tài liệu trang web lớp đ5h13b đại học điện lực

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (470.19 KB, 196 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
BÀI GIẢNG

LÝ THIẾT

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

GVTH: Võ Văn Định

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN LIÊN TỤC

2.1 Khái niệm

2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối
2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2.1 KHÁI NIỆM

Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết điều khiển là rất đa
dạng và có bản chất vật lý khác nhau như hệ thống điều
khiển động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học …

Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ
thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi
phân bậc cao. Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương
trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2.1 KHÁI NIỆM

Có hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động
giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn là:

- Phương pháp hàm truyền đạt

- Phương pháp không gian trạng thái

Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương
trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép
biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian
trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ
phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các biến phụ
(biến trạng thái).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cho f(t) là hàm xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t)
là:

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace



( )



( ). (2.1)

)
(









 f t f t e dt
s

F

L

st

Trong đó:

s: là biến phức (biến Laplace) s =  + j

L

: là toán tử biến đổi Laplace

F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức ở biểu thức
định nghĩa (2.1) hội tụ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 Tính tuyến tính

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace



a

1

f

1

(

t

)



a

2

f

2

(

t

)





a

1

F

1

(

s

)



a

2

F

2

(

s

)

(2.2)

L

b. Tính chất của phép biến đổi Laplace

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 Ảnh của đạo hàm

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

(2.3)

)

0 (

)

(

)

(



















sF

s

f

dt

t

df

L

b. Tính chất của phép biến đổi Laplace

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là

L

{f(t)} = F(s) thì:

Trong đó f(o+) là điều kiện đầu

Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:

(2.4)

)

(

)

(

s

sF

dt

t

df















</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 Ảnh của tích phân

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

(2.5)

)

(

)

(

s

F

d

f

t



















L

b. Tính chất của phép biến đổi Laplace

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 Định lý chậm trê

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace



f

(

t

T

)



e

 Ts

.



f

(

t

)



e

 Ts

.F(s)

(2.6)





L

b. Tính chất của phép biến đổi Laplace

Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có f(t-T), khi đó:

f(t)

t

f(t-T)

T

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 Định lý giá trị cuối

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

(2.7)

)

(

lim

)

(

lim

sF

s

t

f

s

t 





b. Tính chất của phép biến đổi Laplace

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

c. Biến đởi Laplace của một số hàm cơ bản

Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là
các tín hiệu cơ bản

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm xung đơn vi (hàm dirac)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng
để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống















0 )

(

t

khi

t

khi

t





(

)



1






dt

t



thỏa

(t)

0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm xung đơn vi (hàm dirac)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng
để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống











0
)

(

t
khi

t
khi
t





( ) 1 (2.8)





dt
t



thỏa

(t)

0

t

Theo định nghĩa:



(

)



(

).

(

).

(

).

1 (2.9)

0
0

dt

e

t

dt

e

t

dt

e

t



st



st








 







L



(

)





1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

c. Biến đởi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm nấc đơn vi

Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng
hàm nấc đơn vị

(2.10)

0

0
0

1
)
(







t
khi
t
khi
t
u

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:



(

)



(

).

1 (2.11)

0
0

s

e

s

e

s

e

dt

e

dt

e

t

u

t

u

st
st
st


































L





s

u(t)



1 

L

u(t)
1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm dốc đơn vi

Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ
thống điều khiển theo dõi

(2.12)

0

0
0

)
(
.
)
(







t
khi
t
khi
t
t
u
t
t
f

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:





2

0
2
0
0

1 .

).

(

)

(

s

e

s

e

t

dt

e

t

dt

e

t

f

t

f

st
st
st

st





























L





1

2

(2.13)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm mu

(2.15)

0

0
0

)
(
.
)
(









t
khi
t
khi

e
t
u
e
t
f
at
at

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:





a

s

a

s

e

dt

e

dt

e

t

f

t
s
a
t
s
a

st
at



































.

1 )

(

0
)
(
0
)
(
0

L





1 (2.16)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

c. Biến đởi Laplace của một số hàm cơ bản

 Hàm sin

(2.17)

0

0
0

t

sin
)
(
).
(sin
)
(







t
khi
t
khi
t
u
t
t

f  

Theo định nghĩa ta có:





2 2

1

2

1 .

2 )

(

).

(sin






































s

j

s

j

s

j

dt

e

j

e

t

u

t

st
t
j
t
j

L





2 2

(2.18)









s

f(t)

L

Từ công thức Euler ta có: t e ej

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:

0 1 1 1

( )

...

( )

...

( ) (2.19)

n n

m m

d c t

dc t

a

a c t

dt

d r t

dr t

b

b r t

dt










 







 



Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính
bất biến lên tục đều có thể mô tả bởi phương trình vi phân hệ số
hằng:

Hệ thống

r(t) c(t)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.2 Hàm trùn đạt
a. Định nghĩa:

Hệ thớng được gọi là hợp thức nếu n  m, hệ thống được gọi là
không hợp thức nếu n < m. chỉ có các hệ thống mới tồn tại trong
thực tế.

Trong đó các hệ số ai = (0n) và bj= (0m) là thông số của
hệ thống (a0 0; b0  0); n là bậc của hệ thống.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:

)

(

)

...

(

)

(

)

...

(

1
1
1
0
1
1
1
0

s

R

b

s

b

s

b

s

b

s

C

a

s

a

s

a

s

a

m
m
m
m
n
n
n
n












Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương
trình (2.19) ta được:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

21
1

0 1 1

(

...

) ( )

(

...

) ( )

n n
n n
m m
m m

a s

a s a C s

b s

b s b R s






 







 



n
n
n
n
m
m
m
m

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

R

s

C











1
1
1
0
1
1
1
0

...

)

(

)

(

0 1 1 1

( )

...

( )

...

( ) (2.19)

n n
n n
n n
m m
m m
m m

d c t

dc t

a

a c t

dt

d r t

dr t

b

b r t

dt

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:

Đặt:

(2.20)

...

)

(

)

(

)

(

1
1

1
0

1
1

1
0

n
n

m
m

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

R

s

C

s

G








G(s) là hàm truyền của hệ thống

Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace 
của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện

ban đầu bằng 0

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:

Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh là các bộ điều
khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của
hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng
và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ

thống

Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện.

