Bài soạn Đề tham khảo HSG lớp 9

ĐỀØ THI HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI : TOÁN 9
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 đ)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
2
)3 6 3 3
) 5 4
a x xy y z
b x x
+ + −
+ +

Câu 2: (3 đ)
Chứng tỏ rằng biểu thức
2
2
5 5 9
:
6 3 6 9
x
Q
x x x
− −
 
= +
 ÷
+ + +

 
không phụ thuộc vào biến x (với
mọi x
≠
3)
Câu 3: (3 đ)
Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết rằng tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số
đầu là 144.
Câu 4: (4 đ)
Giải các phương trình sau:
( ) ( )
3 2
) 2 2 4 0
2
)
2( 3) 2 2 1 3
a x x x
x x x
b
x x x x
− − + =
+ =
− + + −
Câu 5: (4 đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC,
cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác BDE là tam giác cân
b)
ACD BDC∆ = ∆
.

(BT 18, SGK Đại số 8, tập 1 trang 75).
Câu 6: (4 đ) Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm. (VD 1 Sách nâng cao trang 84)
HẾT
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 9
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
)3 6 3 3
3( 2 )
3 2
3
3( )( )
a x xy y z
x xy y z
x xy y z
x y z
x y z x y z
+ + −
= + + −
 
= + + −
 

 
= + −
 
= + + + −
( )
( )
2
2
2
) 5 4
4 4
4 4
+ +
= + + +
= + + +
b x x
x x x
x x x
( 1) 4( 1)
( 1)( 4)
= + + +
= + +
x x x
x x
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
2
Ta có:
2
2
2
5 5 9
:
6 3 6 9
5( 3) 30 ( 3)( 3)
:
6( 3) ( 3)
5 15 3
:
6( 3) 3
5( 3) 3
.
6( 3) 3
x
Q
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
− −
 

= +
 ÷
+ + +
 
− + + − +
=
+ +
− + −
=
+ +
− − +
=
+ −
5
6
−
=
không phụ thuộc vào biến x
1,0
1,0
1,0
3
Gọi k là số tự nhiên chẵn thì số tự nhiên chẵn liền trước k là k – 2
và số tự nhiên liền sau k là k + 2. Theo đề bài ta có:
k(k + 2) – k(k – 2) = 144
2 2
2 2 144
4 144
36
k k k k

k
k
⇔ + − + =
⇔ =
⇔ =
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 34, 36, 38
1,0
1,0
0,5
0,5
4
3 2
2
2
2
) 2 2 4 0
( 2) 2( 2) 0
( 2)( 2) 0
2 0
2 0
2
2
a x x x
x x x
x x
x
x
x
x
− − + =

⇔ − − − =
⇔ − − =
− =

⇔

− =

=

⇔

= ±

Vậy pương trình có nghiệm là x=2,
2, 2x x= = −
.
( ) ( )
2
) (1)
2( 3) 2 2 1 3
x x x
b
x x x x
+ =
− + + −
ĐKXĐ:
1, 3x x≠ ≠
( 1) ( 3) 4
(1)

2( 1)( 3) 2( 1)( 3)
x x x x x
x x x x
+ + −
⇔ =
+ + + +
( 1) ( 3) 4suy ra x x x x x+ + − =
2 2
2
3 4 0
2 6 0
2 ( 3) 0
2 0 0 (
3 0 3 ( )
x x x x x
x x
x x
x x TM
x x
⇔ + + − − =
⇔ − =
⇔ − =
= =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 
ĐK)
loại

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
5
a) Vì AB // DC (gt)
⇒
AB // DE
và AC // BE (gt)
Do hai đường thẳng song song (AB // DE) chắn bởi hai đường thẳng
song song (AC // BE)
⇒
AC = BE
Mà AC = BD (gt)
Suy ra BD = BE
Xét tam giác BDE có BD = BE
Vậy tam giác BDE cân tại B (đpcm)
b) Vì tam giác BDE cân tại B nên ta có : D
1
= E (1)
Vì AC // BE (gt) và E và C
1
là hai góc đồng vò
Nên C

1
= E (2)
Từ (1) và (2) suy ra D
1
= C
1
Xét hai tam giác ACD và BDC có:
AC = BD (gt)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
E
D
C
B
A
D
1
= C
1
(chứng minh trên)
DC là cạnh chung.
Vậy
∆ = ∆ − −ACD BDC c g c( )
0,5

0,5
6
E
H
D
C
B
A
Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Gọi BH là
đường cao của hình thang. Ta có BE // AC, AC
⊥
BD nên BE
⊥

BD.
Áp dụng đònh lí Py-ta-go cho tam giác BDH, ta có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
BH HD BD 12 HD 15
HD 15 12 225 144 81
HD 9 (cm).
+ = ⇒ + =
⇒ = − = − =
⇒ =
Xét tam giác BDE vuông tại B.
2
2
BD DE.DH
15 DE.9
DE 225 : 9 25 (cm).

=
⇒ =
⇒ = =
Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm)
Do đó S
ABCD
= 25.12 : 2 = 150 (cm
2
).
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5