Gián án DE+DA THI HSG TOAN 9

PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐỐP
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (3điểm): Giải các phương trình sau:
a)
2
6 9 3 2x x x− + − =
b)
8 5 5x x+ + − =
c)
2
2 2 4 2x x x− + + + − =
Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x
2

−
2(m
2
+ 3m)x + m
3
+ 12 = 0 (1) trong đó m là tham số.
a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b)Kí hiệu x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x
1
2

+ x
2
2
là một số nguyên.
Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng
3
( 17 ) 6n n+ M
với mọi số tự nhiên n
Bài 4 (3điểm): Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
2
9B x x= −
với
3 3x− ≤ ≤
Bài 5 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, có
BC 2=
, đường cao
2
AH
2
=
.
Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
Bài 6 (4điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của
C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH.
a)Điểm M chạy trên đường nào?
b)Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào?
HẾT
HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN: TOÁN

Bài 1: Giải các phương trình sau: 3 điểm
a)
2
6 9 3 2x x x− + − =
2
3
3 2 3
3 2 3
3 2 3
x
x x
x x
x x

≥−


⇔ − = + ⇔

− = +




− =− −


0,5điểm

0,5điểm

b)
8 5 5x x+ + − =
điều kiện:
0 5x t≤ = ≤
Phương trình đã cho trở thành:
8 5 5t t+ + − =
⇔
(8 )(5 ) 6t t+ − =
⇔
t
2
+ 3t
−
4 = 0
0,5điểm
1
4
t
t
=

⇔

=−

Kết hợp với điều kiện ta có t = 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
0,5điểm
c)
2

2 2 4 2x x x− + + + − =
Điều kiện:
2 2x− ≤ ≤
Đặt
2 2t x x= − + +
2
2
4
4 ( 0)
2
t
x t
−
⇒ − = ≥
0,5điểm
Phương trình đã cho có dạng: t
2
+ 2t
−
8 = 0
⇒
t =
−
4 (loại) hay t = 2
Với t = 2 ta có
2
4 0 2x x− = ⇔ =±
Thử lại ta thấy
2x=±
là hai nghiệm của phương trình

0,5điểm
Bài 2 (4điểm): Cho phương trình: (m + 3)x
2

−
2(m
2
+ 3m)x + m
3
+ 12 = 0 (1) trong đó m là tham số.
a)Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b)Kí hiệu x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên lớn nhất sao cho x
1
2
+ x
2
2
là một số nguyên.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
'
0
0
a≠

⇔


∆ >

0,5điểm
2 2 3
3
( 3 ) ( 3)( 12) 0
m
m m m m
≠ −

⇔

+ − + + >

2
3
5 1
2 4
1
4
x
x x
x

≥−



⇔ =− ⇔ =




=


2 3
3
( 3)( 3) ( 3)( 12) 0
m
m m m m m
≠ −

⇔

+ + − + + >

3 2 3
3
( 3)( 3 ) ( 3)( 12) 0
m
m m m m m
≠ −

⇔

+ + − + + >

0,5điểm
2
( 3)(3 12) 0m m⇔ + − >

2
2
3
3 0
2
3 12 0
2
2 3
3
3 0
2
3 12 0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
 > −
 + >








>
− >
>



 

⇔ ⇔



− > > −
< −
+ <
 








<
− <






0,5điểm
Vậy số nguyên nhỏ nhất thoả mãn là m=3 0,5điểm
b)Theo định lý Viet ta có:
3
1 2 1 2
m 12
x + x = 2m; x x =
m 3
+
+
0,5điểm
(Điều kiện
2m≥
hoặc
2 3m− ≥ ≥−
)
3
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2( 12)
( ) 2 4
3
m
x x x x x x m
m
+
+ = + − = −
+

0,5điểm
3 3 2
2 2
2( 3 ) 30 2( 3)( 3 9) 30
4 4
3 3 3
m m m m
m m
m m m
+ − + − +
= − = − +
+ + +
2 2
30
4 2( 3 9)
3
m m m
m
= − − + +
+
0,5điểm
Ta có:
m∈¢
và
2 2
1 2
x x+ ∈¢
nên
3m + ∈
Ư(30)

Mà
2
2 3
m
m
≥


− ≥ ≥−

nên m lớn nhất thoả mãn các điều kiện này là m = 27 0,5điểm
(m + 3 = 30
⇔
m = 27)
Bài 3 (3điểm): Chứng minh rằng
3
( 17 ) 6n n+ M
với mọi số tự nhiên n
Ta có: n
3
+ 17n = n
3

−
n + 18n = (n
−
1)n(n + 1) + 18n 1điểm
Có: n và (n + 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên
( 1) 2n n + M
n

−
1; n; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên
( 1) ( 1) 3n n n− + M
2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên
( 1) ( 1) 3.2 = 6n n n− + M
1điểm
Lại có
18 6nM
nên
( 1) ( 1) 18 6 ( )n n n n n− + + ∀ ∈M ¥
1điểm
Bài 4 (3điểm): Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
2
9B x x= −
với
3 3x− ≤ ≤
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có:
2 2
2
9 9
9
2 2
x x
B x x
+ −
= − ≤ =
1điểm
Dấu “=” xảy ra
2 2 2
3 2

9 9
2
x x x x x⇔ = − ⇔ = − ⇔ =±
1điểm
Vậy Giá trị lớn nhất của B là
9
2
khi
3 2
2
x=±
1điểm
Bài 5 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, có
BC 2=
, đường cao
2
AH
2
=
. Chứng minh ABC là tam
giác vuông cân.
Vẽ Trung tuyến AM. Ta có:
Vì
AH BC⊥
nên
AM AH≥
, Dấu “=” xảy ra
⇔ M H≡
1điểm
Ta có:

BC 2
AM= AH M H
2 2
= = ⇒ ≡
1điểm
Do đó tam giác ABC vuông cân tại A 1điểm
Bài 6 (4điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của
C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH.
a)Điểm M chạy trên đường nào?
b)Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào?
Giải:
a)
µ
OM = OH
OChungΔOMB=ΔOHC(c.g.c)
OB=OC


⇒



1điểm
·
·
0
OMB=OHC 90⇒ =
. Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB. 1điểm
b)Vì
·

0
C (O) ACB 90∈ ⇒ =
hay
AC BD⊥
Mà CD = CB
⇒

Δ
ADB có AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên
Δ
ADB cân tại A
⇒
AD = AB = 2R. 1điểm
Vì vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R) 1điểm