E 11 - LISTEN UNIT 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét
Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phơng trình

2 ₍ ₁₎ ₅ _{20 0}

<i>x</i> <i>m m</i> <i>x</i> <i>m</i> 

Cã mét nghiÖm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình

<i>x</i>2<i>mx</i> 3 0 (1)

a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân bit.

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

<i>x</i>2 8<i>x m</i>  5 0 (1)
a) Định m để phơng trình cú hai nghim phõn bit.

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của
phơng trình trong trờng hợp này.

Bài tập 4 : Cho phơng tr×nh

(<i>m</i> 4)<i>x</i>2 2<i>mx m</i>  2 0 (1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x = 2.

b) m = ? th× (1) có nghiệm kép.

Bài tập 5 : Cho phơng trình

<i>x</i>2 2(<i>m</i>1)<i>x m</i>  4 0 (1)
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .

c) Giả sử <i>x x</i>1, 2_{là nghiệm của phơng trình (1) CMR : M =}



1 <i>x x</i>2



1



1 <i>x x</i>1

2_{không phụ thuộc m.}
Bài tập 6 : Cho phơng trình

2 ₂₍ ₁₎ _{3 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i>   ₍₁₎

a) Chøng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M =

2 2
1 2
<i>x</i> <i>x</i>

(<i>x x</i>1, 2_{lµ nghiƯm cđa phơng trình (1)). Tìm min M.}
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình

2
2
2

1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
<i>x</i> <i>ax b</i>

<i>x</i> <i>bx c</i>
<i>x</i> <i>cx a</i>

   

   

   

Chøng minh r»ng trong 3 phơng trình ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phơng trình

2 ₍ ₁₎ 2 _{2 0}

<i>x</i>  <i>a</i> <i>x a</i>  <i>a</i>  ₍₁₎

a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm tr¸i dấuvới mọi a.
b) <i>x x</i>1, 2_{là nghiệm của phơng tr×nh (1) . T×m min B =}

2 2
1 2

<i>x</i> <i>x</i>

.
Bài tập 9: Cho phơng trình

2 ₂₍ ₁₎ ₂ _{5 0}

<i>x</i>  <i>a</i> <i>x</i> <i>a</i>  ₍₁₎

a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a.

b) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm <i>x x</i>1, 2_{tho¶ m·n}<i>x</i>1 1 <i>x</i>2_.
c) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm <i>x x</i>1, 2_{thoả mÃn}<i>x</i>12<i>x</i>22_{= 6.}
Bài tập 10: Cho phơng tr×nh

2

2<i>x</i> (2<i>m</i>1)<i>x m</i> 1 0 ₍₁₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiƯm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa <i>x x</i>1, 2_{không phụ thuộc m.}
<i>Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý</i>

Bài tập 11: Cho hai phơng tr×nh

2

2

(2 ) 3 0(1)

( 3 ) 6 0(2)
<i>x</i> <i>m n x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>n x</i>

   

    

Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

2 ₀₍ ₀₎

<i>ax</i> <i>bx c</i>  <i>a</i> ₍₁₎

điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

2 ₍ ₁₎2 ₀₍ ₀₎
<i>kb</i>  <i>k</i> <i>ac</i> <i>k</i> 

Bµi tập 13: Cho phơng trình

2 ₂₍ ₄₎ _{7 0}

<i>mx</i>  <i>m</i> <i>x m</i>   ₍₁₎

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt <i>x x</i>1, 2_.

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{thoả mãn}<i>x</i>1 2<i>x</i>2 0_.
c) Tìm một hệ thức giữa <i>x x</i>1, 2_{độc lp vi m.}

Bài tập 14: Cho phơng trình

2 ₍₂ ₃₎ 2 ₃ _{2 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i>  <i>m</i>  ₍₁₎

a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối nhau .
c) Tìm một hệ thức giữa <i>x x</i>1, 2_{độc lập với m.}
Bài tập 15: Cho phơng trình

2

(<i>m</i> 2)<i>x</i> 2(<i>m</i> 4)<i>x</i>(<i>m</i> 4)(<i>m</i>2) 0 ₍₁₎

a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép.

