ1)...(x − λn)

và

Q(x) = (x − µ1)...(x − µm)

trong đó λ1, ..., λn, µ1, ..., µm là các số phức, thì

RP,Q=

Y
1≤i≤n,1≤j≤m

(µj − λi).

Đặc biệt

RP,QR = RP,QRP,R

với P, Q và R là các đa thức biến x. Kết quả này cũng đúng khi P, Q và R là các đa
thức biến x, y và z.

Bổ đề 3.7. Giả sử P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất bậc n và m với

biến x, y, z. Khi đó kết thức RP,Q(y, z) là một đa thức thuần nhất bậc nm với biến y

và z.

Sử dụng các bổ đề trên, ta có thể chứng minh được kết quả sau:

Định lý 3.8. Hai đường cong xạ ảnh C và D bất kỳ trong P2 giao nhau ít nhất tại

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

Chứng minh. Giả sử C và D được định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P (x, y, z)

và Q(x, y, z) bậc n và m. Theo bổ đề 3.7 kết thức RP,Q(y, z) là một đa thức thuần nhất

bậc nm biến y và z. Vì vậy theo bổ đề 2.8 RP,Q(y, z) hoặc đồng nhất bằng không hoặc

là tích của nm thừa số tuyến tính bz − cy với b, c là các số phức, không đồng thời
bằng không. Đối với cả hai trường hợp, tồn tại (b, c) ∈ C2 \ {0} sao cho R

P,Q(y, z)

triệt tiêu khi y = b và z = c. Do đó kết thức của hai đa thức P (x, b, c) và Q(x, b, c) đối
với x bằng không, theo bổ đề 3.3 hai đa thức này phải có một nghiệm chunga ∈ C.
Do đó

P (a, b, c) = 0 = Q(a, b, c)

vậy [a, b, c] ∈ C ∩ D.

Chúng ta cũng có thể chứng minh

Định lý 3.9 (Dạng yếu của định lý Bézout). Nếu hai đường cong xạ ảnh C và D

trong P2 bậc n và m không có thành phần chung thì chúng giao nhau tại nhiều nhất

nm điểm.

Chứng minh. Giả sử C và D giao nhau ít nhất tại nm + 1 điểm. Chọn S là tập gồm
nm + 1 điểm phân biệt trong C ∩ D. Khi đó ta có thể chọn được một điểm trong P2
không nằm trên C hay D, hay bất kỳ trong số hữu hạn các đường thẳng trong P2 đi
qua hai điểm phân biệt của S. Dùng một phép biến đổi xạ ảnh chúng ta có thể giả
thiết điểm này là [1, 0, 0]. Do đó các đường cong C và D định nghĩa bởi các đa thức
thuần nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z) bậc n và m sao cho

P (1, 0, 0) 6= 0 6= Q(1, 0, 0),

bởi vì [1, 0, 0] khơng thuộc C ∪ D. Theo bổ đề 3.7 kết thức RP,Q(y, z) của P và Q đối

với x là một đa thức thuần nhất có bậc nm biến y và z, vì vậy nếu RP,Q(y, z) khơng

đồng nhất bằng khơng thì nó bằng tích của nm nhân tử tuyến tính dạng bz − cy với
(b, c) ∈ C2\ {0}. Ngoài ra nếu (b, c) ∈ C2\ {0} thì bz − cy là một nhân tử của R

P,Q(y, z)

khi và chỉ khi kết thức của hai đa thức P (x, b, c) và Q(x, b, c) đối với x triệt tiêu, và
theo bổ đề 3.3 điều này tương đương với tồn tại a ∈ C sao cho

P (a, b, c) = 0 = Q(a, b, c).

Nhưng nếu [a, b, c] ∈ S thì P (a, b, c) = 0 = Q(a, b, c), ngoài ra b và c không đồng thời
bằng không (do [1, 0, 0] khơng thuộc S) vì vậy bz − cy là một nhân tử của RP,Q(y, z).

Hơn nữa nếu [α, β, γ] ∈ S khác với [a, b, c] ∈ S thì βz − γy khác với vơ hướng nhân
với bz − cy, vì nếu ngược lại thì [a, b, c], [α, β, γ] và [1, 0, 0] đều nằm trên đường thẳng
trong P2 định nghĩa bởi

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

điều này mâu thuẫn với giả thiết với [1, 0, 0]. Điều này chứng tỏ RP,Q(y, z) có ít nhất

nm + 1 nhân tử tuyến tính phân biệt, do đó nó phải đồng nhất bằng không. Theo bổ

đề 3.4 điều này suy ra C và D có thành phần chung.
Áp dụng hai định lý này ta có các kết quả sau đây.

Hệ quả 3.10. (i) Mỗi đường cong xạ ảnh trơn C trong P2 luôn luôn bất khả qui.

(ii) Mỗi đường cong xạ ảnh C trong P2 có nhiều nhất hữu hạn điểm kì dị.

Chứng minh. (i) Giả sử

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z)Q(x, y, z) = 0}

là một đường cong xạ ảnh khả qui trong P2. Theo định lý 3.8 tồn tại ít nhất một
điểm [a, b, c] ∈ P2 sao cho

P (a, b, c) = 0 = Q(a, b, c).

Dễ dàng kiểm tra được rằng [a, b, c] là điểm kì dị của C.

(ii) Giả sử C định nghĩa bởi đa thức thuần nhất P (x, y, z) bậc n. Không mất tổng
quát giả sử [1, 0, 0] khơng thuộc C vì thế hệ số P (1, 0, 0) của xn trong P (x, y, z) khác

không. Điều này đảm bảo cho

Q(x, y, z) = ∂P

∂x(x, y, z)

là một đa thức thuần nhất bậc n − 1 và không đồng nhất bằng không, do đó nó xác
định một đường cong D trong P2. Do C bất khả qui và bậc của D bé hơn bậc của C
nên C và D khơng thể có thành phần chung. Theo định lý Bézout C và D giao nhau
nhiều nhất tại n(n − 1) điểm. Do mọi điểm kì dị của C đều nằm trong C ∩ D ta có
điều phải chứng minh.

Định nghĩa 3.11. Đường cong có bậc bằng hai trong C2 hay P

2 được gọi là cônic.
Hệ quả 3.12. Mỗi đường cônic xạ ảnh bất khả qui C trong P2tương đương với cônic

(sai khác một phép biến đổi xạ ảnh)

x2 = yz

và do đó khơng có kì dị.

Chứng minh. Theo hệ quả 3.10, C có nhiều nhất hữu hạn điểm kì dị. Do đó bằng

một phép biến đổi xạ ảnh thích hợp có thể giả thiết [0, 1, 0] là điểm trơn của C và
tiếp tuyến với C tại [0, 1, 0] là đường thẳng z = 0. Khi đó đa thức định nghĩa của C
phải có dạng

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

với các số phức a, b, c, d nào đó. Do C bất khả qui, nên a và b không đồng thời bằng
không. Phép biến đổi xạ ảnh

[x, y, z] 7→ [√bx, ay + cx + dz, −z]

biến C thành cônic x2 = yz. Do cônic này trơn nên C cũng trơn.

