tài liệu xstk k56 clc nguyenvantien0405

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 2

1

PHẦN 1.

BIẾN NGẪU NHIÊN

MỘT CHIỀU

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Khái niệm

• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị số
phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.

• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …

• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …

• Với mọi số thực x ta có {X≤x} là một biến cố
ngẫu nhiên.

2

Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày

• Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại

• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi
Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người

• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới
nhập về

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 3

• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy
ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi
vàng có trong 2 viên lấy ra.

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.

• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

4



0 1 2; ;



Y

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Phân loại bnn

5

Rời rạc
Có hữu hạn giá trị

Có vơ hạn đếm
được giá trị

Bnn X

Liên tục
Giá trị lấp đầymột
hay vài khoảnghữu

hạn hoặc vô hạn
P(X=a)=0 với mọi a

Hai biến ngẫu nhiên độc lập

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến

cố:

• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.

• Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến hai
biến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Luật phân phối xác suất

• Biểu diễnquan hệgiữa cácgiá trịcủa biến

ngẫu nhiên vàxác suấttương ứng.
• Dạng thường gặp:

–Hàm phân phối xác suất (CDF)
–Phân phối xác suất (PMF, PDF)

7

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất (cumulative

distribution function), viết tắt CDF của biến
ngẫu nhiên X là hàm xác định:

• Trong đó: {X≤x} là ký hiệu biến cố “bnn X nhận
giá trị nhỏ hơn hay bằng x”

• Đơi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất

8





( ) ;

X x

F x P X    x 

• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng
x, với x là một giá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên
trái số x.

• Xác suất X thuộc (a,b]

)

( b F( ) ( )a

P aX   b F

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

10

i) 0F xX

 

  1, x R

ii) F xX

 

là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu

X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x

 

là hàm liên tục
trên R.

iii) FX

 

 _xlim_F xX

 

0

 

lim

 

1

X _x X

F F x



  

iv) P a X



 b



F bX

 

F aX

 

.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hàm phân phối xác suất

11

Bnn Rời rạc - Hàm khối xác suất

• Probability mass function (PMF)

• Tính chất:

 





X

p

x



P X



x

 

 

 

 

) 0

) 1

)

X
X
x

X
x A

i p x
ii p x
iii P A p x











• Dạng bảng

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bnn Rời rạc - Bảng ppxs

• Bảng phân phối xác suất của X.

• xi: giá trị có thể có của bnn X

• pi: xác suất tương ứng;

• Chú ý:

13
X x1 …. x2 …. xn

P p1 …. p2 …. pn

1

1

n
i
i

p







( ) ( )

i X i i

p p x P Xx

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bnn Rời rạc - Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:

14

 

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0 ,
,
,
...
... ,
X

k k k

x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x



 _{ }

_   


   


 





 

k

X X k

x x

F x P X x p x



  



Ví dụ 4

Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt.
Không gian mẫu là:Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁; 𝑁𝑆; 𝑁𝑁}

Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.
Hàm khối xác suất:

 

1/ 4

;

0

2

1/ 2

;

1

0

;

0; 1; 2

X

x

x

p

x

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 4

• Hàm phân phối xác suất:

16

X 0 1 2

P 1/4 1/2 1/4

 

0

,

0

1/ 4

,0

1

3 / 4

,1

2

1

, 2

X

x

x

F x

x

x







_{ }



 

_{ }









Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 5

• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt
loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.

• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A
lấy ra?

• Xác định PMF, CDF?

• Đáp án

• Gọi X: số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra.