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{. Tìm một hệ thức giữa}<i>x x</i>1, 2_{độc lập với m.}

c) TÝnh theo m biÓu thøc 1 2

1 1

1 1

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

  _;

d) Tìm m để A = 2.
Bài tập 16: Cho phơng trình

<i>x</i>2 <i>mx</i> 4 0 (1)

a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi .

b) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc

1 2
2 2
1 2
2(<i>x</i> <i>x</i> ) 7
<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 





.

c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình <i>x</i>2 <i>kx</i> 7 0 có hai nghiệm hơn kém nhau
một n v.

Bài tập 18: Cho phơng trình

2 ₍ ₂₎ _{1 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i>   ₍₁₎

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.

Bµi tËp 19: Cho phơng trình

<i>x</i>2 (<i>m</i>1)<i>x m</i> 0 (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Gọi <i>x x</i>1, 2_{là hai nghiệm của phơng tr×nh . TÝnh}

2 2
1 2
<i>x</i> <i>x</i>

theo m.

c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{thoả mãn}<i>x</i>12<i>x</i>22_{= 5.}
Bài tập 20: Cho phơng trình

<i>x</i>2(2<i>m</i>1)<i>x m</i> 23<i>m</i>0 (1)
a) Gi¶i phơng trình (1) với m = -3.

b) Tỡm m phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình

<i>x</i>212<i>x m</i> 0 (1)

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{toả mãn}<i>x</i>2 <i>x</i>12_.
Bài tập 22: Cho phơng trình

(<i>m</i> 2)<i>x</i>2  2<i>mx</i> 1 0 (1)
a) Giải phơng tr×nh víi m = 2.

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{thoả mãn}



1 2 <i>x</i>1

 

1 2 <i>x</i>2



1_.
Bài tập 23: Cho phơng trình

2 ₂₍ ₁₎ _{3 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i>   ₍₁₎

a) Giải phơng trình với m = 5.

b) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biƯt víi mäi m.

c) TÝnh A =

3 3
1 2

1 1

<i>x</i>  <i>x</i>

theo m.

d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 24: Cho phơng trình

(<i>m</i> 2)<i>x</i>2 2<i>mx m</i>  4 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) l phng trỡnh bc hai.

b) Giải phơng trình khi m =
3

2_.

c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
Bài tập 25: Cho phơng trình

2 ₀

<i>x</i> <i>px q</i>  ₍₁₎

a) Giải phơng trình khi p =

3 3

; q = 3 3.

b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm : <i>x</i>1 2,<i>x</i>2 1

c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiƯm d¬ng <i>x x</i>1, 2_{thì phơng trình}<i>qx</i>2<i>px</i> 1 0_{có hai nghiệm dơng}
3, 4

<i>x x</i>

d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm lµ 3<i>x va x</i>1 3 2_; 12
1

<i>x</i> _vµ 2
2
1
<i>x</i> _;

1
2

<i>x</i>
<i>x</i> _vµ

2
1
<i>x</i>
<i>x</i>
Bµi tập 26: Cho phơng trình

2 ₍₂ ₁₎ ₀

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i>  ₍₁₎

a) CMR phơng trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn : <i>x</i>1 <i>x</i>2 1_;
c) Tìm m để

2 2

1 2 6 1 2
<i>x</i> <i>x</i>  <i>x x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2 ₂₍ ₁₎ ₂ _{10 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>  ₍₁₎

a) Giải phơng trình với m = -6.

b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{. Tìm GTNN của biểu thức}

2 2

1 2 10 1 2
<i>A x</i> <i>x</i>  <i>x x</i>
Bài tập 28: Cho phơng trình

(<i>m</i>1)<i>x</i>2 (2<i>m</i> 3)<i>x m</i>  2 0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{. Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.}
Bài tập 29: Cho phơng trình

2 ₂₍ ₂₎ ₍ 2 ₂ _{3) 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>  <i>m</i>  ₍₁₎

Tìm m để (1) có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{phân biệt thoả mãn}

1 2
1 2

1 1

5

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>



 

Bµi tËp 30: Cho phơng trình

<i>x</i>2<i>mx n</i> 0 cã 3<i>m</i>2= 16n.

