Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 môn: Đại số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MÔN: ĐẠI SỐ I – PHƯƠNG TRÌNH. 1. (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = 0 có hai nghiệm dương x1, x2 sao cho P = x14  x24  x15  x25 đạt GTLN. HD: P = x1x2(1 – 3x1x2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy. 1 2. (BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 – ax =0 . Chứng minh 2a 2 rằng. b4 + c4 ≥ 2 + 2 . 3. (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d  R. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm. ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = 0. 4. (BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = 0 , x2 – 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm. 5. (BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + 1 = 0. HD: Chuyển về A2 = 0. 2. 2. x2  4  x2  x2 6. (BT_366_12/07) Giải phương trình 20   5  20  0.    x2  1  x 1   x 1  x2 x2 HD: Đặt u = ,v= Chuyển phương trình về dạng aA + b A.B + cB = 0. x 1 x 1 7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32. HD: Chuyển về A2 = B2. 8. (BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ. 9. (BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – 4 = 0. 10. (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + 1 = 0(1), x2 + bx + 1 = 0 (2) , x2 + cx + 1 = 0 (3). Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + abc = 4.  1  x1    a x1  (4)  x x 1  b (5) . Nhân (4); (5) ta có 1  2  ab  c . HD: Áp dụng Định lí viét.  x2  x2 x2 x1  (6)  1  c  x1 x2  x1 x2  1 1 Từ (4),(5) ta có x12  2  a 2  2 ; x22  2  b 2  2 . Nhân lại ta có x1 x2 2. 2.  1   x1 x2  (a  2)(b  2)   x1 x2      4. x1 x2   x2 x1   11. Nghiệm của phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a2 + b2 cũng là số tự nhiên. 12. Có thể có hay không biệt số  của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23. 13. Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng với x Z thì ax2 + bx + c cũng nguyên. 14. Tìm a  Z để phương trình có nghiệm nguyên. a) x2 + ax + a = 0 . b) x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0. 2. 2. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. c) x2 – (1 + 2a)x + 19 – a = 0. d) x2 + (a + 1)x + a + 2 = 0. 1 1  là các số nguyên. x y 16. Cho f(x) = ax2 + bx + c . Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình af2(x) + bf(x) + c = x vô nghiệm. 17. Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008 18. Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1. HD: Giả sử a ≥ 0. 19. Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm. HD: ay1 > 0  PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm. b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x có 4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)2 > 4(b + c + 1). 20. Cho f(x) = ax2 + bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. a) |a| + |b| + |c| ≤ 3. b) |f(x) | ≤ 7 với |x| ≤ 2. 5 Cho f(x) = ax2 + bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. |f(x) | ≤ ,  |x| ≤ 1. 4 21. 22. II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 1 1  x  1. 1. (BT_364_10/07) Giải phương trình. 3  x  2 2. 15. Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và. HD: Đặt u =. 3. 1 x,v= 2. 1  x . Chuyển về hệ phương trình. 2. 2. (BT_364_10/07) Giải phương trình HD: Đặt t =. 4. x  x 2  1 . Tính. 4. x  x2  1  x  x2  1  2. x  x 2  1 theo t. Chuyển về phương trình ẩn t.. 3. (BT_364_10/07) Giải phương trình HD:. 4. 7 x 2  22 x  28  7 x 2  8 x  13  31x 2  14 x  4  3 3( x  2). 