Nhận xét 3.13. Giả sử C là cônic trơn định nghĩa bởi
x2 = yz

trong P2. Ta có một đồng phơi f : P1 → C xác định bởi

f [x, y] = [xy, y2, x2]
với ánh xạ ngược g : C → P1 xác định bởi

g[x, y, z] =





[x, y] nếu y 6= 0
[z, x] nếu z 6= 0.

(Chú ý rằng nếu [x, y, z] ∈ C thì x2 = yz, vì vậy nếu y 6= 0 6= z thì x 6= 0 và
[x, y] = [x2, xy] = [yz, xy] = [z, x]).

Vì vậy theo hệ quả 3.12 mọi cônic xạ ảnh bất khả qui trong P2 đều đồng phôi với P1.
Kết quả sau đây là một ứng dụng khác của định lý Bézout.

Mệnh đề 3.14. Giả sử hai đường cong xạ ảnh C và D bậc n và m trong P2 giao

nhau tại đúng n2 điểm và giả sử có đúng nm điểm trong số các điểm này nằm trên

một đường cong bất khả qui E có bậc m < n, khi đó n(n − m) điểm còn lại nằm trên
một đường cong bậc ít nhất bằng n − m.

Chứng minh. Giả sử C, D và E định nghĩa tương ứng bởi các đa thức thuần nhất
P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z).

Chọn một điểm [a, b, c] trên E nhưng khơng thuộc C ∩ D. Khi đó đường cong bậc n
định nghĩa bởi

λP (x, y, z) + µQ(x, y, z)

trong đó

λ = Q(a, b, c), µ = −P (a, b, c),

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

đường cong này và E phải có thành phần chung, thành phần chung phải là E vì E
bất khả qui. Vì vậy

λP (x, y, z) + µQ(x, y, z) = R(x, y, z)S(x, y, z)

với đa thức thuần nhất khác hằng số S(x, y, z) có bậc n − m nào đó. Do đó nếu
[u, v, w] ∈ C ∩ D thì hoặc R(u, v, w) = 0 hoặc S(u, v, w) = 0. Vì vậy n(n − m) điểm
của C ∩ D không nằm trên E thì tất cả đều nằm trên đường cong định nghĩa bởi

S(x, y, z).

Hệ quả 3.15. Các cặp cạnh đối của một hình lục giác nội tiếp trong một cơnic trong
P2 cắt nhau tại ba điểm cộng tuyến.

Nhận xét 3.16. Kết quả này có thể hiểu như sau. Một hình lục giác trong P2 xác
định bởi sáu điểm phân biệt p1, ..., p6 trong P2 (là các đỉnh của nó) và các cạnh của
nó là các đường thẳng trong P2 nối p1 với p2, p2 với p3, p3 với p4, p4 với p5 và p5 với

p6. Cạnh đối của đường thẳng nối p1 với p2 là đường thẳng nối p4 với p5 và v.v. Hình
lục giác được gọi là nội tiếp trong một cônic nếu tất cả các cạnh của nó đều nằm
trên cơnic. Ba điểm trong P2 được gọi là cộng tuyến nếu chúng nằm trên một đường
thẳng nào đó trong P2.

Chứng minh. Giả sử các cạnh của hình lục giác là các đường thẳng lần lượt định

nghĩa bởi các đa thức tuyến tính L1, ..., L6 biến x, y, z. Hai đường cong xạ ảnh bậc
ba định nghĩa bởi L1L3L5 và L2L4L6 giao nhau tại sáu đỉnh của hình lục giác và ba
điểm giao của các cặp cạnh đối của hình lục giác. Áp dụng mệnh đề 3.14 ta có ngay
điều cần chứng minh.

Nhận xét 3.17. Nếu chúng ta giả sử cônic được định nghĩa bởi một đa thức với các

hệ số thực và các đỉnh của hình lục giác đều nằm trong tập con R2 của C2 ⊂ P
2 thì
chúng ta sẽ thu được một định lý về hình học Euclid thực (hình vẽ ??).

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Để chứng minh dạng mạnh hơn 3.1 của định lý Bézout, trước hết ta định nghĩa
bội giao Ip(C, D) tại điểm p = [a, b, c] của hai đường cong C và D trong P2. Chúng ta
sẽ định nghĩa bội giao qua kết thức của hai đa thức f (x, y, z) và g(x, y, z) xác định

C và D trong một hệ tọa độ thích hợp. Để chứng minh định nghĩa khơng phụ thuộc

việc chọn tọa độ chúng ta sẽ chứng tỏ nó xác định duy nhất thơng qua các tính chất
liệt kê trong định lý sau đây.

Định lý 3.18. Tồn tại duy nhất bội giao Ip(C, D) định nghĩa cho tất cả các đường

cong xạ ảnh C và D trong P2 thỏa mãn các tính chất (i)-(vi) sau đây:

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

(ii) Ip(C, D) = ∞ nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D, cịn ngược lại

thì nó là một số ngun khơng âm.
(iii) Ip(C, D) = 0 khi và chỉ khi p /∈ C ∩ D.

(iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất, tại đó có bội giao
bằng 1.

(v) Nếu C1 và C2 định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P1(x, y, z) và P2(x, y, z) và

C xác định bởi

P (x, y, z) = P1(x, y, z)P2(x, y, z)

thì

Ip(C, D) = Ip(C1, D) + Ip(C2, D).

(vi) Nếu C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z) bậc
n và m, và E định nghĩa bởi P R + Q, trong đó R(x, y, z) là đa thức thuần nhất
bấc m − n thì

Ip(C, D) = Ip(C, E).

Hơn nữa nếu C và D khơng có thành phần chung và ta có thể chọn hệ tọa độ xạ ảnh
sao cho các điều kiện

(a) [1, 0, 0] không thuộc C ∪ D;

(b) [1, 0, 0] không nằm trên đường thẳng nào nối hai điểm phân biệt bất kỳ của
C ∩ D;

(c) [1, 0, 0] không nằm trên đường tiếp tuyến của C hay D tại bất kỳ điểm nào của
C ∩ D;

thỏa mãn thì bội giao Ip(C, D) của C và D tại bất kỳ điểm

p = [a, b, c] ∈ C ∩ D

là số nguyên k lớn nhất sao cho (bz − cy)kchia hết kết thức R

P,Q(y, z).

Nhận xét 3.19. Nghiên cứu một cách cẩn thận chứng minh tính duy nhất trong định

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

Chứng minh định lý ?? Để đơn giản cho kí hiệu trong chứng minh này ta viết

Ip(P, Q) thay cho Ip(C, D) với P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất định

nghĩa các đường cong C và D.