CMR hai nghiệm của phơng trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.

Bài tập 31 : Gọi <i>x x</i>1, 2_{là các nghiệm của phơng trình}2<i>x</i>2 3<i>x</i> 5 0 _{. Không giải phơng trình , h·y tÝnh : a)}

1 2

1 1

<i>x</i> <i>x</i> _{; b)} 2
1 2
(<i>x</i>  <i>x</i> )

; c)

3 3

1 2

<i>x</i> <i>x</i>

d) <i>x</i>1 <i>x</i>2
Bµi tËp 32 : LËp phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) 3 vµ 2 3 ; b) 2 - 3 vµ 2 + 3.

Bài tập 33 : CMR tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :

a)

3 5

3 5



 _{; b)}

2 3

2 3



 _{; c)} 2 3

Bµi tập 33 : Lập phơng trình bậc hai cã c¸c nghiƯm b»ng:

a) Bình phơng của các nghiệm của phơng trình <i>x</i>2 2<i>x</i>1 0 ;
b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình <i>x</i>2<i>mx</i> 2 0

Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phơng trình
<i>x</i>2<i>mx n</i> 0 cũng là m và n.

Bµi tËp 35: Cho phơng trình

<i>x</i>2 2<i>mx</i>(<i>m</i>1)30 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.

b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuơng
nghiệm cịn lại.

Bµi tËp 36: Cho phơng trình

2<i>x</i>2 5<i>x</i> 1 0 (1)

TÝnh <i>x x</i>1 2 <i>x</i>2 <i>x</i>1 ( Víi <i>x x</i>1, 2_{là hai nghiệm của phơng trình)}
Bài tập 37: Cho phơng trình

2

(2<i>m</i>1)<i>x</i>  2<i>mx</i> 1 0₍₁₎

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 ).

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{thoả mãn}

2 2

1 2 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bµi tËp 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số).
Chứng minh rằng phương trình ln ln có nghiệm.

Bµi tËp 39:

Tìm các giá rị của a để ptrình:
₍<i>_a</i>2<i>_{− a−}</i>₃₎<i>_x</i>2_{+ (}<i>_a</i>₊₂)<i>x −</i>3<i>a</i>2

=0

Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm cịn lại của ptrình?
Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phơng trình bậc hai :
<i>x</i>2 8<i>x m</i> 0

để 4 + 3 là nghiệm của phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho cịn một
nghiệm nữa . Tìm nghiệm cịn lại ấy?

Bµi tËp 41: Cho phơng trình : <i>x</i>2 2(<i>m</i>1)<i>x m</i> 4 0 (1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.

2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{phân biệt mọi m.}

3) Tìm m để <i>x</i>1 <i>x</i>2 đạt giá trị nhỏ nhất (<i>x x</i>1, 2_{là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/ ) .}
Bài tập 42:

Cho phương trình

1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2

2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
Bµi tËp 43:

Cho phương trình x2_{– 2mx + m}2_{– m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.}

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi tËp 44:

Cho phơng trình ( ẩn x) : x4_{- 2mx}2_{+ m}2_{3 = 0}

1) Giải phơng trình với m =

_√

₃

2) Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x2_{- 2mx + m}2_– 1

2 = 0 (1)

1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng
nhau

2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vng của
một tam giác vng có cạnh huyền bằng 3.

Bµi tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

<i>x</i>₁= 4

3+

_√

5 vµ <i>x</i>2=

4
3<i>−</i>

√

5
1) TÝnh : P =

(

4

3+

√

5

)

4

+

(

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài tập 47: Tìm m để phơng trình: <i>x</i>2<i>−</i>2<i>x −</i>|<i>x −</i>1|+<i>m</i>=0 có đúng hai nghiệm phân biệt.

Bµi tập 48: Cho hai phơng trình sau :
2

2

(2 3) 6 0

2 5 0

<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x m</i>

   

    _{( x lµ Èn , m lµ tham sè )}

Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung.
Bài tập 49:

Cho phơng trình :

2 ₂₍ ₁₎ 2 _{1 0}

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i>   _{víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tríc}

1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.

