slide xstk chương 12 k53f nguyenvantien0405

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Định nghĩa

• <b>_{Định nghĩa 1.}</b>_{Biến ngẫu nhiên là một đại lượng}

nhận giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép thử
ngẫu nhiên. Giá trị của nó là ngẫu nhiên khơng
dự đốn trước được.

• <b>_{Định nghĩa 1.}</b> _{Biến ngẫu nhiên là một hàm số}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 1

• _{X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày}

• _{Y: Tuổi thọ của iphone 6}

• _{Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi}

Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người

• _{T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới}

nhập về

• _{U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 2

• _{Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:}

– _{Đồng xu ngửa : “N”}
– _{Đồng xu sấp: “S”}

Đặt

Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.

Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.
0

1

<i>nếuSấp</i>
<i>X</i>

<i>nếu Ngửa</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 3

• _{Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy}

ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi
vàng có trong 2 viên lấy ra.

• _{Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.}

• _{Ta có:}

• _{“Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???}



0 1 2; ;



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Định nghĩa (tham khảo)

Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian
mẫu các biến cố sơ cấp vào tập số thực

Chú ý:

- _{X là bnn}

- _{{X=x} hoặc {X<x}, … là biến cố.}

 

:

<i>X</i> <i>R</i>

<i>X</i>

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Phân loại bnn

<b>Rời rạc</b>

Giá trị X liệt kê
được thành một

dãy số hữu hạn

hoặc vô hạn

<b>Bnn X</b>

<b>Liên tục</b>

Giá trị X lấp đầy một
khoảng hay một số
khoảng của trục số,

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Luật phân phối xác suất

•

_{Biểu diễn}

_{quan hệ}

_{giữa các}

_{giá trị}

_{của biến}

ngẫu nhiên và

xác suất

tương ứng.

– _{Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì}

– _{Xác suất để bnn nhận giá trị trong một}

khoảng bất kì

•

_{Dạng thường gặp:}

<b>_{công thức, bảng ppxs,}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Luật phân phối_Công thức

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bảng ppxs

• <b>_{Ví dụ 2.}</b>_{Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Luật ppxs_Bảng

• _{Bảng phân phối xác suất của X.}

• <i>x_i</i>: giá trị có thể có của bnn X

• <i>p_i</i> : xác suất tương ứng; <i>p_i=P(X=x_i).</i>

• _{Chú ý:}

<i>X</i> <i>x₁</i> <i>…. x₂</i> <i>…. x_n</i>
<i>P</i> <i>p₁</i> <i>…. p₂</i> <i>…. p_n</i>

1

<i>n</i>

<i>i</i>

<i>p</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Luật ppxs_Bảng

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• _{Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký}

hiệu F(x), định nghĩa như sau:

• _Hay





( )

<i>x</i>

<i>F x</i>



<i>P X</i>







( )

<i>t</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• _{Cho bnn X có bảng pp}

• _{Tìm hàm ppxs của bnn X và vẽ đồ thị}

• _Tính

• _{F(x) có liên tục tại x với x}__{0,1,2,3}

<i>x</i> 0 1 2 3

<i>f(x)</i> 2/35 11/35 16/35 6/35

 

 

 

 

2 2

lim , lim , lim , lim

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>  <i>F x</i> <i>x</i>  <i>F x</i> _{ } <i>F x</i> _{  } <i>F x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• _{Cho X là bnn}_{rời rạc}_{có tập giá trị được sắp}

• _{Khi đó:}

1 2 3

....

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



và

<i>P X</i>





<i>x</i>

<i>i</i>





<i>p</i>

<i>i</i>

 

1

1 1 2

1 2 2 3

0 ,
,

,
...
... ,
<i>x x</i>

<i>p</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>F x</i> <i>p</i> <i>p</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>p</i> <i>p</i> <i>x</i> <i>x x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

• _{Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một}

giá trị bất kì.

• _{Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên}

trái số x.

