Toán rời rạc | Tài liệu, cơ sở ngành CNTT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (20.56 MB, 807 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phương pháp chứng minh

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 6 tháng 9 năm 2018

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài tập

▶ GS Mc Brain và vợ là bà April tới một bữa tiệc ở đó có 4 đơi
vợ chồng khác.

▶ Có một vài cặp bắt tay nhau nhưng không ai bắt tay với vợ
hoặc chồng mình.

▶ GS hỏi mọi người khác xem họ bắt tay bao nhiêu người và
ông ấy nhận được 9 con số khác nhau.

▶ Hỏi có bao nhiêu người đã bắt tay April?

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tài liệu tham khảo

▶ Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer,

Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)

▶ K. Rosen, Tốn học rời rạc ứng dụng trong tin học (Bản dịch
Tiếng Việt)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Định nghĩa

Chứng minh toán học của mộtmệnh đề là một dãysuy luận logic
dẫn đến mệnh đề này từ một tậptiên đề.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nội dung

Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic

Phương pháp chứng minh

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Định nghĩa

Mệnh đề là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai.

▶ Mệnh đề 2 + 3 = 5

3

▶ Mệnh đề 1 + 1 = 3

7

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Khẳng định không phải mệnh đề

▶ “Đưa tôi cái bánh!”
▶ “Bây giờ là 5 giờ”

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mệnh đề

Với mọi số nguyên dương n, giá trị

p(n) ::= n2+ n + 41

là số nguyên tố.

▶ p(0) = 41

✓

▶ p(1) = 43

✓

▶ p(2) = 47

✓

▶ p(3) = 53

✓

▶ · · ·

▶ p(39) = 1601

✓

nhưng

p(40) = 402+ 40 + 41 = 41× 41

7

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Mệnh đề (Giả thuyết Euler, 1769)

Phương trình

a4+ b4+ c4= d4

khơng có nghiệm khi a, b, c, d là số nguyên dương.

Năm 1988, Noam Eikies đã chứng minh là sai với phản ví dụ

a = 95800, b = 217519,
c = 414560, d = 422481

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Mệnh đề

Phương trình

313(x3+ y3) = z3
khơng có nghiệm ngun dương.

Mệnh đề này cũng sai nhưng phản ví dụ nhỏ nhất có nhiều hơn
1000 chữ số.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Mệnh đề (Định lý bốn màu)

Mọi bản đồ đều có thể tơ được chỉ bằng bốn màu sao cho hai
vùng kề nhau có màu khác nhau.

Hình:Bản đồ tơ 5 màu

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Mệnh đề (Định lý bốn màu)

Mọi bản đồ đều có thể tơ được chỉ bằng bốn màu sao cho hai
vùng kề nhau có màu khác nhau.

Appel & Hakel đã phân loại các bản đồ và dùng máy tính để kiểm
tra xem chúng có tơ được bằng 4 màu. Họ đã hồn tất chứng
minh năm 1976. Tuy nhiên

▶ Chứng minh quá dài để có thể kiểm tra mà khơng dùng máy
tính.

▶ Khơng ai đảm bảo rằng chương trình máy tính này chạy đúng.

▶ Khơng ai đủ nhiệt tình để kiểm tra hết hàng nghìn trường hợp

đã được chứng minh.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Mệnh đề (Định lý cuối cùng của Fermat)

Phương trình

xn+ yn= zn
khơng có nghiệm nguyên với n≥ 3.

▶ Bài toán được viết trong một quyển sách Fermat đọc năm
1630.

▶ Andrew Wiles chứng minh là đúng năm 1994.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Mệnh đề (Giả thuyết Goldbach)

Mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố.

▶ Được giả thuyết năm 1742

▶ Đã được khẳng định là đúng với mọi số không lớn hơn 1016.

▶

3

hay

7 ?

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Định nghĩa

Vị từ là một mệnh đề mà giá trị chân lý phụ thuộc vào một hoặc
nhiều biến.

p(n) :: = “n là số bình phương hồn hảo”
p(4) = “4 là số bình phương hồn hảo”
p(4) =

3

p(5) =

7

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Phương pháp tiên đề

▶ Thủ tục chuẩn để thiết lập các giá trị chân lý trong toán học
đã được phát triển khoảng từ 300 BC bởi Euclid.

▶ Bắt đầu từ 5 “giả sử” để xây dựng hình học Euclid. Ví dụ:

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được
một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng
đã cho.

▶ Các mệnh đề như thế này được thừa nhận là đúng được gọi là
tiên đề.

▶ Bắt đầu từ các tiên đề này, Euclid thiết lập giá trị chân lý của
các mệnh đề khác bằng cách đưa ra “chứng minh”.

▶ Chứng minh là một dãy các lập luận logic từ tập tiên đề dẫn
đến mệnh đề cần chứng minh.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Một số thuật ngữ cho mệnh đề

▶ Mệnh đề đúng và quan trọng gọi là định lý.

▶ Bổ đề là mệnh đề chuẩn bị có ích để chứng minh các mệnh

đề khác.

▶ Hệ quả là một mệnh đề mà chứng minh nó chỉ cần vài bước

từ một định lý.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Hệ tiên đề của chúng ta

▶ Về cơ bản, toán học hiện đại dựa trên hệ tiên đề ZFC
(Zermelo-Fraekel with Choice) cùng với một vài quy tắc suy
luận logic.

▶ Tuy nhiên, chúng quá tối giản. Ví dụ, một chứng minh hình
thức trong ZFC cho 2 + 2 = 4 cần nhiều hơn 20, 000 bước lập
luận!

▶ Trong môn học này, ta thừa nhận mọi sự kiện trong tốn
“phổ thơng” như tiên đề.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Suy luận logic

▶ Luật Modus Ponens:

P, P⇒ Q
Q

(Một chứng minh của P và một chứng minh P suy ra Q là

một chứng minh của Q)

▶ Luật

P⇒ Q, Q ⇒ R
P⇒ R

▶ Luật

¬P ⇒ ¬Q
Q⇒ P

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Không phải luật

¬P ⇒ ¬Q

P⇒ Q

7

Ví dụ

▶ Nếu 4 là số ngun tố, thì “tơi không biết bay”.

3

▶ Nếu 4 không phải số nguyên tố,thì “tơi biết bay”.

7

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Nội dung

Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic

Phương pháp chứng minh

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Chứng minh mệnh đề “Nếu ... thì”

Để chứng minh mệnh đềP⇒ Q:

1. Viết, “Giả sử P”.

2. Chỉ ra bằng lập luận logic rằng Q đúng.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Định lý

Nếu 0≤ x ≤ 2 thì −x3+ 4x + 1 > 0.

Chứng minh.

Giả sử 0≤ x ≤ 2. Vậy các số

x, 2 +x, 2− x
đều lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy

x(2− x)(2 + x) ≥ 0

Thêm 1 vào tích trên ta được

x(2− x)(2 + x) + 1 > 0

Khai triển tích ta được−x3+ 4x + 1 > 0.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Chứng minh bằng phản đảo

▶ Phản đảo của mệnh đề P⇒ Q là mệnh đề ¬Q ⇒ ¬P.

▶ Ta chứng minh như sau:

1. Viết “Ta chứng minh mệnh đề phản đảo:”

và đưa ra mệnh đề phản đảo.

2. Làm như phương pháp chứng minh “Nếu ... thì”.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Định lý

Nếu r là số vô tỷ, vậy√r cũng là số vô tỷ.
Chứng minh.

▶ Ta chứng minh mệnh đề phản đảo: Nếu√r là số hữu tỉ, vậy r

là số hữu tỉ.

▶ Giả sử rằng √r là số hữu tỉ. Có nghĩa rằng có hai số nguyên
p, q sao cho √r = p/q.

▶ Bình phương hai vế ta được

p2

q2 = r

▶ Vì p2, q2 đều là số nguyên nên r là số hữu tỉ.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Chứng minh mệnh đề “Nếu và chỉ nếu”

Có hai cách chứng minh:

1. Chứng minh

P⇔ Q tương đương với hai chứng minh

{

P⇒ Q
Q⇒ P

2. Xây dựng dãy “nếu và chỉ nếu”.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Chứng minh bằng cách chia trường hợp

Định lý

Mọi nhóm gồm 6 người đều có 3 người hoặc đôi một quen nhau,
hoặc đôi một lạ nhau.

Chứng minh.

Xét x là một trong 6 người. Có hai trường hợp tương tự nhau:

1. Trong 5 người khác x, có ít nhất 3 người đều quen x.

2. Trong 5 người khác x, có ít nhất 3 người đều lạ x.
Tại sao?

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Chứng minh bằng cách chia trường hợp

Định lý

Mọi nhóm gồm 6 người đều có 3 người hoặc đơi một quen nhau,
hoặc đôi một lạ nhau.

Chứng minh trường hợp 1.

Trong 5 người khác x, có ít nhất 3 người đều quen x.
Có hai trường hợp con:

1. Khơng có cặp nào trong số 3 người này quen nhau.

3

2. Có một cặp trong 3 người này quen nhau. Vậy cặp này cùng
với x tạo thành 3 người quen nhau từng đôi một.

3

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Chứng minh phản chứng

Để chứng minh mệnh đề P bằng phản chứng:

1. Viết “Ta chứng minh dùng phản chứng”.

2. Viết “Giả sử P sai.”

3. Dẫn ra một sự kiện đã biết là sai (một phản chứng).

4. Viết “Điều này mâu thuẫn. Vậy P phải đúng.”

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Định lý
√

2 là số vô tỉ.

Chứng minh.

▶ Ta chứng minh dùng phản chứng.
▶ Giả sử √2 là số hữu tỉ.

▶ Vậy ta có thể viết√2 = p/q ở dạng phân số tối giản.
▶ Ta có

√

2 = p

q ⇒ 2 =
p2

q2 ⇒ 2q
2= p2

▶ Vậy p chia hết cho 2. Tại sao? Nên p2 chia hết cho 4.
▶ Vậy q2 chia hết cho 2. Nên q chia hết cho 2.

▶ Vậy p/q không tối giản.

7

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Nội dung

Mệnh đề, tiên đề, và suy luận logic

Phương pháp chứng minh

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Nguyên lý sắp thứ tự tốt (STTT)

Mọi tập số ngunkhơng âmkhác rỗng đều có phần tử nhỏ nhất.

▶ Tập rỗng khơng có phần tử nhỏ nhất.

▶ Khơng đúng với tập số âm. Ví dụ tập

{· · · , −3, −2, −1}

▶ Không đúng với mọi tập số hữu tỉ. Ví dụ tập
{

1
1,

1
2,

1
3, · · ·

}

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Định lý

Mọi số hữu tỉ m/n đều viết được dưới dạng x/y sao cho x, y khơng
có ước chung ngun tố.

Chứng minh.

▶ Giả sử ngược lại có m, n khơng viết được như trên.
▶ Xét C là tập tử sốcủa các phân số như vậy. Vậy C̸= ∅ vì

m∈ C.

▶ Theo nguyên lý STTT, có số nhỏ nhất m0 ∈ C.

▶ Theo định nghĩa của tập C, có số n0 để m0/n0 không viết
được ở dạng trên.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Chứng minh (tiếp).

▶ Có nghĩa rằng m0, n0 có ước chung ngun tố p > 0. Vậy

m0/p

n0/p =

m0

n0

▶ Vì m0/n0 khơng thể viết ở dạng trên. Vậy mn00/p/p cũng không
viết được ở dạng trên.

▶ Vậy ta có

m0

p ∈ C và
m0

p < m0

7

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Chứng minh dùng STTT

Để chứng minh P(n) đúng với mọi số nguyên không âm n, ta làm
như sau

▶ Định nghĩa tập phản ví dụ của P :

C ::={n ∈ N | ¬P(n) đúng }

▶ Giả sử phản chứng rằng C̸= ∅.

▶ Bởi nguyên lý STTT có phần tử nhỏ nhất c∈ C.

▶ Đưa ra phản chứng: thường bằng cách chỉ ra P(c) đúng hoặc
chỉ ra một phần tử d∈ C và d < c.

▶ Kết luận rằng C rỗng, có nghĩa rằng khơng có phản ví dụ.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Định lý

Mọi số nguyên dương lớn hơn một đều phân tích được thành tích
các số nguyên tố.

Chứng minh bằng STTT.

▶ Giả sử tập phản ví dụ của định lý C̸= ∅.

