Đề thi và đáp án thi vào lớp 10 Toán AB – 150 phút

<span class='text_page_counter'>(1)</span>KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009. ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO TRƯỜNG PTNK 2008 – 2009 TOÁN AB – 150 PHÚT Bài 1: Cho phương trình. x 2 + mx − 2m 2 = ( 2m − 1) x + 6 x + 2m. (1). a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2: a) Giải phương trình 2 x − 1 − 2 x − 1 = −1 ⎧2 x − x + 2 y = 4 xy. b) Giải hệ phương trình ⎨. 2 ⎩ x + 2 xy = 4. Bài 3: a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị cùa biến x ( x > 1) A=. (x. )( x x − 1) ( x − 1) ( x x + x + x )( x + 3) x + 4x + 3 x. b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + 2b − 3c = 0 và bc + 2ac − 3ab = 0 . Chứng minh rằng a =b = c. Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp có góc A nhọn và hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M. P là trung điểm của CD, H là trực tâm của tam giác ABD. a) Tính tỷ số. PM DH. b) Gọi N, K lần lượt là chân đường cao hạ từ B và D của tam giác ABD, Q là giao điểm của MK và BC. Chứng minh MN = MQ. c) Chứng minh tứ giác BQNK nội tiếp. Bài 5: Một nhóm học sinh định chia một số kẹo thành các phần quà cho các em nhỏ tại một đơn vị trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm đi 6 viên thì các em có them 5 phần quà, nếu giảm đi 10 viên thì các em có them 10 phần quà. Hỏi số kẹo mà nhóm học sinh này có. Hướng dẫn giải Bài 1: a) Khi m = 1, phương trình (1) trở thành:. x2 + x − 2 = x + 6 (2) x+2. Điều kiện x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −2 . Với điều kiện trên ta có:. ( 2). ⇔ x 2 + x − 2 = ( x + 6 )( x + 2 ) ⇔ x 2 + x − 2 = x 2 + 8 x + 12 ⇔ −7 x = 14 ⇔ x = −2 ( l ). Vậy phương trình vô nghiệm.. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ. 1. Lop10.com. www.truonglang.wordpress.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009. x 2 + mx − 2m 2 = ( 2m − 1) x + 6 (1) x + 2m Điều kiện x + 2m ≠ 0 ⇔ x ≠ −2m . Với điều kiện trên ta có: ( x + 2m )( x − m ) = 2m − 1 x + 6 ⇔ (1) ( ) x + 2m ⇔ x − m = ( 2m − 1) x + 6. b). ⇔ ( 2m − 2 ) x = − m − 6. ( 3). Phương trình có nghiệm khi và chỉ phương phương trình (3) có nghiệm x ≠ −2m . Với m = 1 ta có : 0x = - 7 , phương trình vô nghiệm.. −m − 6 . Ta có: 2m − 2 −m − 6 ≠ −2m ⇔ −m − 6 ≠ −4m 2 + 4m ≠ 0 2m − 2 3 ⎧ ⎪m ≠ − 2 ⇔ 4m − 5m − 6 ≠ 0 ⇔ ⎨ 4 ⎪⎩m ≠ 2 3 Vậy với m ≠ 1, m ≠ − và m ≠ 2 thì phương trình (1) luôn có nghiệm. 4. Với m ≠ 1 ta có x =. Bài 2: a) 2 x − 1 − 2 x − 1 = −1 (1) 1 ⎧ ⎧2 x − 1 ≥ 0 ⎪x ≥ ⇔⎨ Điều kiện ⎨ 2 ⇔ x ≥ 1 (*) ⎩x −1 ≥ 0 ⎪⎩ x ≥ 1. Với điều kiện trên ta có. (1). ⇔ 2x −1 = 2 x −1 −1 ⇒ 2 x − 1 = 4 ( x − 1) − 4 x − 1 + 1 ⇒ 4 x −1 = 2x − 2 ⇒ 2 x −1 = x −1 ⇒ 4 ( x − 1) = ( x − 1). 2. ⎡x = 1 ⇒⎢ ⎣x = 5. Thử lại ta thấy: + x = 1 không phải là nghiệm của phương trình vì 2.1 − 1 − 2 1 − 1 = 1 ≠ −1 + x = 5 là nghiệm của phương trình (1) vì 2.5 − 1 − 2 5 − 1 = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = 5.. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ. 2. Lop10.com. www.truonglang.wordpress.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009. Nhận xét: Có thể giải theo cách dùng phép biến đổi tương đương, nhưng sau một lần bình phương hai vế ta phải đặt điều kiện, khá rắc rối. Làm theo biến đổi suy ra thì ta phải có bước thử lại. b) ⎧⎪2 x − x + 2 y = 4 xy ⎨ 2 ⎪⎩ x + 2 xy = 4. Ta có. (1). (1) ( 2). ⇔ 2 x 2 − x + 2 y − 4 xy = 0 ⇔ ( x − 2 y )( 2 x − 1) = 0 1 ⎡ x= ⎡2x − 1 = 0 ⎢ ⇔⎢ ⇔ 2 ⎢ ⎣x − 2y = 0 ⎣x = 2y. Với x =. 