• _{Xác suất X thuộc [a,b)}

)

(

<i>b</i>

<i>F</i>

( )

( )

<i>a</i>

<i>P</i>

<i>a X</i>







<i>b</i>



<i>F</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17></div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Biến ngẫu nhiên liên tục

• _{Cho X là bnn liên tục}

• _{Ta có:}

• _{Để thể hiện xác suất ta sử dụng hàm số.}

• _{Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất}

















0
)

)

(<i>X</i> <i>a</i>) , <i>a</i>

<i>ii P a X</i> <i>b</i> <i>P a X</i> <i>b</i> <i>P X</i> <i>b</i> <i>P a X</i> <i>b</i>

<i>i P</i>   

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất
f(x) thỏa mãn 2 điều
kiện:

 

 

) 0 ,

) 1

<i>i f x</i> <i>x R</i>

<i>ii</i> <i>f x dx</i>



 

  



</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20></div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Định nghĩa

• <b>_{Định nghĩa.}</b>_{Hàm số f(x) gọi là hàm mật độ xác}

suất của biến ngẫu nhiên X nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:

 

 





 

) 0

) 1

)

<i>b</i>

<i>i</i> <i>f x</i> <i>x R</i>

<i>ii</i> <i>f x dx</i>

<i>iii P a X</i> <i>b</i> <i>f x dx</i>



 

  



  



</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ

• _{Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất}

• _{A) Kiểm tra lại hàm f(x)}

• _{B) Tính xác suất P(0<X<1)}

 





2

,1 2

3

0 , 1, 2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>

 


 _


 





2
1 2
3
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Hàm ppxs của bnn liên tục

• <b>_{Định nghĩa.}</b> _{Hàm ppxs của bnn liên tục X có}

hàm mật độ f(x) là:

• <b>_{Chú ý.}</b>

 





 

<i>x</i>

<i>F x</i> <i>P X</i> <i>x</i> <i>f t dt</i>

 

  

_

 

 





 

 

)
)

<i>i</i> <i>f x</i> <i>F x</i>

<i>ii P a X</i> <i>b</i> <i>F b</i> <i>F a</i>




</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Ví dụ

• _{Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất}

• _{A) Xác định hàm F(x)}

• _{B) Tính xác suất P(0<X<1)}

 





2

1 2

3

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• _{Kỳ vọng (Expected Value) E(X)}

• _{Phương sai (Variance) V(X), Var(X)}
• _{Độ lệch chuẩn (Standard Error)}

• _{Trung vị (Median) m}_e
• _{Mốt (Mode) m}₀

• _{Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV}
• _{Hệ số bất đối xứng (Skewness)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Kỳ vọng (Expected Value)

• _{Ký hiệu: E(X)}

• _{Định nghĩa:}

• _{E(X) là trung bình theo xác suất của X}

• _{Có cùng đơn vị với X}

 

-,với X rời rạc
. ( ) ,với X liên tục

<i>i</i> <i>i</i>
<i>i</i>

<i>x p</i>
<i>E X</i>

<i>x f x dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ 1

• _{Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Ví dụ 2

• _{X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử}

• _{Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.}

 

20.000₃



100



<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Hàm của bnn

• _{Cho bnn X có ppxs:}

• _{Đặt g(X)=X}2_{Phân phối xác suất của g(X)}

X -1 0 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Kỳ vọng (tt)

• _{Cho bnn X}

• _{Kỳ vọng tốn học của hàm}(X):

 





 

   

<i>i</i> <i>i</i>
<i>i</i>
<i>x p</i>
<i>E</i> <i>X</i>

<i>x f x dx</i>





 












</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Tính chất

 

1)Tính chất 1: E(C)=C với C là hằng số
2)Tính chất 2: E(C+X)=C+E(X)

3)Tính chất 3: E(C.X)=C.E(X)

4)Tính chất 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Ví dụ 3

• _{Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:}





2 1 2 3

<i>C</i>

<i>P X</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Ví dụ 4

• _{Vịng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36.}

• _{Gọi X là số mà quả bóng rơi vào}

• _{Y là số tiền phải trả cho người chơi}

• _{Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu}

để có lợi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Phương sai (Variance)

• _{Ký hiệu: V(X); Var(X)}

• _{Định nghĩa:}

 

 

2

 

2 2

<i>Var X</i> <i>E X E X</i>_  _ <i>E X</i>  

 

 

 

 

2
2
2
2

,nếu X rời rạc.
,nếu X liên tục.