▶ Có phần tử n nhỏ nhất thuộc C. Vậy n khơng ngun tố. Có
nghĩa rằng

n = a· b với a, b > 1

▶ Hơn nữa a, b phải phân tích được thành tích các số nguyên tố.
Tại sao?

a = p1· · · pk và b = q1· · · qm

▶ Vậy n = p1· · · pk· q1· · · qm.

7

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Định lý

Mọi số nguyên dương đều thú vị.

Chứng minh.

▶ Xét S là tập các số nguyên dương không thú vị.
▶ Nếu S khácrỗng, S chứa phần tử nhỏ nhất n.

▶ Nhưng là phần tử nhỏ nhất của một tập phải là một tính chất
thú vị.

▶ Vậy n khơng thuộc S.

7

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Quy nạp

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Tài liệu tham khảo

▶ Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer,

Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)

▶ Kenneth H. Rosen, Tốn học rời rạc ứng dụng trong tin học
(Bản dịch Tiếng Việt)

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Nội dung

Nguyên lý quy nạp

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Nguyên lý quy nạp

Xét vị từ P(n) trên N. Nếu

▶ P(0) đúng, và

▶ với mọi n∈ N, (P(n) ⇒ P(n + 1))
cũng đúng,

thì P(n) đúng với mọi n∈ N.

8887 868584837879828180

77
76
75
74
73
72
71
70
6968676665

64636255615660575958

54
53
52
51
50
49
48
47
464544

434241403938

373635
34

33
32
31
30
29
28

27

26

25

24

23

22 21

20 191817

161514

13

12

11

10 9

8

7

6

5

4

3

2

1

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Ví dụ

Định lý

Với mọi n∈ N,

1 + 2 +· · · + n = n(n + 1)
2

Đặt P(n) là mệnh đề

n

∑

i=1

i = n(n + 1)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Chứng minh.

▶ Bước cơ sở: P(0) đúng.

▶ Bước quy nạp: Ta sẽ chứng minh: với mọi n≥ 0, mệnh đề

P(n)⇒ P(n + 1)

đúng.

Thật vậy, giả sử P(n) đúng, với n là một số nguyên bất kỳ. Vì

1 + 2 +· · · + n + (n + 1) = (1 + 2 + · · · + n) + (n + 1)

= n(n + 1)

2 + (n + 1)

= (n + 1)(n + 2)
2
nên P(n + 1) đúng.

Theo quy nạp ta có P(n) đúng với mọi số n∈ N.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Ví dụ

Chứng minh rằng

1
2+

1
4+

8 +· · · +
1
2n < 1
với mọi n≥ 1.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Ví dụ

Định lý

Với mọi n∈ N, ta có n3− n chia hết cho 3.
Đặt P(n) là mệnh đề

”n3− n chia hết cho 3.”

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Chứng minh.

▶ Bước cơ sở: P(0) đúng vì 03− 0 = 0 chia hết cho 3.

▶ Bước quy nạp: Ta sẽ chứng minh rằng, với mọi n∈ N, mệnh

đề

P(n)⇒ P(n + 1)

đúng.

Thật vậy, giả sử P(n) đúng, với n là một số nguyên bất kỳ. Vì

(n + 1)3− (n + 1) = n3+ 3n2+ 3n + 1− n − 1
= n3+ 3n2+ 2n

= n3− n + 3n2+ 3n
= (n3− n) + 3(n2+ n)
chia hết cho 3 nên P(n + 1) đúng.

Theo quy nạp ta có P(n) đúng với mọi số n∈ N.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Ví dụ chứng minh sai

Định lý (Sai)

Mọi con ngựa đều cùng màu.
Đặt P(n) là mệnh đề

”Trong mọi tập gồm n con ngựa, các con ngựa đều
cùng màu.”

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Đặt P(n) là mệnh đề

”Trong mọi tập gồm n con ngựa, các con ngựa đều
cùng màu.”

Chứng minh Sai.

▶ Bước cơ sở: P(1) đúng vì chỉ có một con ngựa.

▶ Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng để chứng minh P(n + 1)

đúng.

Xét tập gồm n + 1 con ngựa{h1, h2,· · · , hn+1}

▶ Các con h1, h2, . . . , hn có cùng màu (giả thiết quy nạp).

▶ Các con h2, h3, . . . , hn+1 có cùng màu (giả thiết quy nạp).
Vậy

màu(h1) = màu(h2, . . . , hn) = màu(hn+1).

Vậy các con ngựa {h1, h2,· · · , hn+1} đều cùng màu. Có nghĩa

rằng P(n + 1) đúng.

Theo quy nạp ta có P(n) đúng với mọi số n∈ N.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bài tập

1. Chứng minh rằng

n

∑

i=1

i2 = n(n + 1)(2n + 1)
6

2. Chứng minh rằng 2n > n2 với n≥ 5.

3. Chứng minh rằng với mọi n≥ 1,

F(n− 1)F(n + 1) − F(n2) = (−1)n

với F(i) là số Fibonacci thứ i.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Ví dụ lát gạch

Induction I 31

2.6 Courtyard Tiling

Induction served purely as a proof technique in the preceding examples. But induction
sometimes can serve as a more general reasoning tool.

MIT recently constructed a new computer science building. As the project went further
and further over budget, there were some radical fundraising ideas. One plan was to

install a big courtyard with dimensions 2n⇥ 2n:

2n
2n

One of the central squares would be occupied by a statue of a wealthy potential donor.
Let’s call him “Bill”. (In the special case n = 0, the whole courtyard consists of a single
central square; otherwise, there are four central squares.) A complication was that the
building’s unconventional architect, Frank Gehry, insisted that only special L-shaped tiles
be used:

A courtyard meeting these constraints exsists, at least for n = 2:

B

For larger values of n, is there a way to tile a 2n⇥ 2ncourtyard with L-shaped tiles and a

statue in the center? Let’s try to prove that this is so.

Theorem 15. For all n 0there exists a tiling of a 2n⇥ 2n courtyard with Bill in a central

square.

Hình:Sân

Induction I

31

2.6 Courtyard Tiling

Induction served purely as a proof technique in the preceding examples. But induction

sometimes can serve as a more general reasoning tool.

MIT recently constructed a new computer science building. As the project went further

and further over budget, there were some radical fundraising ideas. One plan was to

install a big courtyard with dimensions 2

⇥ 2

:

2 One of the central squares would be occupied by a statue of a wealthy potential donor.

Let’s call him “Bill”. (In the special case n = 0, the whole courtyard consists of a single

central square; otherwise, there are four central squares.) A complication was that the

building’s unconventional architect, Frank Gehry, insisted that only special L-shaped tiles

be used:

A courtyard meeting these constraints exsists, at least for n = 2:

B

For larger values of n, is there a way to tile a 2

⇥ 2

courtyard with L-shaped tiles and a

statue in the center? Let’s try to prove that this is so.

Theorem 15.

For all n

0 there exists a tiling of a 2

⇥ 2

courtyard with Bill in a central

square.

Hình:Gạch

Induction I 31

2.6 Courtyard Tiling

Induction served purely as a proof technique in the preceding examples. But induction
sometimes can serve as a more general reasoning tool.

MIT recently constructed a new computer science building. As the project went further
and further over budget, there were some radical fundraising ideas. One plan was to
install a big courtyard with dimensions 2n⇥ 2n:

A courtyard meeting these constraints exsists, at least for n = 2:

B

For larger values of n, is there a way to tile a 2n⇥ 2ncourtyard with L-shaped tiles and a

statue in the center? Let’s try to prove that this is so.

Theorem 15. For all n 0there exists a tiling of a 2n⇥ 2ncourtyard with Bill in a central

square.

Hình:Lát gạch và đặt
tượng Bill

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Định lý

Với mọi n, ln có cách lát gạch một sân 2n× 2n chỉ để lại một ô

trốngở giữa (để đặt tượng Bill).

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Chứng minh thử.

Xét P(n) là mệnh đề

”Có cách lát gạch sân 2n× 2n để lại một ơ ở giữa.”

▶ Bước cơ sở: P(0) đúng vì chỉ có một ô dành cho Bill.

▶ Bước quy nạp: !

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Chứng minh.

Xét P(n) là mệnh đề

”Với mỗi vị trí đặt tượng Bill trong sân 2n× 2n, ta đều
có cách lát gạch kín sân.”

▶ Bước cơ sở: P(0) đúng vì chỉ có

một ơ dành cho Bill.

▶ Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng,

ta chứng minh P(n + 1) đúng.

32 Induction I

Proof. (doomed attempt) The proof is by induction. Let P (n) be the proposition that there
exists a tiling of a 2n⇥ 2ncourtyard with Bill in the center.

Base case: P (0) is true because Bill fills the whole courtyard.

Inductive step: Assume that there is a tiling of a 2n⇥ 2ncourtyard with Bill in the center

for some n 0. We must prove that there is a way to tile a 2n+1⇥ 2n+1courtyard with Bill

in the center...

Now we’re in trouble! The ability to tile a smaller courtyard with Bill in the center does
not help tile a larger courtyard with Bill in the center. We can not bridge the gap between
P (n)and P (n + 1). The usual recipe for finding an inductive proof will not work!

When this happens, your first fallback should be to look for a stronger induction
hy-pothesis; that is, one which implies your previous hypothesis. For example, we could
make P (n) the proposition that for every location of Bill in a 2n⇥ 2ncourtyard, there exists

a tiling of the remainder.

This advice may sound bizzare: “If you can’t prove something, try to prove something
more grand!” But for induction arguments, this makes sense. In the inductive step, where
you have to prove P (n) ) P (n + 1), you’re in better shape because you can assume P (n),
which is now a more general, more useful statement. Let’s see how this plays out in the
case of courtyard tiling.

Proof. (successful attempt) The proof is by induction. Let P (n) be the proposition that for
every location of Bill in a 2n⇥ 2ncourtyard, there exists a tiling of the remainder.

Base case: P (0) is true because Bill fills the whole courtyard.

Inductive step: Asume that P (n) is true for some n 0; that is, for every location of Bill in
a 2n⇥ 2ncourtyard, there exists a tiling of the remainder. Divide the 2n+1⇥ 2n+1courtyard

into four quadrants, each 2n⇥ 2n. One quadrant contains Bill (B in the diagram below).

Place a temporary Bill (X in the diagram) in each of the three central squares lying outside
this quadrant:

X
X X

B

2n 2n

Theo quy nạp ta có P(n) đúng với mọi số n∈ N.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

15-Puzzle

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 59 — #65

3.3. Invariants 59

25
26
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3
2 5
(a)
25
26
24
22

21
:
23
8
7
6 9
4
3
2 5
(b)

Figure 3.5 The 15-puzzle in its starting configuration (a) and after the 12-block
is moved into the hole below (b).

26
25
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3
2 5

Figure 3.6 The desired final configuration for the 15-puzzle. Can it be achieved
by only moving one block at a time into an adjacent hole?

get all 15 blocks into their natural order. A picture of the 15-puzzle is shown in
Figure3.5along with the configuration after the 12-block is moved into the hole
below. The desired final configuration is shown in Figure3.6.

The 15-puzzle became very popular in North America and Europe and is still
sold in game and puzzle shops today. Prizes were offered for its solution, but
it is doubtful that they were ever awarded, since it is impossible to get from the
configuration in Figure3.5(a) to the configuration in Figure3.6by only moving
one block at a time into an adjacent hole. The proof of this fact is a little tricky so
we have left it for you to figure out on your own! Instead, we will prove that the
analogous task for the much easier 8-puzzle cannot be performed. Both proofs, of
course, make use of the Invariant Method.

⇒

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 59 — #65

3.3. Invariants 59

25
26
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3

2 5
(a)
25
26
24
22
21
:
23
8
7
6 9
4
3
2 5
(b)

Figure 3.5 The 15-puzzle in its starting configuration (a) and after the 12-block
is moved into the hole below (b).

26
25
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4

3
2 5

Figure 3.6 The desired final configuration for the 15-puzzle. Can it be achieved
by only moving one block at a time into an adjacent hole?

Chuyển hợp lệ: di chuyển một số sang ơ trống cạnh nó.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

15-Puzzle

Có thể chuyển từ

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 59 — #65

3.3. Invariants 59

26
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3
2 5
(a)
25
26
24
22
21
:
23
8
7
6 9
4
3
2 5
(b)

Figure 3.5 The 15-puzzle in its starting configuration (a) and after the 12-block
is moved into the hole below (b).