Trước hết chúng ta sẽ chứng minh bội giao Ip(P, Q) có thể tính chỉ cần sử dụng các

điều kiện (i)-(vi), như thế các điều kiện này hoàn toàn xác định Ip(P, Q). Do các điều

kiện không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ, chúng ta có thể giả sử p = [0, 0, 1].
Hơn nữa do các điều kiện (i) và (iv) có thể giả sử P và Q bất khả qui, với điều kiện
(ii) có thể giả sử Ip(P, Q) hữu hạn, và Ip(P, Q) = k > 0 do (iii). Cuối cùng bằng qui

nạp theo k, giả sử mỗi bội giao bé hơn k có thể tính được qua các điều kiện (i)-(vi).
Xét các đa thức P (x, 0, 1) và Q(x, 0, 1) theo x; chúng có bậc tương ứng bằng r và s.
Do (i) có thể coi r ≤ s. Có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: r = 0. Trường hợp này P (x, 0, 1) là hằng số và do đó nó bằng khơng

vì P (0, 0, 1) = 0. Do P (x, y, z) là đa thức thuần nhất suy ra P (x, 0, z) đồng nhất
khơng, do đó

P (x, y, z) = yR(x, y, z)

với R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất. Hơn nữa ta có thể viết

Q(x, y, z) = Q(x, 0, z) + yS(x, y, z) = xqT (x, z) + yS(x, y, z)

với các đa thức thuần nhất T (x, z) và S(x, y, z sao cho T (0, 1) khác không, và q là một
số nguyên do Q(0, 0, 1) = 0. Chú ý điều kiện T (0, 1) 6= 0 nghĩa là điểm p = [0, 0, 1]
không nằm trên đường cong xác định bởi T (x, z) = 0, vì vậy theo (iii) ta có

Ip(y, T (x, z)) = 0,

trong khi từ (iv) ta có

Ip(y, x) = 1.

Kết hợp những thông tin này ta thu được

Ip(P, Q) = Ip(R, Q) + Ip(y, Q),

từ (vi) ta nhận được

Ip(y, Q) = Ip(y, xqT (x.z))

và lần lượt dùng (v) và (ii) ta có

Ip(y, xqT (x.z)) = qIp(y, x) + Ip(y, T (x, z)) = q.

Do đó

Ip(P, Q) = Ip(R, Q) + q,

và do q > 0 theo giả thiết qui nạp ta có Ip(R, Q) có thể tính được dựa vào các điều

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

Trường hợp 2: r > 0. Trong trường hợp này chúng ta có thể nhân P (x, y, z) và
Q(x, y, z) với các hằng số để có P (x, 0, 1) và Q(x, 0, 1) là các đa thức lỏi2. Nếu n và m
là bậc của P (x, y, z) và Q(x, y, z), ta xét đa thức

S(x, y, z) = zn+s−rQ(x, y, z) − xs−rzmP (x, y, z).

Đây là đa thức thuần nhất theo x, y, z sao cho đa thức

S(x, 0, 1) = Q(x, 0, 1) − xs−rP (x, 0, 1)

theo x có bậc t nhỏ hơn hẳn s. Chú ý S(x, y, z) khơng đồng nhất khơng vì P (x, y, z)
và Q(x, y, z) là các đa thức bất khả qui và phân biệt. Hơn nữa theo (i), (v) và (vi) ta
có

Ip(P, S) = Ip(P, zn+s−rQ) = Ip(P, Q).

Thay P và Q bởi P và S (hoặc bởi S và P nếu t < r). Sau khi lặp lại quá trình này
một số hữu hạn bước chúng ta sẽ đưa về Trường hợp 1.

Ta đã chứng minh xong tính duy nhất. Để chứng minh sự tồn tại, chúng ta định
nghĩa bội giao như sau:

• Nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D thì Ip(C, D) = ∞.

• Nếu p khơng nằm trên C ∩ D thì Ip(C, D) = 0.

• Nếu p nằm trên C ∩ D nhưng không nằm trên một thành chung nào của C và
D, trước hết ta bỏ đi những thành phần chung của C và D và chọn hệ tọa độ

sao cho các điều kiện (a)-(c) thỏa mãn. Nếu p = [a, b, c] trong hệ tọa độ này thì

Ip(C, D) là số nguyên lớn nhất k sao cho (bz − cy)k chia hết kết thức RP,Q(y, z)

của P và Q đối với x.

Phần còn lại là chứng minh các điều kiện (i)-(vi).

(i) là hệ quả trực tiếp của tính chất định thức của một ma trận đổi dấu khi chuyển
chỗ hai hàng cho nhau, do đó

RP,Q(y, z) = RQ,P(y, z).

(ii) được suy ra từ định nghĩa và bổ đề 3.4.

(iii) là dễ dàng. Nếu p = [a, b, c] ∈ C ∩ D thì các đa thức P (x, b, c) và Q(x, b, c) có

a là một nghiệm chung, theo bổ đề 3.4 đa thức thuần nhất RP,Q(y, z) triệt tiêu khi

y = b và z = c. Do đó nó chia hết cho bz − cy, vậy Ip(C, D) > 0.

(iv) là tính tốn trực tiếp của các định thức 2 × 2.
(v) suy ra trực tiếp từ bổ đề 3.6.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

(vi) là đúng do định thức của một ma trận không thay đổi nếu ta cộng vào một
hàng bởi tích của một vơ hướng với một hàng khác. Kết thức của P và P R + Q là
định thức của một ma trận (sij) thu được từ ma trận (rij) xác định RP,Q(y, z), bằng

cách nhân với các vơ hướng thích hợp với n hàng đầu tiên rồi cộng vào m hàng cuối
cùng. Cụ thể hơn, nếu

R(x, y, z) = ρ0(y, z) + ρ1(y, z)x + ... + ρn−m(y, z)xn−m

thì

sij =





rij nếu i ≤ m

rij+

Pi−n

k=i−mρi−n−krkj nếu i > m

như thế

RP,P R+Q(y, z) = det(sij) = det(rij) = RP,Q(y, z).

Chúng ta kết thúc việc chứng minh định lý và định nghĩa của bội giao Ip(C, D). Ô

Nhn xột 3.20. Trong phn chng minh tớnh duy nhất ta thấy việc tính tốn bội

giao khơng có gì khó. Nó chỉ bao gồm các tính tốn số học của các đa thức.

Nhận xét 3.21. Theo (iii) và (v) bội giao Ip(C, D) chỉ phụ thuộc vào các thành phần

chứa p của C và D.

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý 3.1, dạng mạnh của định lý Bézout.
Chứng minh định lý 3.1. Giả sử C và D là các đường cong xạ ảnh bậc n và m
trong P2 khơng có thành phần chung. Chúng ta phải chứng minh số các giao điểm
kể cả bội bằng nm, nghĩa là

p∈C∩D

Ip(C, D) = nm.