2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng <i>x x</i>1, 2_{phân biệt thoả mãn điều kiện}
2 2

1 2 4 2
<i>x</i>  <i>x</i>

Bài tập 50: Cho phơng tr×nh :









2

2 1 2 3 0

<i>m</i> <i>x</i>   <i>m x m</i>  

( x lµ Èn ; m là tham số ).

1) Giải phơng trình khi m = -
9
2

2) CMR phơng trình đã cho có nghim vi mi m.

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp
ba lần nghiệm kia.

Bài tập 52: Cho phơng trình x2_{+ x – 1 = 0 .}

a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình có hai nghiệm trái dấu .

b) Gäi <i>x</i>1_{lµ nghiƯm âm của phơng trình . HÃy tính giá trị biểu thøc :}

8

1 10 1 13 1
<i>P</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>
Bµi tËp 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x:

x2_{- 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1)}

Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kộp. Tớnh nghim kộp ú.

Bài tập 54:

Cho phơng trình : x2_{+ 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)}

a) CMR phơng trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để 2 nghiệm <i>x x</i>1, 2_{của (1) thoả mãn}_:<i>x</i>12<i>x</i>22 14_.
Bài tập 55:

a) Cho a = 11 6 2 , <i>b</i> 11 6 2 . CMR a, ,b lµ hai nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số
nguyên.

b) Cho

3_{6 3 10,} 3 _{6 3 10}

<i>c</i>  <i>d</i>   _{. CMR}<i>c d</i>2, 2_{lµ hai nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số}

nguyên.

Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :

<i>x</i>22(<i>m</i>1)<i>x m</i> 2<i>m</i> 1 0 (x lµ Èn, m lµ tham sè).

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

y=

2 ₂₍ ₁₎ 2 ₁

<i>x</i>  <i>m</i> <i>x m</i> <i>m</i> _{chứa đoạn}

2;3

_.

Bài tập 57:Cho phơng tr×nh :
x2_{- 2(m-1) x +2m - 3 =0.}

a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm này bằng bình phơng nghiệm kia.

Bµi tËp 58: Cho phơng trình : <i>x</i>26<i>x</i>6<i>a a</i> 2 0.
1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm.

2) Giả sử <i>x x</i>1, 2_{là nghiệm của phơng trình này. HÃy tìm giá trị của a sao cho}<i>x</i>2 <i>x</i>13 8<i>x</i>1
Bµi tËp 59: Cho phơng trình :

mx2_{-5x – ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x l n.}

a) Giải phơng trình khi m = 5.

b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt <i>x x</i>1, 2_{, h·y tÝnh theo m giá trị của biểu thức}
B =

2 2

1 2 1 2

10<i>x x</i>  3(<i>x</i> <i>x</i> )

. Tìm m để B = 0.
Bài tập 60:

a) Cho phơng trình :<i>x</i>2 2<i>mx m</i> 21 0 ( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị ngun
của m để phơng trình có hai nghiệm <i>x x</i>1, 2_{thoả mãn điều kiện}2000<i>x</i>1<i>x</i>2 2007

b) Cho a, b, c, d  R . CMR Ýt nhÊt một trong 4 phơng trình sau có nghiệm

2
2
2
2

2 0;

2 0;

2 0;

2 0;

<i>ax</i> <i>bx c</i>
<i>bx</i> <i>cx d</i>
<i>cx</i> <i>dx a</i>
<i>dx</i> <i>ax b</i>

  

  

  

  

Bµi tËp 61:

1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức <i>a</i>2<i>b</i>2 <i>ab c</i> 2. CMR phơng trình

2 ₂ ₍ ₎₍ _{) 0}

<i>x</i>  <i>x</i> <i>a c b c</i>   _{cã hai nghiƯm ph©n biƯt.}

Cho phơng trình <i>x</i>2  <i>x p</i> 0 có hai nghiệm dơng <i>x x</i>1, 2_{. Xác định giá trị của p khi}

4 4 5 5

1 2 1 2

<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>
t giỏ tr ln nht.

Bài tập 62: Cho phơng tr×nh :

(m + 1 ) x2_{– ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham số.}

a) Giải phơng trình với m = 1.