26
25
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3
2 5

Figure 3.6 The desired final configuration for the 15-puzzle. Can it be achieved
by only moving one block at a time into an adjacent hole?

sang

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 59 — #65

3.3. Invariants 59

25
26
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3
2 5
(a)
25
26
24
22
21
:
23
8
7
6 9
4
3

2 5
(b)

Figure 3.5 The 15-puzzle in its starting configuration (a) and after the 12-block
is moved into the hole below (b).

26
25
24
22
21
: 23
8
7
6 9
4
3
2 5

Figure 3.6 The desired final configuration for the 15-puzzle. Can it be achieved
by only moving one block at a time into an adjacent hole?

one block at a time into an adjacent hole. The proof of this fact is a little tricky so
we have left it for you to figure out on your own! Instead, we will prove that the
analogous task for the much easier 8-puzzle cannot be performed. Both proofs, of
course, make use of the Invariant Method.

không?

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

8-Puzzle

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66

Chapter 3 Induction
60
G
H
F
E
D
C
B
A
(a)
G
H
F
E
D
C
B
A
(b)
G

E
H
F
D
C
B
A
(c)

Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and
two (c) possible moves.

3.3.4 The 8-Puzzle

In the 8-Puzzle, there are 8 lettered tiles (A–H) and a blank square arranged in a
3⇥ 3 grid. Any lettered tile adjacent to the blank square can be slid into the blank.
For example, a sequence of two moves is illustrated in Figure3.7.

In the initial configuration shown in Figure3.7(a), the G and H tiles are out of
order. We can find a way of swapping G and H so that they are in the right order,
but then other letters may be out of order. Can you find a sequence of moves that
puts these two letters in correct order, but returns every other tile to its original
position? Some experimentation suggests that the answer is probably “no,” and we
will prove that is so by finding an invariant, namely, a property of the puzzle that is
always maintained, no matter how you move the tiles around. If we can then show
that putting all the tiles in the correct order would violate the invariant, then we can
conclude that the puzzle cannot be solved.

Theorem 3.3.3. No sequence of legal moves transforms the configuration in
Fig-ure3.7(a) into the configuration in Figure3.8.

We’ll build up a sequence of observations, stated as lemmas. Once we achieve
a critical mass, we’ll assemble these observations into a complete proof of
Theo-rem3.3.3.

Define a row move as a move in which a tile slides horizontally and a column
move as one in which the tile slides vertically. Assume that tiles are read
top-to-bottom and left-to-right like English text, that is, the natural order, defined as
follows: So when we say that two tiles are “out of order”, we mean that the larger
letter precedes the smaller letter in this natural order.

Our difficulty is that one pair of tiles (the G and H) is out of order initially. An
immediate observation is that row moves alone are of little value in addressing this

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

8-Puzzle

Bài tập

Liệu có thể tìm được một dãy chuyển hợp lệ để chuyển từ
“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66

Chapter 3 Induction
60
G
H
F
E
D
C
B

A
(a)
G
H
F
E
D
C
B
A
(b)
G
E
H
F
D
C
B
A
(c)

Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and
two (c) possible moves.

3.3.4 The 8-Puzzle

Theorem 3.3.3. No sequence of legal moves transforms the configuration in
Fig-ure3.7(a) into the configuration in Figure3.8.

We’ll build up a sequence of observations, stated as lemmas. Once we achieve
a critical mass, we’ll assemble these observations into a complete proof of
Theo-rem3.3.3.

Our difficulty is that one pair of tiles (the G and H) is out of order initially. An
immediate observation is that row moves alone are of little value in addressing this

sang

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 61 — #67

3.3. Invariants 61

H
G
F
E
D
C
B
A

Figure 3.8 The desired final configuration of the 8-puzzle.

9
8 :
7
6
5
4
3
2
problem:

Lemma 3.3.4. A row move does not change the order of the tiles.

Proof. A row move moves a tile from cell i to cell i C 1 or vice versa. This tile
does not change its order with respect to any other tile. Since no other tile moves,
there is no change in the order of any of the other pairs of tiles. ⌅
Let’s turn to column moves. This is the more interesting case, since here the
order can change. For example, the column move in Figure3.9changes the relative

order of the pairs .G; H / and .G; E/.

Lemma 3.3.5. A column move changes the relative order of exactly two pairs of
tiles.

Proof. Sliding a tile down moves it after the next two tiles in the order. Sliding a
tile up moves it before the previous two tiles in the order. Either way, the relative
order changes between the moved tile and each of the two tiles it crosses. The
relative order between any other pair of tiles does not change. ⌅
These observations suggest that there are limitations on how tiles can be swapped.
Some such limitation may lead to the invariant we need. In order to reason about
swaps more precisely, let’s define a term referring to a pair of items that are out of
order:

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Định lý

Không tồn tại dãy chuyển cho bài toán trên.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Chuyển hàng

Thứ tự tự nhiên của các chữ trên ô:

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 61 — #67

3.3. Invariants 61

H
G
F
E

D
C
B
A

Figure 3.8 The desired final configuration of the 8-puzzle.

9
8 :
7
6
5
4
3
2
problem:

Lemma 3.3.4. A row move does not change the order of the tiles.

Lemma 3.3.5. A column move changes the relative order of exactly two pairs of
tiles.

Proof. Sliding a tile down moves it after the next two tiles in the order. Sliding a

tile up moves it before the previous two tiles in the order. Either way, the relative
order changes between the moved tile and each of the two tiles it crosses. The

relative order between any other pair of tiles does not change. ⌅

These observations suggest that there are limitations on how tiles can be swapped.
Some such limitation may lead to the invariant we need. In order to reason about
swaps more precisely, let’s define a term referring to a pair of items that are out of
order:

Bổ đề

Mỗi lần chuyển hàng không làm thay đổi thứ tự các chữ.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Chuyển cột

Bổ đề

Mỗi lần chuyển theo cột làm thay đổi thứ tự của đúng hai cặp chữ.

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 62 — #68

Chapter 3 Induction
62
E
H G
F
D
C
B

A
(a)
E
H
G
F
D
C
B
A
(b)

Figure 3.9 An example of a column move in which the G-tile is moved into the
adjacent hole above. In this case, G changes order with E and H .

Definition 3.3.6. A pair of letters L1and L2is an inversion if L1precedes L2in

the alphabet, but L1appears after L2in the puzzle order.

For example, in the puzzle below, there are three inversions: .D; F /, .E; F /,
.E; G/.
H
E
G
D
F
C
B
A

There is exactly one inversion .G; H / in the start state:

G
H
F
E
D
C
B
A

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Cặp ngược

Định nghĩa

Cặp chữ L1 và L2 gọi là ngược nếu L1 đứng trước L2 trong bảng
chữ cái nhưng L1 lại đứng sau L2 trong ô chữ.

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 63 — #69

3.3. Invariants 63

There are no inversions in the end state:

H
G
F
E
D
C

B
A

Let’s work out the effects of row and column moves in terms of inversions.
Lemma 3.3.7. During a move, the number of inversions can only increase by 2,
decrease by 2, or remain the same.

Proof. By Lemma3.3.4, a row move does not change the order of the tiles, and so
a row move does not change the number of inversions.

By Lemma3.3.5, a column move changes the relative order of exactly 2 pairs
of tiles. There are three cases: If both pairs were originally in order, then the
number of inversions after the move goes up by 2. If both pairs were originally
inverted, then the number of inversions after the move goes down by 2. If one
pair was originally inverted and the other was originally in order, then the number
of inversions stays the same (since changing the former pair makes the number of
inversions smaller by 1, and changing the latter pair makes the number of inversions

larger by 1). ⌅

We are almost there. If the number of inversions only changes by 2, then what
about the parity of the number of inversions? (The “parity” of a number refers to
whether the number is even or odd. For example, 7 and 5 have odd parity, and 18
and 0 have even parity.)

Since adding or subtracting 2 from a number does not change its parity, we have
the following corollary to Lemma3.3.7:

Corollary 3.3.8. Neither a row move nor a column move ever changes the parity
of the number of inversions.

Now we can bundle up all these observations and state an invariant, that is, a
property of the puzzle that never changes, no matter how you slide the tiles around.
Lemma 3.3.9. In every configuration reachable from the configuration shown in
Figure3.7(a), the parity of the number of inversions is odd.

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 62 — #68

Chapter 3 Induction
62
E
H G
F
D
C
B
A
(a)
E
H
G
F
D
C
B
A
(b)

Figure 3.9 An example of a column move in which the G-tile is moved into the
adjacent hole above. In this case, G changes order with E and H .

Definition 3.3.6. A pair of letters L1and L2is an inversion if L1precedes L2in

the alphabet, but L1appears after L2in the puzzle order.

For example, in the puzzle below, there are three inversions: .D; F /, .E; F /,
.E; G/.
H
E
G
D
F
C
B
A

There is exactly one inversion .G; H / in the start state:

G
H
F
E
D
C
B
A

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 62 — #68

Chapter 3 Induction

62
E
H G
F
D
C
B
A
(a)
E
H
G
F
D
C
B
A
(b)

Figure 3.9 An example of a column move in which the G-tile is moved into the
adjacent hole above. In this case, G changes order with E and H .

Definition 3.3.6. A pair of letters L1and L2is an inversion if L1precedes L2in
the alphabet, but L1appears after L2in the puzzle order.

For example, in the puzzle below, there are three inversions: .D; F /, .E; F /,
.E; G/.
H
E
G

D
F
C
B
A

There is exactly one inversion .G; H / in the start state:

G
H
F
E
D
C
B
A

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Bổ đề

Mỗi bước di chuyển, số cặp ngược chỉ có thể tăng 2, hoặc giảm 2,
hoặc giữ ngun.

Chứng minh.

Chuyển hàng:khơng đổi vì khơng làm thay đổi thứ tự các chữ

Chuyển cột:sẽ làm thay đổi thứ tự đúng 2 cặp chữ.

▶ Nếu cả hai cặp này không ngược:số cặp ngược tăng 2.

▶ Nếu cả hai cặp này ngược: số cặp ngược giảm 2.

▶ Nếu trong hay cặp này chỉ có một cặp ngược: số cặp ngược
giữ nguyên.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Hệ quả

Trong mọi bước di chuyển, tính chẵn lẻ của số cặp ngược là khơng
đổi.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Bổ đề

Số cặp ngược trong trong mọi cấu hình đạt được từ

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66

Chapter 3 Induction
60
G
H
F
E
D
C
B
A
(a)
G
H
F

E
D
C
B
A
(b)
G
E
H
F
D
C
B
A
(c)

Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and
two (c) possible moves.

3.3.4 The 8-Puzzle

In the 8-Puzzle, there are 8 lettered tiles (A–H) and a blank square arranged in a
3⇥ 3 grid. Any lettered tile adjacent to the blank square can be slid into the blank.
For example, a sequence of two moves is illustrated in Figure3.7.

will prove that is so by finding an invariant, namely, a property of the puzzle that is
always maintained, no matter how you move the tiles around. If we can then show
that putting all the tiles in the correct order would violate the invariant, then we can
conclude that the puzzle cannot be solved.

Theorem 3.3.3. No sequence of legal moves transforms the configuration in
Fig-ure3.7(a) into the configuration in Figure3.8.

We’ll build up a sequence of observations, stated as lemmas. Once we achieve
a critical mass, we’ll assemble these observations into a complete proof of
Theo-rem3.3.3.

Our difficulty is that one pair of tiles (the G and H) is out of order initially. An
immediate observation is that row moves alone are of little value in addressing this

luôn là lẻ.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Chứng minh bằng quy nạp.

Đặt P(n) là mệnh đề : “ Số cặp ngược trong cấu hình đạt được từ

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66

Chapter 3 Induction

60
G
H
F
E
D
C
B
A
(a)
G
H
F
E
D
C
B
A
(b)
G
E
H
F
D
C
B
A
(c)

Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and

two (c) possible moves.

3.3.4 The 8-Puzzle

Theorem 3.3.3. No sequence of legal moves transforms the configuration in
Fig-ure3.7(a) into the configuration in Figure3.8.

We’ll build up a sequence of observations, stated as lemmas. Once we achieve
a critical mass, we’ll assemble these observations into a complete proof of
Theo-rem3.3.3.

Our difficulty is that one pair of tiles (the G and H) is out of order initially. An
immediate observation is that row moves alone are of little value in addressing this

sau n bước chuyển luôn là lẻ”

▶ Bước cơ sở: P(0) đúng. Tại sao?