Chúng ta có thể chọn hệ tọa độ để các điều kiện (a)-(c) trong định lý 3.18 thỏa mãn.
Giả sử C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z) trong hệ
tọa độ này. Theo các bổ đề 3.4 và 3.7 kết thức RP,Q(y, z) là một đa thức thuần nhất

bậc nm với hai biến y và z, khơng đồng nhất bằng khơng, vì vậy theo bổ đề 2.8 nó
có thể phân tích thành tích của nm thừa số tuyến tính, chẳng hạn

RP,Q(y, z) =
k

i=1

(ciz − biy)ei,

trong đó mỗi ei là một số nguyên,

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

và (bi, ci) khác tích một vơ hướng với (bj, cj) với i 6= j. Thep lập luận như trong các

định lý 3.8 và 3.9 tồn tại duy nhất các số phức ai sao cho

C ∩ D = {pi : 1 ≤ i ≤ k}

trong đó pi = [ai, bi, ci], và

Ipi(C, D) = ei.

Từ đó ta có điều phải chng minh. Ô

Chỳng ta cú th xỏc nh khi no thì bội giao Ip(C, D) bằng một.

Mệnh đề 3.22. Giả sử C và D là các đường cong xạ ảnh trong P2 và p là một điểm

tùy ý trong P2. Khi đó Ip(C, D) = 1 khi và chỉ khi p là một điểm trơn của C và D và

các tiếp tuyến của C và D tại p phân biệt.

Nhận xét 3.23. Chúng ta có thể chứng minh khẳng định tổng quát hơn, đó là
Ip(C, D) ≥ mp(C)mp(D)

trong đó mp(C) và mp(C) là số bội của C và D tại p định nghĩa như trong bài tập

2.8, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C và D khơng có tiếp tuyến chung.
Để chứng minh mệnh đề 3.22, trước hết ta cần chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 3.24. Nếu p ∈ C ∩ D là một điểm kì dị của C thì Ip(C, D) > 1.

Chứng minh. Giả sử C và D khơng có thành phần chung, do đó ta có thể chọn

hệ tọa độ sao cho p = [0, 0, 1] và các điều kiện (a)-(c) của định lý 3.18 thỏa mãn.
Chúng ta muốn chứng tỏ y2 chia hết kết thức R

P,Q(y, z) của các đa thức P (x, y, z) và

Q(x, y, z) định nghĩa C và D. Do p ∈ Sing(C), ta có
∂P

∂x(0, 0, 1) =

∂P

∂y(0, 0, 1) = P (0, 0, 1) = 0.

Do đó P (x, y, z) là tổng của các đơn thức biến x và y bậc bằng hai trở lên; tức là

P (x, y, z) = a0(y, z) + a1(y, z)x + ... + an(y, z)xn

trong đó y2 chia hết a

0(y, z) và y chia hết a1(y, z). Vì Q(0, 0, 1) = 0 nên

Q(x, y, z) = b0(y, z) + b1(y, z)x + ... + bm(y, z)xm

trong đó y chia hết b0(y, z). Do đó chúng ta có thể viết

b0(y, z) = b01yzm−1+ y2c0(y, z),
và

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

với c0(y, z) và c1(y, z) là các đa thức thuần nhất. Nếu b01 = 0 thì ma trận xác định

RP,Q(y, z) có cột đầu tiên chia hết cho y2 do đó y2 chia hết RP,Q(y, z). Nếu b016= 0 thì
cột đầu tiên này chia hết cho y; nếu chúng ta tách ra thừa số y này và trừ b10/b01
lần cột thứ nhất từ cột thứ hai thì cột thứ hai chia hết cho y. Do đó chúng ta lại có

y2 chia hết R

P,Q(y, z)

Chứng minh mệnh đề 3.22 Chúng ta có thể giả sử p thuộc C ∩ D và thêm nữa C
và D khơng có thành phần chung. Vì thế chúng ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho các
điều kiện (a)-(c) của định lý 3.18 thỏa mãn và p = [0, 0, 1]. Theo hệ quả 3.10 chúng
ta có thể giả thiết p là điểm trơn của C và D. Giả sử P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa
thức định nghĩa C và D. Chúng ta sẽ chứng tỏ các tiếp tuyến của C và D tại p trùng
nhau khi và chỉ khi y2 chia hết kết thức R

P,Q(y, z), hay tương đương, khi và chỉ khi

∂RP,Q

∂y (0, 1) = 0

vì RP,Q(y, z) là đa thức thuần nhất và chia hết cho y.

Theo (c) của định lý 3.18, điểm [1, 0, 0] không nằm trên tiếp tuyến

x∂P

∂x(0, 0, 1) + y
∂P

∂y(0, 0, 1) + z
∂P

∂z(0, 0, 1) = 0

của C tại p = [0, 0, 1], vì vậy

∂P

∂x(0, 0, 1) 6= 0. (3.1)

Vì vậy theo định lý hàm ẩn cho các đa thức biến phức (xem Phụ lục B), áp dụng cho
đa thức P (x, y, 1) theo x và y, tồn tại một hàm chỉnh hình λ1 : U → V trong đó U và

V là các lân cận mở của 0 trong C sao cho
λ1(0) = 0
và nếu x ∈ V và y ∈ U thì

P (x, y, 1) = 0

khi và chỉ khi

x = λ1(y).
Hơn nữa

P (x, y, 1) = (x − λ1(y))l(x, y)

trong đó l(x, y) là đa thức theo x với các hệ số là các hàm chỉnh hình theo y. Nếu
chúng ta có thể giả sử (điều này là có thể) hệ số P (1, 0, 0) của xntrong P (x, y, z) bằng

một thì

l(x, y) =

n

i=2

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

trong đó λ1(y), ..., λn(y) là các nghiệm của P (x, y, 1), được xem như là đa thức theo x

với y đã cố định. Tương tự, nếu U và V được chọn đủ nhỏ thì tồn tại một hàm chỉnh
hình µ1 : U → V sao cho

µ1(0) = 0
và chúng ta có thể viết

Q(x, y, 1) = (x − µ1(y))m(x, y)
trong đó

m(x, y) =

m

i=2

(x − µi(y))

là một đa thức theo x với các hệ số là các hàm chỉnh hình theo y. Khi đó các tiếp
tuyến của C và D tại p = [0, 0, 1] được định nghĩa bởi phương trình

x = λ0

1(0)y
và

x = µ0

1(0)y.
Nếu y ∈ U thì theo bổ đề 3.6

RP,Q(y, 1) = (µ1(y) − λ1(y))S(y) (3.2)
trong đó

S(y) = Y

(i,j)6=(1,1)

(µi(y) − λj(y)).

Chú ý S(y) là tích của các kết thức của các cặp đa thức l(x, y) và m(x, y), l(x, y) và

x − µ1(y), và m(x, y) và x − λ1(y). Do đó S(y) là một hàm chỉnh hình theo y ∈ U.
Do λ1(0) = 0 = µ1(0), lấy đạo hàm phương trình 3.2, ta thu được

RP,Q

∂y (0, 1) = (µ

0

1(0) − λ01(0))S(0).