<i>i</i> <i>i</i>

<i>i</i>

<i>x p</i> <i>E X</i>
<i>Var X</i>

<i>x f x dx E X</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Ví dụ

• _{XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn}

vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A, B một cách độc
lập. Cho biết quy luật phân phối của 2 biến
ngẫu nhiên trên như sau:

XA 4 6 8 10 12

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

XB -4 2 8 10 12 16

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Ví dụ

• _{Đầu tư vào cơng ty nào có lãi suất kỳ vọng cao}

hơn?

• _{Đầu tư vào cơng ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?}

• _{Nếu muốn đầu tư vào cả 2 cơng ty thì nên đầu}

tư theo tỉ lệ nào sao cho:

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Phương sai của hàm bnn

 





 

_{ }<i>X</i> 2

<i>V</i> <i>X</i> <i>E</i> <i>X</i>


     
 
 

 







 

_{ }







 







 

_{ }



 

2
2
<i>X</i>
<i>x</i>
<i>X</i>

<i>V</i>

<i>X</i>

<i>x</i>

<i>P X</i>

<i>x</i>

<i>V</i>

<i>X</i>

<i>x</i>

<i>f x dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Tính chất của phương sai

 

2

1 1 i

1)Tính chất 1: V(C)=0 với C là hằng số
2)Tính chất 2: V(C+X)=V(X)

3)Tính chất 3: V(C.X)=C .V(X)

4) nếu X và Y độc lập
nếu các X độc lập toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V <i>n</i> <i>_i</i> = <i>n</i> <i>_i</i> øn phaàn

<i>i</i> <i>i</i>

<i>X</i> <i>V X</i>

 

 

 _








</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Độ lệch chuẩn

• _{V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập}

trung của X.

• _{V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X}

• (X) có đơn vị là đơn vị của X

 

<i>X</i> <i>Var X</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• _{Cho X là bnn có kỳ vọng}__{và độ lệch chuẩn}__>0.
• _Đặt:

• _{Ta có:}

• _{Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.}

<i>X</i>

<i>Z</i> 





 

0

 

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Cho bnn X:

X 1 2 3 4 5 6

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

 





 













 

 

2 2
2 2

2 2 2 2

1 1 1 7

1. 2. ... 6. 3,5

6 6 6 2

( ) 3, 5

1 1 1 91

1 . 2 . ... 6 .

6 6 6 6

35 35

12 12

<i>E X</i>

<i>V X</i> <i>E X</i> <i>E X</i> <i>E X</i>
<i>E X</i>

<i>V X</i>  <i>X</i>

     

   

    

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

E(X)=3,5 : giá trị trung bình theo xác suất của X
là 3,5. Hay nếu ta thực hiện phép thử n lần (n
đủ lớn) thì giá trị trung bình của X trong n lần
đó sẽ xấp xỉ 3,5.

Chú ý: nếu X có đơn vị là m thì:

E(X) có đơn vị là m

V(X) có đơn vị là m2

(X) có đơn vị là m

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Theo thống kê việc 1 người Mỹ 25 tuổi, xác suất

Sống thêm 1 năm là 0.992

Chết trong vòng 1 năm tới là 0,008.

Một chương trình bảo hiểm đề nghị người tham
gia bảo hiểm cho sinh mạng người đó trong
vịng 1 năm

Số tiền chi trả 1000 USD.
Lệ phí tham gia là 10 USD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

• _{Gọi X là lợi nhuận thu được trên 1 người tham}

gia bảo hiểm. Ta có:

• _{Ta thấy lợi nhuận kì vọng là một số dương nên}

cơng ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi.