7 x 2  22 x  28  (2 x  1) 2  3(3  x) 2  3(3  x). 7 x 2  8 x  13  (2 x  1) 2  3( x  2) 2  3( x  2) 31x 2  14 x  13  (2 x  1) 2  3(3 x  1) 2  3( x  2). 4. (BT_363_9/07) Giải phương trình. 4 1 5  x   x  2x  x x x. 1 5 , v = 2x  . Chuyển về HPT. x x C2: Chuyển về PT tích hoặc dạng A2 = B2.. HD: C1: Đặt u =. x. 5. (BT_365_11/07) Giải phương trình. 2( x 2  8)  5 x 3  8 .. HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b A.B + cB = 0. 6. (BT_366_12/07) Giải phương trình x2 + 2 = 2 x 3  1 . HD: C1: aA + b A.B + cB = 0. C2: Chuyển về A2 = 0. 7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x  y  z  4  2 x  2  4 y  3  6 z  5 . HD: Chuyển về A2 + B2 + C2 = 0. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. 8. (BT_366_12/07) Giải phương trình x  x  x. HD: Đặt t =. 1 1  x  2. 2 4. 1 . Chuyển về phương trình ẩn t. 4. 9. (BT_366_12/07) Giải phương trình x 4  x 2  2008  2008 .. x 2  2008 . Chuyển về hệ phương trình.. HD: Đặt y =. 10. (BT_366_12/07) Giải phương trình 4 x 2  5 x  1  2 x 2  x  1  9 x  3 . HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp. C2: Đặt a  4 x 2  5 x  1, b  x 2  x  1 . Chuyển về hệ phương trình ẩn a, b. 11. (BT_366_12/07) Giải phương trình 2 x  1  6 9  x 2  6 ( x  1)(9  x 2 )  38  10 x  2 x 2  x 3 .. x  1  3 9  x 2 . Chuyển về phương trình ẩn t.. HD: Đặt t =. 2 x 2  4 x  7  x 4  4 x3  3x 2  2 x  7 .. 12. (BT_366_12/07) Giải phương trình. 2( x  1) 2  5 . Chuyển về hệ phương trình.. HD: Đặt u = (x + 1)2, v =. 13. (BT_362_8/07) Giải phương trình x 3  3 6  3 x  6  6 . HD: Đặt z =. 3. x6,y=. 3. z  6 . Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh”. Giả sử x ≥ y ≥ z.. 14. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình m x  1  3 x  1  2 4 x 2  1 có nghiệm. HD: Đặt t =. 4. x 1 2 . Do t = 4 1  nên 0 ≤ t < 1. Chuyển về vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai. x 1 x 1. 15. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình HD: Đặt t =. 4. x  1  4m 4 x 2  3 x  2  (m  3) x  2  0 có nghiệm.. x2 . Tìm điều kiện của t. Chuyển bài toán về theo tam thức bậc hai. x 1. 16. (BT_359_5/07) Giải phương trình HD: Áp dụng công thức. x2  x2  4  8  x2 . 4. A2 | A |. 17. (BT_359_5/07) Giải phương trình. x  x2  x  1  x  1  x2  x  1  1. 18. (BT_368_2/08) Gải phương trình 2 x 2  2 x  1  4 x  1 . 19. (BT_368_2/08) Giải phương trình 4 x  x 2  3 4  3 10  3 x . 20. (Olympic 04) Giải phương trình 2 x  HD: Đặt t = 1 . x 1 1 1  1  3 x  . x x x. 1 .Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số. x. x 1 1 x 1  1  3 x 1  2 x  t 2  t  3 x  1.t  t = 2( x  1  1) v t = x x x PT: t = 2( x  1  1) Vô nghiệm.. PT  2 x . PT: t =. x  1  1 . Bình phương hai vế chuyển về ( x  x  1) 2  0 .. 21. (Olympic 99) Giải phương trình x 2  3 x  1  . 3 4 x  x2  1 . 3. HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 3. x 1 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. 22. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x 3  2  3 3 3 x  2 . HD: Đặt y = 3 3 x  2 . Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y. 23. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x 2  4 x  2  x  2 HD: Đặt x  2 = y – 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y. 24. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x 2  4 x  6  2 x 2  5 x  3  3 x 2  9 x  5 . HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá. VT ≥ 2 ≥ VP. x3 25. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 x 2  4 x  , x ≥ - 1. 2 HD: Đặt. x3 = y + 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y. 2. 26. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2( x 2  3 x  2)  3 x 3  8 . HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp. 15 (30 x 2  4 x)  2004( 30060 x  1  1) 27. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 15 ( 30060 x  1  1) . Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II. HD: Đặt y = 2 28. (Olympic 95-05) Giải phương trình 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 . HD: Chuyển vế bình phương hai vế. Chuyển về phương trình đẳng cấp. 29. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. x3  1 x2  1 x 1  2(m  1)  4(1  m)  4m  6  0 . x x x x 1 HD: Đặt t = x  ; t ≥ 2. Chuyển về tam thức bậc hai. x 30. (Olympic 95-05) Giải phương trình HD: Đặt ẩn phụ u =. 4. x  4 x(1  x) 2  4 (1  x)3  1  x  4 x 3  4 x 2 (1  x) .. x , v = 4 1  x . Chuyển về phương trình tích.. 31. (Olympic 95-05) Giải phương trình. x 2  x  19  7 x 2  8 x  13  13 x 2  17 x  7  3 3( x  2) .. HD: Phân tích trong các căn (2x – 1)2. Áp dụng BĐT. A2  B 2 | A | .. 32. (Olympic 95-05) Giải phương trình x 2  8 x  816  x 2  10 x  267  2003 .       HD: Phương pháp BĐT | a  b || a |  | b | . Xét a (4  x; 20 2), b(5  x;11 2) 33. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. x 1  x 2  x  m  1  x 2 . HD: Đặt ẩn phụ t  x  1  x 2 , - 1 ≤ t ≤ 2 . 34. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 x  15  32 x 2  32 x  20 HD: Đặt ẩn phụ 2 x  15  4 y  2 . Chuyển về HPT đối xứng loại II. 35. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 2  x  4  x  8  2 x  x 2  m . HD: Đặt ẩn phụ t  2  x  4  x , 6 ≤ t ≤ 2 3 . m  2 3  3 36. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm. x2  x  1  x2  x  1  m .. 1 3 1 3 HD: Xét A( ; ), B ( ; ), M ( x;0) . Ta có AB = 1 và PT  |AM – BM| < AB = 1 2 2 2 2. 37. (Olympic 06) Giải phương trình ( x  1) x 2  2 x  3  x 2  1 .. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> GV: Trần Đình Hiền HD: Đặt t =. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. x 2  2 x  3 . Tính x2 , Chuyển về phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.. 1  x 1  x2  1  2x2 . 2 HD: Chuyển về phương trình chứa gt tuyệt đối ở VT, phân tích thành nhân tử ở VP.. 38. (Olympic 06) Giải phương trình. 39. (Olympic 06) Giải phương trình ( x  x 2 )( x 2  3 x  2007)  2005 x 4  4 x  30 4 x 2  x  1  2006 . HD: PT  ( x 2  x  1) 2  2005( x  1  x ) 2  30 4 x 2  x  1  0 . 3x 1 40. (Olympic 04_11) Giải phương trình x  1  x2 HD: Chuyển vế. Bình phương. Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4 1 3 x 41. (Olympic 06) Giải phương trình 1  0 . 4x  2  x HD: Quy đồng. Nhân liên hợp 42. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.. x 32 x 4  x 4 x 4  m .. 43. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm. 44. III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.. x  4 x  4  x  x  4  m.. 1. (BT_359_5/07) Giải bất phương trình. x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1 .. 2. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình HD: Bình phương hai vế. Đặt t =. 8 x 2  32 . Chuyển về bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.. 3. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình HD: Nhân hai vế với. 9 x 2  16  2 2 x  4  4 2  x .. 2 . Phân tích. Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1;. x 2  (1  3) x  2  x 2  (1  3) x  2  3 2  x 2  2 x  2 .. ( x  2) 2  x 2  ( x  1) 2  ( x  3) 2  ( x  1) 2  ( x  3) 2  6. 3 ), C(- 1; -. 3 ). Ta có BPT  MA + MB + MC ≤ 6. 0. và  ABC đều.Dùng phép quay QB60 . MA + MB + MC = AM + MM1 + M1C ≥ AC1 = 6. BPT  M  O. 4. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình x  HD: Đặt x =. x x 1 2. . 35 . 12. 1 , Đặt t = a + 1  a 2 . a. 5. IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.. ( x 2  1)( y 2  1)  8 xy  0  1. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình  x . y 1    2 2  x 1 y 1 4  1 1 HD: Đặt u = x + , v = y + . y x 4 2  x  x  2 y  y 2. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình  2 x  y 3  3  HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2). TH1: x = 2 v x = 1  13 . TH2: C/m PT vô nghiệm. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An.    1 1 1  20  x    11 y    2008  z   3. (BT_363_9/07) Giải hệ phương trình   x y z    xy  yz  zx  1   x2  1   x 2  xy  yz  zx  20( x  y )( x  z ) 1  HD: c/m x, y , z cùng dấu. 20  x    20  . Tương tự.  20    x x x   x    c/m xy < 0 . Suy ra HPT vô nghiệm. 1 1 1  3( x  )  4( y  )  5( z  ) x y z 4. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình   xy  yz  zx  1  2  x  6 y  6 x 5. (BT_367_1/08) Giải hệ phương trình  2 .  y  9  2 xy x  y  1 6. (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình  3 . 3 2 2 x  y  x  y HD: PT(2)  x3 + y3 = 1(x2 + y2)  x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2).  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 7. (BT_366_12/07) Giải hệ phương trình  2008 .  y 2008  z 2008  32008  x x  y  m 8. (BT_361_7/07) Hệ phương trình  2 có nghiệm (x;y). Tìm GTLN , GTNN của P = x3 + y3. 2 x  y  m  3 x 2 y  2 y 2  m  0 9. (BT_361_7/07) Tìm m > 0 để hệ phương trình  2 có nghiệm duy nhất. 2 3 y x  2 x  m  0  x 3  1  2( x 2  x  y ) 10. (BT_359_5/07) Giải hệ phương trình  3 . 2  y  1  2( y  y  x) HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II. 2 2  x  x  y  y 11. (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình  2 .  y  x  6 2.x 2008  y 2007  z 2006  12. (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình 2. y 2008  z 2007  x 2006 2.z 2008  x 2007  y 2006   x 2 ( y  z ) 2  (3 x 2  x  1) y 2 z 2  13. (Olympic 05) Giải hệ phương trình  y 2 ( z  x) 2  (4 y 2  y  1) z 2 x 2 .  z 2 ( x  y ) 2  (5 z 2  z  1) x 2 y 2 . HD: TH1: xyz = 0. Xét các khả năng. TH2: xyz ≠ 0. Chia hai vế của các phương trình cho x2y2z2. Đặt a . 1 1 1 ; b  ; c  . Cộng hai vế của các phương x y z. trình.. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. 1 1   x1  2 ( x2  x ) 2  1 1   x2  ( x3  ) 2 x3 . 14. (Olympic 02) Giải hệ phương trình  ..........................  1 1   x2008  2 ( x1  x )  1 HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1; x2;….;x2008) thì x1, x2,….,x2008 phải cùng dấu và (-x1; -x2;….;-x2008) cũng là một nghiệm của HPT. Ta chỉ xét x1, x2,….,x2008 > 0. Áp dụng BĐT Cauchy ta có xi ≥ 1. Cộng theo vế các phương trình ta có x1 + x2 + 1 1 1   ......  ….+x2008 = . Từ đó ta có x1= x2=….= x2008 = 1. x1 x2 x2008 Suy ra x1= x2=….= x2008 = ± 1  y 3  6 x 2  12 x  8  0  15. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình  z 3  6 y 2  12 y  8  0  x 3  6 z 2  12 x  8  0  HD: Cộng theo vế. chyển về tổng các lập phương. Xét các trường hợp. TH1: x > 2  y, z > 2. HPT vô nghiệm. TH2: x < 2  y, z < 2. HPT vô nghiệm. TH3: x = 2  y = z = 2.  xy  yz  zx  12 16. (Olympic 06) Chứng minh rằng hệ phương trình  có một nghiệm duy nhất trong tập các số  xyz  x  y  z  2 thực dương. Chứng minh rằng hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt. 11z  2   x  y  z 2  1 HD: Nhận xét (2;2;2) là một nghiệm. HPT   2  xy  z  2 z  12  z2  1 (x + y)2 ≥ 4xy  (z – 2)2(2z + 11)(2z + 1) ≤ 0. 