TLBD HSG CHUYÊN đề ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH đảo

Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

CHUYÊN ĐỀ : PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT
PHẲNG

Bài 2:

ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN

Giáo viên thực hiện chun đề: Nguyễn Chí Trung
Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tỉnh/TP: HCM.
Giáo viên phản biện chuyên đề: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Tiền Giang. Tỉnh Tiền Giang.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Lý thuyết





k
Tính chất 1. Phép nghịch đảo N O hay N  O ,k  , biến A thành A ' ; B thành B ' thì hai tam giác OAB

đồng dạng tam giác OB ' A ' . Đồng thời A ' B ' 

k
. AB .
OA.OB

Tính chất 2. Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng qua tâm O thành chính nó

Tính chất 3. Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng d không đi qua tâm O thành đường trịn đi
qua tâm O . Với các tính chất sau:

CHUN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

1|


Tài liệu vd-vdc

i) Đường thẳng nối tâm O và tâm đường tròn
iii) Tâm đường tròn I ' : là ảnh của I qua phép
thì vng góc với đường thẳng d .
nghịch đảo, trong đó I đối xứng với tâm O qua
ii) Đường kính OA ' của đường trịn ảnh: A ' là đường thẳng d .
ảnh của A qua phép nghịch đảo, trong đó A là
k
hình chiếu của tâm nghịch đảo O trên đường
iv) Bán kính của đường trịn: r 
thẳng d .
2d ( O , d )
(Ảnh của A là A'; Ảnh của M là M')
Tính chất 4. Qua phép nghịch đảo tâm O , đường tròn qua tâm O biến thành đường thẳng vng góc với
đường nối tâm O và tâm đường tròn.

Tâm I biến thành I ' đối xứng với O qua l với l là ảnh của  I  .
Tính chất 5. Ảnh của một đường trịn  C  khơng đi qua tâm nghịch đảo là một đường tròn  C ' . Đặc
biệt, (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số

k

PO ,( C )

.

2. Phương pháp giải
Dựa vào các yếu tố đề cập trong đề bài mà ta xét phép nghịch đảo thích hợp. Cần chú ý đến phương tích,
các hệ thức của hàng điểm điều hịa, đường phân giác, …
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1:

Cho đường trịn

 O

đường kinh BC . Một điểm A nằm ngồi đường tròn. Gọi B ', C '

lần lượt là giao điểm của AC ; BD . Gọi H là giao điểm của BB ' và CC ' . Gọi M , N lần lượt là
hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến qua A đến  O  . Chứng minh rằng H , M , N thẳng hàng .
Lời giải
2 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Gọi A ' là hình chiếu của A lên cạnh BC .
Do B ', C ' �(O) nên BB '  AC và CC '  AB .
Suy ra H là trực tâm của ABC và AA ' là đường cao thứ ba.
Ta có PA/( O )  AC '. AB  AB '. AC  AM 2  AN 2  k
Xét phép nghịch đảo:

N

�
�
�
�
�

�

A,k ���
�

N A , k 

M ���� M
N

 A,k 
N ���
�N



N

 A,k 
A ' ���
� H do AA '. AH  AB '. AC



N

 A,k 
( AMN ) ���
� MN
�  OMA
�  OA
� ' A  900
Mặt khác ta lại có : ONA
Suy ra A ' �( AMN ) . Do đó H �MN . Vậy M , H , N thẳng hàng .

Ví dụ 2:

Đường tròn nội tiếp

 I

của tam giác ABC tiếp xúc với BC , CA, AB tại D, E , F .

Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác DEF , tâm đường tròn nội tiếp I và tâm đường tròn
ngoại tiếp O của tam giác ABC thẳng hàng.
Lời giải

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

3|

Tài liệu vd-vdc

Xét phép nghịch đảo N  I ,r 2  . Qua phép nghịch đảo này, đường tròn  I  biến thành đường tròn  I  , còn
, B�
, C �theo thứ tự là trung điểm EF , FD, DE . Vì vậy
ba điểm A, B, C lần lượt biến thành ba điểm A�
đường tròn  O  biến thành đường tròn Ơ-Le của tam giác DEF . Suy ra O, H , I thẳng hàng.
Ví dụ 3:

Cho đường trịn đường kính AB , C là điểm thay đổi trên  AB  sao cho tam giác ABC

không cân tại C . Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C . vẽ HE , HF lần lượt
vng góc với AC , BC . EF và AB cắt nhau tại K . Gọi D là giao điểm thứ hai của  AB  và