Có hai loại mạch hiệu chỉnh: mạch hiệu chỉnh thụ động và
mạch hiệu chỉnh tích cực.

Mạch hiệu chỉnh thụ động có độ lợi  1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Quan hệ dòng điện và điện áp trên tụ C cho ta:

Khâu tích phân bậc 1

vi(t) i(t) C vo(t)

dt

t

dv

C

dt

t

dv

C

t

i

(

)

c

(

)

(

)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Theo định luật Kirchoff ta có:

Khâu tích phân bậc 1

vi(t) i(t) C vo(t)

(2.21)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

.

)

(

)

(

)

(

v

t

v

t

dt

t

dv

RC

t

v

t

v

t

i

R

t

v

t

v

t

v

i
i

C

i
C

R













</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Biểu thức (2.21) chính là phương trình vi phân mô tả khâu tích
phân bậc một.

Khâu tích phân bậc 1

1 )

(

)

(

)

(

)

(











RCs

V

s

G

s

V

s

V

s

RCsV

i
o
i

o
o

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Khâu tích phân bậc 1

(2.22)

1 )

(





Ts

s

G

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Khâu vi phân bậc 1

(2.23)

1 )

(





Ts

s

G

Chứng minh tương tự như khâu tích phân bậc 1 ta có:

Với: T = RC

vi(t) i(t) vo(t)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Khâu sớm pha

(2.24)

1 )

(





Ts

K

s

G

C



Chứng minh tương tự như
khâu tích phân bậc 1 ta có:

Trong đó: 1 2

R

K

C





và

2
1

R

C

R

T





2
2
1

R







và



T



R

C

vi(t) i(t) vo(t)

R2
C

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động

Khâu trễ pha

(2.25)

1 )

(





Ts

K

s

G

C



Chứng minh tương tự như khâu
tích phân bậc 1 ta có:

Trong đó:

1 

C

K

và

T



(

R

1



R

2

)

C

R





T

R

C





vi(t) vo(t)

i(t)

C
R1

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu tỉ lệ P (Proportional)

(2.26)

)

(

s

K

P

G



Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào.

Trong đó:

1
2

R

K

P





vi v

R1

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

(2.27)

s

K

G(s)

I

P





Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào.

Trong đó:

C

R

K

R

K

P I

1
1

;





1 



vi

vo
R1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

(2.28)

)

(

)

(

)

(







t
i
I

i
P

o

t

K

v

t

K

v

d

v



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

(2.29)

.

)

(

s

K

s

G



P



D

Khâu vi phân tỉ lệ PD có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu
vào và vi phân của tín hiệu vào.

Trong đó:

C

R

K

R

K

P





;

D





2

vi

vo
R1

R2

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

(2.30)

dt

(t)

dv

)

(

)

(

D
i

P

o

t

K

v

t

K

v





</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

(2.31)

.

)

(

K

s

K

s

G

I D

P





Khâu vi tích phân tỉ lệ PID có đặc điểm tín
hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, vi phân của tín
hiệu vào và tích phân của tín hiệu vào.

Trong đó:

1
2
2

2
1

;

;

1 C

R

K

C

R

K

C

R

C

R

C

R

K

P







D





I





vi

vo
R1

R2

C1

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

(2.32)

dt

(t)

dv

)

(

)

(

)

(

D
t

i
I

i
P

o

t

K

v

t

K

v

d

K

v











</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Ví dụ tính toán hàm truyền

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Sơ đồ nguyên lý của động cơ điện một chiều:

Uư

Lư Rư

Eư



</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Trong đó:

Lư - điện cảm phần ứng
Rư - điện trở phần ứng
Uư - điện áp phần ứng
Eư - sức phản điện động

 - tốc độ góc

Mt - moment tải

B - hệ số ma sát

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Theo định luật Kirchoff ta có phương trình cân bằng điện áp ở
mạch điện phần ứng:

(2.33)

)

(

)

(

).

(

(t)

U

E

t

dt

t

di

L

R

t

i

ö ö



ö ö



ö



Trong đó: Eư(t) - sức phản điện phần ứng Eư(t) = K(t) (2.34)

K - là hệ số

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay, ta có
phương trình cân bằng moment trên trục động cơ:

(2.35)

)

(

)

(

)

(

(t)

M

dt

t

d

J

t

B

t

M

t











</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Biến đổi Laplace các phương trình (2.33), (2.34), (2.35), (2.36)
ta có:

(2.37)

)

(

)

(

).

(

(s)

U

ö



I

ö

s

R

ö



L

ö

sI

ö

s



E

ư

s

(2.39)

)

(

)

(

)

(

(s)

M

đ



M

t

s



B



s



Js



s

(2.40)

)

(

(s)

M

đ



K



I

ư

s

(2.38)

)

(

(s)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Động cơ một chiều kích từ đợc lập

Đặt :

ư
ư
ư

R

L

T



Là hằng sớ thời gian điện từ động cơ.

B

J

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Động cơ một chiều kích từ độc lập

Ta có thể viết lại (2.37) và (2.39) như sau:

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.2 Hàm truyền đạt

c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Từ các biểu thức (2.38), (2.40), (2.41), (2.42) ta có sơ đồ cấu
trúc của động cơ một chiều như sau:

Uư(s) Iư(s) Mđ(s) (s)

K

Mt(s)

s

T

R



1 s

T

B



1

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khối
a. Sơ đồ khối

Ở mục 2.2.2 chúng ta đã dẫn ra được hàm truyền của các phần tử
cơ bản trong hệ thống điều khiển. Trong thực tế hệ thống gồm
nhiều phần tử cơ bản kết nối với nhau. Một cách đơn giản nhưng
hiệu quả rất nhiều trong việc biểu diễn các hệ thống phức tạp là
dùng sơ đồ khối.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới
a. Sơ đồ khối

Khối chức năng: tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín
hiệu vào và hàm truyền.

Điểm rẽ nhánh: tại điểm rẽ nhánh các tín hiệu đều bằng nhau.