Theo bất đẳng thức 3.1 thì đa thức P (x, 0, 1) khơng có nghiệm bội tại 0, do đó nếu

i > 1 thì

λi(0) 6= 0 = µ1(0)
và tương tự

µi(0) 6= 0 = λ1(0).

Hơn nữa nếu λi(0) = µj(0) với i, j > 1 nào đó thì [0, 0, 1] và

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

là các điểm phân biệt của C ∩ D và đều nằm trên đường thẳng y = 0, điều này mâu
thuẫn với điều kiện (b) của định lý 3.18. Do đó

S(0) 6= 0.

Vậy

∂RP,Q

∂y (0, 1) = 0

khi và chỉ khi

λ0

1(0) = µ01(0),

tức là Ip(C, D) > 1 khi và chỉ khi các tiếp tuyến của C và D tại p trựng nhau. Ô

H qu 3.25. Gi s C v D là các đường cong xạ ảnh trong P2 có bậc bằng n và m.

Giả sử mỗi điểm p ∈ C ∩ D đều là điểm trơn của C và của D, và tiếp tuyến của C và
D tại p phân biệt. Khi đó giao C ∩ D bao gồm nm điểm.

Chứng minh. Từ định lý 3.1 và mệnh đề 3.22 ta có ngay khẳng định.

Nhận xét 3.26. Chú ý các điều kiện của hệ quả này không bao giờ thỏa mãn nếu

ít nhất một đa thức định nghĩa của C và D là P (x, y, z) và Q(x, y, z) có thừa số bội.
Chẳng hạn P (x, y, z) = A(x, y, z)2B(x, y, z) trong đó A(x, y, z) là một đa thức bất khả
qui khác hằng số. Khi đó đường cong định nghĩa bởi A(x, y, z) cắt D tại ít nhất một
điểm p. Dễ dàng kiểm tra được p ∈ C ∩ D và tất cả các đạo hàm riêng của P triệt
tiêu tại p.

Chúng ta sẽ kết thúc tiết này bởi các chứng minh cho các bổ đề 3.3-3.7.
Chứng minh bổ đề 3.3. Giả sử

P (x) = a0+ a1x + ... + anxn

và

Q(x) = b0+ b1x + ... + bmxm

là các đa thức bậc n và m theo x. Khi đó P (x) và Q(x) có một nhân tử chung khác
hằng R(x) khi và chỉ khi tồn tại các đa thức φ(x) và ψ(x) sao cho

P (x) = R(x)φ(x), Q(x) = R(x)ψ(x).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại các đa thức khác không

φ(x) = α0+ α1x + ... + αn−1xn−1

và

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT

có bậc nhiều nhất bằng n − 1 và m − 1, sao cho

P (x)ψ(x) = Q(x)φ(x).

Cân bằng các hệ số của xj với 0 ≤ j ≤ mn − 1 trong phương trình này, ta thu được

α0β0 = β0α0

α0β1+ α1β0 = β1α0+ β0α1

...
αnβm−1 =

Sự tồn tại của một nghiệm khác khơng

(α0, ..., αn−1, β0, ..., βm−1)

của các phương trình này tương đương với định thức định nghĩa RP,Q triệt tiờu. Ô

Chng minh b 3.4. Gi s P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất

khác hằng số theo x, y, z có bậc bằng n và m sao cho

P (1, 0, 0) 6= 0 6= Q(1, 0, 0).

Chúng ta có thể giả sử P (1, 0, 0) = 1 = Q(1, 0, 0). Khi đó coi P và Q như là các đa
thức lỏi có bậc n và m theo x với các hệ số trong vành C[y, z] của các đa thức theo y
và z với các hệ số phức. Vành C[y, z] này nằm trong trường C(y, z) của các hàm hữu
tỷ theo y và z, tức là các hàm có dạng

f (y, z)
g(y, z)

trong đó f (y, z) và g(y, z) là các đa thức và g(y, z) không đồng nhất bằng không. Do
C(y, z) là một trường, chứng minh của bổ đề 3.3 chứng tỏ kết thức RP,Q(y, z) đồng

nhất không khi và chỉ khi P (x, y, z) và Q(x, y, z) có một nhân tử chung khác hằng số
khi coi chúng như là các đa thức theo x với các hệ số trong C(y, z). Từ bổ đề Gauss
(xem Phụ lục A), điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P (x, y, z) và Q(x, y, z) có một
nhân tử chung khác hằng số khi coi chúng như là các đa thức theo x với các hệ số
trong C[y, z], hay một cách tương đương, như là các đa thức theo x, y, z với các hệ
số phức. Do bất kỳ một đa thức thừa số của một đa thức thuần nhất là thuần nhất
(xem Phụ lục A) ta suy ra điều phải chứng minh. ¤

Chứng minh bổ đề 3.6. Nếu chúng ta coi

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

3.1. ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

và

Q(x) = (x − µ1)...(x − µm)

như là các đa thức thuần nhất theo x, λ1, ..., λn và µ1, ..., µm thì chứng minh của bổ

đề 3.7 chứng tỏ kết thức RP,Q là một đa thức thuần nhất bậc nm theo các biến

λ1, ..., λn, µ1, ..., µm.

Hơn nữa theo bổ đề 3.3 đa thức này triệt tiêu nếu λi = µj với bất kỳ 1 ≤ i ≤ n và

1 ≤ j ≤ m, vì vậy nó chia hết cho
Y
1≤i≤n,1≤j≤m

(µi− λj).

Do đây cũng là một đa thức thuần nhất bậc nm theo λ1, ..., λn, µ1, ..., µm, nên nó phải

bằng tích của một vơ hướng với RP,Q. Dễ dàng kiểm tra được nếu

µ1 = ... = µm = 0,

tức là Q(x) = xm, thì

RP,Q =
n

i=1

(−λi)m.

Do đó chúng ta phải có

RP,Q=

i,j

(µi− λj).

Từ đó suy ra ngay rằng

RP,QR = RP,QRP,R

với mọi đa thức P, Q, R theo x. Do đó nếu P, Q, R là các đa thức theo x, y, z thì

RP,QR(b, c) = RP,Q(b, c)RP,R(b, c)

với mọi b, c ∈ C, và vì vậy

RP,QR(y, z) = RP,Q(y, z)RP,R(y, z)

nh yờu cu. Ô

Chng minh b 3.7. Theo định nghĩa, kết thức RP,Q(y, z) của các đa thức thuần

nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z) bậc n và m là định thức của ma trận (n + m) × (n + m)
với phần tử hàng i cột j là một đa thức thuần nhất rij(y, z) theo y và z bậc dij xác

định bởi

dij =





n + i − j nếu 1 ≤ i ≤ m

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BA

Khi đó RP,Q(y, z) là tổng của các số hạng có dạng

±

n+mX
i=1

riσ(i)(y, z)

trong đó σ là một hoán vị của {1, ..., n + m}. Mỗi một số hạng như thế là một đa thức
thuần nhất có bậc bằng

n+mX
i=1

diσ(i) =
m

i=1

(n + i − σ(i)) +

m+nX
i=m+1

(i − σ(i))
= nm +

m+nX
i=1

i −

m+nX
i=1

σ(i)

= nm.