 CH  . Chứng minh

D, K , C thẳng hàng.
Lời giải

4 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Xét phép nghich đảo

N�

:

C ,CH 2 �
�
�
�
�

E ��
� A (Vì CE.CA  CH 2 )
F ��
� B (Vì CF .CB  CH 2 )
Suy ra:
(CH ) ��
� AB
Giả sử: N  C ,CH 2 

(O ) ��
� EF
( D)  D '

Vì D �(CH ) nên N  A,CH 2  ( D)  D ' �EF
Vì D �(O) nên N  A,CH 2  ( D)  D ' �AB
Vậy D ' �EF �AB
Suy ra : D ' �K , tức là N  A,CH 2  ( D)  K
Vậy D, K , C thẳng hàng.
(Hệ thức Euler) Gọi  O, R  và  I , r  lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của
tam giác ABC . Chứng minh rằng: d 2  R 2  2 Rr , với OI d .

Ví dụ 4:

Lời giải

Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của  I , r  với AB, AC , BC .
A ', B ', C ' lần lượt là giao điểm của IA, IB, IC với MN , MP, NP .
CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

5|


Tài liệu vd-vdc

Khi đó theo tính chất của đường trịn nội tiếp tam giác, ta có:
IM  AB , IN  AC , IP  BC , IA  MN , IC  NP , IB  MP

Xét phép nghịch đảo N ( I , r 2 ) , ta có:
A  A' (do IA IA'  IN 2 r 2 )
B  B ' (do IB IB'  IM 2 r 2 )
C  C ' (do IC IC '  IP 2 r 2 )
Do đó:  ABC    A' B' C ' .
r
Do  A ' B ' C '  có bán kính là nên theo tính chất của phép nghịch đảo ta có:
2
r
r2
r2
r2

 2
 2
2
2 R PI / O
d  R2 R  d

 
Suy ra d 2  R 2  2 Rr .

Cho đường trịn (O) và điểm  S nằm ngồi (O) , AB là đường kính thay đổi.
a) Chứng minh rằng đường tròn ( SAB) đi qua điểm cố định khác S .
b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M , N . Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.
Ví dụ 5:

Lời giải

6 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

a) Gọi I là giao điểm của SO và ( SAB)
Ta có: OS OI  OAOB   R 2
Suy ra: I  N (O,  R 2 ) ( S )
Mà S cố định, do đó I cố định.
Vậy ( SAB) đi qua điểm cố định thứ hai I là ảnh của S qua phép nghịch đảo N (O,  R 2 )
b) Xét phép nghịch đảo N ( S , k ) với k   S
Khi đó, qua phép nghịch đảo N ( S , k ) :

(O )

(O) � (O )
M�A
N�B
Suy ra: MN � ( SAB)
Mà I �( SAB ) � J  N S , k  ( I ) �MN

Vậy MN luôn đi qua điểm cố định J là ảnh của I qua phép nghịch đảo N ( S , k ) với k   S

(O ) .

C. BÀI TẬP

Bài 1:
(IMO Shortlist 1995) Cho A, B, C , D là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng
theo thứ tự đó. Các đường trịn đường kính AC , BD cắt nhau tại X , Y . Đường thẳng XY
cắt CB tại Z . Gọi P là đường thẳng trên XY khác Z . Đường thẳng CP cắt đường trịn
đường kính AC tại C và M , đường thẳng BP cắt đường trịn đường kính BD tại B và
N . Chứng minh rằng AM , DN , XY đồng quy.
Lời giải

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

7|


Tài liệu vd-vdc

Xét phép nghịch đảo  có tâm P , phương tích là k = PX .PY .
Gọi A ' là giao điểm của PA với đường tròn đường kính AC . Qua  thì:
+ Ảnh của A là A ' ; ảnh của M là C . Do đó ảnh của AM là đường trịn  PA ' C  .
� ' P  900  PZC
�
Mặt khác, do AC là đường kính nên CA
nên  PA ' C  đi qua Z .
+ Tương tự, ảnh của DN cũng là một đường tròn đi qua Z .
Ảnh của XY đi qua tâm nghịch đảo P là đường thẳng XY đi qua Z .