17

 

6 42





2
10

0,1,2

x x

X

C C

p x x

C



 

Ví dụ 6

Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản
phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và
từ kiện 2 ra 1 sản phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm
tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Biến ngẫu nhiên liên tục

• Xác suất khơng “tập trung” tại các điểm giá trị

• Chỉ quan tâm đến xác suất trong một “khoảng”

• Để thể hiện xác suất ta sử dụng mật độ xác suất

19

       

0
)

)

(X a) , a

ii P a X b P a X b P X b P a X b

i P   

         

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bnn Liên tục - Hàm mật độ xác suất

• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs FX(x). Nếu tồn

tại hàm fX(x) sao cho:

• Thì fX(x) gọi là hàm mật độ của bnn X
• Viết tắt là: PDF (probability density function)

20

 

 

,

x

X X

F x f t dt x R





_

 

Tính chất

iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:

 

 





 





) 0

) 1

)

b
a

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx P a X b





  



     





 

 

'

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hàm mật độ xác suất

22

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hàm mật độ xác suất

• Nếu X liên tục thì:

23

 

f x

x

 

F x

 

x

 

F x f t dt





_

 

'

 

f x F x

Ví dụ 8

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác
suất

• A) Xác định hệ số k

• B) Tìm hàm mật độ xác suất

 

2

0 , 0

,0 1

1 ,1
x

F x kx x

x





_  

 _



 

2 , 0



1



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 9

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Xác định hệ số k

• B) Tìm hàm ppxs F(x)

• C) Tính xác suất P(2<X<3)

• D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X. Tính
xác suất bnn X khơng nhận giá trị trong khoảng
(2;3)

25

 

2



1



k

f x x

x

 

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ 11. Cho X có bảng ppxs:

Ví dụ 12. Cho bnn X có PDF:

Tìm luật ppxs của bnn Y=X2

26

X -1 0 1 2

P 0,1 0,2 0,3 0,4

  

2 1

 

0

1



X

f

x





x

 

x

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• Mốt (Mode) m₀

• Trung vị (Median) me

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)

• Độ lệch chuẩn (Standard Error)

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV

• Hệ số bất đối xứng (Skewness)
• Hệ số nhọn (Kurtosis)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tham số đặc trưng

28

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

ModX, Mode X

Ký hiệu:
Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

29

 

0 _{x R}

 

f m max f x






0



_i



i



P Xm max P x x

0

ModX



m

Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, melà giá trị chia đơi hàm phân

phối.

• Nếu X rời rạc:

• Nếu X liên tục:









0,5
0,5

e

e

P X m
P X m

  




 



 

0,5

 

e

e

m

m

f x dx f x dx





 

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Median (Trung vị)

• Nếu X liên tục thì:

31

  0,5

e

m

f x dx






1 0,5

S 

e

m

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 12

Tìm ModX và Med X của bnn X biết:
a) Bảng phân phối xác suất

b) Hàm mật độ xác suấtXác định ModX, MedX

32

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

   

 

3

2 ,0 2

4

0 , 0,2

x x x

f x

x

 _ _{ }


 

 



Kỳ vọng (Expected Value)

• Ký hiệu: E(X), mean, M(X)

• Định nghĩa:

• E(X) là trung bình theo xác suất của X

• Có cùng đơn vị với X

 

i i

 

i

x p x
E X

x f x dx







 







</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

• Tung ngẫu nhiên 1 cục xúc sắc. Hỏi về lâu dài ,
số chấm trung bình của 1 lần tung là bao nhiêu
(nếu số lần tung đủ lớn)?

• Giải.

• Giả sử ta có các kết quả tung như sau:

Ví dụ về kỳ vọng

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Gọi n1,n2,…n6 là số lần xuất hiện mặt số
1,2,…,6

• Giá trị trung bình sau n lần tung

• Khi n rất lớn thì???

35

1 2 6 1 2 6

1 2 6

1 2 6

1 2 6 1 2 6

n n n n n n

X f f f

n n n n

  

 . . ... .  .  .  ... .  .  . .... .

Một số nhận xét

• E(X) giá trị trung bình theo xác suất của bnn X
(trong một quá trình lâu dài); phản ánh giá trị
trung tâm của ppxs của bnn

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 15

• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1
ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành
công (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dự
kiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng
thành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử
kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau.

• A) Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng là
bao nhiêu?

• B) Nêu ý nghĩa của giá trị vừa tìm được.

37

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hướng dẫn

• Gọi X là lợi nhuận của nhân viên bán hàng.

• Xác định giá trị của X

• Xác định xác suất tương ứng

38

Ví dụ 16

• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở
1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này
nhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.

• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực
phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá
20/kg ngàn mới hết hàng.

• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên
nhập thêm 20kg mỗi ngày hay khơng

X 80 100 120 150

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hướng dẫn

• Gọi Y100 và Y120 là tiền lãi thu về khi bán 100;
120kg

• Xác định giá trị và xác suất của Y100, Y120

• Tính giá trị kỳ vọng tương ứng

• Chú ý.

–Có thể gọi X100, X120 là số kg thực phẩm bán được
khi nhập về 100, 120kg.

–Xác định quan hệ giữa Yi và Xi

40

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 17

• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.

41

 

3





20.000 ₁₀₀

f x x

x

 

Ví dụ 18

• Cho bnn X có pp mũ nghĩa là PDF có dạng:

• A) Kiểm tra lại hàm mật độ trên

• B) Tính E(X)

• Hướng dẫn.

• - Hai tính chất của hàm mật độ

• - Tìm giới hạn bằng cơng thức L’Hospitale

 

x



0



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

43

 

1) Tính chất 1: E(C)=C với C là hằng số
2) Tính chất 2: E(C+X)=C+E(X)

3) Tính chất 3: E(C.X)=C.E(X)
4) Tính chất 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

5) Tính chất 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) nếu X và Y độc lập

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Kỳ vọng của hàm của bnn

• Cho bnn X và hàm(x)

• Kỳ vọng tốn học của hàm Y=(X):

44

 





   

   

i i
i

x p x

E X

x f x dx













 







,với X rời rạc
,với X liên tục

Ví dụ 19

• Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:





2

 

1 2 3

C

P X k p k k

k

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 20

• Vịng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36.

• Gọi X là số mà quả bóng rơi vào

• Y là số tiền phải trả cho người chơi

• Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu
để có lợi.

46
5 0
10 00
1
2
X
X
Y
X odd
X even
 
 _

 



,
,
, is
, is

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Phương sai (Variance)

• Ký hiệu: V(X); Var(X); VX

• Định nghĩa:

• Rút gọn:

47

 

 

2

 

₂ ₂

V X E X E X_  _ E X 

 



 









  

2
2
2
i i
i
x p

V X E X E X

x f x dx





 _

   
 






,nếu X rời rạc.
,nếu X liên tục.

Phương sai (Variance)

• Cơng thức rút gọn:

• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2

 

 

 

 

2
2
2
2

i i
i

x p E X

V X

x f x dx E X


 _

 
 






,nếu X rời rạc.
,nếu X liên tục.

 

 

2

 

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ý nghĩa của phương sai

• Đặc trưng cho độ phân tán của bnn quanh giá

trị trung bình

• Đặc trưng cho sai số của thiết bị (trong kỹ
thuật)

• Đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định
(trong kinh tế, kinh doanh)

49

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Phương sai của hàm bnn

50

 





 

 

2

X

V  X E_ X _ _

 

 







 

 



 

 







 

_{ }



 

2

2
X
x

X

V

X

x

p x

V

X

x

f x dx

































Tính chất của phương sai

 

2

1 1 i

1) Tính chất 1: V(C)=0 với C là hằng số
2) Tính chất 2: V(C+X)=V(X)

3) Tính chất 3: V(C.X)=C .V(X)

4) nếu X và Y độc lập

nếu các X độc lập toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V n _i = n _i øn phaàn

i i

X V X

 

 

 








</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 23

• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là
các bnn độc lập X, Y:

a) Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành
nào?

b) Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?
c) Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ

lệ nào?

52

X 0 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35
P 0,2 0,45 0,35

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hướng dẫn

• A), B)

• C) Gọi k là tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành A

• Tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành B là: (1-k)

• Lợi nhuận thu về khi đầu tư vào cả 2 ngành
theo tỷ lệ trên là Z

• Xác định quan hệ giữa Z và X, Y, k

• Tìm k để V(Z) nhỏ nhất

• Nhớ: tìm min/max trên đoạn

53

Ví dụ 24

• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1

tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền
lãi trong 1 tháng?

• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung
bình và phương sai của tiền lãi thu được.

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau.
Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong
2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi khơng dưới 50
triệu.

• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?

X 0 15 30
P 0,3 0,5 0,2

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hướng dẫn

• A) Tổng tiền lãi aX+bY

• B) Tiền lãi: 2X

• C) Tiền lãi: X1+X2 với Xi có ppxs như X

• P(X1+X2<50)

• D) P(Y>X)

55

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập
trung của X.

• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X

• Đặt:

• (X) có đơn vị là đơn vị của X và gọi là độ lệch
chuẩn của bnn X.

56

 

X V X

 

 

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• Cho X là bnn có kỳ vọng  và độ lệch chuẩn

>0.

• Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.

X

Z 





 

0

 

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu
nhiên X (đơn vị: tháng) với PDF như sau:

• Tìm hằng số k?

• Xác định CDF?

• Tính tuổi thọ trung bình của loại cơn trùng trên.

58

 

2



₄



_,



₀ ₄



f x kx x  x

Ví dụ 25

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CV(X).

• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CV(X) càng nhỏ
bnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn khơng có cùng
đơn vị, khơng có cùng kỳ vọng.

59

  _{ }X .100%    0

CV X E X

E X



 

Bài tập 1,2

1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng
chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 con
xúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X?
Tính E(X), V(X)

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 3

Tuổi thọ một loại cơn trùng là X (tháng) có hàm
mật độ

a) Tìm hằng số k
b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất cơn trùng chết trước khi nó được
1 tháng tuổi

61

 





 

 

2 ₄ _, _{0; 4}

0 , 0;4

kx x x

f x

x

  



  _



Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 4

Cho bnn X có hàm mật độ

và E(X)=0,6; V(X)=0,06
a) Tìm a,b,c?
b) Đặt Y=X3_{. Tính E(Y)}

62

 

 

 

2 _, _0;1

0 , 0;1

ax bx c x

f x

x

   


 




Bài tập 5

• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số
cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về
loại sách này như sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán
ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm
phải hạ giá với giá 5USD một cuốn.

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 5

• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được
trung bình là bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì
vọng là lớn nhất.

64

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bài tập 6

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.
b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

65

   

 

1

sin , 0,
2

0 , 0,

x x
f x

x

 _ _


 

  



Bài tập chương 2

• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9;

• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17;

• 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25

• 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32

• 2.33; 2.34; 2.37

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 2

67

PHẦN 2.

BIẾN NGẪU NHIÊN

HAI CHIỀU

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Yêu cầu

• Phân phối lề

• Phân phối và các đặc trưng có điều kiện

• Cov(X, Y)

• Hệ số tương quan

• Hàm hồi quy

68

Biến ngẫu nhiên hai chiều

• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu

nhiên.

• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc

• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1

• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu
kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X và
chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).

• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3
chiều (vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)

• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể
tích V của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều
(W,V)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hàm ppxs đồng thời

• Cho biến ngẫu nhiên (X, Y)

• Hàmphân phối xác suất đồng thờicủa biến hai
chiều (X,Y):

• Trong đó: {X≤x, Y≤y} là ký hiệu biến cố “bnn X
nhận giá trị nhỏ hơn hay bằng x” và “bnn Y
nhận giá trị nhỏ hơn hay bằng y”

• Để tiện ta còn ký hiệu FX,Y(x,y) là F(x,y)

71

 





, , , , ,

X Y

F x y P X x Yy x y R

Tính chất

 

 

 





 





 





 

 





 

 





,
,

) 0 , 1

) ,

) lim , 0 ,

lim , 0 ,

lim , 1

) lim

,
,

lim ,

không giảm theo từng biến.

x
y

X Y Y

x

X Y X

y

x
y

i F x y

ii F x y

iii F x y F y

F x y F x

F x y F

iv F x y F y P Y y
F x y F x P X x

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Phân phối xs thành phần

• Đây là các phân phối xác suất thành phần của X và
Y.

