slide phần thống kê mới nguyenvantien0405

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.34 KB, 57 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 7

ƯỚC LƯỢNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nhắc lại thống kê mẫu

• Thống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần

trong mẫu.

• Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê

mẫu có dạng:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Các thống kê mẫu thường dùng

• Trung bình mẫu

• Phương sai mẫu

• Tỷ lệ mẫu

1 2 ... n

X X X

X

n

  

















2 2 2

2 *2

1 1 1

n n n

i i i

X X X X X

S S S

n n n


  
  
  













1 2 ... n ~ 1,

X X X

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ước lượng

• Tổng thể có tham số  chưa biết.
• Ta muốn xác định tham số này.
• Lấy một mẫu nn cỡ n.

• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị

của tham số  của tổng thể.

• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ước lượng điểm

• Tổng thể có tham số chưa biết. Giả sử 
• Từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n đã chọn

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ước lượng điểm

• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của

tham số  chưa biết của tổng thể.

• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T

nào đó của mẫu ngẫu nhiên.

• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng

được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .

• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch,

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng

không chệch của tham số  nếu:

• Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước

lượng chệch (ƯLC) của tham số .

• Độ chệch của ước lượng:

E(T)



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ 1

• Trong chương 6 ta có:

• Vậy:

 







 





 

*2 2
2 2
2 2
1
E X
E S
n
E S
n
E S

E F p














*2 2 2

2 2

là ƯL không chệch của
là ƯL không chệch của

là ƯL không chệch của
là ƯL chệch

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ước lượng KC tốt hơn

• Cho X, Y là hai ULKC của tham số . 
• Có nghĩa là:

• Nếu:

• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai

nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh
tham số  nhiều hơn).

 

E X  E Y 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).

a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của .

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.

1 2
1 2

1 1 2 2

  


 ; X X ; n X X ... Xn

Z X Z Z

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu

quả của tham số  nếu:

• T là ULKC của 

• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng

trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

BĐT Cramer-Rao

• Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn

có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.

• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta có:

 





ln ,



   

 

  

 

Var T

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể 
có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.





1 2 1 2

2
2

     

 



... ...

;

n n

X X nX X X X

Z X

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ 3

• Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR:

là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ.

Giải.

Dễ thấy là ước lượng không chệch và:

• Hàm ppxs của tổng thể:

X

 

 2

Var X

n









 2

2
2
1
2


 
 


 
, ,
x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ 3

• Ta có:

• Và:

















2
2
2
2
2

 

 
  
  
 
  
 
   
 
 
ln
ln ,
x

f x x





2 4 2

1 1


  
  
 
X

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất

trong các ước lượng khơng chệch của tham số μ
của tổng thể

 









 

2
2

1 




  

  

 



 

 

ln ,

Var T Var X
n

f X
nE

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Các ULHQ

• Ta chứng minh được:

2 2 2





là ƯLHQ của .

,

là ƯLHQ của .

X

S S

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ước lượng vững

• Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn)

• Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ

nếu:

• Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất

đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vơ cùng.

• Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT

Chebyshev (Trê bư sép).









1 

0

 





  

lim

n

,

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Các ước lượng vững

• Từ kết quả Chương 5, ta chứng minh được:



 

2 2





là ƯLV của .

,

là ƯLV của .

X

S S

S

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Tóm lại

• Ta có thể xấp xỉ các tham số trên bằng các

thống kê mẫu trong thực hành, tính tốn khi cỡ
mẫu khá lớn.

 

2 2





là ƯLKC,ƯLHQ,ƯLV của .

,

là ƯLKC,ƯLHQ,ƯLV của .

X

S

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ơn tập

• Một thống kê mẫu là một hàm của các biến

ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là
một biến ngẫu nhiên?

• Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả

của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc?

• Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước

lượng khơng chệch?

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ước lượng khoảng

• Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa

vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao
cho:

P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn.

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham

số  với độ tin cậy (1 - ) .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
• (1 - ): độ tin cậy của ước lượng.

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
• ε : độ chính xác (sai số).

• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao

nhiêu thì phù hợp.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài tốn

• Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào

đó).

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).
• Tìm (a,b) sao cho:





1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

ƯLK tỷ lệ

Tổng thể Tỷ lệ mẫu Kích thước mẫu

Phân phối

B(1,p) F N p ; p



1n p



 n>30

 











~ 0,1

(1 )

F p n

Z N

p  p

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Khoảng tin cậy

• Hai phía:

• Chú ý:



F  ; F 









 t  F  F

n









p p F F

n n

 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Ta có:





1
2 1
n
t
F F
 
 







1
2
1
F F
t
n

   





1 2
2
2

F F t

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Ví dụ 1

• Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước

lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa
đối với các mặt hàng bánh kẹo. Kết quả điều tra
mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34
người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa.

• Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh

kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ví dụ 2

• Một ks muốn ước lượng tỷ lệ khách có nhu cầu

nghỉ nhiều hơn 1 ngày. Họ muốn có độ tin cậy
96% và sai số không quá 5%. Hỏi cần lấy mẫu
thích hợp là bao nhiêu

• A. Nếu chưa có thơng tin gì về phép ước lượng

này.

• B. Nếu dựa vào tài liệu trước đây cho biết tỷ lệ

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Phân phối của trung bình mẫu

Tổng thể Trung bình mẫu Kích thước mẫu

Tùy ý

Khơng chuẩn n>30

Khơng chuẩn
nhưng đối

xứng.

Có thể được với
n nhỏ.