+ Ảnh của ba đường thẳng AM .DN , XY có một điểm chung Z khác tâm nghịch đảo P nên các
đường thẳng AM .DN , XY đồng quy.
Bài 2:
(Centro American Math Olympiad) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AB  CD . P
là giao điểm của AD và BC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD cắt đường thẳng AB
tại các điểm Q và R . Gọi S , T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ P đến  ABCD  .
Chứng minh rằng Q, R, S , T cùng nằm trên đường tròn.
Lời giải

8 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Ta có, PA.PD  PB.PC  PS 2  PT 2  k
Xét phép nghịch đảo N Pk . Qua phép này ảnh của C là B ; ảnh của D là A ; S , T giữ nguyên. Ảnh
của  PCD  là đường thẳng AB . Suy ra ảnh của các giao điểm của AB và  PCD  là chính nó.
Vậy PQ 2  PR 2  PS 2  PT 2  k .
Suy ra Q, R, S , T cùng nằm trên đường tròn tâm P .
(VMO 2011) Cho đường trịn  O  đường kính AB . P là một điểm trên tiếp tuyến của

Bài 3:

 O

tại B ; ( P khác B ). Đường thẳng AP cắt  O  lần thứ hai tại C . D là điểm đối xứng với

C qua O . Đường thẳng DP cắt  O  lần thứ hai tại E . Chứng minh rằng AE , BC , PO đồng quy

tại M .
Lời giải

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

9|


Tài liệu vd-vdc

Xét phép nghịch đảo f tâm P phương tích k  PP /  O  .
Khi đó qua f

 PCD  ; ảnh của

thì A biến thành C , E thành D ; giữ nguyên B ; ảnh của AE là đường tròn

BC là đường tròn  PAB  ; ảnh của PO là PO . Ta cần chứng minh  PCD  ,  PAB  ,

PO có 1 điểm chung khác P. Hay chứng minh PO là trục đẳng phương của  PCD  và  PAB  .

Ta có: OA.OB  OC.OD nên PO là trục đẳng phương của hai đường tròn  PCD  ,  PAB  .

(Trung Quốc TST 2015) Cho tam giác ABC cân tại A với AB  AC  BC . Gọi
D là một điểm trong tam giác ABC sao cho DA  DB  DC . Giả sử đường phân giác
�
ngoài của ADB
cắt đường trung trực của AB tại P và đường phân giác ngoài của

Bài 4:

�
cắt đường trung trực của AC tại Q . Chứng minh rằng B, C , P, Q đồng viên.
ADC
Lời giải

� của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ; Q là điểm
Để ý P P là điểm chính giữa cung BDA
�
chính giữa cung CDA
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD . Đây là dấu hiệu cơ bản để ta
có thể nghịch đảo.
Xét phép nghịch đảo tâm D , phương tích k  0 . Kí hiệu X ' là ảnh của X qua phép nghịch
đảo này. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD biến thành A ' B ' ; đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC biến thành A ' C ' . Do đó, Q ' là chân đường phân giác ngoài đỉnh D của tam giác A ' DC ' ;
P ' là chân đường phân giác ngoài đỉnh D của tam giác A ' DB ' .

k
k
k
DA '
DA '


�
 1
DA ' DB ' DC '
DB '
DC '
DA ' P ' A ' D ' A ' Q ' A '


;

Mà theo tính chất chân đường phân giác, ta có
DB ' P ' B ' D ' C ' Q ' C '
P ' A'
Q ' A' A'C '
 1

Suy ra,
, suy ra Q ' B ' song song với P ' C ' .
P'B'
Q 'C ' Q 'C '
Ta có DA  DB  DC �

10 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Vậy B ' Q ' P ' C ' ’ là hình thang, ta chỉ cần chứng minh B ' Q ' P ' C ' nội tiếp hay chứng minh
B ' Q ' P ' C ' là hình thang cân.
AB k . A ' B ' DA '. DC ' A ' B ' DC '

.

.
Ta có 1 
.
AC k . A ' C ' DA '.DB ' A ' C ' DB '

DB ' P ' B '
A ' B ' DB ' DA ' P ' A ' P ' B ' Q ' A '




.
Hay
A ' C ' DC ' DC ' Q ' C ' P ' A ' Q ' C ' .
DA ' Q ' A '
P ' B ' Q 'C '
A' B ' Q ' A'

.
Theo Talet ta có,
nên
, suy ra A ' B '  Q ' A ' .
P ' A' A'C '
A' C '
A' C '
Suy ra B ' Q ' P ' C ' là hình thang cân.
D. BÀI TẬP CỦNG CỐ

Bài 1:

(USAMO 2015) Cho tứ giác lồi APBQ nội tiếp đường tròn  O  thỏa điều kiện

�  BQA
�  900 ; AP  AQ  BP . Xét X là một điểm di động trên đoạn PQ . AX cắt
BPA

 O  tại điểm thứ hai S .