• _{Tất nhiên tính trên điều kiện số người tham}

X -990 +10

P 0,008 0,992

     

 

990 0,008 10 0,992
2 USD

<i>E X</i>
<i>E X</i>

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

X -990 +10
P 0,008 0,992





     

       

2

2 2

2

990 0,008 10 0,992 7940

7936 USD 89,08

<i>E X</i>

<i>V X</i>  <i>X</i> <i>USD</i>

   

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Cho bnn liên tục X có hàm mật độ

a) Kiểm tra lại f(x).
b) Tính E(X), V(X).









, 0,1
0 ,
2
0
(
1
)
,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>f x</i> 








Ví dụ 3

 

 

1
2
0

2

2

3

<i>E X</i>

<i>xf x dx</i>

<i>x dx</i>


 

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Tính V(X)





 

 

1

2 2 3

0
2

1

2

2

1

2

1

2

3

18

<i>E X</i>

<i>x f x dx</i>

<i>x dx</i>

<i>V X</i>


 










 

_

_











</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu
nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau:

• _{Tìm hằng số k?}

• _{Xác định hàm ppxs?}

• _{Tính tuổi thọ trung bình của loại cơn trùng trên.}

 









2 ₄ _, _{0, 4}

0 ,

<i>kx</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i> _  



 nơi khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

• _{2 tính chất cơ bản hàm mật độ:}

• _{Ta có:}

• _{Thử lại thấy điều kiện đầu cũng thỏa.}

• _{Vậy k=3/64}

 

 

) 0 , ) 1

<i>i</i> <i>f x</i> <i>x</i> <i>ii</i> <i>f x dx</i>



 

 

_



Ví dụ 4

 





4

2
0

64 3

1 4 1

3 64

<i>k</i>

<i>f x dx</i> <i>kx</i> <i>x dx</i> <i>k</i>



 

      

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

• _{Hàm phân phối xác suất:}

• _{Tuổi thọ trung bình:}

 

 

3

0 , 0

3 4

,0 4

64 3 4

1 , 4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>F x</i> <i>f t dt</i> <i>x</i>

<i>x</i>
 



  
 _ _  _  

 

 _




 





4
3
3 12
4 (tháng)
64 5

<i>E X</i> 

_

<i>x</i>  <i>x dx</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CV_x.

• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CV_x càng nhỏ

bnn càng thuần nhất.

• _{So sánh độ phân tán của các bnn khơng có cùng}

đơn vị, khơng có cùng kỳ vọng.

 



  0



<i>X</i>
<i>X</i>

<i>CV</i> <i>E X</i>

<i>E X</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, m_e là giá trị chia đôi hàm phân
phối.

• _Hay









0,5

0,5

<i>e</i>
<i>e</i>

<i>P X</i>

<i>m</i>

<i>P X</i>

<i>m</i>





















<i>e</i>



0,5



<i>e</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Median (Trung vị)

• _{Nếu X liên tục thì:}

 

0,5

<i>e</i>

<i>m</i>

<i>f x dx</i>

 





1 0,5

<i>S</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Median (Trung vị)

• _{Nếu X rời rạc thì:}





 





 





1 1

1

, , 0,5

0,5

<i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>e</i>

<i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>x x</i> <i>F x</i> <i>F x</i>

<i>m</i>

<i>x</i> <i>F x</i> <i>F x</i>

 


    


 


neáu
neáu

 

1

0 <i>F x</i> <i>F x</i>

 

<i>_i</i> <i>F x</i> <i>i</i>1

0,5

<i>e</i> <i>i</i>

<i>m</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

ModX

Ký hiệu:

Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:



0



<i>_{x R}</i>

 

<i>f m</i> <i>max f x</i>







0



<i>_i</i>



<i>i</i>



<i>P X</i> <i>m</i> <i>max P x x</i>

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Ví dụ 1

Cho bnn X

Ta có:

<i>X</i> <i>1</i> <i>2</i> <i>3</i> <i>4</i> <i>5</i>

<i>P</i> <i>0,1 0,2 0,15 0,3 0,25</i>

<i>X</i> <i>1</i> <i>2</i> <i>3</i> <i><b>₄</b></i> <i>₅</i>

<i>F(X)</i> <i>0</i> <i>0,1</i> <i>0,3</i> <i><b>_{0,45 0,75}</b></i>

 