6 x 2  y (1  9 x 2 )  17. (Olympic 06) Giải hệ phương trình . 6 y 2  z (1  9 y 2 ) . 6 z 2  x(1  9 z 2 )  2 2 2 HD: TH1: Xét y = , TH2: Xét y ≠ . Rút x2 = theo y. Suy ra 0 ≤ y < . Tương tự. 3 3 3 2 y 0 ≤ x,y,z < . KN1: x = y = z = 0 . KN2: = … ≤ 1.Tương tự. 3 x  2 y2 x  xy   25  3  2 y 18. (Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình   z 2  9 . Tính giá trị P = xy + 3  z 2  xz  x 2  16   2yz + 3zx. HD: Xét  ABC có AB = 4, BC = 5, CA = 3 và điểm M trong  ABC sao cho. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> GV: Trần Đình Hiền y.  MBC có các cạnh x,  MCA có các cạnh. 3. y 3. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. A ,5 và BMC  1500 .. A , z ,3 và CMA  900 ..  MAB có các cạnh x, z , 4 và AAMB  1200 . Ta có S BMC  SCMA  S AMB  S ABC . Suy ra P = 24 3 . 1 1 4 4  x  2 y  2 y  x   19. (Olympic 02_11) Giải hệ phương trình  . 1 1 2 2 2 2    3 x  y 3 y  x   x 2 y 2 1 HD: Tính , theo x, y. Quy đồng và cộng trừ theo vế. Suy ra tính (x + y)5 và (x – y)5. x y.  y 2  x 3  4 x 2  mx 20. (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  2 . 3 2  x  y  4 y  my HD: Hệ đối xứng loại II. 1  2 2 x  y  y 21. (BT) Giải hệ phương trình  . 1 2 2 y  x   x 3 3  x  y  1 22. (BT) Giải hệ phương trình  5 . 5 2 2  x  y  x  y  x3  y 3  7 23. (BT) Giải hệ phương trình  .  xy ( x  y )  2 2 x 3  9 y 3  ( x  y )(2 xy  3) 24. (BT) Giải hệ phương trình  2 . 2  x  xy  y  3 y   x  3 y  4 x 25. (BT) Giải hệ phương trình  .  y  3x  4 x y  2 y ( x 2  y 2 )  3 x 26. (BT) Giải hệ phương trình  2 . 2  x( x  y )  10 y HD: Xét x = 0, y = 0. Chia hai phương trình đặt t =. x y.  x  y  xy  3 27. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình  .  x  1  y  1  4  x y 5    28. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình  y x 2 x  y  5  0 . Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> GV: Trần Đình Hiền HD: Đặt t =. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. x . Giải phương trình (1) theo ẩn t. y.  12  1   x 2 y  3x   29. (BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình  1  12  y  6   y  3x   HD: Chia x cả hai vế cho phương trình (1), Chia y cả hai vế cho PT(2). Cộng và trừ hai PT ta được HPT mới. Nhân hai vế của hai PT. Giải phương trình đẳng cấp.  1 1 1 8     x y z x y z 3   1 1 1 118 30. (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình  x  y  z     . x y z 9   1 1 1 728    x x  y y  z z  27 x x y y z z  1 1 1 HD: Đặt a = x  ,b= y ,c= z . Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3). x z y  x y  2 y x  3 x 2 x  1 31. (BT_361_7/07) Giải hệ phương trình  .  y x  2 x y  3 y 2 y  1. HD: Hệ phương trình đối xứng loại II.  x  1  3  y  m 32. (BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm  y  1  3  x  m HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II. Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.  5   3   2y  4 y  42 x   33. (Olympic 2000) Giải hệ phương trình  5   3   x 2  y  42 x  . HD: Chia PT (1) cho 2 y , chia PT(2) cho phương trình ta có phương trình đẳng cấp. x . Cộng và trừ theo vế ta có hai phương trình. Nhân theo vế hai.  x  1  y  2  m 34. (Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  .  x  y  3m HD: Đặt ẩn phụ u  x  1; v  y  2 , u, v ≥ 0. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại I.  x 2  21  y  1  y 2 35. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình   y 2  21  x  1  x 2 HD: Hệ phương trình đối xứng loại II. Trừ vế theo vế. Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 2 x  y  1  m 36. (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.  . 2 y  x  1  m . Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. HD: Đặt ẩn phụ u , v. 1  2  x 1  y  4 37. (BT) Giải hệ phương trình  . 1 2 y 1 x   4  x  y  m 38. (BT) Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm.  x  y  xy  m 39. V - BẤT ĐẲNG THỨC. 1. (BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1    3 1  2 1  2 1 2 ab bc ca a b c. ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a2  1 b2  1 c2  1 HD: BĐT  . 1 1 1    ab bc ca a2 b2 c2 Quy đồng từng cặp ở VT và phân tích đa thức thành nhân tử .Thay ở VP 1 = ab + bc + ca. Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử cho các tử thức. c ( a  b) a (b  c) b (c  a ) ,y  ,z  Đặt x  . ab bc ca BĐT  x  y  z  xy  yz  zx . 3 2. (BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ 0. Chứng minh a + b + c ≥ 0. 2 HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT  xyz ≥ 1. Cần c/m x + y + z ≥ 3. 1 TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y < 0, z > 0 c/m 0 < xy ≤ 4 3. (BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn nhất sao cho  số thực k   1; 2  để bất đẳng thức 2k. a b c 1 1 1      (k  1)(a  b  c)      m được thoả mãn  a,b,c >0. b c a a b c 2k HD: Cho a = b = c. Ta có 3 ≥ 9(k +1) + m. Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 và dấu “=” xảy ra khi k = 2. Chứng minh BĐT đúng với m = 54, k = 2. Áp dụng BĐT Cauchy. 3. 1  1  1   10   4. (BT_363_9/07) Cho a,b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng  a    b    c      . b  c  a  3   a b c 5. (BT_363_9/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng 3  3  3  1 . b c a a 1 2  HD: BĐT Cauchy 3  . Tương tự. ab b 2 b x y 6. (BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN của biểu thức P = 4 . x  y4  6 7. (BT_366_12/07) Cho x > y và xy = 1. Chứng minh rằng. x2  y 2 2 2. x y. x 2  y 2 ( x  y ) 2  2 xy 2   ( x  y)  HD: . Áp dụng BĐT Cauchy x y x y x y. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. x y z  2  2 . x  yz y  zx z  xy HD: Áp dụng BĐT Cauchy ở các mẫu thức. Sau đó áp dụng BĐT x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx 9. (BT_366_12/07) Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của  ABC. Chứng minh rằng. a b c 3    . a 2  3bc b 2  3ca c 2  3ab 2 HD: BĐT Svácsơ và BĐT Bunhiacôpsky cho mẫu thức. Sau đó c/m BĐT 4(a + b + c)3 – 9(a3 + b3 + c3 + 9abc) ≥    2 0 bằng cách aGA  bGB  cGC  0  aGA2 + bGB2 + cGC2 > abc.. 8. (BT_366_12/07) Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = xyz. Tìm GTLN của P =. . 2. . 10. (BT_362_8/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của P  2. bc5 ca4 ab3   . 1 a 2b 3c 2. 2. 9(a  b  c) 2  2a   2b   2c  11. (BT_362_8/07) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng 1  .   1    1    b   c   a  ab  bc  ca  HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky. C/m x2 ( y  z) y 2 ( z  x) z 2 ( x  y) 12. (BT_361_7/07) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN của P  .   y y  2z z z z  2x x x x  2 y y HD: Áp dụng BĐT Cauchy cho các tử. Đặt a  x x , b  y y , z  c c . Áp dụng BĐT Svácsơ. 13. (BT_359_5/07) Cho x, y  R và x2 – xy + y2 ≤ 3. Chứng minh rằng. 1  2 7  x 2  xy  2 y 2  1  2 7 . a4b b4 c c4 a    1. 2a  b 2b  c 2c  a HD: Áp dụng BĐT Cauchy. Sau đó nhân thêm abc vào tử và mẫu. Áp dụng BĐT Cauchy cho mãu. 4a abcd abcd 15. (BT_368_2/08) Cho a, b, c, d > 0 .Tìm GTNN của P =  4 abcd abcd abcd HD: Đặt t = . Theo BĐT Cauchy C/m t ≥ 4. 