▶ Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, do hệ quả trước về tính

chẵn lẻ khơng đổi của số cặp ngược. Ta được P(n + 1) đúng.

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Định lý

Không tồn tại dãy chuyển hợp lệ để chuyển từ
“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 60 — #66

Chapter 3 Induction
60
G
H
F
E
D
C
B
A
(a)
G
H

F
E
D
C
B
A
(b)
G
E
H
F
D
C
B
A
(c)

Figure 3.7 The 8-Puzzle in its initial configuration (a) and after one (b) and
two (c) possible moves.

3.3.4 The 8-Puzzle

position? Some experimentation suggests that the answer is probably “no,” and we
will prove that is so by finding an invariant, namely, a property of the puzzle that is
always maintained, no matter how you move the tiles around. If we can then show
that putting all the tiles in the correct order would violate the invariant, then we can
conclude that the puzzle cannot be solved.

Theorem 3.3.3. No sequence of legal moves transforms the configuration in
Fig-ure3.7(a) into the configuration in Figure3.8.

We’ll build up a sequence of observations, stated as lemmas. Once we achieve
a critical mass, we’ll assemble these observations into a complete proof of
Theo-rem3.3.3.

Our difficulty is that one pair of tiles (the G and H) is out of order initially. An
immediate observation is that row moves alone are of little value in addressing this

sang

“mcs-ftl” — 2010/9/8 — 0:40 — page 61 — #67

3.3. Invariants 61

H
G

F
E
D
C
B
A

Figure 3.8 The desired final configuration of the 8-puzzle.

9
8 :
7
6
5
4
3
2
problem:

Lemma 3.3.4. A row move does not change the order of the tiles.

Lemma 3.3.5. A column move changes the relative order of exactly two pairs of
tiles.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Nội dung

Nguyên lý quy nạp

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Bài tập

Hãy dùng quy nạp để chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều
phân tích được thành tích của các số nguyên tố.

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Nguyên lý quy nạp mạnh

Xét vị từ P(n) trên N. Nếu

▶ P(0) đúng, và

▶ với mọi n∈ N, (P(0) ∧ P(1) ∧ · · · ∧ P(n)) ⇒ P(n + 1),
thì P(n) đúng với mọi n∈ N.

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Ví dụ

Ở nước Quy nạp, họ dùng đơn vị tiền Mạnh. Họ chỉ có hai loại
tiền 3M (Mạnh) và 5M. Dù họ có vấn đề nhỏ với việc đổi tiền 4M
hoặc 7M, nhưng họ nhận thấy rằng họ có thể đổi mọi số tiền ít
nhất 8M. Hãy giải thích cho họ xem tại sao điều này đúng.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Unstacking Game

▶ Có một chồng hộp. Bạn sẽ thực hiện một dãy bước chuyển.

▶ Mỗi bước chuyển bạn chia một hộp kích thước (a + b) thành
hai chồng khác rỗng kích thước a và b. Và bạn được ab điểm
cho bước chuyển này.

▶ Trò chơi kết thúc khi mỗi chồng hộp chỉ còn một hộp.

▶ Điểm của bạn là tổng điểm bạn đạt được ở mỗi bước.

▶ Hãy tìm một chiến lược chơi để tối đa hoá điểm của bạn?

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Một chiến lược kiểu “chia đơi” cho trị chơi với n = 10 đĩa

Điểm

5 5 25

5 3 2 6

3 3 2 2 6

2 3 2 2 1 2

1 3 2 2 1 1 1

1 2 2 2 1 1 1 2

1 1 2 2 1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

45

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Định lý

Mọi chiến lược của trò chơi gồm chồng n hộp đều cho cùng điểm

S(n) = n(n− 1)

2 .

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Chứng minh.

Ta gọi P(n) là mệnh đề S(n) = n(n− 1)/2.

Bước cơ sở:P(0) đúng vì S(0) = 0.

Bước quy nạp:Giả sử P(0)∧ · · · ∧ P(n) đúng để chứng minh

P(n + 1).

Xét trò chơi với n + 1 đĩa. Ta chia n + 1 đĩa này tùy ý thành hai
phần không rỗng a, b thỏa mãn a + b = n + 1. Theo giả thiết quy
nạp, ta được

S(a + b) = S(a) + S(b) + ab = a(a− 1)

2 +

b(b− 1)

2 + ab

= a

2− a + b2− b + 2ab

2 =

(a + b)2− (a + b)
2

= (a + b)(a + b− 1)

2 =

(n + 1)n

3

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Đồ thị

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Tài liệu tham khảo

▶ Norman L. Biggs, Discrete Mathematics, Oxford University
Press, 2002.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

1/26/16, 10:42 AM
Hồ Hoàn Kiếm đến Bách Khoa, Hai Bà Trưng - Google Maps

Page 1 of 1
/>

50 p

4,1 km

via Phố Huế

51 p

4,2 km

via Hàng Bài

52 p

4,2 km

via Bà Triệu

Đi bộ 4,1 km, 50 p

Hồ Hoàn Kiếm đến Bách Khoa, Hai Bà Trưng

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Nội dung

Đồ thị và biểu diễn

Một số đồ thị đặc biệt

Đẳng cấu

Bậc

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Định nghĩa

Mộtđồ thị G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một

tập, còn E là tập với các phần tử là các tập con hai phần tử của V.
Các phần tử của V được gọi là cácđỉnh, còn các phần tử của E
gọi là cáccạnh của G.

Ví dụ

Xét đồ thị G = (V, E) trong đó

V ={a, b, c, d, z}

E ={{a, b}, {a, d}, {b, z}, {c, d}, {d, z}}.

a

z b

d c

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Định nghĩa

▶ Hai đỉnh x và y gọi là kề nhau (hayhàng xóm) nếu{x, y} là
một cạnh của đồ thị.

▶ Ta biểu diễn đồ thị G = (V, E) bởi danh sách kề, trong đó
mỗi đỉnh v giữ một danh sách các đỉnh kề với v.

Ví dụ a

z b

d c

a b c d z

b a d a b

d z c d

z

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Bài tập

Có ba ngơi nhà A, B, C, mỗi ngôi nhà đều kết nối với cả ba nhà
cung cấp ga, nước, và điện: G, W, E.

1. Hãy viết danh sách kề cho đồ thị biểu diễn bài tốn này và
vẽ nó.

2. Liệu bạn có thể vẽ đồ thị này trên mặt phẳng để khơng có
cạnh cắt nhau khơng?

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Ví dụ

▶ GS Mc Brain và vợ là bà April tới một bữa tiệc ở đó có 4 đơi
vợ chồng khác.

▶ Có một vài cặp bắt tay nhau nhưng không ai bắt tay với vợ
hoặc chồng mình.

▶ GS hỏi mọi người khác xem họ bắt tay bao nhiêu người và
ông ấy nhận được 9 con số khác nhau.

▶ Hỏi có bao nhiêu người đã bắt tay April?

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Nội dung

Đồ thị và biểu diễn

Một số đồ thị đặc biệt

Đẳng cấu

Bậc

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Đồ thị đầy đủ

Định nghĩa

Đồ thị đầy đủ gồm n đỉnh, ký hiệu là Kn là đồ thị có đúng một

cạnh nối mỗi cặp đỉnh phân biệt.

10.2 Graph Terminology and Special Types of Graphs 655

EXAMPLE 5 Complete Graphs A complete graph on n vertices, denoted by Kn, is a simple graph

that contains exactly one edge between each pair of distinct vertices. The graphs Kn, for

n= 1, 2, 3, 4, 5, 6, are displayed in Figure 3. A simple graph for which there is at least one
pair of distinct vertex not connected by an edge is called noncomplete. ▲

K1 K2 K3 K4 K5 K6

FIGURE 3 The Graphs Knfor 1≤ n ≤ 6.

EXAMPLE 6 Cycles A cycle Cn, n≥ 3, consists of n vertices v1,v2, . . . ,vn and edges {v1,v2},

{v2,v3}, . . . , {vn−1,vn}, and {vn,v1}. The cycles C3, C4, C5, and C6 are displayed in

Figure 4. ▲

C3 C4 C5 C6

FIGURE 4 The Cycles C3, C4, C5, and C6.

EXAMPLE 7 Wheels We obtain a wheel Wnwhen we add an additional vertex to a cycle Cn, for n≥ 3,

and connect this new vertex to each of the n vertices in Cn, by new edges. The wheels W3, W4,

W5, and W6are displayed in Figure 5. ▲

W3 W4 W5 W6

FIGURE 5 The Wheels W3, W4, W5, and W6.

EXAMPLE 8 n-Cubes An n-dimensional hypercube, or n-cube, denoted by Qn, is a graph that has vertices

representing the 2nbit strings of length n. Two vertices are adjacent if and only if the bit strings

that they represent differ in exactly one bit position. We display Q1, Q2, and Q3in Figure 6.

Note that you can construct the (n+ 1)-cube Qn+1from the n-cube Qnby making two

copies of Qn, prefacing the labels on the vertices with a 0 in one copy of Qnand with a 1 in the

other copy of Qn, and adding edges connecting two vertices that have labels differing only in

the first bit. In Figure 6, Q3is constructed from Q2by drawing two copies of Q2as the top and

bottom faces of Q3, adding 0 at the beginning of the label of each vertex in the bottom face and

1 at the beginning of the label of each vertex in the top face. (Here, by face we mean a face of
a cube in three-dimensional space. Think of drawing the graph Q3in three-dimensional space

with copies of Q2as the top and bottom faces of a cube and then drawing the projection of the

resulting depiction in the plane.) ▲

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Câu hỏi

Đồ thị Kn có bao nhiêu cạnh?

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Đồ thị vịng

Định nghĩa

Đồ thị vòng Cn, với n≥ 3 là một đồ thị có n đỉnh v1, v2, . . . , vn và

các cạnh

{v1, v2}, {v2, v3}, · · · , {vn−1, vn}, và {vn, v1}

10.2 Graph Terminology and Special Types of Graphs 655

EXAMPLE 5

Complete Graphs A complete graph on n vertices, denoted by K

, is a simple graph

that contains exactly one edge between each pair of distinct vertices. The graphs K

, for

n

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, are displayed in Figure 3. A simple graph for which there is at least one

pair of distinct vertex not connected by an edge is called noncomplete.

▲

K1 K2 K3 K4 K5 K6

FIGURE 3

The Graphs K

for 1

≤ n ≤ 6.

EXAMPLE 6

Cycles A cycle C

, n

≥ 3, consists of n vertices v

,

v

, . . . ,

v

and edges

{v

,

v

},

{v

,

v

}, . . . , {v

n−1

,

v

}, and {v

,

v

}. The cycles C

, C

, and C

are displayed in

Figure 4.

▲

C3 C4 C5 C6

FIGURE 4

The Cycles C

3

, C

4

, C

5

, and C

6

.

EXAMPLE 7

Wheels We obtain a wheel W

when we add an additional vertex to a cycle C

, for n

≥ 3,

and connect this new vertex to each of the n vertices in C

, by new edges. The wheels W

, W

,

W

5

, and W

are displayed in Figure 5.

▲

W3 W4 W5 W6

FIGURE 5

The Wheels W

3

, W

4

, W

5

, and W

6

.

EXAMPLE 8

n

-Cubes An n-dimensional hypercube, or n-cube, denoted by Q

, is a graph that has vertices

representing the 2

bit strings of length n. Two vertices are adjacent if and only if the bit strings

that they represent differ in exactly one bit position. We display Q

, Q

, and Q

in Figure 6.

Note that you can construct the (n

+ 1)-cube Q

n+1

from the n-cube Q

by making two

copies of Q

, prefacing the labels on the vertices with a 0 in one copy of Q

and with a 1 in the

other copy of Q

, and adding edges connecting two vertices that have labels differing only in

the first bit. In Figure 6, Q

is constructed from Q

by drawing two copies of Q

as the top and

bottom faces of Q

, adding 0 at the beginning of the label of each vertex in the bottom face and

1 at the beginning of the label of each vertex in the top face. (Here, by face we mean a face of

a cube in three-dimensional space. Think of drawing the graph Q

in three-dimensional space

with copies of Q

as the top and bottom faces of a cube and then drawing the projection of the

resulting depiction in the plane.)

▲

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

Câu hỏi

Đồ thị Cn có bao nhiêu cạnh?

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Đồ thị bánh xe

Định nghĩa

Khi thêm một đỉnh vào vòng Cn với n≥ 3 và nối đỉnh này với mỗi

đỉnh trong Cn bằng một cạnh mới ta sẽ nhận được đồ thị bánh xe
Wn.