4

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

Ví dụ 4

• _{Cho bnn X có hàm mật độ xác suất}

• _{Tìm MedX và ModX?}

   

 

3

2 ,0 2

4

0 , 0,2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>



  




 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

PPXS của hàm của bnn

• _{Cho X là bnn liên tục có hàm mật độ xác suất:}

• _{Cho Y=u(X)}

• _{Y là một biến ngẫu nhiên.}

• _{Hàm mật độ xác suất của Y?}

 

,

1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Cách 1. Hàm phân phối

• _{Tìm hàm ppxs của Y=u(X)}

• _{Đạo hàm để có hàm mật độ}

 





<i>Y</i>

<i>F y</i>



<i>P Y</i>



<i>y</i>

 

 

<i>Y</i> <i>Y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Ví dụ

• _{Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:}

• _{Tìm hàm mật độ xác suất của Y=X}2

 

3

2

,0

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Giải

• _{Ta có:}

• _{Mặt khác:}

• _{Dễ thấy:}

2

0

1

0

1

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>Y</i>

<i>X</i>



_{ }











_

 





<i>Y</i>

<i>F y</i>



<i>P Y</i>



<i>y</i>

 





 

0 ,

0

1 ,

1

<i>Y</i>
<i>Y</i>

<i>F y</i>

<i>P Y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>F y</i>

<i>y</i>









</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Giải

• _{Với 0<y<1}













 

2

2 3/2

0 0

0

3

<i>y</i> <i>y</i>

<i>P Y</i>

<i>y</i>

<i>P X</i>

<i>y</i>

<i>P</i>

<i>X</i>

<i>y</i>

<i>f x dx</i>

<i>x dx</i>

<i>y</i>













</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

Giải

• _Vậy

• _{Do đó:}

 

3/2

0 , 0

,0 1

1 ,1

<i>Y</i>

<i>y</i>

<i>F y</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>y</i>



_  
 _


 

 





3
,0 1
2

0 , 0;1

<i>Y</i> <i>Y</i>

<i>y</i> <i>y</i>

<i>F y</i> <i>f</i> <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

Cách 2. Kỹ thuật đổi biến

• _{Cơng thức}

• _{Với v(y) là hàm ngược của u(x)}

 



 



 

<i>Y</i> <i>X</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

Cách 2. Kỹ thuật đổi biến

• _{Ta có: (nếu u(X) là hàm tăng, liên tục)}

 







 



 

 
1
<i>Y</i>
<i>v y</i>
<i>X</i>
<i>c</i>

<i>F y</i>

<i>P Y</i>

<i>y</i>

<i>P X</i>

<i>v y</i>

<i>f</i>

<i>x dx</i>











_

 

 

 

 

 





 

1
'
.
<i>v y</i>

<i>Y</i> <i>Y</i> <i>X</i> <i>X</i>

<i>c</i> <i>_y</i>

<i>f y</i> _<i>F y</i> __ <i>f</i> <i>x dx</i> _ _ <i>f</i> <i>v y v y</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Cách 2. Kỹ thuật đổi biến

• _{Ta có: (nếu u(X) là hàm giảm, liên tục)}

 







 



 





 

 
1

1

1

<i>Y</i>
<i>v y</i>
<i>X</i>
<i>c</i>

<i>F y</i>

<i>P Y</i>

<i>y</i>

<i>P X</i>

<i>v y</i>

<i>P X</i>

<i>v y</i>

<i>f</i>

<i>x dx</i>









 



 

_

 

 

 

 

 





 

'
1 .
<i>v y</i>

<i>Y</i> <i>Y</i> <i>X</i> <i>X</i>

<i>f y</i> _<i>F y</i> __ _ <i>f</i> <i>x dx</i>_ _ <i>f</i> <i>v y v y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Hệ số bất đối xứng

• _{Kí hiệu:}

• _{Đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố}













3

3 3 ;

<i>E X</i>

<i>E X</i>
<i>X</i>

 

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

Hệ số bất đối xứng

• _{Đồ thị đối xứng}

3 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

Hệ số bất đối xứng

• _{Hàm mật độ lệch về bên trái.}

3 0

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

Hệ số bất đối xứng

• _{Hàm mật độ lệch về bên phải.}

3 0

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Hệ số nhọn

• _{Kí hiệu:}

• _{Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với}

đồ thị của phân bố chuẩn.

• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì ₄=3









4

4 4

<i>E X</i>
<i>X</i>

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Hệ số nhọn

• ₄>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối
chuẩn

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

Hệ số nhọn

• _{Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn}

4 3

   ₄  3

4 3

 

 

 2

2

2

1
2

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>e</i>

 






</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

Hệ số nhọn

• _{Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn}

3

    3

3

 

 

 2

2

2

1
2

<i>x</i>

<i>f x</i> <i>e</i>

 






</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

Bài tập

1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng
chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 con
xúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X?
Tính E(X), V(X)

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

Bài tập

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

Bài tập

4. Tuổi thọ một loại cơn trùng là X (tháng) có hàm
mật độ

a) Tìm hằng số k
b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất cơn trùng chết trước khi nó được
1 tháng tuổi

 













2 ₄ _, _0;4

0 , 0;4

<i>kx</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

 _ _







</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

Ví dụ

• _{XA, XB là lãi suất cổ phiếu (đơn vị %) khi đầu tư}

vào 2 công ty A, B một cách độc lập. Cho biết
quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên
như sau:

XA 4 6 8 10 12

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

XB -4 2 8 10 12 16

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

Ví dụ

• _{Đầu tư vào cơng ty nào có lãi suất kỳ vọng cao}

hơn?

• _{Đầu tư vào cơng ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?}

• _{Nếu muốn đầu tư vào cả 2 cơng ty thì nên đầu}

tư theo tỉ lệ nào sao cho:

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

Bài tập

• _{Cho bnn X có hàm mật độ}

và E(X)=0,6; V(X)=0,06
a) Tìm a,b,c?

b) Đặt Y=X3_{. Tính E(Y)}

 









2 _, _0;1

0 , 0;1

<i>ax</i> <i>bx c</i> <i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

 _ _ _







</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

Bài tập 5

• _{Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số}

cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về
loại sách này như sau:

• _{Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán}

ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm
phải hạ giá với giá 5USD một cuốn.

<i><b>Nhu cầu (cuốn)</b></i> 30 31 32 33

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

Bài tập 5

• _{Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được}

trung bình là bao nhiêu?

• _{Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì}

vọng là lớn nhất.

<i><b>Nhu cầu (cuốn)</b></i> 30 31 32 33

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

Bài tập 6

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.

b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

 



2







1

1 phân phối Cauchy

<i>f x</i>

<i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

Bài tập 7

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.

b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

   

 

1

sin , 0,
2

0 , 0,

<i>x x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i>



 




 _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

Bài tập 8 (Khó)

• _{Cho bnn X có hàm mật độ:}

a) Tìm MedX, ModX.

b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

• _{Lưu ý tính chất:}

 





2

2

1

2 Standard Normal Distribution

<i>x</i>

<i>f x</i>  <i>e</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Bài tập 9

Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:

_{Tìm ModX, MedX?}

_{Tìm E(X), Var(X)?}

_{Tìm hàm ppxs F(x)?}

 

0

,

0



0



,

0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>e</i>

 

<i>x</i>







_

 





</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

Bài tập 10

• _{Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:}

• _{Tìm hàm mật độ xác suất của bnn}

 

3 1





2

,0

1

<i>f x</i>





<i>x</i>



<i>x</i>





1



3

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

Bài tập 11

• _{Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:}

• _{Tìm hàm mật độ xác suất của bnn}

 

3

2

,0

1

<i>f x</i>



<i>x</i>

 

<i>x</i>

2

</div>

<!--links-->