4 abcd 16. (BT_368_2/08) Cho x,y thoả mãn (x2 + y2 + 1)2 – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = 0. Tìm GTNN, GTLN của P = x2 + 2y2 – 3x2y2. HD: (x2 + y2 + 1) – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = 0  (x2 + y2)2 – 3(x2 + y2) + 2 = - x2 – 3x2y2 ≤ 0. Đặt t = x2 + y2 với 1 ≤ t ≤ 2. Vẽ bảng biến thiên hàm số P = t2 – t + 2 , với t   1; 2 . Suy ra GTNN, GTLN của P. ab 2 (a  b 2 ). 17. (BT_368_2/08) Cho hai số thực a, b   2007; 2008 . Tìm GTNN, GTLN của P = ab 2 a 2007 1  t  1 . Tìm GTNN, GTLN của P = (t + 1)(t + ). HD: TH1: 2007 ≤ a ≤ b ≤ 2008. Đặt t = , điều kiện b 2008 t Chứng minh rằng hàm số P(t) đồng biến và áp dụng tính chất nếu hàm số f(x) đồng biến trên  x1; x2  thì f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) a TH2: 2007 ≤ b ≤ a ≤ 2008. Đặt t = b 1 1 18. (BT_368_2/08) Cho hai số x, y ≠ 0 thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy. Tìm GTLN của P = 3  3 . x y 1 1 1 1 1 1 1 HD: Đặt t =  . Giả thiết    2  2  .Ta có x y x xy x y y. 14. (BT_359_5/07) Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca ≤ 3abc. Chứng minh rằng.. 2. 2. 2. 1 1 11 1  31 1  11 1 1 t                t2 x y 4 x y 4 x y 4 x y 4 2 Chứng minh 0 ≤ t ≤ 4. Do đó P = t .. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. 1 1 1 20 . Tìm GTNN của P = x + y + z +   . x y z 11 2 2 20. (BT_368_2/08) Cho x, y  R thay đổi thoả mãn điều kiện 2(x + y ) = xy + 1. Tìm GTNN, GTLN của P = 7(x4 + y4) + 4x2y2. 1 1 1 21. (BT_368_2/08) Cho x, y, z   a; b  với 0 < a < b. Tìm GTLN của P = (x + y+ z)(   ). x y z 1 1   16 . 22. (BT_368_2/08) Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng ac bc x2 y2 z2   23. (BT_368_2/08) Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≥ 4. Tìm GTNN của P  . yz zx x y HD: Áp dụng BĐT Svácsơ. 24. (BT_368_2/08) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3. Tìm GTLN của P  ab 2  bc 2  ca 2  abc . 25. (Olympic 05) Cho x,y,z,t ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 + z2 + t2 = 2007. Tìm GTNN của biểu thức x y z t P    . 2007 2007  yzt 2007 2007  ztx 2007 2007  txy 2007 2007  xyz x y z t ;b  ;c  ;d  HD: Đặt a  . Ta có a,b,c,d ≥ 0 và a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Suy ra 2007 2007 2007 2007 a,b,c,d   0; 1 . Áp dụng BĐT Svácsơ c/m: 1 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ a + b+ c + d + 4 abcd 1 1 1 26. (Olympic 01) Cho x,y,z   0; 1  . Tìm GTLN của P = (x + y + z)     . x y z. 19. (BT_368_2/08) Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤.  x  y y  z  HD: Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2. Ta có 1   1    0; 1   1    0 . Nhân ra và cộng theo vế. Ta có P = y  z x  y    x y  y z  z x x z             3  5  2    z x  y x  z x x z x 1 5 1  1  Đặt t = ,t   ;1 . Ta có (2  t )   t   0  t   . Thay vào P. z t 2 2  2  2 9 xyz 27. (Olympic 06) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≤  . 7 7 7 9 xyz 2 2 2 HD: TH1: x ≥ . suy ra xy  và y + z ≤ . Từ đó xy+xz <  . 9 7 9 9 7 2 2 ( y  z) (1  x) 9 x (1  x) 2 2 7  x(1  x)  TH2: x < . yz ≤ = . BĐT cần c/m  (1  ) 4 4 7 4 7 9  (x + 1)(3x – 1)2 ≥ 0. 1 1  28. (Olympic 06) Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của P  . 1  2(ab  bc  ca ) abc HD: 1 – 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2. Thay 1 ở tử ở số hạng thứ 2. Áp dụng BĐT Svácsơ (2a  b  c) 2 (2b  c  a ) 2 (2c  a  b) 2 29. (Olympic 06) Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng   8. 