10.2 Graph Terminology and Special Types of Graphs 655

EXAMPLE 5 Complete Graphs A complete graph on n vertices, denoted by Kn, is a simple graph

that contains exactly one edge between each pair of distinct vertices. The graphs Kn, for

n= 1, 2, 3, 4, 5, 6, are displayed in Figure 3. A simple graph for which there is at least one
pair of distinct vertex not connected by an edge is called noncomplete. ▲

K1 K2 K3 K4 K5 K6

FIGURE 3 The Graphs Knfor 1≤ n ≤ 6.

EXAMPLE 6 Cycles A cycle Cn, n≥ 3, consists of n vertices v1,v2, . . . ,vn and edges {v1,v2},

{v2,v3}, . . . , {vn−1,vn}, and {vn,v1}. The cycles C3, C4, C5, and C6 are displayed in

Figure 4. ▲

C3 C4 C5 C6

FIGURE 4 The Cycles C3, C4, C5, and C6.

EXAMPLE 7 Wheels We obtain a wheel Wn when we add an additional vertex to a cycle Cn, for n≥ 3,

and connect this new vertex to each of the n vertices in Cn, by new edges. The wheels W3, W4,

W5, and W6are displayed in Figure 5. ▲

W3 W4 W5 W6

FIGURE 5 The Wheels W3, W4, W5, and W6.

EXAMPLE 8 n-Cubes An n-dimensional hypercube, or n-cube, denoted by Qn, is a graph that has vertices

representing the 2nbit strings of length n. Two vertices are adjacent if and only if the bit strings

that they represent differ in exactly one bit position. We display Q1, Q2, and Q3in Figure 6.

Note that you can construct the (n+ 1)-cube Qn+1 from the n-cube Qn by making two

copies of Qn, prefacing the labels on the vertices with a 0 in one copy of Qnand with a 1 in the

other copy of Qn, and adding edges connecting two vertices that have labels differing only in

the first bit. In Figure 6, Q3is constructed from Q2by drawing two copies of Q2as the top and

bottom faces of Q3, adding 0 at the beginning of the label of each vertex in the bottom face and

1 at the beginning of the label of each vertex in the top face. (Here, by face we mean a face of
a cube in three-dimensional space. Think of drawing the graph Q3 in three-dimensional space

with copies of Q2as the top and bottom faces of a cube and then drawing the projection of the

resulting depiction in the plane.) ▲

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Câu hỏi

Đồ thị Wn có bao nhiêu cạnh?

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Các khối n chiều

Định nghĩa

Các khối n chiều, ký hiệu Qn, là các đồ thị có 2n đỉnh, mỗi đỉnh

được biểu diễn bằng xâu nhị phân độ dài n. Hai đỉnh liền kề nếu và
chỉ nếu các xâu nhị phân biểu diễn chúng khác nhau đúng một bit.

656 10 / Graphs

Q1 Q2

0 1
00 01
10 11
Q3
000 001
100 101
111
110
010 011

FIGURE 6 The n-cube Qn, n= 1, 2, 3.

Bipartite Graphs

Sometimes a graph has the property that its vertex set can be divided into two disjoint subsets
such that each edge connects a vertex in one of these subsets to a vertex in the other subset.
For example, consider the graph representing marriages between men and women in a village,
where each person is represented by a vertex and a marriage is represented by an edge. In this
graph, each edge connects a vertex in the subset of vertices representing males and a vertex in
the subset of vertices representing females. This leads us to Definition 5.

DEFINITION 6 A simple graph G is called bipartite if its vertex set V can be partitioned into two disjoint
sets V1and V2such that every edge in the graph connects a vertex in V1and a vertex in V2

(so that no edge in G connects either two vertices in V1or two vertices in V2). When this

condition holds, we call the pair (V1, V2)a bipartition of the vertex set V of G.

In Example 9 we will show that C6is bipartite, and in Example 10 we will show that K3is

not bipartite.

EXAMPLE 9 C6is bipartite, as shown in Figure 7, because its vertex set can be partitioned into the two sets

V1= {v1,v3,v5} and V2= {v2,v4,v6}, and every edge of C6 connects a vertex in V1 and a

vertex in V2. ▲

EXAMPLE 10 K3is not bipartite. To verify this, note that if we divide the vertex set of K3into two disjoint

sets, one of the two sets must contain two vertices. If the graph were bipartite, these two vertices

could not be connected by an edge, but in K3each vertex is connected to every other vertex by

an edge. ▲

EXAMPLE 11 Are the graphs G and H displayed in Figure 8 bipartite?

V1 V2

v1
v3
v5
v2
v4
v6

FIGURE 7 Showing That C6Is

Bipartite.
a b
c
e d
f
g
G
a b
e d
H
f c

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Câu hỏi

Đồ thị Qn có bao nhiêu cạnh?

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Đồ thị hai phần

Định nghĩa

Một đồ thị được gọi là hai phần nếu tập đỉnh V có thể phân hoạch
thành hai tập V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị nối một đỉnh
của V1 tới một đỉnh của V2.

656

10 / Graphs

Q

1

Q

2

0

1

00

01

10

11 Q

3

000

001

100

101

111

110

010 011

FIGURE 6

The n-cube Q

n

, n

= 1, 2, 3.

Bipartite Graphs

Sometimes a graph has the property that its vertex set can be divided into two disjoint subsets

such that each edge connects a vertex in one of these subsets to a vertex in the other subset.

For example, consider the graph representing marriages between men and women in a village,

where each person is represented by a vertex and a marriage is represented by an edge. In this

graph, each edge connects a vertex in the subset of vertices representing males and a vertex in

the subset of vertices representing females. This leads us to Definition 5.

DEFINITION 6

A simple graph G is called bipartite if its vertex set V can be partitioned into two disjoint

sets V

1 and V

2 such that every edge in the graph connects a vertex in V

1 and a vertex in V

2 (so that no edge in G connects either two vertices in V

1 or two vertices in V

2 ). When this

condition holds, we call the pair (V

1 , V

2 )

a bipartition of the vertex set V of G.

In Example 9 we will show that C

6 is bipartite, and in Example 10 we will show that K

3 is

not bipartite.

EXAMPLE 9

C

6

is bipartite, as shown in Figure 7, because its vertex set can be partitioned into the two sets

V

1

= {v

1

,

v

3 ,

v

5 } and V

2 = {v

2 ,

v

4 ,

v

6 }, and every edge of C

6 connects a vertex in V

1 and a

vertex in V

2 .

▲

EXAMPLE 10

K

3

is not bipartite. To verify this, note that if we divide the vertex set of K

3 into two disjoint

sets, one of the two sets must contain two vertices. If the graph were bipartite, these two vertices

could not be connected by an edge, but in K

3 each vertex is connected to every other vertex by

an edge.

▲

EXAMPLE 11

Are the graphs G and H displayed in Figure 8 bipartite?

V

1

V

2

v

1

v

3

v

5

v

2

v

4

v

6

FIGURE 7

Showing That C

6

Is

Bipartite.

a

b

c

e

d

f

g

G

a

b

e

d

H

f

c

FIGURE 8

The Undirected Graphs G and H .

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

Câu hỏi

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị hai phần?

656 10 / Graphs

Q1 Q2

0 1
00 01
10 11
Q3
000 001
100 101
111
110
010 011

FIGURE 6

The n-cube Q

, n

= 1, 2, 3.

Bipartite Graphs

Sometimes a graph has the property that its vertex set can be divided into two disjoint subsets

such that each edge connects a vertex in one of these subsets to a vertex in the other subset.

For example, consider the graph representing marriages between men and women in a village,

where each person is represented by a vertex and a marriage is represented by an edge. In this

graph, each edge connects a vertex in the subset of vertices representing males and a vertex in

the subset of vertices representing females. This leads us to Definition 5.

DEFINITION 6

A simple graph G is called bipartite if its vertex set V can be partitioned into two disjoint

sets V

and V

such that every edge in the graph connects a vertex in V

and a vertex in V

(so that no edge in G connects either two vertices in V

or two vertices in V

). When this

condition holds, we call the pair (V

, V

)

a bipartition of the vertex set V of G.

In Example 9 we will show that C

is bipartite, and in Example 10 we will show that K

is

not bipartite.

EXAMPLE 9

C

is bipartite, as shown in Figure 7, because its vertex set can be partitioned into the two sets

V

= {v

,

v

,

v

} and V

= {v

,

v

,

v

}, and every edge of C

connects a vertex in V

and a

vertex in V

.

▲

EXAMPLE 10

K

is not bipartite. To verify this, note that if we divide the vertex set of K

into two disjoint

sets, one of the two sets must contain two vertices. If the graph were bipartite, these two vertices

could not be connected by an edge, but in K

each vertex is connected to every other vertex by

an edge.

▲

EXAMPLE 11

Are the graphs G and H displayed in Figure 8 bipartite?

V1 V2

v1
v3
v5
v2

v4
v6

FIGURE 7

Showing That C

6

Is

Bipartite.

a b
c
e d
f
g
G
a b
e d
H
f c

FIGURE 8

The Undirected Graphs G and H .

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

Câu hỏi

Đồ thị C5 và C6 có phải là những đồ thị hai phần?

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Đồ thị hai phần đầy đủ

Định nghĩa

Đồ thị hai phần đầy đủ Km,n là đồ thị có tập đỉnh được phân

hoạch thành hai tập con tương ứng có m đỉnh và n đỉnh và có một

cạnh nối hai đỉnh nếu có một đỉnh thuộc tập này và một đỉnh
thuộc tập kia.

658 10 / Graphs

EXAMPLE 13 Complete Bipartite Graphs A complete bipartite graph Km,nis a graph that has its vertex

set partitioned into two subsets of m and n vertices, respectively with an edge between two
vertices if and only if one vertex is in the first subset and the other vertex is in the second subset.
The complete bipartite graphs K2,3, K3,3, K3,5, and K2,6are displayed in Figure 9. ▲

K2,3 K3,3

K3,5 K2,6

FIGURE 9 Some Complete Bipartite Graphs.

Bipartite Graphs and Matchings

Bipartite graphs can be used to model many types of applications that involve matching the
elements of one set to elements of another, as Example 14 illustrates.

EXAMPLE 14 Job Assignments Suppose that there are m employees in a group and n different jobs that
need to be done, where m≥ n. Each employee is trained to do one or more of these n jobs. We
would like to assign an employee to each job. To help with this task, we can use a graph to model
employee capabilities. We represent each employee by a vertex and each job by a vertex. For
each employee, we include an edge from that employee to all jobs that the employee has been
trained to do. Note that the vertex set of this graph can be partitioned into two disjoint sets, the
set of employees and the set of jobs, and each edge connects an employee to a job. Consequently,
this graph is bipartite, where the bipartition is (E, J ) where E is the set of employees and J is

the set of jobs. We now consider two different scenarios.

First, suppose that a group has four employees: Alvarez, Berkowitz, Chen, and Davis;
and suppose that four jobs need to be done to complete Project 1: requirements, architecture,
implementation, and testing. Suppose that Alvarez has been trained to do requirements and
testing; Berkowitz has been trained to do architecture, implementation, and testing; Chen has
been trained to do requirements, architecture, and implementation; and Davis has only been
trained to do requirements. We model these employee capabilities using the bipartite graph in
Figure 10(a).

Second, suppose that a group has second group also has four employees: Washington, Xuan,
Ybarra, and Ziegler; and suppose that the same four jobs need to be done to complete Project 2 as
are needed to complete Project 1. Suppose that Washington has been trained to do architecture;
Xuan has been trained to do requirements, implementation, and testing; Ybarra has been trained
to do architecture; and Ziegler has been trained to do requirements, architecture and testing. We
model these employee capabilities using the bipartite graph in Figure 10(b).

To complete Project 1, we must assign an employee to each job so that every job has an
employee assigned to it, and so that no employee is assigned more than one job. We can do this
by assigning Alvarez to testing, Berkowitz to implementation, Chen to architecture, and Davis
to requirements, as shown in Figure 10(a) (where blue lines show this assignment of jobs).

To complete Project 2, we must also assign an employee to each job so that every job has
an employee assigned to it and no employee is assigned more than one job. However, this is

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

658 10 / Graphs

EXAMPLE 13 Complete Bipartite Graphs A complete bipartite graph Km,nis a graph that has its vertex

set partitioned into two subsets of m and n vertices, respectively with an edge between two

vertices if and only if one vertex is in the first subset and the other vertex is in the second subset.