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.
Bài tập 63: Cho phơng trình

:

2 ₃ 2 ₂ ₂ ₁₀ _{4 0}

<i>x</i>  <i>y</i>  <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>  ₍₁₎

1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mÃn

2 2 ₁₀
<i>x</i> <i>y</i>

2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng tr×nh bËc hai Èn x :

2

1 1 1 0

<i>a x</i> <i>b x c</i> 

vµ
2

2 2 2 0

<i>a x</i> <i>b x c</i> 

Cã nghiÖm chung. CMR

:







 



2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 ₂₍ ₁₎ ₂ 2 ₃ _{1 0}
<i>x</i>  <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>  <i>m</i>  

a) Chøng minh ph¬ng trình có nghiệm khi và chỉ khi 0<i>m</i>1

b) Gäi <i>x x</i>1, 2_{là nghiệm của phơng trình , chứng minh :} 1 2 1 2
9
8
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> 

Bµi tËp 66: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :
2<i>x</i>22<i>mx m</i> 2 2 0

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm.

b) Gäi <i>x x</i>1, 2_{là nghiệm của phơng trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :}<i>A</i>2<i>x x</i>1 2<i>x</i>1<i>x</i>2 4 _.
Bài tập 67: Cho phơng trình bËc hai Èn x :

2

(<i>m</i>1)<i>x</i>  2(<i>m</i>1)<i>x m</i>  3 0 _{víi m}__{1. (1)}

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mäi m.

b) Gọi <i>x x</i>1, 2_{là nghiệm của phơng trình (1) , tìm m để}<i>x x</i>1 2 0_và<i>x</i>12<i>x</i>2
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phơng trình

2 ₍ ₎ ₀

<i>x</i>  <i>a b c x ab bc ac</i>      _{v« nghiƯm .}

Bài tập 69: Cho các phơng tr×nh bËc hai Èn x :

2
2

0(1);
0(2).
<i>ax</i> <i>bx c</i>

<i>cx</i> <i>dx a</i>

  

   

BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR :

2 2 2 2 ₄

<i>m</i> <i>n</i> <i>p</i> <i>q</i> _.

Bài tập 70: Cho các phơng tr×nh bËc hai Èn x :

<i>x</i>2<i>bx c</i> 0 có các nghiệm <i>x x</i>1, 2_{; phơng trình}<i>x</i>2 <i>b x bc</i>2  0_{có các nghiệm}<i>x x</i>3, 4_.
Biết <i>x</i>3 <i>x</i>1 <i>x</i>4  <i>x</i>2 1_{. Xỏc nh b, c.}

Bài tập 71 : Giải các phơng trình sau
a) 3x4_{- 5x}2 _{+2 = 0}

b) x6_-7x2_{+6 = 0}

c) (x2_{+x +2)}2_{-12 (x}2_{+x +2) +35 = 0}

d) (x2_{+ 3x +2)(x}2_{+7x +12)=24}

e) 3x2_{+ 3x =}

√

<i>x</i>2+<i>x</i> +1

f) (x + 1

<i>x</i> ) - 4 (

√

<i>x</i>+

1

√

<i>x</i>¿ +6 =0

g)

_√

₁<i>₋</i>₂<i>_x</i>2

=<i>x −</i>1

h)

_√

₄<i>_{x −}</i>₂₀=<i>x −</i>20

i)

¿

<i>x</i>2

3 +
48

<i>x</i>2=10

<i>x</i>

3<i></i>
4

<i>x</i>

Bài tập 72. giải các phơng trình sau.
a) x2

-√

5 x - 5 =0 b) -

_√

₅ .x2_{- 2 x +1=0}

c) ( 1 - 3

√¿ ¿<i>x</i>2<i>−</i>(

_√

3+1)+

_√

3=0 d)5x

4_{- 7x}2 _{+2 = 0}

e) (x2_{+2x +1)}2_{-12 (x}2_{+2x +1) +35 = 0 f) (x}2_{-4x +3)(x}2_{-12x +35)=-16}

g) 2x2_{+ 2x =}

<i>x</i>2+<i>x</i> +1 .

Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x2_{-5x+1=0 (*) cã hai nghiƯm lµ} _x 

1 , x 2 .
1/ không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau:

<i>A</i>= 1

<i>x</i>₁2

+ 1

<i>x</i>₂2

; <i>B</i>=¿ 4<i>− x</i>1

<i>x</i>₁2

+4<i>− x</i>2

<i>x</i>₂2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3

b) u = 1

<i>x</i>₁<i>−</i>1 , v =
1

<i>x</i>₂<i>−</i>1 .

Bµi tËp 74 . Cho hai phơng trình : x2_{- mx +3 = 0 vµ x}2_{- x +m+2= 0 .}

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung.
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
Bài tập 75. Cho phơng trình (a-3)x2_{- 2(a-1)x +a-5 = 0 .}

a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

b) T×m a sao cho <i>_x</i>1
1 +

1

<i>x</i>2 <3 .
c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x1, x2.

Bµi tËp 76. Cho phơng trình bậc hai: x2_{+(m+2)x +m= 0 .}

a) Giải phơng trình với m =-

_√

₂ .
b) Tìm m phng trỡnh cú nghim x1, x2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của <i>C</i>=<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2
Bài tập 77:

Cho phơng trình:

mx2_{– 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)}

a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối
lớn hơn ?

c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 của PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = 3

d) T×m hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thc vµo m

Bài tập 78: Cho phơng trình mx2_{– 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x}

1 ;x2 của PT

thoả mÃn điều kiện x12 + x22 = 1

Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m – 1)x2_{– 2x + 3 = 0}

Bµi tËp 80 Cho PT : x2_{– 2(m-2) x + ( m}2_{+ m – 3) = 0}

Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn :

1 2
1 2

1 1

5
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>



 

Bµi tËp 81 .Cho PT : x2_{– (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 cã c¸c nghiƯm x}

1; x2 . Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 độc

lËp víi m .

Bµi tËp 82Cho PT x2_{– 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1)}

a) Chøng minh (1) có nghiệm với mọi a

b) Với mọi giá trị cđa a th× (1) cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2

c) Víi GT nào của a thì (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn x12 + x22 = 6.

Bài tập 83: Cho PT : x2_{– 10x – m}2_{= 0 (1)}

mx2_{+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác không )}

1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai

2) Víi GT nµo cđa m th× PT (1) cã hai nghiƯm x1 ; x2 thoả mÃn điều kiện 6x1 + x2 = 5

Bài tập 84: Cho Phơng trình x2_{2(m+1) x – 3m}2_{– 2m – 1 = 0 (1)}

1) C/mr với mọi m PT ln có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1

3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 5

4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m + 3 .

Bµi tËp 85: Cho PT : x2_{– (a- 1) x + a = 0}

a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng các nghiệm có GTNN

Bài 14: Cho PT x2_{– 5x + 6 = 0 (1) . Kh«ng giải PT lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y}
1 ; y2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x2_{– (m – 1) x – m}2_{+m – 2 = 0}

a) Gi¶i PT khi m = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

3 3

1 2

2 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   



   

    _{t GTLN}

Bài tập 88: Cho Phơng trình : x2_{– mx – m – 1 = 0 (*)}

a) C/mr PT (*) cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi GT cđa m ; tÝnh nghiƯm kÐp ( nếu có ) của PT và GT m

t-ơng ớng .

b) Đặt A = x12 + x22 6x1.x2

1) Chøng minh A = m2_{-8m + 8}

2) T×m m sao cho A= 8

3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng .
Bài tập 89: Cho phơng trình x2_{– 2(a- 1) x + 2a – 5 = 0 (1)}

a) C/mr PT(1) cã nghiƯm víi mäi a

b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x1 ,x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2

c) Víi giá trị nào của a thì phơng trình (1) có hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n

x12 + x22 =6

Bµi tËp 90: Cho phơng trình : x2_{2(m+1)x + m 4 = 0 ( *)}

a) Chøng minh (*) cã hai nghiƯm víi mäi m

b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của PT (*)