T là điểm trên cung AQB sao cho �
AXT  900 . Gọi M là trung
điểm của ST . Chứng minh rằng M chạy trên đường tròn cố định.
Lời giải

Phân tích: Trung điểm dây cung cho ta ngay điều quen thuộc OM vng góc MT .

M thuộc đường trịn cố định, như vậy có đường trung trực của một đoạn có chứa M , ta liên
tưởng đến hình chiếu từ A lên MT . Trung trực của MF là đường trung bình của hình thang
OMFA , cắt FA ngay tại trung điểm của OA là điểm cố định. Vậy ta nghĩ đến việc chứng minh
P, M , Q, F đồng viên đường tròn tâm I . Ta kiểm tra bằng hình vẽ thấy điều này đúng.

Tức là chứng minh:
UM .UF  UP.UQ  US .UT , điều này theo định lý Maclaurin thì  STUF  = –1 . Hàng điểm điều hịa

này có được khi có tứ giác tồn phần.
CHUN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

11 |


Tài liệu vd-vdc

Gọi Y  AT �PQ; XT �SY W

2

Xét phép nghịch đảo N AAP , qua phép nghịch đảo này P, Q giữ nguyên; đường thẳng PQ biến
� S  AST
�  900
thành đường tròn ( O ) . Do đó, X biến thành S ; T biến thành Y . Suy ra AY
Suy ra T là trực tâm tam giác ASW , từ đây cho ta A, F ,W thẳng hàng.

Theo tính chất tứ giác tồn phần thì  STUF   –1 .
Ta đã chứng minh được điều trong phân tích, bài tốn được giải quyết.
(IMO Shortlist 2012 G4) Cho tam giác ABC có AB �AC và tâm đường tròn ngoại
�
tiếp tam giác là O . Đường phân giác góc BAC
cắt BC tại D . Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm M của BC . Đường thẳng qua D vng góc BC cắt AO tại X ;
đường thẳng qua E và vng góc BC cắt AD tại Y . Chứng minh rằng tứ giác BXCY nội
tiếp.

Bài 2:

Lời giải

12 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Phân tích: Đường tròn  BCX  cắt AD tại N , ta cần chứng minh Y thuộc  BNXC  hay chứng
minh DN .DY  DB.DC  DA.DG . Mà DG  1 DY (do MG / / EY ) nên ta chứng minh
2
1
AN  AD .

2
Vậy ta sẽ chứng minh: trung điểm N của AD ,  B, C , X cùng thuộc đường trịn. Phép biến hình  :
thực hiện phép nghịch đảo tâm A , phương tích AB. AC sau đó đối xứng qua AD phù hợp. Kí hiệu
K ' là ảnh của K qua phép này.
Qua  , ảnh của B là C ; ảnh của D là G , do đó ảnh của trung điểm N của AD là N ' đối
xứng với A qua G . Ảnh của AO là đường cao đỉnh A . Ảnh của X là điểm nào? Ta không thể
sử dụng XD vuông góc BC để dựng ảnh, nên ta dùng góc với tâm và một điểm biết ảnh rồi.
�  HAD
�
�
Quan sát thì rõ ràng tam giác AXD cân tại X : XDA
(so le trong)  DAX
(do AO, AH
đối xứng nhau qua phân giác)

�
� ' N '  900 .
Do đó ANX
 900 , suy ra AX
Cấu trúc của BX ’N ’C bây giờ là hình thang, để chứng minh nó nội tiếp ta chỉ cần chứng minh
nó cân.
Do tam giác GX ’N ’ cân tại G (do G là trung điểm AN ' ) nên MG là trung trực của X ’N ’ và
BC . Vậy BX ’N ’C là hình thang cân nên nó nội tiếp được.
E. DANH SÁCH TÀI LIỆU THAM KHẢO:

Tài liệu 1:

Lê Anh Dũng, “Phép nghịch đảo”, 2018.

Tài liệu 2:

Nhóm 10,Tốn 4A,ĐHSP HCM, “Phép nghịch đảo”, 2012.

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

13 |


Tài liệu vd-vdc

Chuyên
đề

3
3

HÌNH HỌC

PHẦN III: PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT
PHẲNG

Bài 3:

TÍNH BẢO GIÁC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Giáo viên thực hiện chuyên đề: Nguyễn Thị Hồng NHung
Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Tiền Giang. Tỉnh Tiền Giang
Giáo viên phản biện chuyên đề: Thầy Ngô Quang Anh
Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu. Tỉnh Đồng Tháp.