The complete bipartite graphs K2,3, K3,3, K3,5, and K2,6are displayed in Figure 9. ▲

K2,3 K3,3

K3,5 K2,6

FIGURE 9 Some Complete Bipartite Graphs.

Bipartite Graphs and Matchings

Bipartite graphs can be used to model many types of applications that involve matching the
elements of one set to elements of another, as Example 14 illustrates.

EXAMPLE 14 Job Assignments Suppose that there are m employees in a group and n different jobs that

need to be done, where m≥ n. Each employee is trained to do one or more of these n jobs. We

would like to assign an employee to each job. To help with this task, we can use a graph to model
employee capabilities. We represent each employee by a vertex and each job by a vertex. For
each employee, we include an edge from that employee to all jobs that the employee has been
trained to do. Note that the vertex set of this graph can be partitioned into two disjoint sets, the
set of employees and the set of jobs, and each edge connects an employee to a job. Consequently,
this graph is bipartite, where the bipartition is (E, J ) where E is the set of employees and J is
the set of jobs. We now consider two different scenarios.

testing; Berkowitz has been trained to do architecture, implementation, and testing; Chen has
been trained to do requirements, architecture, and implementation; and Davis has only been
trained to do requirements. We model these employee capabilities using the bipartite graph in
Figure 10(a).

To complete Project 2, we must also assign an employee to each job so that every job has
an employee assigned to it and no employee is assigned more than one job. However, this is

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Câu hỏi

Đồ thị Km,n có bao nhiêu cạnh?

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Bài tập

Hãy xây dựng một đồ thị với 5 đỉnh và 6 cạnh mà không chứa C3
(tam giác) nào.

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Nội dung

Đồ thị và biểu diễn

Một số đồ thị đặc biệt

Đẳng cấu

Bậc

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

Định nghĩa

Hai đồ thị G1 và G2 được gọi làđẳng cấunếu có một song ánh α
từ tập đỉnh của G1 đến tập đỉnh của G2 sao cho{α(x), α(y)} là
một cạnh của G1 nếu và chỉ nếu {x, y} là một cạnh của G2.
Song ánh α được gọi là mộtđẳng cấu.

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

Ví dụ

Hai đồ thị sau đây đẳng cấu với nhau và đẳng cấu α định nghĩa
bởi:

α(a) = t, α(b) = v, α(c) = w, α(d) = u.

a b

c

d v u

w

t

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

Ví dụ

Hai đồ thị sau có đẳng cấu không?

a

e b

d c

a

e b

d c

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

Bài tập

Hãy chứng minh rằng hai đồ thị sau không đẳng cấu.

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

Nội dung

Đồ thị và biểu diễn

Một số đồ thị đặc biệt

Đẳng cấu

Bậc

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

Định nghĩa

Bậccủa một đỉnh v trong đồ thị G = (V, E) là số cạnh của G
chứa v. Ta ký hiệu deg(v) là bậc của đỉnh v. Có nghĩa rằng

deg(v) =|Dv| với Dv={e ∈ E | v ∈ e }.

Ví dụ a

z b

d c

đỉnh deg

a 2

b 2

c 1

d 3

z 2

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Định lý

Tổng các bậc deg(v), lấy trên mọi đỉnh v của đồ thị G = (V, E),

bằng hai lần số cạnh:

∑

v∈V

deg(v) = 2|E|.

Ví dụ a

z b

d c

đỉnh thuộc vào cạnh

a {a, b}, {a, d}
b {a, b}, {b, z}
c {c, d}

d {a, d}, {c, d}, {d, z}
z {b, z}, {d, z}

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Một đỉnh của đồ thị G làlẻ nếu bậc của nó là lẻ, và làchẵn nếu
bậc của nó là chẵn.

Hệ quả

Số đỉnh lẻ của đồ thị là số chẵn.

Chứng minh.

∑

v∈Vlẻ

deg(v) + ∑

v∈Vchẵn

deg(v) = 2|E|

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

Bậc và đẳng cấu

▶ Nếu α : V1 → V2 là một đẳng cấu giữa G1 và G2 và

α(v) = w, vậy

deg(v) = deg(w).
Tại sao?

▶ Nếu trong G1 có đỉnh x với deg(x) = δ0 và trong G2 khơng có
đỉnh nào có bậc δ0, vậy thì G1 và G2 khơng đẳng cấu.

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Bài tập

Các dãy số sau đây có thể là các bậc của mọi đỉnh của đồ thị nào
đó khơng? Nếu có hãy vẽ một đồ thị như vậy.

1. 2, 2, 2, 3

2. 1, 2, 2, 3, 4

3. 2, 2, 4, 4, 4
4. 1, 2, 3, 4.

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

Bài tập

▶ Xét đồ thị G = (V, E),phần bù G của G là đồ thị có cùng

tập đỉnh là V và tập cạnh là tất cả các cặp đỉnh phân biệt
không kề nhau trong G.

▶ Giả sử G có n đỉnh và các bậc của nó là

d1, d2, . . . , dn.

Các bậc của G là gì?

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

Đồ thị chính quy

▶ Đồ thị mà trong đó mọi đỉnh đều có cùng bậc r được gọi là

chính quy. Khi đó r|V| = 2|E|.

▶ Đồ thị Kn là đồ thị chính quy bậc n− 1.

▶ Đồ thị vòng Cn là đồ thị chính quy bậc 2.

▶ Đồ thị Qn là đồ thị chính quy bậc mấy ?

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

a

e b

d c

4 1

3 2

Hình:Đồ thị đầy đủ K5 và đồ thị chu trình C5

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Bài tập

Liệt kê các đồ thị chính quy bậc 4 (đơi một khơng đẳng cấu) với
bảy đỉnh.

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

Bài tập

Chứng minh rằng trong mọi đồ thị với ít nhất hai đỉnh ln có hai
đỉnh cùng bậc.

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

Nội dung

Đồ thị và biểu diễn

Một số đồ thị đặc biệt

Đẳng cấu

Bậc

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

Định nghĩa

Mộthành trình trong đồ thị G là một dãy đỉnh

v1, v2, . . . , vk,

thỏa mãn vi và vi+1 kề nhau (với 1≤ i ≤ k − 1).
a

e b

d c

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

Định nghĩa

Hành trình mà trong đó mọi đỉnh đều khác nhau được gọi là

đường đi.

a

e b

d c

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

Đồ thị cộng tác

▶ Đỉnh: các tác giả

▶ Đỉnh a nối b nếu hai tác giả a và b
viết chung bài báo.

▶ Số Erdưs của nhà tốn học m là
đường đi ngắn nhất giữa m và Paul
Erdös.

10.4 Connectivity 681

TABLE 1 The Number
of Mathematicians
with a Given Erd˝os
Number (as of early
2006).

Erd˝os Number
Number of People

0 1
1 504
2 6,593
3 33,605
4 83,642
5 87,760
6 40,014
7 11,591
8 3,146

9 819
10 244
11 68
12 23
13 5

TABLE 2 The Number
of Actors with a Given
Bacon Number (as of
early 2011).

Bacon Number
Number of People

0 1
1 2,367
2 242,407
3 785,389
4 200,602
5 14,048
6 1,277
7 114
8 16

game where participants where challenged to find a sequence of movies leading from each actor
named to Kevin Bacon. We can find a number similar to a Bacon number using any actor as the

center of the acting universe. ▲

Connectedness in Undirected Graphs

When does a computer network have the property that every pair of computers can share
infor-mation, if messages can be sent through one or more intermediate computers? When a graph
is used to represent this computer network, where vertices represent the computers and edges
represent the communication links, this question becomes: When is there always a path between
two vertices in the graph?

DEFINITION 3 An undirected graph is called connected if there is a path between every pair of distinct
vertices of the graph. An undirected graph that is not connected is called disconnected. We
say that we disconnect a graph when we remove vertices or edges, or both, to produce a
disconnected subgraph.

Thus, any two computers in the network can communicate if and only if the graph of this network
is connected.

EXAMPLE 4 The graph G1in Figure 2 is connected, because for every pair of distinct vertices there is a

path between them (the reader should verify this). However, the graph G2in Figure 2 is not

connected. For instance, there is no path in G2between vertices a and d. ▲

We will need the following theorem in Chapter 11.

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

Đồ thị Hollywood

▶ Đỉnh: các diễn viên

▶ Diễn viên a nối với diễn viên b nếu

a và b đóng chung một bộ phim

▶ Số Bacon của diễn viên c là đường
đi ngắn nhất giữa c và Kevin
Bacon.

10.4 Connectivity 681

TABLE 1 The Number

of Mathematicians
with a Given Erd˝os
Number (as of early
2006).

Erd˝os Number
Number of People

0 1
1 504
2 6,593
3 33,605
4 83,642
5 87,760
6 40,014
7 11,591
8 3,146
9 819
10 244
11 68
12 23

13 5

TABLE 2 The Number

of Actors with a Given
Bacon Number (as of
early 2011).

Bacon Number
Number of People

0 1
1 2,367
2 242,407
3 785,389
4 200,602
5 14,048
6 1,277
7 114
8 16

game where participants where challenged to find a sequence of movies leading from each actor
named to Kevin Bacon. We can find a number similar to a Bacon number using any actor as the

center of the acting universe. ▲

Connectedness in Undirected Graphs

When does a computer network have the property that every pair of computers can share
infor-mation, if messages can be sent through one or more intermediate computers? When a graph

is used to represent this computer network, where vertices represent the computers and edges
represent the communication links, this question becomes: When is there always a path between
two vertices in the graph?

DEFINITION 3 An undirected graph is called connected if there is a path between every pair of distinct

vertices of the graph. An undirected graph that is not connected is called disconnected. We
say that we disconnect a graph when we remove vertices or edges, or both, to produce a
disconnected subgraph.

Thus, any two computers in the network can communicate if and only if the graph of this network
is connected.

EXAMPLE 4 The graph G1 in Figure 2 is connected, because for every pair of distinct vertices there is a

path between them (the reader should verify this). However, the graph G2 in Figure 2 is not

connected. For instance, there is no path in G2between vertices a and d. ▲

We will need the following theorem in Chapter 11.

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

Định nghĩa

Ta ký hiệu x ∼ y nếu hai đỉnh x và y trong G có thể nối với nhau
bằng một đường đi. Có nghĩa rằng, tồn tại một đường đi

v1, v2,· · · , vk

trong G với x = v1 và y = vk.
a

e b

d c

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

Dễ thấy, quan hệ∼ là quan hệ tương đương trên tập đỉnh V của G.
Vậy thì V được phân hoạch thành các lớp tương đương rời nhau.

Hai đỉnh nằm trong cùng một lớp nếu giữa chúng có đường đi, và
trong hai lớp khác nhau nếukhơng có đường đi.

Ví dụ

Với đồ thị bên, ta có phân hoạch:

V = Vđỏ ∪ Vxanh

a

b

c

d
e

f

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

Định nghĩa

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị và phân hoạch của V tương ứng
với quan hệ tương đương ∼ là

V = V1∪ V2∪ · · · ∪ Vr.

Ký hiệu Ei (với 1≤ i ≤ r) là các tập con của E bao gồm các cạnh

với đầu mút nằm trong Vi. Vậy thì các đồ thị Gi= (Vi, Ei) được

gọi là cácthành phần liên thơng của G.

Ta nói Gliên thơng nếu nó chỉ có một thành phần liên thơng.

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

Ví dụ

Đồ thị dưới đây khơng liên thơng. Nó có hai thành phần liên thơng.

a

b

c

d
e

f

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

Bài tập

Tìm số thành phần liên thông của đồ thị với danh sách kề là

a b c d e f g h i j
f c b h c a b d a a

i g e g i c f f

j g j e

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Bài tập

Đồ thị mô tả bữa tiệc của bà April có bao nhiêu thành phần liên
thơng?

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

Định nghĩa

Một hành trình

v1, v2, · · · , vr+1

trong đó mọi đỉnh đều phân biệt ngoại trừ v1 = vr+1 được gọi là

mộtchu trình.

Vì nó có r đỉnh phân biệt và r cạnh nên ta cũng thường gọi nó là

r-chu trình, hay chu trìnhđộ dài r.

a

e b

d c

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

Bài tập

▶ Hình dưới đây thể hiện các địa điểm thú vị trên đảo Wanda và
đường đi giữa chúng.