Bộ tổng: tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng các tín hiệu vào.

x y

y = xG
a)

x = y = z
b)

x y

y = x - z
c)

x y

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ thống nối tiếp

Hàm truyền tương đương của hệ thống nối tiếp:

G1(s)
R(s)

G2(s) Gn(s)

R2(s)

Rn(s)

C(s)
R1(s) C1(s)

C2(s)

Cn(s)

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ thống song song

G1(s)
R1(s)

G2(s)

Gn(s)

C1(s)

R2(s) C2(s)

Rn(s) Cn(s)

R(s) C(s)

(2.45)

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

1
2
2
1
1
2
1














n
i i
n
n
n

s

G

s

R

s

C

s

R

s

C

s

R

s

C

s

R

s

C

s

C

s

C

R(s)

C(s)

G(s)

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đồ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp một vòng

a) Hồi tiếp âm

G(s)
R(s)

H(s)

C(s)
Cht(s)

E(s)

G(s)
R(s)

H(s)

C(s)
Cht(s)

E(s)

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp một vòng

Hàm truyền hồi tiếp âm:

G(s)
R(s)

H(s)

C(s)
Cht(s)

E(s)

)

(

)

(

)

(

s

R

s

C

s

G

k



</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp một vòng

Hàm truyền hồi tiếp âm:

(2.46)

)

(

).

(

1 )

(

)

(

s

H

s

G

s

G

s

G

k





Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:

Trường hợp đặc biệt khi H(s) = 1 ta có hệ thống hồi tiếp âm 
đơn vị. Trong trường hợp này (2.46) trở thành:

(2.47)

)

(

1 )

(

)

(

s

G

s

G

s

G

k





G(s)
R(s)

H(s)

C(s)
Cht(s)

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp một vòng

Hàm truyền hồi tiếp dương:

)

(

)

(

)

(

s

R

s

C

s

G

k



)

E(s).G(s)

C(s)

(do

H(s)

E(s).G(s).

E(s)

)

C(S).H(s)

(S)

C

(do

C(s).H(s)

E(s)

)

(s)

C

R(s)

E(s)

(do

(s)

C

E(s)

R(s)

E(s).G(s)

C(s)

ht
ht



















Ta có:

G(s)
R(s)

H(s)

C(s)
Cht(s)

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp một vòng

Hàm truyền hồi tiếp dương:

(2.48)

)

(

).

(

1 )

(

)

(

s

H

s

G

s

G

s

G

k





Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:

G(s)
R(s)

H(s)

C(s)
Cht(s)

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta
thực hiện các phép biến đổi tương đương với sơ đồ khối để
là xuất hiện các dạng kết nối đơn giản (nối tiếp, song song,
hồi tiếp một vòng) và tính hàm truyền tương đương theo
thứ tự từ trong ra ngoài.

Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

 Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau:

x1 = x2 ; x3 = x1.G(s) x3 = x1.G(s);

G(s)
x2

x1 x3

G(s)
x2

x1 x3

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đồ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

 Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước :

x3 = x1.G(s);

x2 = x3 = x1.G(s)

x3 = x1.G(s); x2= x1.G(s)

G(s)
x2

x1 x3

G(s)
x2

x1 x3

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

 Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau:

x2 = (x1- x3) G(s) x

2 = x1.G(s) - x3.G(s)

G(s)

x1 x2

x3

G(s)

x1 x2

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

 Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước:

x2 = x1.G(s) - x3 x

2 = (x1 - x3.[1/G(s)]).G(s)

= x1.G(s) - x3

G(s)

x1 x2

x3

G(s)

x1 x2

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

 Chuyển vị trí hai bộ tổng:

x4 = (x1 - x2)+ x3 x4 = (x1 + x3)- x2

x1

x2 x3

x4 x1

x2
x3

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đồ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

Tách một bộ tổng thành hai bộ tổng:

x4 = x1 - x2 + x3 x4 = (x1 – x2)+ x3

x1

x3

x2

x4 x1

x3

x2

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Chú y: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau đây rất hay bị
nhầm lẫn là biến đổi tương đương:

x4 = x1 - x2

x = x = x - x

x4 = x1 - x2 
x = x

 Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng

x1

x3

x2

x4 x1

x3

x2

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

b. Hàm trùn đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Chú y: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau đây rất hay bị
nhầm lẫn là biến đổi tương đương:

x4 = x1 - x2

x5 = (x1 - x2) + x3

x4 = x1 + x3

x5 = (x1 + x3) - x2

x1

x4

x2

x5

x3

x1

x4

x3

x5

x2

 Chuyển vị trí hai bộ tổng khi giữa hai bộ tổng đó có điểm

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống

Tính hàm truyền tương đương của hệ thống

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

R(s) C(s)

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

2.2 HÀM TRÙN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đồ khối

c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống

Biến đổi tương đương sơ đồ khối như sau:

G1(s)

G2(s)

GA(s)

R(s) C(s)

1
2

- Chuyển vị trí hai bộ tổng 1 và 2, đặt GA(s) = [G3(s)//G4(s)],

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

2.2 HÀM TRÙN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đồ khối

c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống

- GB= [G1(s) // hàm truyền đơn vị]
- GC(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), GA(s)]

GC(s)

R(s) C(s)

GB(s)

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống

- Hàm truyền tương đương của hệ thống:

GC(s)

R(s) C(s)

GB(s)

)]

(

)

(

).[

(

1 )

(

)].

(

1 [

)

(

)

(

).

(

)

(

4
3

2
1

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

ht

C
B

ht









</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

Nhận xét:

Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn
giản và trực quan dùng để tìm hàm truyền tương đương của
hệ thống.

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

Nhận xét:

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

2.3 SƠ ĐỜ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đờ dòng tín hiệu và công thức Mason

a. Định nghĩa:

Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phương pháp sử dụng
sơ đồ khối ta còn có thể sử dụng phương pháp sơ đồ dòng tín
hiệu.

So sánh sơ đồ khối và sơ đồ dòng tín hiệu của hệ thống như
hình:

G(s)
R(s)

H(s)

C(s)

R(s) E(s) G(s) C(s)

-H(s)

1 1

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

a. Định nghĩa:
Định nghĩa:

Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh.

- Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ
thống.

- Nhánh: là đường nối trực tiếp giữa hai nút, trên mỗi nhánh
có mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền
cho biết mối quan hệ tín hiệu giữa hai nút.

- Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra.

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

2.3 SƠ ĐỜ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đờ dòng tín hiệu và công thức Mason

a. Định nghĩa:
Định nghĩa:

- Nút hỗn hợp: nút có tất cả các nhánh ra và các nhánh vào.
Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng
tổng đại số của các tín hiệu vào.

- Độ lợi của một đường tiến: tích của các hàm truyền của
các nhánh trên đường tiến đó.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

a. Định nghĩa:
Định nghĩa:

- Vòng kín: đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng
hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút mợt lần.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

2.3 SƠ ĐỜ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

b. Công thức Mason:

Hàm truyền tương đương của hệ thống tự động biểu diễn
bằng sơ đồ dòng tín hiệu có thể tính theo công thức sau:

(2.49)

1 





k

k
k

P

G

Trong đó: Pk - độ lợi của đường tiến thứ k.

 - định thức của sơ đồ dòng tín hiệu.

(2.50)

...

1

,
,
,















m
j
i

m
j
i
j

i

j
i
i

i

L

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

b. Công thức Mason:

- Tổng độ lợi vòng của các vòng kín có trong
sơ đồ dòng tín hiệu.





i

L





j
i

L

- Tổng các tích độ lợi vòng của hai vòng không 
dính nhau.





m
j
i

m

j
i

L

,
,

- Tổng các tích độ lợi vòng của ba vòng

không dính nhau.

k





- Định thức con của sơ đồ dòng tín hiệu, k được

suy ra từ  bằng các bỏ đi các vòng kín có dính

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

2.3 SƠ ĐỜ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đờ dòng tín hiệu và công thức Mason

b. Công thức Mason:

- “Không dính” = không có nút chung nào.
- “Dính” = có ít nhất mợt nút chung.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

2.3 SƠ ĐỜ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason

Bài ví dụ:

Tính hàm truyền tương đương của hệ thống mô tả bởi sơ
đồ dòng tín hiệu như sau:

G1 G2 G3 G4 G5 1 C(s)

R(s)

G6 G7

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason

Giải:

- Độ lợi của các đường tiến:

G1 G2 G3 G4 G5 1 C(s)

R(s)

G6 G7

-H1
-H2

P1 = G1.G2.G3.G4.G5 ; P2 = G1.G4.G5 G6; P3= G1.G2.G7

- Độ lợi của các vòng kín:

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason

Giải:

- Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu;

 = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4) + L1.L2

- Các định thức con:

1 = 1 ; 2 = 1 ; 3 = 1 - L1

Hàm truyền tương đương của hệ thống là:

)

.Δ

P

.Δ

P

.Δ

(P

Δ

G



1

1 1



2 2



3 3

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason

Trong trường hợp hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối,
muốn áp dụng công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển
sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu.

Khi từ sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu cần chú ý:
- Có thể gộp hai bộ tổng liền nhau thành một nút.

- Có thể gộp một bộ tổng và một điểm rẽ nhánh liền sau nó
thành mợt nút.

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.1 Khái niệm

Như ta đã biết, quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ
thống liên tục bất kỳ có thể mô tả bằng phương trình vi
phân bậc n.

Nghiên cứu hệ thống dựa trên phương trình vi phân bậc n
rất khó khăn, do đó cần mô tả toán học khác giúp cho việc
nghiên cứu hệ thống dễ dàng hơn

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.1 Khái niệm

Nghiên cứu hệ thống mô tả bằng hàm truyền thuận lợi hơn
bằng phương trình vi phân, tuy nhiên hàm truyền có một số
khuyết điểm sau:

- Chỉ áp dụng được khi điều kiện ban đầu bằng 0.

- Chỉ áp dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến, không
thể áp dụng mô tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời
gian.

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.1 Khái niệm

Mợt phương pháp khác được sử dụng để khảo sát hệ thống
tự động là phương pháp không gian trạng thái.

Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi
phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc nhất bằng các
đặt n biến trạng thái.

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

 Trạng thái

Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến
(gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này
tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t  t0 ta

hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại
mọi thời điểm t  t0.

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái. Các biến trạng thái có 
thể chọn là biến vật lý hay không phải là biến vật lý.

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

 Véctơ trạng thái

n biến trạng thái hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng
thái, ký hiệu:

Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển
phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ n

phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như
sau:



x

1

x

2

...

x

n



T

(2.51)

x



(2.52)

Dr(t)

Cx(t)

c(t)

Br(t)

Ax(t)

(t)

x















</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

 Véctơ trạng thái

Trong đó :















nn
n
n
n
n

a

A







2
1
2
22
21
1
12
11















n

b

B



2
1



c



C





D



d

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

 Véctơ trạng thái

Phương trình (2.52) được gọi là phương trình trạng thái của
hệ thống. Nếu A là ma trận thường, ta gọi (2.52) là phương
trình trạng ở thái thường; nếu A là ma trận chéo, ta gọi
(2.52) là hệ phương trình trạng thái ở dạng chính tắc.

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

 Véctơ trạng thái

Hệ thống mô tả bởi hệ phương trình trạng thái (2.52) có thể
biểu diễn dưới dạng sơ đồ trạng thái như sau:

B C

r(t) c(t)



</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

Cho hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:

 Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

(2.53)

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

0
1

1
1

a

c

t

b

r

t

dt

t

dc

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

n
n

n
n
n

n





 



Để ý rằng trong phương trinh (2.53) hệ số a0 = 1. Nếu a0  1 ta

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

)

(

)

(

t

c

t

x



- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra:

)

(

)

(

t

x

1

t

x

i

 

i

- Biến trạng thái thứ i (i = 2  n) đặt theo quy tắc: biến sau

bằng đạo hàm biến trước:

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

n
n
n
n
n
n
n

n

dt

t

c

d

t

x

dt

t

c

d

t

x

t

x

t

x

t

c

t

x

t

x

t

x

t

c

t

x

t

x

t

x

t

c

t

x

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1
1
1
3
2
3
2
1
2
1































</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Thay các biến trạng thái vào phương trình (2.53) ta được:

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

t

a

1

x

t

a

1

x

2

t

a

x

1

t

b

0

r

t

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống

không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Kết hợp phương trình trên với quan hệ giữa các biến trạng
thái ta được hệ phương trình sau:

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

)

(

.