• Là phân phối xác suất thành phần của biến hai
chiều (X, Y).

• Là phân phối biên (phân phối lề) của ppxs đồng
thời FX,Y(x,y)

73





 





 





 





 

, ,

, ,

; lim ,

; lim ,

X Y _y X Y X

X Y _x X Y Y

F x F x y P X x F x

F y F x y P Y y F y





    

    

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tính độc lập của các biến nn

• Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu

mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trị
khác không ảnh hưởng đến phân bố xác suất
của biến ngẫu nhiên kia.

• Định lý:Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biến
ngẫu nhiên (X,Y). Khi đó, X và Y độc lập khi và
chỉ khi:

74





   

, , .

X Y X Y

F x y F x F y

Hàm khối xs đồng thời của (X,Y)

• Ký hiệu: pX,Y(x,y)

• Tính chất:

 





, , ,

X Y

p x y P X x Yy

 

 

,
,

) , 0, ,

) , 1

X Y

X Y
x y

i p x y x y R
ii p x y

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

76

y1 y2 … yj … ym ∑

x1 p11 p12 … p1j … p1m p1●

x2 p21 p22 … p2j … p2m p2●

… … … …

xi pi1 pi2 … pij … pim pi●

… … … …

xn pn1 pn2 … pnj … pnm pn●

∑ p●1 p●2 … p●j … p●m 1
Y

X

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

• Trong đó:

77



 



,
1 1
1 1
) , ,
) 1
) ;

ij X Y i j i j

n m
ij

i j

m n

i ij j ij

j i

i p p x y P X x Y y

ii p

iii p p p p

 
 
 
   

 







Hàm ppxs đồng thời _ Rời rạc

• Hàm ppxs đồng thời

• Hàm khối xác suất biên:

 





, , , ,

i j

X Y X Y i j

x x y y

F x y p x y

 


 

 









  







,
1
,
1
,
,
m

X i i X Y i j

j
n

Y j j X Y i j

i

i

j

p x P X x p x y p

p y P Y y p x y p

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ppxs thành phần (phân phối lề)

• Bảng phân phối xác suất của X:

• Bảng phân phối xác suất của Y:

79

X x1 x2 … xn

P p₁● p2● … pn●

Y y1 y2 … ym

P p●1 p●2 … p●m

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2

• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối
xác suất:

• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.

• Tính F(2,3)

80

1 2 3

1 0,10 0,25 0,10
2 0,15 0,05 0,35
X Y

Ví dụ 3

• Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp có 3 bi đỏ, 2 bi
vàng, 4 bi xanh. Gọi X, Y tương ứng là số bị đỏ
và số bi vàng có trong 2 bi lấy ra.

• A) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y

• B) Tính P(X+Y<2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hai bnn độc lập

• Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc

lập nếu:

• Dấu hiệu:

• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.

• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.

82



i, j





i





j



ij i j

P X x Y y P X x P Y y
hay p p p

    

 

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 4

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)

• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).

83

1 2 3

6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X Y

Ppxs có điều kiện

• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:

• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:

• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:

 

 

 

, , ; ;

X Y X Y

p x y p x p y

 _|  X Y,  _{ },

X

Y

p x y
p x y

p y



_{y | x} X Y,  _{ },

Y

X

p x y
p

p x

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)

• Kỳ vọng có điều kiện của Y khi cho X=x (còn gọi là
hồi quy của Y theo X khi X=x)

• Kỳ vọng có điều kiện của X khi cho Y=y (còn gọi là

hồi quy của X theo Y khi Y=y)

85



|



. Y



|



y

E Y X x 



y p y x



|



. X



|



x

E X Yy 



x p x y

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Bảng ppxs điều kiện 1

• PPXS của X với điều kiệnY=yj

• Kỳ vọng của X với điều kiệnY=yj

86









2
1 2
1 ...
...

j

j j nj

n

j

j j j

X Y y

p p p

P X

x x x

Y y

p_ p_ p_










1 1 2 2



1

...

j j j n nj

j

E X Y y x p x p x p

p_

    

Bảng ppxs điều kiện 2

• PPXS của Y với điều kiệnX=xi

• Kỳ vọng của Y với điều kiệnX=xi









2
1 2
1 ...
...
i

i i im

m

i

i i i

Y X x

p p p

P Y

y y y

X x

p p p








 1 1 2 2 

1 _...

i i i m im

i

E Y X x y p y p y p

p

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 5

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?

• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?

88

1 2 3

6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X Y

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 6

• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một cơng ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:

89

500

(400-600) (600-800)700 (800-1000)900

30 0,10 0,05 0

50 0,15 0,20 0,05
80 0,05 0,05 0,35
X

Y

Ví dụ 6

• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì
chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 6a

• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai
ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)
có ppxs đồng thời như sau:

• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bình
của từng ngân hàng.

91

-2 5 10

- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35

X Y

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 6a

• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?

• C) X và Y có độc lập nhau khơng

• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)

92

-2 5 10

- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35

X Y

Các tham số đặc trưng

• Hiệp phương sai (Covariance)

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Kỳ vọng của hàm theo X,Y

• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là

biến mới.

• Ta có:

94







,





i, j

 

i, j



i j

E h X Y 



h x y P X x Y y







,



 

, X Y,

 

,
x y

E h X Y 



h x y p x y

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 7

• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng
thời như sau:

• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2

95

1 2 3

4 0,10 0,15 0,1
5 0,25 0,20 0,2

X
Y

Ví dụ 8

• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:
(X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)

pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2

 



 























0 0 .0,1 0 1 .0, 2

0 2 .0,3 1 0 .0,05 1 1 .0,15

1 2 .0, 2 1,75

E Z E X Y    

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hiệp phương sai (Covariance)

• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y,

ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng tốn của tích các sai
lệch của các bnn đó và kỳ vọng tốn của chúng.

• Tên gọi khác: tích sai

97











cov X Y, E XX YY





 

cov

X Y

,



E XY



 

_X _Y

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất Covariance 1

98













 





























1) cov , cov ,

2) cov ,

3) cov ', cov , cov ',

4) cov , cov ,

5) cov , cov ,

X Y Y X

X X V X

X X Y X Y X Y

kX Y k X Y

aX c bY d ab X Y




  



  

Ví dụ 9

-2 5 10

- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất Covariance 2

100









 

 









 

 









   

2
2
2

6) cov , 0,

7) 2 cov ,

8)
9) co
2 co
v
,
,
v
.

Nếu X và Y độc lập thì
ngược lại khơng chắc đúng.

X Y

V X Y V X

V aX bY a V X b V Y ab X Y

X Y

V Y X

V X V Y

Y



   








Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hệ số tương quan

• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y
ký hiệu và định nghĩa bởi cơng thức:

• Hệ số tương quan cịn ký hiệu là:

101





,
cov ,
X Y
X Y

X Y

 




X Y,

 

;r X Y,





Tính chất





,
,
,
,
,
,

) 1 1

) 0.

)

) , 0

1
1

với mọi X, Y.
Nếu X và Y độc lập thì

nếu ab>0
nếu ab<0
khi và chỉ khi:

nếu a>0
nếu a<0

X Y

X Y

X Y
aX c bY d

X Y

X Y

i
ii
iii

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ý nghĩa

• Hệ số tương quan đo mức độphụ thuộc tuyến
tínhgiữa X và Y.

• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến

tính càng chặt.

• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến

tính càng yếu.

• Khi ρX,Y= 0 ta nói X và Y không tương quan.

103

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Hàm hồi qui của X đối với Y

• Kỳ vọng có điều kiện:

là một hàm theoy, được gọi là hàm hồi quy của X
đối với Y. Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ
Decartes gọi là đường hồi quy.

Chú ý:

104





E X Y



y



1

, ,...,

2 m



y



y y

y

Hàm hồi qui của Y đối với X

• Kỳ vọng có điều kiện:

là một hàm theox, được gọi là hàm hồi quy của Y
đối với X.

Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy.

Chú ý:





E Y X



x



1

, ,...,

2 n



</div>

<!--links-->