Trước hết ta định nghĩa thế nào là góc giữa đường thẳng với đường trịn, góc giữa đường trịn với đường
trịn.
1. Góc giữa đường thẳng và đường trịn.
+ Nếu đường thẳng d khơng cắt hoặc tiếp xúc với đường tròn ( O ) thì góc giữa chúng bằng 0o .
+ Nếu dường thẳng d cắt ( O ) tại hai điểm phân biệt A; B thì góc giữa tiếp tuyến D tại A ( hoặc tại
B ) và đường thẳng d là góc giữa đường thẳng d và đường tròn ( O ) .
Ký hiệu: ( d ; ( O ) ) = ( d ; D ) .
Đặc biệt khi d qua tâm O của đường trịn thì góc giữa d và ( O ) bằng 90o . Khi đó ta nói đường
thẳng d trực giao với đường tròn.

14 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

d
A

A

d

B
O

O

(c)

(b)

(a)

d

O

Hình 1

2. Góc giữa hai đường trịn.

) cắt nhau ở hai điểm A và B , góc giữa hai tiếp tuyến tại A (hoặc tại
+ Cho hai đường tròn ( O ) và ( O �
B ) của hai đường tròn là góc giữa hai đường trịn đó, ký hiệu:

  và ta có   O  ;  O’     ';  
  O  ;  O�

+ Nếu hai đường trịn tiếp xúc nhau thì góc giữa hai đường trịn bằng 0o .
Đặc biệt khi góc giữa hai đường trịn bằng 90o ta nói hai đường trịn trực giao nhau. Lúc đó tam giác
OAO �vng tại A .

'

'

O
A

A

O'

O

O
B

O'

O'

(a)

(b)
Hình 2

(c)

Với những định nghĩa trên, ta có định lý sau:
3. Định lý: (tính bảo giác của phép nghịch đảo) Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường
thẳng, góc giữa đường thẳng và đường trịn và bảo tồn góc giữa hai đường trịn.
Chứng minh.
a/ Bảo tồn góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng d và d �
, phép nghịch đảo N( O;k ) ta có các trường hợp sau:

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

15 |

Tài liệu vd-vdc

+ Nếu d và d �cùng cắt nhau tại cực O thì góc khơng đổi.

) qua cực O , khi đó tiếp
+ Nếu cực O thuộc d và d �khơng qua O thì ảnh của d �là đường tròn ( C �
) = ( d ;( C �
) ) (hình 3a)
tuyến tại O song song với d �nên ( d ; d �
) qua cực O , khi đó
+ Nếu d và d �khơng qua cực O thì ảnh của chúng là hai đường tròn ( C ) và ( C �
) lần lượt song song với d và d �. Do đó góc của d và d �bằng góc của
các tiếp tuyến của ( C ) và ( C �
hai đường trịn. (hình 3b)
b/ Bảo tồn góc giữa hai đường tròn.

) , xét phép nghịch đảo N( O;k ) . Ta có các trường hợp sau:
Cho hai đường tròn ( C ) và ( C �
) cùng qua cực O thì ảnh của chúng là các đường thẳng d và d �lần
+ Nếu hai đường tròn ( C ) và ( C �
) . Nên góc giữa hai đường tròn
lượt song song với các tiếp tuyến tại O của hai đường tròn ( C ) và ( C �
( C ) và ( C �
) bằng góc giữa hai đường thẳng d và d �.
) không qua cực O .
+ Nếu hai đường tròn ( C ) và ( C �

) với hai

Ta chứng minh bổ đề sau: Phép nghịch đảo N( O;k ) biến đường tròn ( C ) thành đường tròn ( C �
điểm A và A�tương ứng trên hai đường trịn đó, thì các tiếp tuyến tại A và A�của hai đường tròn đối
xứng nhau qua đoạn AA�.

16 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

t'

t

A

A'

O
M'

(C')

M

C1

(C)

Hình 4
hình8

),
Giả sử M và M �là hai điểm tương ứng trên hai đường tròn ( C ) và ( C �
; M ; M �đồng viên trên đường tròn ( C1 ) . Trên ( C )
Ta có OM .OM �
= OA.OA�
 k nên 4 điểm A; A�

ta

) cũng dần tiến đến A�. Do đó MA và M �
cho M dần tiến đến A khi đó M �trên ( C �
A�sẽ biến thành

( C �) tiếp xúc với ( C )
t �cũng là tiếp tuyến của ( C �
) tại A và A�. Suy ra

) tương ứng, khi đó ( C1 ) sẽ biến thành
các tiếp tuyến t và t �của ( C ) và ( C �
) lần lượt tại A và A�. Rõ ràng khi đó t và
và ( C �

1

1

t và t �đối xứng nhau qua trung trực đoạn AA�
. (đpcm).