Chøn minh r»ng : M = (1 – x1) x2 + (1 x2)x1

Bài tập 91: Cho phơng trình : x2_{– (1- 2n) x + n – 5 = 0}

a) Gi¶i PT khi m = 0

b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm cảu PT đã cho

Chøng minh r»ng biÓu thøc : x1(1 + x2) + x2(1 +x1)

Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình x2_{+ ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên}

Chứng minh rằng a2_{+ b}2_{là hợp số}

Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
x2_{+ ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0}

vô nghiệm

Bài tập 94: Cho các phơng trình ax2 _{+ bx + c = 0 ( a.c} _{0) vµ cx}2_{+ dx + a = 0 có các nghiệm x}

1; x2 và y1 ;

y2 t¬ng íng C/m x12 + x22 + y12 + y22 4

Bài tập 95: Cho các phơng trình x2_{+ bx +c =0 (1) vµ x}2_{+cx +b = 0 (2)}

Trong đó 1

<i>b</i>+

1

<i>c</i>=

1
2

Bµi tËp 96: Cho p,q là hai số dơng .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

px2_{+ x +q = 0 vµ x}

3 ; x4 lµ nghiƯm của phơng trình qx2 + x + p = 0

C/m : <i>x x</i>1. 2  <i>x x</i>3. 4 2

Bµi tËp 97: Cho a,b,c lµ ba sè thùc bÊt kú .Chøng minh r»ng Ýt nhất một trong ba phơng trình sau có nghiệm :

2 _{1 0;} 2 _{1 0;} 2 _{1 0}

<i>x</i> <i>ax b</i>   <i>x</i> <i>bx c</i>   <i>x</i> <i>cx a</i>

Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x2_{+ (m+2) x + 2m = 0 (1)}

a) C/m ph¬ng trình luôn luôn có nnghiệm

b) Gi x1; x2 l hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để 2(x12 + x22 ) = 5x1x2

Bài tập 99: Cho phơng trình x2_{+ a}

1x + b1 = 0 (1) ; x2 + a2x + b2 = 0 (2)

Có các hệ số thoả mÃn <i>a a</i>1 22



<i>b</i>1<i>b</i>2



.Cmr Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng trình trên có nghiệm

Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :

2 2 2 2 2 2 ₀

<i>a x</i>  <i>b</i> <i>a</i>  <i>c x b</i> 

V« nghiƯm

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

x2_{+ mx + 1 = 0 (1) x}2_{+ x + m = 0 (2)}

a) Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình trên tơng đơng

Bµi tËp 102: Cho phơng trình: x2_{2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)}

a) C/mr phơng trình (1) luôn có nghiệm

Trong trng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 14}

Bµi tËp 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x2_{+ ax + b = 0 vµ x}2_{+ cx + d = 0 cã nghiƯm chung th× :}

(b – d)2_{+ (a- c)(ad – bc) = 0}

Bµi tËp 104: Cho phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt}

Bài tập 105: G/s x1 , x2 là hai nghiệm của hai phơng trình x2 + ax + bc = 0 vµ x2 , x3 là hai nghiệm của phơng

trình x2_{+ bx + ac = 0 ( víi bc kh¸c ac ) . Chứng minh x}

1, x3 là nghiệm của phơng trình x2 + cx + ab = 0 .

Bµi tËp 106: Cho phơng trình x2_{+ px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phơng trình (1) biết rằng khi}

thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phơng trình : x2_p2_{x + pq = 0}

Bµi tËp 107: Chøng minh r»ng phơng trình :
(x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0

Luôn có nghiệm với mọi a,b,c.

Bài tập 108: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0

T×m GTLN cđa biĨu thøc A = <i>x x</i>1 2 2<i>x</i>1 2<i>x</i>2

Bµi tËp 109: Cho a 0 .G/s x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình

2

2
1

0
2
<i>x</i> <i>ax</i>

<i>a</i>

  

Chøng minh r»ng :

4 4

1 2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>  
Bµi tËp 110 Cho phơng trình

2

2
1

0
<i>x</i> <i>ax</i>

<i>a</i>

.Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng tr×nh

T×m GTNN cđa E =

4 4
1 2
<i>x</i> <i>x</i>

Bài tập 111: Cho phơng trình x2_{+ 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0}

</div>

<!--links-->