Đề cương ôn tập Toán học kì II

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II. A. ĐẠI SỐ: I. BẤT ĐẲNG THỨC: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( BĐT Cô – si): Cho a, b là hai số thực: ab  ab  a,b  0 Đẳng thức: xảy ra a=b 2 Bài tập: 1 1. CMR: a   2 a  0 a 2. Cho a, b, c >0. CMR: a b c 1 1 1 a)    3 b) (a  b  c)(   )  9 b c a a b c a b 3. CMR:   2 a, b  0 b a 1 1 4. CMR: (a  b)(  )  4 a, b  0 b a 1 5. CMR: a 2b   2a a, b  0 b 6. CMR: (a  b)(b  c)(a  c) a, b, c  0 a b c 1 1 1      a, b, c  0 bc ac ab a b c 1 1 1 8. CMR: (a  )(b  )(c  )  8 a, b, c  0 a b c II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH: 1) Nhị thức bậc nhất: x – –b/a + ax + b Trái dấu a 0 cùng dấu a 2) Tam thức bậc hai: * f(x) = ax 2  bx  c cùng dấu với a nếu ax 2  bx  c  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép * ax 2  bx  c  0 có hai nhiệm phân biệt x1 x2 thì x – x1 x2 + 2 cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 cùng dấu a ax  bx  c Bài tập: 1. Giải các bất phương trình sau: a) x 2  x  1  0 ĐS: T = (–  ; +  ) 2 b) x  4  4 x ĐS: T=  2 c) 5 x  2 x  7  0 ĐS: T = (–  ; -1]  [7/5; +  ) 2 d) (3x – 1)( x  3 x  10 )>0 ĐS: T = (–5; 1/3)  (2; +  ) 2 (3  x)( x  x  2) e) ĐS: T = (–3/5; 1)  [3; +  ) 0 5 x 2  2 x  3 3 x 2  5 x  3 1  0 …ĐS: T = (2/3; +  )  x 1 f) HD: Bpt  3x  2 3x  2 x2  4x  4 8 x  0 … ĐS: T = (2; +  ) g) x – 2 > HD: Bpt  x2 x2. 7. CMR:. Trang Lop10.com. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II h) 3  x  2. ĐS: T = (–  ;–7/3)  (2/3; 1). 3x  2. 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = x 2  8 x  15 HD: hs xác định khi x 2  8 x  15  0… b) y =. 3x. ĐS: D = (–  ; 3]  [5; +  ). HD: hs xác định khi  x 2  x  6 > 0…. x  x  6 2. ĐS: D = (–2; 3). III. THỐNG KÊ 1. Thời gian hoàn thành một sản phẩm của môt nhóm công nhân: Thời gian 42 44 45 48 50 54 Cộng (phút) Tần số 4 5 20 10 8 3 50 Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số trên ĐS: x  46, 6 ; Me = 45; Mo = 45; Độ lệch chuẩn : Sx  3; Phương sai: S x2  8,9 2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán của lớp 10A: Lớp điểm thi Tần số [0 , 2) 2 [2 , 4) 4 [4 , 6) 12 [6 , 8) 28 [8 , 10] 4 Cộng 50 a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) ĐS: x  6,1 ; S x2  3,2; Sx  1,8 b) Lập bảng phân bố tần suất c)Vẽ biểu đồ hình cột, hình quạt và đường gấp khúc mô tả tần suất 3. Để khảo sát kết quả thi môn toán trong kỳ tuyển thi đại học vừa qua của trường A người điều tra chọn một mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó . Điểm môn toán thang điểm 10 của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau: Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số. 1. 2. 3. 5. 8. 13. 19. 24. 14. a/ Tìm mốt b/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) c/ Tìm số trung vị d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) 4.Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp như sau: Lớp Tần Số Tần Suất [160;162] 6 16,7% [163;165] 12 33,3% [166; * ] ** 27,8% [169;171] [172;174]. 5 3 N =36. a/ Hãy điền số thích hợp vào dấu * b/ tìm các giá trị đại diện của các lớp c/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) Trang Lop10.com. 2. *** 8,3% 100%. 10. 2. N= 100.