0 )

(

)

(

)

(

)

(

1

0

1

0

1

0 )

(

)

(

)

(

)

(

0
1
2
1
1
2
1
1
2
1

t

r

b

t

x

t

x

t

x

t

x

a

t

x

t

x

t

x

t

x

n
n
n
n
n
n
n








































































</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào





















)

(

)

(

)

(

)

(

0

1 )

(

)

(

1
2
1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

c

n
n





</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

(2.55)













Cx(t)

c(t)

Br(t)

Ax(t)

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Trong đó:

















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1
2
1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

n
n





















1 2 1

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Trong đó:















0 b

B



C





1

0 

0 















0 b

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Ví dụ:

 Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống

không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Cho hệ thớng điều khiển có quan hệ tín hiệu vào - tín hiệu ra
mô tả bằng phương trình vi phân sau:

)

(

)

(

10 )

(

6 )

(

5 )

(

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải:

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Chia hai vế phương trình vi phân cho 2, ta được:

)

(

5 ,

0 )

(

5 )

(

3 )

(

5 ,

2 )

(

t

c

t

c

t

c

t

r

t

c

















Đặt các biến trạng thái như sau:

)

(

;

)

(

;

)

(

2 1 3 2

c

t

x

t

x

t

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

101

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải:

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Áp dụng công thức (2.55), ta có hệ phương trình trạng thái mô
tả hệ thống như sau:













Cx(t)

c(t)

Br(t)

Ax(t)

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải:

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Với:















)

(

)

(

)

(

)

(

3
2
1

t

x

t

x

t

x

t

x

































5 ,

2

3

5

1

0

1

0

1

0

1

0

1
2

a

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

103

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải:

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Với:



1

0 



C





























5 ,

0 b

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

Xét bài toán xây dựng hệ phương trình trạng thái cho hệ thớng:

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

(2.56)

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

1
1
1
1
0
1
1
1
1

t

r

b

dt

t

dr

b

dt

t

r

d

b

dt

t

r

d

b

t

c

a

dt

t

dc

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n














</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

105

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

)

(

)

(

t

c

t

x



- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra:

)

(

)

(

)

(

t

x

1

t

1

r

t

x

i





i





i

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Với quy tắc đặt biến trạng thái như trên, hệ phương trình
trạng thái mô tả hệ thống là:













Cx(t)

c(t)

Br(t)

Ax(t)

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

107

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Trong đó :



















1 2 1

1

0

1

0

1

0 a

A

n
n
n






















n
n

B



1
2
1





1

0 

0 



</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Quy tắc đặt biến trạng thái

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Với :


























1 1 1 1 1

1
2
2

1
2

1
1
1

0
1

...



n
n

n

b

a

b

a

b

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

109

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Xét hệ bậc 3 có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra qua
phương trình vi phân sau:

(2.57)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2
1

2
2
0

3
2

1
2
1
3

t

r

b

dt

t

dr

b

dt

t

r

d

b

t

c

a

dt

t

dc

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

n
n







</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Đặt các biên trạng thái như sau:

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

111

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Với cách đặt biến trạng thái như trên ta có:

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Thay (2.58), (2.61), (2.62) và (2.63) vào phương trình
(2.57) ta được:











(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2
1
0
1
3
1
2
2
2
1
3
1
2
1
3

t

r

b

t

r

b

t

r

b

t

x

a

t

r

t

x

a

t

r

t

r

t

x

a

t

r

t

r

t

x



















(2.64)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3 1 2 1 1 3 0 1

t

r

a

b

t

r

a

b

t

r

b

t

x

a

t

x

a

t

x

a

t

x

















</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

113

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Chọn 1, 2 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu

thức (2.64) bị triệt tiêu:



























1
1
1

1
1
2

0 

a

b

a

b

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Thay vào (2.64) ta được:

(2.65)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3 1 2 2 1 3 3

t

a

x

t

a

x

t

a

x

t

r

t

x











Kết hợp (2.59), (2.60) và (2.65) ta được hệ phương trình:

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

115

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Viết lại dưới dạng ma trận:

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Trong đó:



















1
2
2

1
2

1
1
1

0
1



a

b

a

b

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

117

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, 
trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tư

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Đáp ứng của hệ thống:





















)

(

)

(

)

(

0

1 )

(

)

(

3
2
1
1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Ví dụ áp dụng:

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

)

(

20 )

(

10 )

(

10 )

(

6 )

(

5 )

(

t

c

t

c

t

c

t

r

t

r

t

c





















</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

119

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải :

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2
2

1
1

2
1

t

r

t

x

t

x

t

r

t

x

t

x

t

c

t

x













</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải :

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thớng là:

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

121

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải :

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Trong đó:







































30

0

6

10

5

20

10

0

5

10

0

1
2
2

1
2

1
1
1

0
1



a

b

a

b

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải :

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

123

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

• Giải :

 Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Đáp ứng của hệ thớng:





















)

(

)

(

)

(

0

1 )

(

)

(

3
2
1
1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

125

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Ví dụ:

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ
đồ khối như sau:

R(s) C(s)

)
3
(

10


s
s

2
1


s

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Hàm truyền của hệ thống kín:

10 G s

s s 1

G s

1 H s G s

1

10

1 s 2

s s 1

10 s 2

s s 3 s 2 10

( )

.(

)

( )

( ). ( )

.(

)

.(

)

.(

).(

)















 

 







 









</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

127

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối
Giải:

10

6

5

20

10 )

2 ).(

3 .(

)

2 .(

10 )

(

)

(

2
3











s

R

s

C

)

(

).

20

10 (

)

(

).

10

6

5 (

s



s



s



C

s



s



R

s



)

(

20 )

(

10 )

(

10 )

(

6 )

(

5 )

(

t

c

t

c

t

c

t

r

t

r

t

c















</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2
2

2
1

t

r

t

x

t

x

t

r

t

x

t

x

t

c

t

x













Đặt biến trạng thái như sau:

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

129

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

)

(

.