1 15 thế vào (2) ta tính được y = 2 4. 1 2 ⇔ y=± ⇒x=± 2 2 2 ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ Vậy phương trình có 3 nghiệm ( x, y ) là ⎜ , ⎟ , ⎜⎜ 2, ⎟⎟ và ⎜⎜ − 2, − ⎟. 2 ⎠ 2 ⎟⎠ ⎝2 4 ⎠ ⎝ ⎝. Với x = 2y thế vào (2) ta có ( 2 y ) + 2 ( 2 y ) y = 4 ⇔ y 2 = 2. Bài 3: A. )( x x − 1) ( x − 1) ( x x + x + x )( x + 3) ( x x + 3x + x + 3 x )( x − 1)( x + = ( x − 1)( x + 1) x ( x + x + 1)( ⎡ x ( x + 3) + x ( x + 3)⎤ ⎦ =⎣ ( x + x )( x + 3) ( x + 3)( x + x ) = ( x + x )( x + 3) =. (x. x + 4x + 3 x. ) x + 3) x +1. =1. Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào biến x. c) Ta có a + 2b − 3c = 0 ⇒ a = 3c − 2b . Suy ra bc + 2ac − 3ab = 0. ⇔ bc + 2c ( 3c − 2b ) − 3b ( 3c − 2b ) = 0 ⇔ 6c 2 − 12bc + 6b 2 = 0 ⇔ 6 (b − c ) = 0 2. ⇔b=c GV: NGUYỄN TĂNG VŨ. 3. Lop10.com. www.truonglang.wordpress.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009. Từ b = c, suy ra a + 2b – 3c = 0, suy ra a + 2b – 3c = 0 hay a = b. Vậy a = b = c. Bài 4: B C Q Mj K P H. A N. D. 1 2. a) Trong tam giác CMD vuông tại M có MP là trung tuyến nên ta có: MP = CD = PC ⇒ ΔPMC n = PMC n . (1) cân tại P, suy ra PCM n = KBM n n + BKH n = 90o + 90o = 180o nên là tứ giác nội tiếp, suy ra Q MHD Tứ giác BMHK có BMH (2) n = MCP n (3) (tứ giác ABCD nội tiếp) Mặt khác ta có MBK n = CMP n mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta có MP // HD. Từ (1), (2) và (3) ta có MHD Trong tam giác CHD có MP // HD và P là trung điểm của CD nên MP là đường trung bình, suy. 1 2. ra MP = HD và M là trung điểm của CH. Vậy. PM 1 = DH 2. n = BAD n. b) Tứ giác AKMD có n AKD = n AMD = 90o ⇒ AKMD là tứ giác nội tiếp BMK n = BMK n ( đối đỉnh) Mà ta cũng có QMD n = BAD n (ABCD nội tiếp) Và QCD. n = QMD n ⇒ MCQD nội tiếp. Do đó QCD n + CMD n = 180o ⇒ CQD n = 180o − CMD n = 90o Suy ra CQD Tam giác BHC có BM là đường cao đồng thời là trung tuyến nên cân tại B, suy ra BM cũng là phân giác của góc HBD. Suy ra tam giác BQD bằng tam giác BND (cạnh huyền góc nhọn) Suy ra BQ = BN và DQ = DN. Do đó BD là đường trung trực của NQ mà M thuộc BD nên MQ = MN. c) n = MNQ n (4) Tam giác MNQ cân tại M MQN. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ. 4. Lop10.com. www.truonglang.wordpress.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009. Ta có BD là đường trung trực của MP nên BD vuông góc với MQ mà BD ⊥ AC , suy ra n ( 5) AMN = MNQ MQ//AC ⇒ n n (6) Ta có tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp, suy ra n ABN = KMN n = KMN n ⇒ tứ giác BQNK nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh Từ (4), (5) và (6) ta có MQN dưới 2 góc bằng nhau). Bài 5: Gọi x ( viên) là số kẹo của mỗi phần quà ban đầu. Và y là số phần quà ban đầu. Điều kiện (x, y nguyên dương, x lớn hơn 10) Khi đó ta có xy là tổng số kẹo mà nhóm học sinh có.. xy là số phần quà sau khi giảm mỗi phần 6 viên kẹo. x−6 xy là số phần quà sau khi giảm mỗi phần 10 viên kẹo. x − 10. Theo đề bài ta có hệ phương trình: ⎧ xy = y+5 ⎪⎪ x − 6 ⎪⎧ xy = ( x − 6 )( y + 5 ) ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩ xy = ( x − 10 )( y + 10 ) ⎪ xy = y + 10 ⎪⎩ x − 10 ⎧ xy = xy − 6 y + 5 x − 30 ⇔⎨ ⎩ xy = xy − 10 y + 10 x − 100 ⎧5 x − 6 y = 30 ⎧ x = 30 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩10 x − 10 y = 100 ⎩ y = 20. Vậy tổng số viên kẹo mà nhóm học sinh có là x.y = 20. 30 = 600 viên.. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ. 5. Lop10.com. www.truonglang.wordpress.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>