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II IV. LƯỢNG GIÁC 1. Các công thức lượng giác cơ bản:. 1  cot x  t anx t anx.cotx  1    tan x  1  cot x 1  2 cot x  1  1  sin 2 x 2 1  cot x   (sinx  0) 1 sin 2 x  2 sin x  1  cot 2 x . sin 2 x  1  cos 2 x 2 2 sin x  cos x  1   2 2 cos x  1  sin x. 1  2 tan x  1  1  cos 2 x 2 1  tan x   (cos x  0) 1 cos 2 x  2 cos x  1  tan 2 x  2. Chú ý: 1) 2). cos( +k2 )=cos sin( +k2 )=sin 1  cos  1,  1  sin   1, . 3. Công thức cộng: *cos(    ) =cos  cos   sin  sin  * tan(  +  ) =. *sin(    ) =sin  cos   sin  cos . tan   tan  1  tan  . tan . * tan(  -  ) =. 4. CT nhân đôi : *cos2  = cos2  -sin2  =2cos2  -1. =1 - 2sin2  * sin2  = 2sin  cos . * tan2  =. 2 tan  1  tan 2 . 5. công thức hạ bậc:. 1  cos 2 x ; 2 6. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 *cos cos= [cos( +) + cos( -) ] 2 1 *sin sin= [cos( +) - cos( -)] 2 7. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin 2 x . xy xy cos 2 2 xy xy cos x  cos y  2 sin sin 2 2 cos x  cos y  2 cos. ; ;. tan   tan  1  tan  . tan . (Với tan2  ; tan  ) có nghĩa.. 1  cos 2 x ; 2. tan 2 x . *sin cos=. 1 [sin( +) + sin( -)] 2. cos 2 x . 1  cos 2 x 1  cos2 x. xy xy cos 2 2 xy xy sin x  sin y  2 cos sin 2 2. sin x  sin y  2 sin. Bài tập: 3 và 0     . Tính cos  , tan  , cot  , sin2  . 2 5 ĐS: cos  = 4/5, tan  = ¾, cot  = 4/3, sin2  = 24/25 3  2.Cho cos  =  và     . Tính sin  , cot  , cos2  . 5 2 ĐS: sin  = 4/5, cot  = –3/4, cos2  = –7/25. 1.Cho sin  =. Trang Lop10.com. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II 3 3.Cho tan  = 2 và     . Tính cot  , sin  . 2 ĐS: cot  = ½, sin  = – 2 4. Cho cot  = –3 và. 3    2 . Tính tan  , cos  . 2. 5 5. ĐS: tan  = –1/3, cos  = 3 10 5. Tính các GTLG của góc  biết : cos   .      2 . 8 17. 10. 5  1 cos5x  cosx .sinx ; B= 4sinx .sin2x . sin3x; C = sin 24 . cos 4 2 7* Biến đôi thành tích : M = sin 2x – sin 4x + sin 6x . 1 1 8* Chứng minh rằng:  2. 6*. Tính : A  4.. sin. . 10. sin. 3 10. 9*. Chứng minh đẳng thức : cos(a  b) cot a. cot b  1  a) cos(a  b) cot a. cot b  1 *HD: +BĐ vế phải +Đưa cot về sin ; cos b) sin(a+b).sin(a-b)= sin 2 a  sin 2 b  cos 2 b  cos 2 a *HD: +BĐVT theo CT cộng +sử dụng hđt (a-b).(a+b) 10. Tính sin 2a ; cos 2a ; tan 2a biết : a) sina = -0,6 &   a . 3 3 a ; b)sina + cosa = -5/9 & 2 4. *HD:a) + Tính cosa + Tính sin 2a ; tan 2a theo CT nhân đôi . b) + Bình phương 2 vế đẳng thức đã cho +Tìm được sin 2a ; cos 2a ; tan 2a . sin x  sin 3 x  sin 5 x cos x  cos 3 x  cos 5 x Từ kết quả tìm được hãy tính giá trị của A biết cot 3x = -5/7 *HD :+BĐ tử & mẩu thành tích +Đưa về tan 3x + Tính A theo cot 3x 1  sin 2  cos 2  tan  ( Khi các biếu thức có nghĩa) 12 *Chứng minh rằng: 1  sin 2  cos 2. 11*. Rút gọn biểu thức :. A=. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Trang Lop10.com. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II. B. HÌNH HỌC: I. TÍCH VÔ HƯỜNG CỦA HAI VECTƠ VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC - GIẢI TAM GIÁC:. a.b  a b cos  với  = ( a; b ). 1.Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ :. a . a = a 2 = ( a )2 = | a | 2 3.Biểu thức tọa độ : Cho a =(a1, a2) ; b =(b1,b2) . Khi đĩ: a . b = a1.b1+ a2.b2 2.Bình phương vô hướng hai vectơ : 2. 2. a1  a2   5. Góc tạo giữa hai vectơ: cos(a , b ) . 4.Độ dài của vectơ: | a |=. *. ab. a1b1  a2b2 a  b . a2  b2 2 1. 