)

(

)

(

)

(

1

0

1

0 )

(

)

(

)

(

3
2
1
3
2
1
1
2
3
3
2
1

t

r

t

x

t

x

t

x

a

t

x

t

x

t

x





























































</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khới

Giải:

Trong đó:







































30

0

6

10

5

20

10

0

5

10

0

0
2
1

1
2

0
1
1

0
1

b

a

b

a

b

a

b



</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

131

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Thay các thông số của hệ vào phương trình trạng thái, ta
được:

)

(

.

30

10

0 )

(

)

(

)

(

5

6

10

1

0

1

0 )

(

)

(

)

(

3
2
1
3
2
1

t

r

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x





























































</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Đáp ứng của hệ thống:





















)

(

)

(

)

(

0

1 )

(

)

(

3
2
1
1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

c

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

133

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

B- Phương pháp tọa độ pha

Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là:

(2.66)

...

)

(

)

(

1
1

1
0

n
n

m
m

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

b

s

R

s

C








</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Đặt biến phụ Y(s) sao cho:

(2.68)

)

(

).

...

(

)

(

(2.67)

)

(

).

...

(

)

(

1
1
1
1
1
1
0

s

Y

a

s

a

s

a

s

R

s

Y

b

s

b

s

b

s

b

s

C

n
n
n
n
m
m
m
m














Biến đổi Laplace ngược hai vế (2.67) và (2.68) ta được:

m m 1

0 m 1 m 1 m 1 m

n n 1

1 n 1 n

n n 1

d y t

dy t

c t

b

b y t

dt

d y t

dy t

r t

a

a y t

( )

...

( ) (2.69)

( )

( ) (

...

( ) (2.70)














</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

135

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Xét phương trình (2.70), ta đặt các biến trạng thái nhứ sau:
















 1
1
1
1
2
3
1
2
1

)

(

)

(

)

(

(2.71)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n
n
n
n

dt

t

y

d

t

x

t

x

t

y

t

x

t

x

t

x

t

y

t

x

t

x

t

y

t

x









</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Thay các biến trạng thái ở biểu thức (2.71) vào phương
trình vi phân (2.69) ta được:

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

t

b

0

x

t

b

1

x

1

t

b

1

x

2

t

b

x

1

t

c



n



n



m



m

Viết dưới dạng véc tơ:

(2.74)

)

(

.

)

(

t

C

x

t

c





b

1

b

1

b

0



(2.75)

C



m m



Với:

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

137

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Thay các biến trạng thái từ (2.70) vào (2.71) ta suy ra được
hệ phương trịnh trạng thái:

(2.72)

)

(

)

(

)

(

t

Ax

t

Br

t

x







Trong đó:
;
1
0
0
0
0
1

0
0
0
0
1
0
1
2
1 






















 a a

a
a
A
n
n
n 


























n
n
B




1
2
1

;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1



















t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
n
n


(2.73)

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Tóm lại, bằng các đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ
pha, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

c

t

Br

t

Ax

t

x



Với các ma trận trạng thái xác định bằng biểu thức (2.73) và
(2.75)

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

139

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Ví dụ ứng dụng:

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ
đồ khối dưới đây bằng phương pháp tọa độ pha:

R(s) C(s)

)
3
(

10


s
s

2
1


s

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Hàm truyền của hệ thống là:

10

6

5

20

10 )

(

)

(

2
3





s

R

s

C

)

(

).

10

6

5 (

)

(

)

(

).

20

10 (

)

(

s

Y

s

s

R

s

Y

s

C









Đặt biến phụ Y(s) thỏa:

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

141

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối
Giải:
Suy ra:

)

(

10 )

(

6 )

(

5 )

(

)

(

)

(

20 )

(

10 )

(

0 )

(

t

y

t

y

t

y

t

y

t

r

t

y

t

y

t

y

t

c

















Đặt các biến trạng thái:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2
3
1
2
1

t

y

t

x

t

x

t

y

t

x

t

x

t

y

t

x







</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Áp dụng các công thức từ (2.72) đến (2.75), ta có hệ phương
trình mô tả trạng thái hệ thống là:













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

c

t

Br

t

Ax

t

x



</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

143

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

Trong đó:

































5

6

10

1

0

1

0

1

0

1

0

1
2

a

A















1

0 B



2 1 0

 



20

10

0 



b

C

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Nhận xét:

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

145

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến
trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối.

R(s) C(s)

)
3
)(

1
(

10


 s

s

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái được
đặt như sau:

R(s) C(s)

s

)
1
(

1


s ( 3)

10


s

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

147

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Với cách đặt biến trạng thái như hình vẽ, ta có các quan hệ sau:

)

(

3

10 )

(

2

X

s

X





)

(

10 )

(

3 )

(

1 2

s

X

s

X

s

sX







(2.76)

)

(

10 )

(

3 )

(

1 2

t

x

t

x

t

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

)

(

1 )

(

3

X

s

X





)

(

)

(

)

(

2 3

s

X

s

X

s

sX







(2.77)

)

(

)

(

)

(

2 3

t

x

t

x

t

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

149

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ



(

)

(

)



1 )

(

R

s

C

s

X





)

(

)

(

)

(

1

s

R

s

X

s

sX







(2.78)

)

(

)

(

)

(

1

t

x

t

r

t

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

151

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Đáp ứng của hệ thống:



















)

(

)

(

)

(

.