▶ Hãy tìm đường đi trên đảo để thăm mỗi địa điểm đúng một
lần và trở về vị trí xuất phát.

p q

s

t
r

u

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

Bài tập

Hãy tìm cách để đi hết các con đường, mỗi đường đúng một lần.
Địa điểm bắt đầu và kết thúc có thể khác nhau.

p q

s

t
r

u

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

Định nghĩa

▶ Chu trình chứa mọi đỉnh của đồ thị gọi là chu trình

Hamilton.

▶ Hành trình dùng mỗi cạnh đúngmột lần gọi làhành trình

Euler.

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

Bài tập

Tìm chu trình Hamilton của đồ thị tạo bởi các đỉnh và cạnh của
khối lập phương.

10.7 Planar Graphs 719

FIGURE 2

The

Graph K

4

.

FIGURE 3

K

4

Drawn

with No Crossings.

FIGURE 4

The

Graph Q

3

.

FIGURE 5

A Planar

Representation of Q

3

.

DEFINITION 1

A graph is called planar if it can be drawn in the plane without any edges crossing (where

a crossing of edges is the intersection of the lines or arcs representing them at a point other

than their common endpoint). Such a drawing is called a planar representation of the graph.

A graph may be planar even if it is usually drawn with crossings, because it may be possible

to draw it in a different way without crossings.

EXAMPLE 1

Is K

4

(shown in Figure 2 with two edges crossing) planar?

Solution:

K

4

is planar because it can be drawn without crossings, as shown in Figure 3.

▲

EXAMPLE 2

Is Q

3

, shown in Figure 4, planar?

Solution:

Q

3

is planar, because it can be drawn without any edges crossing, as shown in

Figure 5.

▲

We can show that a graph is planar by displaying a planar representation. It is harder to

show that a graph is nonplanar. We will give an example to show how this can be done in an ad

hoc fashion. Later we will develop some general results that can be used to do this.

EXAMPLE 3

Is K

3,3

, shown in Figure 6, planar?

Solution:

Any attempt to draw K

3,3

in the plane with no edges crossing is doomed. We now

show why. In any planar representation of K

3,3

, the vertices v

1

and v

2

must be connected to both

v

4

and v

5

. These four edges form a closed curve that splits the plane into two regions, R

1

and

R

2

, as shown in Figure 7(a). The vertex v

3

is in either R

1

or R

2

. When v

3

is in R

2

, the inside

of the closed curve, the edges between v

and v

and between v

and v

separate R

into two

subregions, R

21

and R

22

, as shown in Figure 7(b).

v1 v2

v6

v3

v5

v4

FIGURE 6

The Graph K

3,3

.

v1
v4
v5
v2
v1
v4
v5
v2

v3

R2 R1 R1

R21

(a) (b)

R22

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Bài tập

Năm tới, Dr Chunner và Dr Dodder định đi thăm đảo Mianda. Các
địa điểm hấp dẫn và đường đi nối giữa chúng được biểu diễn bởi
đồ thị có danh sách kề là

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 1 0 3 0 1 0 1

3 2 3 2 5 4 5 2 3

5 6 7 4 6 7 6 5

7 8 8 8 8 7

▶ Liệu họ có thể tìm đường đi trên đảo để thăm mỗi địa điểm
đúng một lần và trở về vị trí xuất phát?

▶ Liệu họ có thể tìm cách để đi hết các con đường, mỗi đường

đúng một lần; địa điểm bắt đầu và kết thúc có thể khác nhau?

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Cây

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Tài liệu tham khảo

▶ Norman L. Biggs, Discrete Mathematics, Oxford University
Press, 2002.

▶ L. Lovász, J. Pelikán, K. Vesztergombi, Discrete Mathematics:

Elementary and Beyond, Springer-Verlag New York, 2003.

▶ K. H. Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học.

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

Nội dung

Một số tính chất của cây

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

Định nghĩa

Ta nói rằng đồ thị T là mộtcây nếu nó có hai tính chất:
(T1) T liên thơng;

(T2) T khơng có chu trình.

Ví dụ

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

Các cây với 1, 2 hoặc 3 đỉnh

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

Có hai cây với 4 đỉnh

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

Có ba cây với 5 đỉnh

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

Bài tập

Ta biết rằng có sáu cây (đơi một khơng đẳng cấu) với sáu đỉnh;
hãy vẽ chúng.

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

Mệnh đề

Nếu T = (V, E) là một cây với ít nhất hai đỉnh, thì với mỗi cặp
đỉnh x, y có duy nhất một đường đi từ x tới y.

Chứng minh.

Vì T liên thơng nên có đường đi từ x tới y. Nếu có đường đi khác
từ x tới y, vậy thì ta có chu trình

x

y

Mâu thuẫn với định nghĩa của cây.

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Bài tập

Hãy chứng minh rằng tính chất:

(T3) với mỗi cặp đỉnh x, y có duy nhất một đường đi từ x tới y;

kéo theo cả hai tính chất:
(T1) T liên thơng; và

(T2) T khơng có chu trình.

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

Mệnh đề

Nếu T = (V, E) là một cây với ít nhất hai đỉnh, thì đồ thị thu
được từ T bằng cách xóa đi một cạnh bất kỳ sẽ có hai thành phần
liên thông, mỗi thành phần là một cây.

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

Mệnh đề

Nếu T = (V, E) là một cây thì|E| = |V| − 1.

2 3 4

5 6 7 8

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

Chứng minh bằng quy nạp mạnh

Đặt P(n) = “Cây với n đỉnh có n− 1 cạnh”

Bước cơ sở:P(1) đúng. Tại sao?

Bước quy nạp:Giả sử P(1),· · · , P(k) đều đúng để chứng minh

P(k + 1).

▶ Xét T là cây với |V| = k + 1 và xét uv là một cạnh của T.

▶ Xóa cạnh uv khỏi T ta được hai cây T1 = (V1, E1) và

T2 = (V2, E2), ta có

|V1| + |V2| = |V|, |E1| + |E2| = |E| − 1.

▶ Áp dụng giả thiết quy nạp ta được

|E| = |E1| + |E2| + 1

= (|V1| − 1) + (|V2| − 1) + 1
=|V| − 1.

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

Định lý

Nếu T = (V, E) là một cây với ít nhất hai đỉnh, vậy thì:

(T3) với mỗi cặp đỉnh x, y có duy nhất một đường đi từ x tới y;

(T4) đồ thị thu được từ T bằng cách xóa đi một cạnh bất kỳ sẽ có
hai thành phần liên thơng, mỗi thành phần là một cây;

(T5) |E| = |V| − 1.

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

Bài tập

Xét cây T = (V, E) với|V| ≥ 2. Hãy chứng minh rằng T có ít nhất
hai đỉnh bậc 1.

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

Bài tập

Xét T = (V, E) là cây với |V| ≥ 2. Hãy dùng tính chất
(T5) |E| = |V| − 1;

để chứng minh rằng T có ít nhất hai đỉnh bậc 1.

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

Bài tập

Ta nói rằng đồ thị F là mộtrừng nếu nó có tính chất:
(T2) F khơng có chu trình.

Hãy chứng minh rằng nếu F = (V, E) là một rừng với c thành
phần liên thơng thì

|E| = |V| − c.

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

Định lý

Xét đồ thị T = (V, E). Các khẳng định sau đây là tương đương
nhau:

1. T là cây;

2. T không chứa chu trình và|E| = |V| − 1;

3. T liên thơng và |E| = |V| − 1;

4. T là đồ thị liên thơng, nhưng nếu xóa đi một cạnh bất kỳ thì

đồ thị thu được là khơng liên thơng;

5. Hai đỉnh khác nhau bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng
một đường;

6. T khơng chứa chu trình, nhưng nếu ta thêm một cạnh nối hai

đỉnh không kề nhau trong T thì đồ thị nhận được có đúng
một chu trình.

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

Bài tập

Hãy chứng minh định lý trước.

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

Nội dung

Một số tính chất của cây

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

Câu hỏi

Có bao nhiêu cây với n đỉnh?

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

Câu hỏi

Hai cây này có trùng nhau?

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

Cây gán nhãn

▶ Ta cố định các đỉnh của cây, mỗi đỉnh được gán một nhãn.

▶ Hai cây là giống nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng tập cạnh.

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

Ví dụ

Hốn đổi nhãn 2 và 4 của cây gán nhãn dưới đây cho ta một cây
gán nhãn khác.

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

Bài tập

Tìm số cây gán nhãn với 2, 3, 4, và 5 đỉnh?

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

Định lý (Cayley)

Số cây gán nhãn với n đỉnh là nn−2.

Trong phần còn lại của mục này, ta sẽ đi chứng minh định lý
Cayley.

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

Lưu trữ cây: dùng ma trận kề

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Mệnh đề

Số lượng cây gán nhãn với n đỉnh phải không nhiều hơn 2(n2−n)/2

.
Tại sao?

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

Lưu trữ cây: dùng danh sách cạnh

7 8 9 6 3 0 2 6 6

9 9 2 2 0 2 4 1 5

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

Mệnh đề

Số lượng cây gán nhãn với n đỉnh phải ít hơn 22n log2n.

Tại sao?

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

Lưu trữ cây: dùng Father code

▶ Cố định một đỉnh làm gốc (ví dụ đỉnh có nhãn nhỏ nhất).

▶ Liệt kê các cạnh giống như lưu trữ dùng danh sách cạnh (theo
hai dòng); tuy nhiên

▶ với mỗi cạnh, đỉnh ở dịng dưới ln là đỉnh gần gốc hơn (hay
cịn gọi là cha của) đỉnh ở dòng trên, và

▶ các đỉnh ở trên được sắp thứ tự.

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

Father code: Ví dụ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 0 0 2 6 2 9 9 2

Câu hỏi

Tại sao dòng đầu tiên lại là các
số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

Father code

▶ Nếu cây có n đỉnh thì dịng đầu tiên ln là 1, 2, . . . , n− 1.

▶ Tại sao số 0 khơng xuất hiện ở dịng đầu tiên?

▶ Vậy ta có thể xóa dịng đầu tiên.

▶ Father code là dòng thứ 2.

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

Bài tập

Xét các ”mã” sau:

1. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7);

2. (7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0);

3. (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0);

4. (2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3).

Những mã nào ở trên có thể là ”father codes” của cây?

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

Mệnh đề

Số lượng cây gán nhãn với n đỉnh phải không nhiều hơn nn−1.

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

Lưu trữ cây: dùng Prüfer code mở rộng

Thuật tốn tính Prüfer code mở rộng từ cây

1. Nếu cây khơng có cạnh nào thì thuật
tốn dừng.

2. Tìm đỉnh u có bậc 1 và có nhãn nhỏ nhất
khác 0.

3. Gọi cạnh có đầu mút u là{u, v}. Ghi ra uv.

4. Xóa đỉnh u và cạnh {u, v} khỏi cây.

5. Quay lại bước 1.

8.4 How to Store Trees 151

0
1
5 2
6 3
7
4

FIGURE 8.5. A tree reconstructed from its Prăufer code

How does the first row start? Remember that this is the node that we
delete in the first step; by the rule of constructing the Prăufer code, this is

the node with degree 1 with smallest label. Could this node be node 1? No,
because then we would have to delete it in the first step, and it could no
longer occur, but it does. By the same token, no number occurring in the
second row could be a leaf of the tree at the beginning. This rules out 2, 3,
and 4.

What about 5? It does not occur in the second row; does this mean that
it is a leaf of the original tree? The answer is yes; otherwise, 5 would have
been the father of some other node, and it would have been written in
the second row when this other node was deleted. Thus 5 was a leaf with
smallest label, and the first row of the extended Prăufer code must start
with 5.

Let’s try to figure out the next entry in the first row, which is, as we
know, the leaf with smallest label of the tree after 5 was deleted. The node
1 is still ruled out, since it occurs later in the second row ; but 2 does not
occur again, which means (by the same argument as before) that 2 was the
leaf with smallest label after 5 was deleted. Thus the second entry in the
first row is 2.

Similarly, the third entry must be 4, since all the smaller numbers either
occur later or have been used already. Continuing in a similar fashion, we
get that the full array must have been

5 2 4 6 7 3 1
2 4 0 3 3 1 0
This corresponds to the tree in Figure 8.5

Proof. [of Lemma 8.4.1] The considerations above are completely general,
and can be summed up as follows:

Each entry in the first row of the extended Prăufer code is the
smallest integer that does not occur in the first row before it,
nor in the second row below or after it.