) cắt nhau tại A , qua phép nghịch đảo N( O;k ) biến
Trở lại định lý: Giả sử hai đường tròn ( C ) và ( C �

( )

= N( O;k ) ( A) . Gọi d1 và d 2 là các tiếp tuyến tại A của ( C ) và
thành ( C1 ) và C1� cũng cắt nhau tại A�

( C�
) , gọi

( )

d1�và d 2�là các tiếp tuyến tại A�của ( C1 ) và C1�, theo bổ đề trên ta có các cặp d1 , d1�

và d 2 , d 2�đối xứng nhau qua trung trực của đoạn AA�
. Theo tính chất đối xứng ta có: số đo của ( d1; d 2 )

(

)

; d 2� ( nhưng chúng ngược hướng nhau)
bằng số đo d1�
Vây phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường trịn.

CHUN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

17 |

Tài liệu vd-vdc

c/ Bảo tồn góc giữa đường thẳng và đường tròn.
Cho đường thẳng d và đường tròn ( C ) tâm I , với phép nghịch đảo N( O;k ) ta có các trường hợp sau:
+ Nếu d và ( C ) cùng qua cực O thì ảnh của ( C ) là đường thẳng d �với d �
song song với tiếp tuyến
d1 tại O nên ( d ; d �
) = ( d ; d1 ) = ( d ; ( C ) ) .

) còn d vẫn giữ
+ Nếu cực O trên d , đường tròn ( C ) khơng qua O thì ảnh của ( C ) là đường tròn ( C �
nguyên. Do ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo N (O;k ) cũng là ảnh của đường tròn qua phép vị tự

V

k
(O ; )
p

).
nên góc giữa d và ( C ) vẫn bằng góc giữa d và ( C �

+ Nếu cực O khơng nằm trên d và ( C ) thì ảnh của d là đường tròn ( C1 ) qua cực O và tiếp tuyến
// d , còn ảnh của ( C ) là đường tròn ( C �
) qua phép nghịch đảo N(O;k ) cũng là ảnh của đường
tại O là d �
tròn ( C ) qua phép vị tự

V

k
(O; )
p

.
t1
t2

A

d

B
t'

C1

A'
(C)

(C')

O

d'

Hình 6

) cũng cắt nhau tại điểm A�( với A�là ảnh của A ).

Giả sử d cắt ( C ) tại điểm A thì ( C1 ) và ( C �
) đối xứng nhau qua
Theo bổ đề trên thì hai tiếp tuyến t1 và t2 tại A và A�của ( C1 ) và ( C �
18 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

) với t �là tiếp tuyến tại A�của
đường trung trực của AA�, góc giữa ( t1; d ) bằng góc giữa ( t2 ; t �
; t2 ) = ( ( C ) ; ( C �
( C1 ) . Do đó ( d ; ( C ) ) = ( d ; t1 ) = ( t �
) ) (đpcm)
Chú ý: Các góc trong phần lý thuyết chỉ quan tâm về độ lớn, không xét về hướng.
Hệ quả:
a) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau và tiếp điểm trùng với cực của phép nghịch đảo thì ảnh của
chúng là hai đường thẳng song song.
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau và tiếp điểm không trùng với cực của phép nghịch đảo N (O;k ) thì
ảnh của chúng tiếp xúc với nhau.

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

19 |


Tài liệu vd-vdc

Chuyên
đề

3
3

HÌNH HỌC

PHẦN III: PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT
PHẲNG

Bài 4:

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẨO

Giáo viên thực hiện chuyên đề: Thầy Ngô Quang Anh
Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu. Tỉnh Đồng Tháp.
Giáo viên phản biện chuyên đề:………………………
Đơn vị công tác: ………………………………………
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy
Để thấy được ý nghĩa của phép nghịch đảo trong việc chuyển những mối quan hệ ràng buộc phức tạp của
đường tròn về các mối quan hệ đơn giản hơn của đường thẳng ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 1. Cho đường trịn (O) đường kính BC. Một điểm A nằm ngồi đường tròn. Gọi D, E lần lượt là
giao điểm của AC, AB với (O). Gọi H là giao điểm của BD, CE. Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của tiếp
tuyến từ A đến (O). Chứng minh rằng H, M, N thẳng hàng.
Phân tích. Như sự phân tích ở phần lý thuyết, việc chọn A làm tâm của phép nghịch đảo là hợp lý. Ta sẽ
chỉ ra một phép nghịch đảo biến 3 điểm nằm trên 1 đường tròn qua tâm của phép nghich đảo thành H, M,
N.