2 1. 2. 2.   (a  o , b  o). <=> a1.b1+ a2.b2 = 0.  6. Khoảng cách giữa hai điểm: Cho A( xA; yA) ; B(xB;yB) Khi đó AB = AB  AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2. 7. Định lý côsin trong tam giác :  ABC có AB= c, BC=a, AC =b a2 = b2 + c2 - 2 bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC b2  c2  a2 ; 2bc 9. Công thức trung tuyến. * cos A . 8. HQ:. * cos B . a2  c2  b2 ; 2ac. * cos C . a2  b2  c2 2ab. a2  c2 b2 a2  b2 c2 ;  mc2   2 4 2 4 a b c   10.Định lý sin trong tam giác: = 2R (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) sin A sin B sin C 11.Công thức tính diện tích tam giác: A 1 1 1 S  a.ha  b.hb  c.hc c b 2 2 2 h 1 1 1 S  ab sin C  ac.sin B  bc sin A 2 2 2 C B H a abc S= 4R S = pr S = p ( p  a )( p  b)( p  c) (CT: Hê-rông) Bài tập:     1.Cho  ABC vuông cân có AB=AC =a . Tính các tích vô hướn AB. AC ; AC.CB ma2 . b2  c2 a2  ; 2 4. mb2 . a. 2. Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai a và b biết: a.) a =(2;-3).; b = (6;4). b) a .=(3;2) ; b =(5;-1)  0 3. Cho  ABC có AB = 5; AC = 8, A  60 . Tính BC. 4.  ABC a = 7; b = 24; c = 23. Tính góc A , B, C của tam giác ABC, tính độ dài trung tuyến ma 5. Cho tam giác ABC có Bˆ  200 ; Cˆ  310 và b= 210. Tính góc A , các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 6.Cho  ABC có a=13 , b= 14 ; c=15 .Tính S  ABC, R, r . 7. Cho  ABC biết a =17,4 B = 44030’, C =640 . Tính góc A và các cạnh b , c . a sin B a sin C  12.9 ; c=  16.5 ĐS: A = 71031’ b= sin A sin A 8. Cho  ABC biết a =49.4, b = 26.4 , C =470 20’ . Tính góc A , B và cạnh c Trang 5 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II *HD: Theo định lí cosin ta có :. b2  c2  a 2  -0.1913  A  10102’ ; B  1800 –(10102’ +470 20’)  31038’ 2bc 9. Cho  ABC có a=24 b= 13 c=15 .Tính các góc A,B,C c2 = a2 +b2 -2abcosC.  1369.58  c  37.0; cosA =. *HD: Theo hệ quả của định lí cosin tacó. b2  c2  a 2 a b bsin A  -0.4667  A  117049’ Vì  0.4791vì AC ngắn nhất nên B = nên sinB = 2bc sin A sin B a 10. Giải  ABC vuông tại A, biết a= 72, B= 580 . Tính đường cao ha,. A = 320 ; b = asinB = 72 . sịn580 ; c = a isnC = 72.sin320  38,15; ha = b.c  32,36 ; C  33033’ A = 900 - B *HD: C a 11. Cho  ABC, biết a= 50,1; b= 85 ; c = 5442, Tính góc A, B,C. cosA =. nhọn B.  28038’. *HD: Theo đl côsin ta có. b2  c2  a 2 7225  2916  2714, 41   0,8090  A = 360 2bc 2.85.54 b2  c2  a 2 A  3732’ CosB =  -0,2834  B  1060 28’ ; C 2bc 12. Giải  ABC. Biết A=1200 b= 8, c =5 . Tính góc B,C và cạnh a. cos A . *HD: Theo đl côsin ta có a2 = b2 +c2 -2bc cosA= 126 CosB =. . a. . 11,36. b c a  0,79  B  370 48’ 2bc 2. 2. 2. & C.  220 12’. 3 . Tính a, sinA và SABC, ha, R. 5 4 1 2S 7 2 5 2 2  ;R  (ĐS: a  4 2cm;sin A  ; S ABC  bc sin A  14cm ; ha  ) 5 2 a 2 2 14. Cho  ABC. Biết A=600, b = 8cm, c = 5cm. Tính a, sinA và SABC, ha, R. 10 3 7 3 2 cm; R  (ĐS: a  7cm; S ABC  10 3cm ; ha  ) 7 3 15. Cho  ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm. Tính SABC, ha, r, ma. 2 (ĐS: S ABC  84cm ; ha  8cm; r  3,5cm; ma  9,18cm)   16. Cho  ABC, biết b = 14cm, c = 10cm, A= 1450. Tính a, B; C   ( HD : a  23; B  200 ; C  140 )    17.Cho  ABC, biết a = 4cm, b = 5cm, c = 7cm. Tính . A; B; C    ( HD : A  340 ; B  440 ; C  1010 ) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN, ELIP, KHOẢNG CÁCH… VÀ GÓC…, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI…   x  x 0  u1 t   đi qua M(x0; y0) và có VTCP u = (u1; u2), PTTS là :   y  y0  u 2 t    đi qua M(x0; y0) và có VTPT n = (a; b), PTTQ là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0  Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R, PTCT: (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 13. Cho  ABC có b=7cm, c = 5cm và cos A . Dạng khai triển(PTTQ) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 có tâm I(a; b), bán kính R = a 2  b 2  c a 2  c 2  b 2 x2 y 2 2 2 2  Đường elip: 2  2  1, c  a  b   2 có trục lớn A1A2 = 2a, trục nhỏ B1B2 = 2b, tiêu cự F1F2 2 2 a b b  a  c = 2c, các tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0); Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b), tâm sai: e  Trang Lop10.com. 6. c 1 a.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN HK II  Khoảng cách từ M(x0; y0) đến  : ax + by + c = 0 là: d ( M , ) . | ax0 by0  c |.  Góc giữa 1 : a1 x  b1 y  c1  0 và  2 : a2 x  b2 y  c2  0 là: cos  . a 2  b2 | a1.a2  b1.b2 | a12  b12 . a22  b22. a x  b1 y  c1  0 (1 )  Hệ  1 a2 x  b2 y  c2  0 ( 2 ) + Có nghiệm duy nhất (. a1 b1  ) là (x0; y0) thì 1 cắt  2 tại (x0; y0) a2 b2. +Vô nghiệm ( a1  b1  c1 ) thì 1 //  2 a2. b2. c2. +Vô số nghiệm ( a1  b1  c1 ) thì 1 trùng với  2 a2. b2. c2. Bài tập: 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(-3;1) và C(2;-1). a)Viết PTTQ của đường thẳng AB ĐS: x  y  4  0 b) Viết PT TQ của đường cao CH ĐS: x  y  1  0 c) Viết PT TS của đường thẳng BC ĐS: x = –3+5t, y = 1–2t d) Viết PT TS của đường cao AK ĐS: x = –1+2t, y = 3+5t c) Viết phương trình tròn đương kính AB ĐS: (x + 2)2 + (y –2)2 = 2 d)Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua C ĐS: (x +3)2 + (y –1)2 = 29 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  : 3 x  4 y  1  0 a)Tính khoảng cách từ I(2;5) đến đường thẳng  . ĐS: d ( I ;  )  3 b)Viết phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng  ĐS: x  2   y  5  9  3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua N(2;-1) và có vectơ chỉ phương u  (3; 2) ĐS: 2 x  3 y  1  0 4. Tính góc giữa hai đường thẳng sau: d1 : 2 x  5 y  1  0 và d 2 : 3 x  y  5  0 ĐS: 86038’ 2. 2. 5. Cho 2 đường thẳng : 1 : 2 x  5 y  1  0 và  2 : 3 x  4 y  2  0 a) Chứng minh rằng:  1 và  2 cắt nhau.Tìm toạ độ giao điểm của  1 và  2. ĐS: (–6/7; –1/7). b)Viết phương trình tổng quát đường thẳng d đi qua điểm M(1;-3) và song song  1 ĐS: 2x–5y–17= 0 6. a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;-2) và bán kính R= 5. b)Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(0;2). ĐS: x  3   y  2   25 2. ĐS:. 2. 3x  4 y  8  0. 7. Cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  5  0 . Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ĐS: I(–2; 1), R = 10 2 2 8. Cho elip có phương trình: x  y  1 . Hãy xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các. 9. 4. đỉnh, tâm sai. 9. Viết phương trình chính tắc của (E) có đỉnh (-3,0) và tiêu điểm (1 , 0) 10. Viết phương trình chính tắc của (E) có trục lớn 10 và tiêu điểm ( 3 , 0). Trang Lop10.com. 7. 2 2 ĐS: x  y  1. 9 8 2 2 x y ĐS:  1 25 16.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>