0

1 )

(

)

(

3
2
1
1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ
thống có sơ đồ khối như sau:

R(s) C(s)

4
3


s 5

2



s
s

6
1




s
s

E(s) X2(s) X1(s)

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

153

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Với các biến trạng thái như sơ đồ khối, ta có các quan hệ sau:

)

(

5

2 )

(

2

X

s

X





(2.80)

)

(

)

(

2 )

(

5 )

(

1 2 2

s

X

s

X

s

sX

s

sX







</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ



(

)

(

)



4

3 )

(

4

3 )

(

2 3

R

s

X

s

E

s

X











(2.81)

)

(

3 )

(

3 )

(

4 )

(

2 3

s

X

s

X

s

R

s

sX









)

(

6

1 )

(

1

X

s

X





(2.82)

)

(

)

(

6 )

(

)

(

1 3 1

s

X

s

X

s

sX

s

sX







</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

155

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được:

)

(

3 )

(

3 )

(

4 )

(

2 )

(

5 )

(

1 2 2 3

s

X

s

X

s

X

s

X

s

R

s

sX











(2.83)

)

(

3 )

(

3 )

(

2 )

(

5 )

(

1 2 3

s

X

s

X

s

X

s

R

s

sX







</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được:

)

(

3 )

(

3 )

(

2 )

(

5 )

(

6 )

(

)

(

1 3 1 2 3

s

X

s

X

s

X

s

X

s

X

s

R

s

sX







(2.84)

)

(

3 )

(

9 )

(

2 )

(

4 )

(

1 2 3

s

X

s

X

s

X

s

R

s

sX







</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

157

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy ra hệ phương
trình trạng thái:

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ
khối

Giải:

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp trên sơ đồ

Viết lại dưới dạng ma trận:

)

(

)

(

)

(

t

Ax

t

Br

t

x







Trong đó:
;
9
2
4
3
4
0
3
2
5




















A











3
3
3
B
;
)
(
)

(
)
(
)
(
3
2
1











t
x
t
x
t
x
t
x

Đáp ứng của hệ:

(

)

(

)

(

)

t

Cx

t

x

t

c



</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

159

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta
thực hiện theo các bước sau:

(2.85)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(













t

Cx

t

c

t

Br

t

Ax

t

x



1. Thành lập biến phương trình trạng thái ở dạng thường:

2. Thực hiện phép đổi biến trạng thái:

)

(

)

(

t

My

t

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

CMy

t

c

t

Br

t

AMy

t

y

M



Thay vào phương trình (2.85)

x

(

t

)



My

(

t

)


















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

161

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

AM

M

A

1



Trong đó:

B

M

B

1



CM

C



Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương
trình (2.85).

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M được
chọn như sau:




















 1 1

3
1

2
1

2
2

3
2

2
2

3
2

1

n
n
n

n
n

M









Trong đó I, (i = 0  n) là các trị riêng của ma trận A, tất là

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

163

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Ví dụ:

Cho hệ thống có hàm truyền:

2

3

1

3 )

(

)

(

)

(

2





s

R

s

C

s

G

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Giải :

Áp dụng phương pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy ra hệ phương
trình trạng thái mô tả hệ thống là:

Trong đó:













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

c

t

Br

t

Ax

t

x



















3

2

1

0 A















1

0

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

165

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Giải :

Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:

0 )

det(



I



A



0

3

2

1

0

1

0

1 det















































0

3

2

1 det



































</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Giải :

0

2

3 























2

1

2
1



Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là:

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

167

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Giải :

Với cách biến đổi trên, ta được hệ phương trình biến trạng thái
có dạng:













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

y

C

t

c

t

r

B

t

y

A

t

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Giải :
Trong đó:































































2

0

1

2

1

3

2

1

0

1

2 AM

M

A















































1

0

1

2 B

M

B







1

2 

1

2

3

1 





</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

169

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Giải :

Vậy hệ phương trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là:

)

(

.

1 )

(

)

(

2

0

1 )

(

)

(

2
1
2

r

t

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái

Cho hệ thống mô tả bởi hpt trạng thái:













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

c

t

Br

t

Ax

t

x



Biến đổi Laplace hai vế phương trình trên (giả sử điều kiện đầu
bằng 0), ta được:

(2.89)

)

(

)

(

(2.88)

)

(

)

(

)

(

s

CX

s

C

s

BR

s

AX

s

sX



</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

171

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái

Từ (2.88) suy ra:

)

(

)

(

)

(

sI



A

X

s



BR

s

)

(

)

(

)

(

s

sI

A

BR

s

X







)

(

)

(

)

(

s

C

sI

A

BR

s

CX







Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta được

)

(

)

(

)

(

s

C

sI

A

BR

s

C







(2.90)

)

(

)

(

)

(

)

(

C

sI

A

B

s

R

s

C

s

G





</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái

Công thức (2.90) cho phép ta tính được hàm truyền khi biết hệ
phương trình trạng thái:

Ví dụ: cho hệ thống có hệ phương trình biến trạng thái là:

)

(

.

1

0 )

(

)

(

3

2

1

0 )

(

)

(

2
1
2

r

t

t

x

t

x

t

x

t

x











































































)

(

)

(

3

1 )

(

2
1

t

x

t

x

t

c

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

173

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái

Giải:

Hàm truyền của hệ thống là:

G

(

s

)

C

(

sI

A

)

1

B

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái

Giải:
Ta có:

















































s

B

A

sI

1

2

3

1

0

2

1

3

2

3

1 )

(

1 2 2





2

3

1

3

1

3

1

2

3

1 )

(

1 2 2























s

B

A

sI

C

2

3

1

3 )

(

2





s

G

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

175

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Cho hệ thống có phương trình trạng thái như sau:

(2.92)

)

(

)

(

(2.91)

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

c

t

Br

t

Ax

t

x









</div>
(176)<div class='page_container' data-page=176>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.91) ta được:

(2.93)

)

(

)

(

)

x(0

)

(

)

(

)

(

)

0 (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 (

)

(

sI

A

BR

s

A

sI

s

X

s

BR

x

s

X

A

sI

s

BR

s

AX

x

s

sX































Đặt: , thay vào phương trình (2.93) ta được:



(

s

)



(

sI



A

)

-1

(2.94)

)

(

)

(

)

0 (

)

(

)

(

s

x

s

BR

s

</div>
(177)<div class='page_container' data-page=177>

177

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94), ta được:

(2.95)

d

)

(

)

(

)

0 (

)

(

)

(

















t

Br

t

x

t

x

Trong đó:

(2.96)

]

)

[(

)]

(

[

)

(

1 1 1











t

L

s

L

sI

A

Ma trận (t) được gọi là ma trận quá độ của hệ thống. Tính
(t) theo (2.96) tương đối khó khăn, nhất là đối với các hệ

</div>
(178)<div class='page_container' data-page=178>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy khi r(t) = 0 thì:

(2.97)

)

0 (

)

(

)

(







t

x

t

x

Mặt khác, khi r(t) = 0 phương trình (2.91) trở thành:

(2.98)

)

(

)

(

t

Ax

t

x





Nhiệm của (2.98) là:

(2.99)

)

0 (

)

(





e

x

t

</div>
(179)<div class='page_container' data-page=179>

179

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

So sánh (297) và (2.99) suy ra:

(2.100)

)

(

t



e

At



Theo định lý Haley – Hamilton, ta có:

(2.101)

]

[

...

