Bài soạn Đề tham khảo HSG lớp 9

ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN : TOÁN 9
THỜI GIAN : 150 PHÚT
Câu 1 (3điểm). Cho a > o, b > o. Chứng minh:
2 ab
ab
a b
≤
+
.
Câu 2 (4điểm). Tính tổng sau:
axaxax
a
axax
a
axax
a
4
1
)4)(3()3)(2()2)((
+
+
++
+
++
+
++
Câu 3 (5điểm). Giải phương trình.
05
2001

9
2003
7
2005
5
2007
3
2009
1
=−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
xxxxx
Câu 4.(3điểm) Cho biểu thức
2
1 1 1
.
2
2 1 1
a a a
M
a a a
   

− +
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
với a > 0 và
1a ≠
.
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm giá trị của a để M > 0.
Câu 5 (5 điểm). Cho đường ròn tâm (O), bán kính R, A và B là hai điểm trên đường tròn.
Trên OA, OB lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho OM = ON, kẻ dây CD qua M và N (M nằm
giữa C và N).
a) Chứng minh rằng: CM = DN.
b) Cho tam giác AOB vuông tại O. Tính OM và ON theo R. Biết CM = MN = ND.
---HẾT---

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN : TOÁN 9
THỜI GIAN : 150 PHÚT
Câu 1. Áp dụng bất đẳng thức Cối cho hai số dương ta có:
2 .a b a b≤ +
1.0 điểm
( )
. .
2 . . .
a b a b
a b a b

a b a b
⇒ ≤ +
+ +
1.0 điểm
2
.
ab
a b
a b
≤
+
1.0 điểm
Câu 2. Ta có:
axaxaxax
a
2
11
)2)((
+
−
+
=
++
1.0 điểm
axaxaxax
a
3
1
2
1

)3)(2(
+
−
+
=
++
1.0 điểm
axax
axaxaxax
a
4
1
4
1
4
1
3
1
)4)(3(
+
=
+
+
−
+
=
++
1.0 điểm
Cộng các đẳng thức trên vế với vế ta được:
axaxaxax

a
axax
a
axax
a
+
=
+
+
++
+
++
+
++
1
4
1
)4)(3()3)(2()2)((
1.0 điểm
Câu 3. Ta có:
01
2001
9
1
2003
7
1
2005
5
1

2007
3
1
2009
1
05
2001
9
2003
7
2005
5
2007
3
2009
1
=






−
−
+







−
−
+






−
−
+






−
−
+






−

−
⇔
=−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
xxxxx
xxxxx
1.5 điểm
0
2001
2010
2003
2010
2005
2010
2007
2010
2009
2010
=
−
+
−

+
−
+
−
+
−
⇔
xxxxx
1.5 điểm
0
2001
1
2003
1
2005
1
2007
1
2009
1
)2010(
=






++++−⇔
x

1.0 điểm
2010
02010
=⇔
=−⇔
x
x
Vậy
{ }
2010
=
S
1.0 điểm
Câu 4.
a)
2
1 1 1
.
2
2 1 1
a a a
M
a a a
   
− +
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   

1.0 điểm
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1 1
. 1
.
2
1 1
a a
a a
a
a a
− − +
 
−
=
 ÷
 ÷
+ −
 
( )
( )
( )
( )
2
2
1 2 1 2 1
.

1
2
1 . 4
1 4
4a
2
1
a a a a a
a
a
a a
a a
a
a
a
− − + − − −
 
=
 ÷
−
 
− −
−
= =
−
=
1.0 điểm
b) Do a > 0 và
1a
≠

nên M > 0 khi và chỉ khi
1
0 1 0 1
a
a a
a
−
> ⇔ − > ⇔ <
1.0 điểm
Câu 5. Học sinh tự vẽ hình.
a) Chứng minh CM = DN
Kẻ
O DI C⊥
thì: IC = ID và IM = IN (do tam giác OMN cân tại O)
CM IM DN IN
CM DN
⇒ + = +
⇒ =
1.0 điểm
b) Đặt
2 2IM x MN IM x= ⇒ = =
Ta có:
3IC CM IM MN IM x
= + = + =
1.5 điểm
Tam giác OIC vuông tại I, ta có:

2 2 2
2 2 2
9 (1)

OI OC IC
OI R x
= −
⇒ = −
1.0 điểm
Tam giác MON vuông cân tại O nên OI = IN = x
Từ (1)

2 2 2
2 2
9
10
2. 2.
10
5
5
R
x R x x
OM ON IM OI
R
x
R
⇒ = − ⇔ =
⇒ = = +
= =
=
1.5 điểm