Hướng dẫn giải.
 Ta có H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi A’ là hình chiếu vng góc của A trên BC thì


AH . AA ' = AD. AC = AN 2 và A’ nằm trên đường tròn (OMAN).
Xét phép nghịch đảo tâm A phương tích k = AN 2 . Khi đó I ( A;k ) : M � M ; N � N .
Mặt khác A’ nằm trên đường tròn (AMN) nên I ( A;k ) : ( A ' MAN ) � MN (1)

Hơn nữa: AH . AA ' = k nên I ( A;k ) : A ' � H (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra H thuộc MN.
Để chứng minh tâm của hai đường tròn cùng thêm điểm thứ ba thẳng hàng, việc áp dụng phép nghịch
đảo luôn tỏ ra hiệu quả. Sau đây là ví dụ cho thấy điều đó.
20 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia BA lấy một điểm M bất kì.
Qua M kẻ hai đường thẳng bất kì sao cho một đường thẳng cắt (O) tại E, C và đường thẳng còn lại cắt
(O’) tại F, D. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD, BEF và điểm M thẳng hàng.

Hướng dẫn giải.
 Ta có MA.MB = ME.MC = MF .MD = P( M /( O ) .


Xét phép nghịch đảo tâm M, phương tích k = P( M /( O ) . Ta có
I ( M ;k ) : A � B
C�E
D�F
ޮ I ( M ;k ) : ( ACD) ( BEF )
ޮ
Do đó M cùng với tâm đường trịn ngoại tiếp các tam giác ACD, BEF thẳng hàng (đpcm).

Ví dụ 3. Đường tròn (I;r) nội tiếp ΔABC, tiếp xúc với BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh rằng trực
tâm H của ΔMNP, tâm I, O của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ΔABC thẳng hàng.
Phân tích: Ở bài tốn ta có I, H lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp và trực tâm của MNP. Và ta cần
chứng minh O IH, rõ ràng rất khó nếu ta chứng minh trực tiếp bởi chúng ta khó tìm được mối quan hệ
trực tiếp của 3 điểm, bởi vậy ta sẽ tìm một điểm đặc biệt khác trên IH và chứng minh thơng qua nó và đó
là tậm đường trịn euler của MNP.

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

21 |


Tài liệu vd-vdc

Hướng dẫn giải.

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của IA, IB, IC với NP, PM, MN ޮ A’, B’, C’ lần
lượt là trung điểm của NP, PM, MN ޮ Đường tròn (A’B’C’) là đường tròn euler của
tam ޮMNP. Gọi ޮ là tâm của đường tròn (A’B’C’) ޮ ޮ là trung điểm của IH ޮ IHε
(1)


Ta có IA.IA’ = IB.IB’ = IC.IC’ = r2
 phép nghịch đảo N(I,r2) biến: A ޮ A’
B ޮ B’
C ޮ C’
2
ޮ Phép nghịch đảo N(I,r ) biến đường tròn (O) thành đường tròn (A’B’C’)
ޮ (A’B’C’) là ảnh của (O) trong phép vị tự tâm I tỉ số k =

r2
P( I /( O ))

.

ޮ IOε (2)
Từ (1), (2) ޮ (đpcm)
Ví dụ 4 (IMO 1996, Problem 3). Cho điểm P bên trong ΔABC thỏa: �
APB - �
ACB = �
APC - �
ABC . Gọi
O1, O2 là tâm đường tròn nội tiếp ΔAPB, ΔAPC. CMR: AP, BO1, CO2 đồng quy.
Phân tích: Giả thiết đề bài cho hiệu của các góc bằng nhau, trong khi hiệu các góc khơng chung đỉnh nên
ta sẽ đưa chúng về chung đỉnh thông qua phép nghịch đảo.