]

[

]

[

)

(

t

e

At

C

0

I

C

1

A

C

2

A

C

n 1

A

n1









Thay A = ,  là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của

phương trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính

</div>
(180)<div class='page_container' data-page=180>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Tóm lại:

• Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta thực
hiện các bước sau đây:

1- Tính ma trận quá độ (t) theo công thức (2.96) hoặc (2.101).

2- Tính nghiệm của phương trình biến trạng thái theo công thức
(2.95), nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:



)

(

)

d

(

)

(









t

Br

t

</div>
(181)<div class='page_container' data-page=181>

181

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Tóm lại:

• Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phương pháp biến
trạng thái, trước tiên tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng
thái, sau đó tính:

)

(

)

(

t

Cx

t

</div>
(182)<div class='page_container' data-page=182>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Ví dụ:

Cho hệ thống có hàm truyền là:

2

3 )

(

2





s

G

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên
2- Tìm ma trận quá đợ

</div>
(183)<div class='page_container' data-page=183>

183

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

2

3 )

(

)

(





s

R

s

C

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
Theo đề bài ta có:

)

(

)

(

)

2

3 (

s



s



C

s



sR

s



)

(

)

(

2 )

(

3 )

(

t

c

t

c

t

r

t

c















Đặt biến trạng thái như sau:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1
2

t

r

t

x

t

x

t

c

t

x







</div>
(184)<div class='page_container' data-page=184>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

</div>
(185)<div class='page_container' data-page=185>

185

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
do 1 = b0 = 1

2 = b1 – a11 = 0 – 3*1 =3

</div>
(186)<div class='page_container' data-page=186>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

Cách 1:

2- Tính ma trận quá độ

]

)

[(

)]

(

[

)

(

1 1 1











t

L

s

L

sI

A

Ta có:













































s

A

sI

s

2

1

3 )

2 )(

1 (

1

2

1

3

2

3

1 )

(

)

(

1 2

</div>
(187)<div class='page_container' data-page=187>

187

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

2- Tính ma trận quá độ















































 

)

2 )(

1 (

)

2 )(

1 (

2 )

2 )(

1 (

1 )

2 )(

1 (

3 )]

(

[

)

(

1 1

s

t

L

</div>
(188)<div class='page_container' data-page=188>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

2- Tính ma trận quá độ





























































































)

2 (

2 )

1 (

1 )

2 (

2 )

1 (

2 )

2 (

1 )

1 (

1 )

2 (

1 )

1 (

2 )]

(

[

1
1
1
1
1

s

L




































)

2 (

)

2 (

)

(

)

2 (

)

(

2 2

</div>
(189)<div class='page_container' data-page=189>

189

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

Cách 2:

2- Tính ma trận quá độ

(2.102)

1
0

I

C

A

C

e

Φ(t)



At





Các trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(sI - A) = 0

0

3

2

1

0

1

0

1 det















































0

2

3 























2

1

2
1

</div>
(190)<div class='page_container' data-page=190>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

2- Tính ma trận quá độ

Thay A = i vào công thức (2.102), ta được:

</div>
(191)<div class='page_container' data-page=191>

191

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

2- Tính ma trận quá độ

Thay C0 và C1 vào công thức (2.102), ta được:



































   

3

2

1

0 )

(

1

0

1 )

2 (

)

(

t

e

t

e

2t

e

t

e

2t





































)

2 (

)

(

)

2 (

)

(

2 2

2
2
t
t
t
t
t
t
t

t

e

t

</div>
(192)<div class='page_container' data-page=192>

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

3- Đáp ứng của hệ thống

Trước tiên ta tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái. Với
điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phương trình trạng thái là:



)

(

)

d

</div>
(193)<div class='page_container' data-page=193>

193

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

3- Đáp ứng của hệ thống

</div>
(194)<div class='page_container' data-page=194>

2.4 TÓM TẮT

Chương này đã trình bày hai phương pháp mô tả toán học hệ
thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp
không gian trạng thái.

Tùy theo hệ thống và bài toán điều khiển cần giải quyết mà
chúng ta chọn bài toán mô tả toán học phù hợp.

</div>
(195)<div class='page_container' data-page=195>

195

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Giải :

3- Đáp ứng của hệ thống







































t
t
t
t

e

t

x

t

x

t

x

2
2
2
1

2

1 )

(

)

(

)

(





x

t

e

t

e

t

x

t

x

t

c

1 2

(

)

)

(

)

(

0

1 )

(

 



















</div>
(196)<div class='page_container' data-page=196>

2.4 TÓM TẮT

Nếu hệ thống khảo sát là hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi
tuyến, hệ đa biến thì phương pháp không gian trạng thái nên
được sử dụng.

</div>

tài liệu trang web lớp đ5h13b đại học điện lực

<b>ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG</b>







<i><sub>L</sub></i>

<i>L </i>



<i>a</i>

<i>f</i>

(

<i>t</i>

)



<i>a</i>

<i>f</i>

(

<i>t</i>

)





<i>a</i>

<i>F</i>

(

<i>s</i>

)



<i>a</i>

<i>F</i>

(

<i>s</i>

)

(2.2)

<i>L</i>

(2.3)

)

0

(

)

(

)

(

















<i><sub>sF</sub></i>

<i><sub>s</sub></i>

<i><sub>f</sub></i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>df</i>

<i>L</i>

<i><sub>L</sub></i>

(2.4)

)

(

)

(

<i>s</i>

<i>sF</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>df</i>















(2.5)

)

(

)

(