2a 2  (b  c) 2 2b 2  (c  a ) 2 2c 2  (b  a ) 2 HD: Giả sử a + b + c = 3. Thay b + c = 3 – a vào số hạng thứ nhất. C/m. ( x  3) 2 4 4   x . Cộng theo vế 2 2 3 3 2 x  (3  x). ta có đpcm. 30. (Olympic 06) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3. Tìm GTLN của P = 9ab + 10ac + 22bc.. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. HD: P = 10  (a  b) 2  3(a  b)   12  b 2  3b   3ab . Xét hàm số f(t) = - t2 + t, 0 ≤ t ≤ 3. 31. (Olympic 06) Cho x, y  R và x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN của P = x3y + xy3.  x 2  xy  y 2  1 HD: Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình  3 có nghiệm. 3  x y  xy  m Đặt u = x2 + y2, v = xy. ab bc ca   32. (Olympic 06) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của P  . c(b  c) a (c  a ) b(a  b) HD: Áp dụng BĐT Svácsơ. Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacôpski. 9 48 33. (Olympic 06) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức. P  51x  23 y   . x 7y 9 48 HD: Áp dụng BĐT Cauchy. P  2( x  y )  (49 x  )  (21 y  ) . x 7y 34. (Olympic 06) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng   1 1 1 1 1 1  2008  2008  42008    2008 2008 2008 2008  a b c (a  2b  c) (a  b  2c)  (2a  b  c) . 22009 a 2008 b 2008 (a  b) 2008 35. (Olympic 03_11) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) ≥ 0. HD: Đặt a = x + y, b = y + z , c = z + x. Áp dụng BĐT Bunhiacôpski. HD: Áp dụng BĐT Cauchy ta có. 1. . 1. . 36. (Olympic 04_11) Tìm GTLN của P  9 x 2 1  x 4  13 x 2 1  x 4 , với |x| ≤ 1. x2 3 1  x4 ≤ HD: Áp dụng BĐT Cauchy x 2 1  x 4 ≤ ? , 2 2 37. (BT) Tìm GTNN của P = x2 – 2xy + 3y2 – 4x + 8y – 7. HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0,  < 0. 38. (BT) Tìm GTLN của P = - 4x2 + 12xy – 9y2 - 4x + 6y + 8. HD: Giải theo tam thức bậc hai a < 0,  < 0. 11 39. (BT) Chứng minh rằng 3x2 + 4xy + 2b2 + 2a + 3b + ≥ 0. 8 HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0,  < 0. 20 . 27 (b  c) 2 2 HD: Giả sử a = Max a,b,c . Chuyển BĐT về chỉ theo ẩn a. với  a  1 bằng cách áp dụng bc  . 4 3 41. (BT) Cho a,b,c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng. a 3  b3  c 3  9 HD: Giả sử a = Max a,b,c . Chuyển BĐT về chỉ theo ẩn a. với 1 ≤ a ≤ 2 bằng cách VT ≤ a3 + b3 + c3 + 3bc(b + c). 42. (BT) Cho a,b,c thoả mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 3 và a + b + c = 6. Chứng minh rằng. a2 + b2 + c2 ≤ 14. HD: Giả sử a = Max a,b,c . Chuyển BĐT về chỉ theo ẩn a. với 2 ≤ a ≤ 3 bằng cách VT ≤ a2 + b2 + c2 + 2(b – 1)(c – 1). 43. (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 + xy + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của P = x2 – 2xy + 3y2. x HD: C1: Đặt t = xét tỷ số P/ 2 = ?. y C2: Tìm gt của m để hệ phương trình có nghiệm.x2 + xy + y2 = 2 và x2 – 2xy + 3y2 = m. 44. (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của P = xy + y2.. 40. (BT) Cho a,b,c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 2. Chứng minh rằng. ab  bc  ca  2abc . Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> GV: Trần Đình Hiền. -. Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An. x xét tỷ số P/ 1 = ?. y C2: Tìm gt của m để hệ phương trình có nghiệm.x2 - xy + y2 = 1 và xy + y2 = m. a5 b5 c5 1    (a 4  b 4  c 4 ) 45. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm GTNN P  3 2 3 2 3 2 4 b c c a a b 5 a  (b3  c 2 )a ≥ ? HD: Áp dụng BĐT Cauchy 3 b  c2 1 1 1 1    1 46. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d ≤ 4. Chứng minh rằng 2 2 2 (a  1) (b  1) (c  1) (d  1) 2 47.. HD: C1: Đặt t =. Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008. Lop10.com. Page 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>