Do đó RP,Q(y, z) là một đa thức thuần nhất bậc nm theo y v z. Ô

3.2 im un v cỏc ng cong bc ba

Khái niệm điểm uốn của một đường cong C là một tổng qt hóa của định nghĩa

thơng thường về điểm uốn của đồ thị của một hàm số (tức là, điểm mà đạo hàm cấp
hai triệt tiêu). Chúng ta sẽ thấy mọi đường cong xạ ảnh trơn có bậc lớn hơn hoặc
bằng hai có ít nhất một và nhiều nhất hữu hạn điểm uốn. Như là một hệ quả chúng
ta sẽ chứng tỏ mọi đường cong xạ ảnh trơn bậc ba có thể đưa về dạng

y2z = x(x − z)(x − λz)

với λ ∈ C \ {0, 1} nào đó. Chúng ta cũng sẽ bắt đầu khảo sát một cấu trúc nhóm
aben tự nhiên trên một đường cong trơn bậc ba, và mối quan hệ của nó với các điểm
uốn trên đường cong.

Định nghĩa 3.27. Giả sử P (x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d. Khi đó Hessian

HP của P là đa thức được định nghĩa bởi

HP = det





Pxx Pxy Pxz

Pyx Pyy Pyz

Pzx Pzy Pzz





trong đó

Px =

∂P

∂x, Pxx =
∂2P

∂x2, Pxy =

∂2P

∂x∂y, v.v.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BACHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

Định nghĩa 3.29. Một điểm trơn [a, b, c] của đường cong xạ ảnh C trong P2 định
nghĩa bởi P (x, y, z) được gọi là một điểm uốn của C nếu

HP(a, b, c) = 0.

Để thấy được mối quan hệ giữa định nghĩa này với định nghĩa thông thường của
một điểm uốn trên một đồ thị, ta cần bổ đề dưới đây.

Bổ đề 3.30. Nếu P (x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d thì

z2H

P(x, y, z) = (n − 1)2det





Pxx Pxy Px

Pyx Pyy Py

Px Py dP/(d − 1)



 .

Nhận xét 3.31. Khi đạo hàm riêng ∂P

∂y khác khơng, từ phương trình

P (x, y, 1) = 0

có y là một hàm chỉnh hình theo x ở địa phương (định lý hàm ẩn trong Phụ lục B).
Lấy đạo hàm phương trình này hai lần theo x thu được

∂P
∂x +

dy
dx

∂P
∂y = 0,

tức là

dy
dx = −

∂P
∂x

.∂P

∂y

và vì vậy

∂2P

∂x2 +
³ dy

dx

´2∂2P

∂y2 + 2

dy
dx

∂2P

∂x∂y +
d2y

dx2

∂P
∂y = 0,

tức là

d2y

dx2 =

2PxPyPxy − (Py)2Pxy− (Px)2Pyy

(Py)3

= (Py)−3det





Pxx Pxy Px

Pyx Pyy Py

Px Py 0



 .

Do đó từ bổ đề ta có nếu d > 1 thì

d2y

dx2 =

HP(x, y, 1)

(y − 1)2(P

y)3

.

Đặc biệt nếu P (a, b, 1) = 0 6= Py(a, b, 1) thì [a, b, 1] là một điểm uốn của C khi và

chỉ khi ddx2y2 triệt tiêu tại a, trong đó y được coi như là một hàm theo x xác định bởi

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BA

Bổ đề 3.32. Giả sử

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z)}

là một đường cong xạ ảnh bất khả qui bậc d. Khi đó mọi điểm của C là điểm uốn
khi và chỉ khi d = 1.

Chứng minh. Giả sử mọi điểm của C đều là điểm uốn. Bằng một phép biến đổi xạ

ảnh thích hợp ta có thể giả sử

P (0, 0, 1) = 0 6= ∂P

∂y(0, 0, 1).

Khi đó áp dụng định lý hàm ẩn (xem Phụ lục A) cho đa thức P (x, y, 1) theo x và y,
tồn tại một hàm chỉnh hình g : U → V , trong đó U và V là các lân cận mở của 0
trong C, sao cho g(0) = 0 và nếu x ∈ U và y ∈ V thì

P (x, y, 1) = 0

khi và chỉ khi

y = g(x).

Chúng ta có thể giả sử U liên thơng và Py(x, y, 1) 6= 0 với x ∈ U và y ∈ V . Do mỗi

điểm của C là một điểm uốn, theo nhận xét 3.31 ta có

g00(x) = 0

với mọi x ∈ U. Vì g(0) = 0 điều này có nghĩa tồn tại λ ∈ C nào đó sao cho

g(x) = λx

với mọi x ∈ U, do đó đa thức P (x, λx, 1) theo x là đồng nhất khơng. Vì P (x, y, z)
thuần nhất nên bằng các đồng nhất các hệ số của xj trong P (x, λx, 1) với khơng, ta

có P (x, y, z) chia hết cho y − λx. Nhưng C bất khả qui do đó P (x, y, z) phải bằng tích
của một vô hướng với y − λx. Vậy P (x, y, z) có bậc d = 1.

Chiều ngược lại là rõ ràng, ta kết thúc chứng minh.

Mệnh đề 3.33. Giả sử C là một đường cong xạ ảnh trơn trong P2 bậc d

(i) Nếu d ≥ 2 thì C có nhiều nhất 3d(d − 2) điểm uốn.
(ii) Nếu d ≥ 3 thì C có ít nhất một điểm uốn.

Chứng minh. Theo nhận xét 3.28 HP là đa thức thuần nhất bậc 3(d − 2), nên nó

khác hằng số (khi d > 2 có nghĩa nó khơng đồng nhất khơng), nó xác định một
đường cong xạ ảnh trong P2 theo nghĩa tổng quát như các nhận xét 2.3 và 2.25. Do
toàn bộ §3.1 áp dụng được cho các đường cong với nghĩa tổng quát, nên kết quả được
suy ra từ các dạng 3.8 và 3.9 của định lý Bézout nếu chúng ta chỉ ra rằng P và HP

khơng có nhân tử chung khác hằng nếu d > 1. Do một đường cong trơn là bất khả
qui (từ hệ quả 3.10(i)), nên nếu P và HP có một nhân tử chung khác hằng thì P chia

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BACHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

Hệ quả 3.34. Giả sử C là một đường cong xạ ảnh bậc ba trơn trong P2. Khi đó C

tương đương xạ ảnh với đường cong định nghĩa bởi

y2z = x(x − z)(x − λz)
với λ ∈ C \ {0, 1} nào đó.