22 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Hướng dẫn giải.
 Gọi X = BO1  AP , Y = CO2  AP.
BO1, CO2 lần lượt là phân giác của các góc �
ACP .
ABP và �


XP BP YP CP
=

,
=
XA BA YA CA

BP CP
=
.
BA CA
 Gọi B’, P’, C’ lần lượt là ảnh của B, P, C qua phép nghịch đảo N (A,1) . Áp dụng tính chất 2, ta
có:
� 'P'.
�'P', �
Tứ giác BPP’B’ nội tiếp  �
APC = CC
APB = BB
� 'B', �
� 'C ' .
Tứ giác BCP’C’ nội tiếp  �
ABC = CC
ACB = BB
Ta cần chứng minh X  Y hay



� ' C ' = CC
� ' P ' - CC
� 'B'.  P
�
� ' P ' - BB
Mà �

ACB = �
APC - �
ABC  BB
'C ' B ' =
APB - �
�
P
' B ' C '  P’B’ = P’C’ (1)



Áp dụng tính chất 3, ta có:
BP
BP
�
= B ' P '. AP
AB. AP
AB
CP
CP
C' P ' = 1.
�
= C ' P '. AP
AC. AP
AC
B ' P ' = 1.

Từ (1), (2) 

(2)

BP CP
=
(đpcm)
BA CA

2.2. Chứng minh đồng viên
Tư tưởng: Sử dụng tính chất biến đổi qua lại giữa đường thẳng và đường tròn giúp chúng ta chuyển bài
toán thẳng hàng thành bài toán đồng viên. Hơn nữa, trong một số trường hợp phép nghịch đảo biến
đường tròn này thành đường tròn khác cũng giúp ta dễ dàng hơn trong việc chứng minh đồng viên.
Ví dụ 5. Cho các đường tròn (O 1), (O2), (O3), (O4) lần lượt tiếp xúc ngoài với nhau tại A, B, C, D. Chứng
minh rằng A, B, C, D đồng viên.
Phân tích. Bài tốn có các đường trịn tiếp xúc nhau và Bài tốn u cầu chứng minh đồng viên, đây là
hai đặc trưng làm ta nghĩ đến phép nghịch đảo.
CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

23 |


Tài liệu vd-vdc

Hướng dẫn giải.
Xét phép nghịch đảo I(A, k) với k bất kì biến:
(O1)  d1.
(O2)  d2.
(O3)  (O 3 )
(O4)  (O 4 )
B  B’
C  C’
D  D’

 d1 P d2, (O 3 ) và (O 4 ) tiếp xúc nhau tại C’, d1 tiếp xúc
với (O 4 ) tại D’, d2 tiếp xúc với (O 3 ) tại B’  B’, C’, D’ thẳng
hàng.
 đường trịn (BCD) đi qua A.
 (đpcm).
Ví dụ 6. Cho các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) lần lượt cắt
nhau tại A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2. Chứng minh rằng nếu 4 điểm A1, B1, C1, D1 đồng viên  4 điểm A2,
B2, C2, D2 đồng viên.
Hướng dẫn giải
Bổ đề: Cho hai đường tròn (O) và (O’) giao nhau tại hai điểm A, B. từ điểm S nằm ngồi 2 đường trịn vẽ
các cát tuyến SMN tới (O) và SPQ tới (O’). CMR: MAP  4
điểm S, N, B, Q đồng viên.
Chứng minh.
() MAP .
Ta có (QP, QB) � (AP, AB) (A, Q, P, B đồng viên)
� (NM, NB) (mod  ) (A, B, N, M đồng viên và MAP ).
 S, N, B, Q đồng viên
(): S, N, B, Q đồng viên, ta lại có A, Q, P, B đồng viên và A,
B, N, M đồng viên.
 (AP, AB) � (QP, QB) � (NM, NB) � (AM, AB) (mod )
 MAP .
 (đpcm)
Trở lại bài toán

24 | C CHUYÊN ĐÊ: LƯỢNG GIÁC, XÁC SUẤT, CSN-CSC


Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

A1, B1, C1, D1 đồng viên

Xét phép nghịch đảo N ( A1 ,k ) với k tùy ý biến: (O1)  d1.
(O2)  d2.
(O3)  (O 3 )
(O4)  (O 4 )
B1  B1’
C1  C1’
D1  D1’
A2  A2’
B2  B2’
C2  C2’
D2  D2’.
 B1, C1, D1 d1, d2 giao nhau tại A2’, d1 giao (O 4 ) tại D1’, D2’. d2 giao O3 tại B1’, B2’. (O 3 ) giao (O 4 )
tại C1’, C2’.
Áp dụng trực tiếp bổ đề trên, ta có A2’, B2’, C2’, D2’ đồng viên.
 A2, B2, C2, D2 đồng viên.
Chiều ngược lại chứng minh tương tự  (đpcm).
Chúng ta hồn tồn có thể xét phép nghịch đảo tâm A2 và làm hoàn toàn tương tự vì bổ đề có hai chiều.
Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau cắt nhau tai O. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là các hình chiếu vng góc của O trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp.
Hướng dẫn giải.

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

25 |