~ ;

X N   X ~ N ; 2

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Chuẩn hóa ppxs

Tổng thể TB mẫu Chuẩn hóa

Chuẩn,
đã biết 

n>30,
đã biết 

n>30,
chưa biết 

Chuẩn, n<30
chưa biết
2
~ ;
X N
n



 
 
 
2
;
X N
n


 
  
 
2
;
X N
n


 
  
 









~ 0;1
X n

Z  N














~ 1
X n

Z t n

S


 









~ 0;1
X n

Z  N






~ ;

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ước lượng cho



• Ta thơng qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác

định).

• Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho

• Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Khoảng tin cậy_th 1,2

• Khoảng tin cậy hai phía của μ:

• Kết quả:

• Chú ý:



a b

;









X  ; X 



1
2




 t 

n

1 ;

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Nhớ các khoảng tin cậy_th 3

• Trường hợp 3 ta thay  bằng s. Nguyên nhân: S

là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững,…
của .

• Chú ý: pp Student xấp xỉ với N(0,1)



X  ; X 



S
t

n



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Nhớ các khoảng tin cậy_th 4

• Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết

. Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong

bảng t.



X  ; X 







1 S

t n

n



</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ví dụ 1

• Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản

phẩm. Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước
lượng trọng lượng trung bình của các sp loại 1
với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp
chuẩn)

Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Ví dụ 1

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin

cậy 98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra
thêm bao nhiêu sản phẩm nữa.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Cách làm bài

• Xác định bài tốn dạng gì: ước lượng hay kiểm định
• Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay

tỷ lệ tổng thể.

• Xác định khoảng tin cậy

• Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn
• Tính độ chính xác 

• Thay vào cơng thức và kết luận.

• Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu;

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Ví dụ 2

• Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang)

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Ví dụ 3.

• Cơng ty điện thoại thành phố muốn ước lượng

thời gian trung bình của một cuộc điện thoại
đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy
95%. Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài

vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại
trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh 5,6 phút. Giả sử thời gian gọi có pp
chuẩn

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Ví dụ 4

Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong
một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16
công nhân khảo sát:

a. Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình
hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn.
• Phương sai tổng thể chưa biết.

• Lấy mẫu cỡ n. Tìm cách ước lượng phương sai

với độ tin cậy (1-).

• Biết  hoặc chưa biết .

• Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Phân phối của hàm PS mẫu

Tổng thể PS mẫu Hàm của PS mẫu

Chuẩn,
đã biết 

Không chuẩn
đã biết 

Chuẩn
chưa biết 

Không chuẩn

 

S* 2

 

2
*2
2
1
2
~
n
i
i
X
nS
Z
Z n

 




 
   
 







2, 30

S n









2
2
2
1
2
1
~ 1
n
i
i

n S X X

Z
Z n
 



   
   
 




S

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Nhớ các khoảng tin cậy_TH1

• Hai phía:

• Cách ghi khác:

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Nhớ các khoảng tin cậy_TH2

• Hai phía:

• Cách ghi khác:

















2 2
1
2 2
1 1
;

1 1

n S n S

n n
 
 

 
 
 
   
 
 

















2 2

1 ; 1

1 1

n n

i i

x x x x

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Ví dụ 1

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là

bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả
sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?

X 19,5 20 20,5

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Ví dụ 2

• Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân 
phối chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số
liệu sau:

• Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với 
độ tin cậy 95%

• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho





100 2

37,9; i 1059

i

x x x



</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Bài 1

• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng

bao sản xuất ta có:

• Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có

phân phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng
trung bình  với độ tin cậy 95%.

39,8; 0,144

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bài 2

• Điểm trung bình mơn Tốn của 100 sinh viên dự

thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã
hiệu chỉnh là 1,5.

a) Ước lượng điểm trung bình mơn XSTK của tồn
thể sinh viên với độ tin cậy 95%?

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Bài 3

• Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo

qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h.

a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì
thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h. Hãy
ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với
độ tin cậy 95%?

b) Với độ chính xác là 15h. Hãy xác định độ tin cậy?
c) Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là 95%

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Bài 4

• Một lơ hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên

400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản
phẩm loại A.

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lơ hàng

với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm
loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Bài 6

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó
người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị
đánh dấu.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Bài 7

• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho

đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp
thấy có 11 hộp xấu.

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp
với độ tin cậy 94%?

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Bài 8

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là

bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả
sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?

X 19,5 20 20,5

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Bài 9

• Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở

FTU ta có bảng sau:

• Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những

Số 
lượt

700-800

800-900

900-1000

1000-1100

1100-1200

1200-1300

1300-1400

1400-1500

Số 
ngày

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Bài 9

a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU
với độ tin cậy 99%.

b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên,
nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8%
thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?

c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày
với độ tin cậy 95% biết

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Bài 10

• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với

trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 41
bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một
bao gạo với độ tin cậy 95%.

b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở
xuống trong kho với độ tin cậy 90%.

Trọng lượng bao (kg) 25 26 27 28 29

</div>

slide phần thống kê mới nguyenvantien0405

CHƯƠNG 7

ƯỚC LƯỢNG

Nhắc lại thống kê mẫu

Các thống kê mẫu thường dùng



























Ước lượng

Ước lượng điểm

Ước lượng điểm

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

E(T)



Ví dụ 1

<sub> </sub>





 





 

 

Ước lượng KC tốt hơn

 

 

 

 

Ví dụ 1.

Ước lượng hiệu quả

BĐT Cramer-Rao





Ví dụ 2.





Ví dụ 3

<i>X</i>

<i>X</i>

 









Ví dụ 3





















Ví dụ 3

 









 

Các ULHQ





là ƯLHQ của .

,

là ƯLHQ của .

là ƯLHQ của .

<i>X</i>