Chứng minh. Theo mệnh đề 3.33 C có một điểm uốn. Bằng một phép biến đổi xạ

ảnh thích hợp ta có thể giả sử [0, 1, 0] là một điểm uốn của C và tiếp tuyến của C tại
điểm này là đường thẳng z = 0. Khi đó C xác định bởi một đa thức thuần nhất bậc
ba P (x, y, z) sao cho

P (1, 0, 1) = 0 = ∂P

∂x(1, 0, 1) =
∂P

∂y(1, 0, 1) = HP(0, 1, 0).

Ngồi ra

∂P

∂x(0, 1, 0) 6= 0

vì C trơn. Áp dụng bổ đề 3.31 với vai trò của y và z ngược lại, ta có

y2HP(x, y, z) = 4 det





Pxx Px Pxz

Px 32P Pz

Pzx Pz Pzz





do đó

0 = HP(0, 1, 0) = 4 det





Pxx 0 Pxz

0 0 Pz

Pzx Pz Pzz




 = −4(Pz)2Pxx,

trong đó các đạo hàm riêng lấy giá trị tại (0, 1, 0). Vì vậy

Pxx(0, 1, 0) = 0

và do đó

P (x, y, z) = yz(αx + βy + γz) + φ(x, z)

trong đó φ(x, z) là đa thức thuần nhất bậc ba theo x và z và

β = ∂P

∂z (0, 1, 0) 6= 0.

Sau khi thực hiện phép biến đổi xạ ảnh cho bởi
[x, y, z] 7→ [x, y +αx + γz

2β , z],
đường cong C xác định bởi phương trình

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BA

trong đó ψ(x, z) là một đa thức thuần nhất bậc ba theo x và z, và vì thế nó bằng tích
của ba nhân tử tuyến tính. Do C trơn nên nó phải bất khả qui (theo hệ quả 3.10(i)),
và do đó ψ(x, z) khơng chia hết cho z nên hệ số của x3 trong ψ(x, z) khác khơng. Vì
thế sau sau một phép biến đổi xạ ảnh (đường chéo) thích hợp C xác định bởi phương
trình

y2z = (x − az)(x − bz)(x − cz)

với a, b, c ∈ C nào đó. Do a, b, c phân biệt (nếu khơng C sẽ có kì dị) chúng ta có thể

thực hiện phép biến đổi xạ ảnh

[x, y, z] 7→ [x − az

b − a , νy, z]

trong đó ν ∈ C thỏa mãn

ν2 = (b − a)−3

để đưa C về dạng

y2z = x(x − z)(x − λz)
với λ ∈ C \ {0, 1}.

Nhận xét 3.35. Theo chứng minh của hệ quả , nếu p là điểm uốn của một đường

cong xạ ảnh bậc ba trơn C thì tồn tại một phép biến đổi xạ ảnh đưa p đến [0, 1, 0] và
đưa C đến đường cong định nghĩa bởi

y2z = x(x − z)(x − λz)
với λ ∈ C \ {0, 1} nào đó.

Ví dụ 3.36. Áp dụng kết quả trên đây và hệ quả 3.25 của định lý Bézout chúng ta

sẽ chứng tỏ đường cong bậc ba C trơn trong P2 có chính xác chín điểm uốn. (Như
vậy chặn trên trong mệnh đề 3.33(ii) đạt được đối với trường hợp đường cong bậc
ba trơn.) Để chứng minh điều này, giả sử C được định nghĩa bởi P (x, y, z) và D là
đường cong xạ ảnh trong P2 xác định bởi Hessian HP(x, y, z). Như nhận xét 3.28 ta

đã biết HP(x, y, z) là đa thức thuần nhất bậc ba; tuy nhiên nó có thể có thành phần

bội như trong chứng minh của mệnh đề 3.33 D có thể xem như là đường cong theo
nghĩa tổng quát của các nhận xét 2.3 và 2.25. Do tồn bộ §3.1 áp dụng được cho các
đường cong với nghĩa tổng quát, nên chỉ cần chứng minh các điều kiện của hệ quả
3.25 thỏa mãn là đủ. Tức là, chúng ta phải chứng minh nếu p ∈ C ∩ D, hay p là
điểm uốn của C, thì p là một điểm trơn của C và của D và các tiếp tuyến của C và

D tại p phân biệt.

Theo nhận xét ở trên ta biết bằng một phép biến đổi xạ ảnh thích hợp chúng ta
có thể giả sử

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BACHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

và

P (x, y, z) = y2z − x(x − z)(x − λz)
với c ∈ C \ {0, 1} nào đó. Ta có

∂P

∂x(0, 1, 0) = 0 =
∂P

∂y(0, 1, 0),
∂P

∂z (0, 1, 0) = 1,
∂HP

∂x (0, 1, 0) = 24,
∂HP

∂y (0, 1, 0) = 0,

và

∂HP

∂z (0, 1, 0) = 8(λ − 1).

Như vậy các điều kiện của hệ quả 3.25 thỏa mãn.

Chúng ta sẽ chứng minh một kết quả có ích về các điểm uốn của đường cong bậc
ba nhu sau:

Bổ đề 3.37. Một đường thẳng L trong P2 cắt một đường cong bậc ba trơn hoặc

(a) tại ba điểm phân biệt p, q, r, tại mỗi điểm với bội giao bằng một (tức là L không
phải là tiếp tuyến của C tại p, q hoặc q); hoặc

(b) tại hai điểm, p với bội giao một và q với bội giao hai (tức là L là tiếp tuyến của
C tại q nhưng không phải tại p, và q không phải là một điểm uốn của C); hoặc

(c) tại một điểm p với bội giao ba (tức là L là tiếp tuyến tại p và p là điểm uốn của
C).

Chứng minh. Kết quả này có thể nhận được từ dạng mạnh 3.1 của định lý Bézout

bằng cách kiểm tra định nghĩa các bội giao xét trong bổ đề trùng với định nghĩa xét
trong định lý 3.18. Mặc dù dài và nhiều lí giải hơn nhưng chúng ta có chứng minh
trực tiếp dưới đây.

Do C bất khả qui (theo hệ quả 3.10(i)) nên nó khơng chứa L, vì vậy chúng ta có
thể giả sử L là đường thẳng xác định bởi

y = 0

và điểm [1, 0, 0] không thuộc C. Giả sử

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.
Khi đó theo bổ đề 2.8 chúng ta có thể phân tích P (x, 0, z) thành

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

CHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BA

với λ1, λ2, λ3 ∈ C và µ ∈ C \ {0}, vì vậy

C ∩ L = {[x, 0, z] ∈ P2 : P (x, 0, z) = 0}
= {[λi, 0, 1] : 1 ≤ i ≤ 3}.

Tiếp tuyến của C tại [λi, 0, 1] xác định bởi

x∂P

∂x[λi, 0, 1] + y
∂P

∂y[λi, 0, 1] + z
∂P

∂z [λi, 0, 1] = 0.