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

Prüfer code mở rộng

1 3 4 5 6 7 8 9 2

6 0 2 6 2 9 9 2 0

Câu hỏi

Tại sao vị trí cuối ở hàng dưới
luôn là 0?

</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

Bổ đề

Hàng đầu tiên của một Prüfer code mở rộng có thể tính được từ
hàng thứ hai.

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

Ví dụ

Giả sử ta có một Prüfer code mở rộng cịn thiếu hàng trên như sau:

x1

2 4 0 3 3 1 0

Đỉnh x1 phải thỏa mãn ba điều kiện:

1. x1∈ {0, 1, . . . , 7}. Tại sao?

2. x1 là đỉnh bậc 1, có nhãn nhỏ nhất khác 0.

3. khi xây dựng dãy từ cây, x1 bị xóa khỏi cây ở bước đầu tiên.

Điều kiện 3 chỉ ra rằng x1 sẽ không xuất hiện trong hàng 2. Tại
sao? Từ điều kiện 2, ta được x1 = 5. Tại sao?

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

Ví dụ

Tiếp tục ví dụ trước, bây giờ ta có:

5 x2

2 4 0 3 3 1 0

Đỉnh x2 phải thỏa mãn ba điều kiện:

1. x2∈ {0, 1, . . . , 7}. Tại sao?

2. x2 là đỉnh bậc 1, có nhãn nhỏ nhất khác 0 và 5.

3. khi xây dựng dãy từ cây, x2 bị xóa khỏi cây ở bước thứ hai.

Vậy x2 = 2.

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

Bài tập

Hãy hoàn thành nốt hàng trên của Prüfer code mở rộng sau

5 2

2 4 0 3 3 1 0

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

Khẳng định

Mỗi phần tử ở hàng đầu tiên của Prüfer code mở rộng là số
nguyên nhỏ nhất thỏa mãn:

▶ ở hàng đầu tiên, số này khơng xuất hiện trước nó;

▶ ở hàng thứ hai, số này khơng xuất hiện ở dưới nó hoặc phía
sau nó.

Ví dụ

1 3/ 4/ ?

6 0 2 6/ 2/ 9/ 9/ 2/ 0/

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

Prüfer code

▶ Ta khơng cần lưu trữ tồn bộ Prüfer code mở rộng, mà

▶ ta chỉ cần lưu tữ dãy gồm n− 2 phần tử củahàng thứ hai.

▶ Dãy này gọi làPrüfer code của cây.

▶ Vậy thì, Prüfer code là một dãy số độ dài n− 2, với mỗi phần
tử của nó là một số nguyên từ 0 đến n− 1.

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

Bổ đề

Mọi dãy có độ dài n− 2 gồm các số nguyên giữa 0 và n − 1 đều là
Prüfer code của một cây n đỉnh nào đó.

Ta đã hồn thành chứng minh định lý sau chưa?

Định lý (Cayley)

Số cây gán nhãn với n đỉnh là nn−2.

</div>
(176)<div class='page_container' data-page=176>

Bài tập (Lập trình)

Viết chương trình nhập vào một dãy là mã Prüfer của một cây và
in ra cây đó. Bạn có thể hiện cây ở dạng danh sách cạnh, hoặc sử
dụng công cụ Graphviz để vẽ tự động.

</div>
(177)<div class='page_container' data-page=177>

Cài đặt Prufer Code

1. Version 1

2. Version 2

3. Version 3

</div>
(178)<div class='page_container' data-page=178>

Tô

màu

đỉnh của đồ thị

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

</div>
(179)<div class='page_container' data-page=179>

Tài liệu tham khảo

▶ Norman L. Biggs, Discrete Mathematics, Oxford University
Press, 2002.

</div>
(180)<div class='page_container' data-page=180>

Nội dung

Định nghĩa và ví dụ

Thuật tốn tham lam tơ màu đỉnh

Đồ thị hai phần

</div>
(181)<div class='page_container' data-page=181>

Ví dụ

Trường BK muốn xếp giờ học cho sáu môn học v1, v2, v3, v4, v5, v6
biết rằng có một vài sinh viên học các môn :

v1 và v2, v1 và v4, v3 và v5, v2 và v6,

v4 và v5, v5 và v6, v1 và v6.

v1

v2

v3

v4

v5

v6

</div>
(182)<div class='page_container' data-page=182>

Xếp lịch học

v1

v2

v3

v4
v5

v6

Tiết 1 Tiết 2 Tiết 3 Tiết 4

v1 và v3 v2 và v4 v5 v6

</div>
(183)<div class='page_container' data-page=183>

Xếp lịch học

▶ Ta tìm cách phân hoạch tập đỉnh thành 4 phần sao cho khơng
phần nào chứa cặp đỉnh kề nhau.

▶ Một cách hình thức, đây là một hàm

c : {v1, v2, v3, v4, v5, v6} −→ {1, 2, 3, 4}
gán mỗi đỉnh với một giờ học.

▶ Không mất tổng quát ta dùng các số nguyên dương cho các
màu.

</div>
(184)<div class='page_container' data-page=184>

Định nghĩa

Một cáchtô màuđỉnh của đồ thị G = (V, E) là một hàm

c : V−→ N

thỏa mãn tính chất : Nếu{x, y} ∈ E thì c(x) ̸= c(y).

v1

v2

v3

v4

v5

v6

</div>
(185)<div class='page_container' data-page=185>

Định nghĩa

Sắc sốcủa đồ thị G, ký hiệu là χ(G), là số ngun k nhỏ nhất

thỏa mãn có một cách tơ màu G dùng k màu.

Nói cách khác, χ(G) = k nếu và chỉ nếu có một cách tơ màu c từ

V tới tập {1, 2, . . . , k}, và k là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn tính

chất này.

Ví dụ

Tìm sắc số của đồ thị

v1

v2

v3

v4

v5
v6

</div>
(186)<div class='page_container' data-page=186>

Tìm số màu

Để chứng minh rằngsắc số của một đồ thị là k thì ta phải:

1. tìm một cách tơ màu dùng k màu;

2. chứng minh rằng khơng có cách tơ màu nào dùng ít hơn k
màu.

</div>
(187)<div class='page_container' data-page=187>

Bài tập

Tìm sắc số của các đồ thị sau:
(i) đồ thị đầy đủ Kn;

(ii) đồ thị vòng C2r;
(iii) đồ thị vòng C2r+1;

</div>
(188)<div class='page_container' data-page=188>

Bài tập

Tìm sắc số của các đồ thị sau:

</div>
(189)<div class='page_container' data-page=189>

Bài tập

Hãy mô tả tất cả các đồ thị G có χ(G) = 1.

</div>
(190)<div class='page_container' data-page=190>

Nội dung

Định nghĩa và ví dụ

Thuật tốn tham lam tơ màu đỉnh

Đồ thị hai phần

</div>
(191)<div class='page_container' data-page=191>

Bài toán

Cho đồ thị G. Hãy tìm χ(G).

là bài tốn khó. Người ta chưa biết thuật tốn “nhanh” nào để
giải nó, và hầu hết mọi người đều tin rằng khơng có thuật tốn
như vậy.

</div>
(192)<div class='page_container' data-page=192>

Thuật toán tham lam

1. Sắp thứ tự các đỉnh theo thứ tự nào đó: v1, v2,· · · , vn.

2. for i = 1, 2, . . . , n :

3. Gán màuhợp lệ nhỏ nhất cho vi.

</div>
(193)<div class='page_container' data-page=193>

Bài tập

Dùng thuật tốn tham lam để tơ màu đồ thị sau:

v1

v2

v3

v4
v5

v6

</div>
(194)<div class='page_container' data-page=194>

Bài tập

Tìm một cách sắp thứ tự các đỉnh để thuật tốn tham lam tơ màu
đồ thị sau dùng ít màu nhất có thể.

</div>
(195)<div class='page_container' data-page=195>

Bài tập

Tìm một cách sắp thứ tự các đỉnh để thuật tốn tham lam tơ màu
đồ thị sau dùng ít màu nhất có thể.

</div>
(196)<div class='page_container' data-page=196>

Mệnh đề

Nếu mọi đỉnh trong G đều có bậc≤ k, thì thuật tốn tham lam

dùng nhiều nhất k + 1 màu.

Thử chứng minh bằng quy nạp theo k

Đặt P(k) = “nếu mọi đỉnh trong G đều có bậc≤ k thì thuật tốn
tham lam dùng nhiều nhất k + 1 màu”

Bước cơ sở : P(0) đúng. Tại sao?

Bước quy nạp : Giả sử P(k) đúng để chứng minh P(k + 1) !!!

</div>
(197)<div class='page_container' data-page=197>

Chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh

Đặt P(n) = “Đồ thị G vớin đỉnh và bậc mọi đỉnh trong G đều

≤ k thì thuật tốn tham lam dùng nhiều nhất k + 1 màu.”

Bước cơ sở : P(1) đúng vì G khơng có cạnh nào.

Bước quy nạp : Giả sử P(n) đúng để chứng minh P(n + 1).

▶ Xét G là đồ thị bất kỳ với n + 1 đỉnh và có bậc lớn nhất≤ k.

▶ Sắp xếp các đỉnh theo thứ tự nào đó: v1, v2, . . . , vn, vn+1.

▶ Xóa đỉnh vn+1 khỏi G ta thu được đồ thị G′.

▶ Đồ thị G′ cũng có bậc lớn nhất ≤ k. Tại sao?

▶ Theo quy nạp, thuật tốn tham lam tơ màu G′ dùng nhiều
nhất k + 1 màu.

</div>
(198)<div class='page_container' data-page=198>

Chứng minh (tiếp)

vn+1

u1

u2

..
.

uℓ

vn+1 có ℓ≤ k hàng xóm

▶ Thêm đỉnh vn+1 và các cạnh liên quan vào lại G′ để được G.

▶ Đỉnh vn+1 có≤ k hàng xóm. Tại sao?

▶ Vậy tồn tại một màu hợp lệ trong {1, 2, . . . , k + 1} để tơ cho

vn+1.

▶ Vậy thuật tốn tham lam tô màu G dùng không quá k + 1

màu.

3

</div>
(199)<div class='page_container' data-page=199>

Bài tập

Một đồ thị cóđộ rộng k− 1 nếu các đỉnh có nó có thể được sắp

xếp thành dãy

v1, v2,· · · , vn

sao cho mỗi đỉnh vi có cạnh nối với nhiều nhất k− 1 đỉnh đứng

trước nó.

Hãy dùng quy nạp để chứng minh rằng mọi đồ thị với độ rộng nhỏ
hơn hoặc bằng k− 1 đều có thể tơ bằng k màu.

</div>
(200)<div class='page_container' data-page=200>

Mệnh đề

Cho G là đồ thị với mọi đỉnh đều có bậc≤ k. Nếu G liên thơng và
khơngchính quy, vậy thì χ(G)≤ k.

Hình:Đồ thị này có độ rộng 2. Tại sao?

</div>

Toán rời rạc | Tài liệu, cơ sở ngành CNTT

Phương pháp chứng minh

Tài liệu tham khảo

Nội dung

3

7

Khẳng định không phải mệnh đề

✓

✓

✓

✓

✓

7

3

7

?

3

7

Phương pháp tiên đề

Một số thuật ngữ cho mệnh đề

Hệ tiên đề của chúng ta

Suy luận logic

Không phải luật

7

3

7

Nội dung

Chứng minh mệnh đề “Nếu ... thì”

Chứng minh bằng phản đảo

Chứng minh mệnh đề “Nếu và chỉ nếu”

Chứng minh bằng cách chia trường hợp

Chứng minh bằng cách chia trường hợp

3

3

Chứng minh phản chứng

7

Nội dung

7

Chứng minh dùng STTT

7

7

Quy nạp

Tài liệu tham khảo

Nội dung

Nguyên lý quy nạp

27

26

25

24

23

22

<sub>21</sub>

20

<sub>191817</sub>

161514

<sub>13</sub>

<sub>12</sub>

11

10

<sub>9</sub>

8

7

6

5

4

3

2

1

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ chứng minh sai

Bài tập

Ví dụ lát gạch

<b>2.6 Courtyard Tiling</b>

Induction I

31

<b>2.6 Courtyard Tiling</b>

Induction served purely as a proof technique in the preceding examples. But induction

sometimes can serve as a more general reasoning tool.

MIT recently constructed a new computer science building. As the project went further