Theo quan hệ Euler (bổ đề 2.32) đường thẳng này là L khi và chỉ khi

∂P

∂x[λi, 0, 1] = 0,

hay một cách tương đương, khi và chỉ khi λi là một nghiệm bội của đa thức

P (x, 0, 1) = µ(x − λ1)(x − λ2)(x − λ3).
Nếu như thế thì theo bổ đề 3.31

HP(λi, 0, 1) = 4 det





Pxx Pxy 0

Pyx Pyy Py

0 Py 0




 = −4(Py)2Pxx

lấy giá trị tại [0, 1, 0], và

∂P

∂y[λi, 0, 1] 6= 0

do C trơn; vì vậy [λi, 0, 1] là một điểm uốn khi và chỉ khi

∂2P

∂x2[λi, 0, 1] = 0,

hay một cách tương đương, khi và chỉ khi λi là một nghiệm bội ba của đa thức

P (x, 0, 1). Ta có điều phải chứng minh.

Chúng ta kết thúc chương này bằng một kết quả rất đẹp nói rằng mỗi đường cong
xạ ảnh bậc ba trơn trong P2có một cấu trúc nhóm aben. Chúng ta khơng hồn tồn
chứng minh đầy đủ ở đây (xem các bài tập 3.13 và 3.14) nhưng sẽ thực hiện ở phần
sau (xem 6.21 và 6.39).

Định lý 3.38. Cho trước một đường cong trơn bậc ba C trong P2 và một điểm uốn p0

trên C, khi đó tồn tại một cấu trúc nhóm cộng duy nhất trên C sao cho p0 là phần tử

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

3.2. ĐIỂM UỐN VÀ CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC BACHƯƠNG 3. CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

Chứng minh. Để kiểm tra tính duy nhất, trước hết chú ý phép cộng có nghich đảo

xác định duy nhất vì −p0 = p0 và nếu p 6= p0 thì −p là giao điểm thứ ba của C và
đường thẳng trong P2 đi qua p và p0. Ngoài ra nếu p, q là các điểm tùy ý của C thì

p + q = −r với r là giao điểm thứ ba của C với đường thẳng trong P2 đi qua p và q
(nếu p 6= q) hoặc với tiếp tuyến của C tại p (nếu p = q). Vì vậy cấu trúc nhóm cộng
được xác định duy nhất.

Phần còn lại chúng ta sẽ chứng tỏ tồn tại một cấu trúc nhóm cộng nhận p0 là
phần tử khơng. Tính giao hốn được suy ra từ định nghĩa của p + q. Với mỗi p ∈ C
sao cho p 6= p0 ta có p + p0 = −r trong đó r là giao điểm thứ ba của C và đường thẳng
trong P2 đi qua p và p0. Điểm r này khác p0 vì p0 là một điểm uốn, do đó −r là giao
điểm của C và đường thẳng trong P2 đi qua r và p0, rõ ràng đó là p. Vì vậy p + p0 = p
nếu p 6= p0, và p0+ p0 = p0do p0 là điểm uốn (như thế tiếp tuyến tại đó cắt C với bội
giao bằng ba tại p0). Từ định nghĩa của phép cộng và nghịch đảo ta dễ dàng chứng
minh được p + (−p) = p0 với mọi p ∈ C. Vì vậy ta chỉ cịn lại chứng minh tính kết
hợp.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Tài liệu tham khảo

[Arbarello & al 85] E. Arbarello, M. Cornalba, P. Griffiths and J. Harris, Topics in

the theory of algebraic curves, Springer-Verlag (1985).

[Arnol’d 86] V.I. Arnol’d, Catastrophe theory, Second Edition, Springer-Verlag
(1986).

[Atiyah-Macdonald 69] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald, Commutative algebra,
Addison-Wesley (1969).

[Beardon 84] A.F. Beardon, A primer on Riemann surfaces, London Math. Soc.

Lec-ture Notes 78, Cambridge (1984).

[Brieskorn & Knăorrer] E. Brieskorn and H. Knăorrer, Plane algebraic curves,
Birkh ăauser-Verlag (1986).

[Chern 80] S.S. Chern, Complex manifolds without potential theory, 
Springer-Verlag, (1980).

[Clemens 80] C.H. Clemens, A scrapbook of complex curve theory, Plenum (1980).
[Coolidge 59] J.L. Coolidge, A treatise on algebraic curves, Dover, (1959).

[Farkas & Kra 80] H. Farkas and I. Kra, Riemann surfaces, Springer-Verlag,
(1980).

[Fulton 69] W. Fulton, Algebraic curves, Benjamin-Cummings, (1969).

[Griffiths 89] P.A. Griffiths, Introduction to algebraic curves, Transaction of 
math-ematical monographs 76, American Mathmath-ematical Society (1989).

[Griffiths-Harris 78] P. A. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry,
Wiley (1978).

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[Herstein 75] I.N. Herstein, Topics in algebra, Wiley (1975).

[Jones 71] B. F. Jones, Rudiments of Riemann surfaces, Rice University (1971).
[Kendig 77] K. Kendig, Elementary algebraic geometry, Springer-Verlag (1977).
[Morrow & Kodaira 71] J. Morrow and K. Kodaira, Complex manifolds, Holt

Rine-hart & Winston (1971).

[Mumford 75] D. Mumford, Curves and their Jacobians, University of Michigan
(1975).

[Mumford 76] D. Mumford, Algebraic geometry I: Complex projective varieties,
Springer-Verlag (1976).

[Priestley] H.A. Priestley, Introduction to complex analysis, Oxford (1985).

[Reid 88] M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, London Math. Soc. Student
Texts 12, Cambridge (1988).

[Semple & Roth 49] J.G. Semple and L. Roth, Introduction to algebraic geometry,
Oxford (1949).

[Shafarevich 74] I.R. Shafarevich, Basic algebraic geometry, Springer-Verlag
(1974).

[Spanier 66] E.H. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill (1966).

[Springer 57] G. Springer, Introduction to Riemann surfaces, Addison-Wesley
(1957).

[Stewart 73] I. Stewart, Galois theory, Chapman & Hall (1973).

[Sutherland 75] W.A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces,
Oxford (1975).

</div>

động cơ bước điện nguyễn đức sinh thư viện tư liệu giáo dục

<b>Mục lục</b>

<b>Chương 2</b>

<b>Nền tảng</b>

<b>2.1 Đường cong phức trong C</b>

<b>2.2 Không gian xạ ảnh phức</b>

<b>2.3 Đường cong xạ ảnh phức trong P</b>

<b>2.4 Đường cong afin và xạ ảnh</b>

<b>Chng 3</b>

<b>Cỏc tớnh cht i số</b>

<b>3.1 Định lý Bézout</b>

<b>3.2 im un v cỏc ng cong bc ba</b>

<b>Tài liệu tham khảo</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về