Bài giảng Đề thi HS giỏi huyện

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN MINH
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2010 – 2011
Môn Toán. Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2 điểm)
Cho biÓu thøc:
P =
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
x
x x x x
   
−
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
a/ Rót gän P
b/ TÝnh gÝa trÞ cña x ®Ó P = -1
Bài 2 : (1 điểm)
Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
( )
2
1
3
a b c ab bc ca a b c
+ + + ≥ + + + + +

Bài 3 : (2 điểm)
Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình:
3x
2

+10 xy + 8y
2
=96
Bài 4: (2 điểm)
Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho ba đường thẳng (d); (d
1
) và (d
2
) lần
lượt có phương trình là: y = x – 4; x + 2y = – 2 và y = –2x + 2
a/ Chứng minh rằng : Nếu các điểm thuộc (d) thì cách đều (d
1
) và (d
2
)
b/ Tính diện tích tam giác được tạo bởi (d
1
) , (d
2
) và trục Oy
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lầy điểm I trong tam giác sao cho
CBI
ˆ
= 15

0
;
BCI
ˆ
= 30
0
. Tam giác AIC là tam giác gì , hãy chứng minh.
HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN MINH
Đáp án, biểu điểm môn Toán học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
năm học 2010 – 2011
Bài 1: (2 điểm)
a/ Rót gän P (1,5®)
§iÒu kiÖn: a
≥
0 ; x
≠
4 vµ x
≠
9 (0,5®)
P =
:
)2)(2(
8)2(4
xx
xxx
−+
+−

)2(

)2(2)1(
−
−−−
xx
xx
(0,25®)
=
8 4 3
:
(2 )(2 ) ( 2)
x x x
x x x x
+ −
+ − −
(0,25®)
=
8 4 ( 2)
.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
+ −
+ − −
(0,25®)
=
4
3
x
x −
(0,25®)

b/ TÝnh gÝa trÞ cña x ®Ó P = -1 (0,5®)
P = -1
⇔
4x +
x
- 3 = 0 (0,25®)
⇔
(
x
+ 1) (4
x
- 3)= 0
⇔

x
=
3
4

⇔
x =
9
16
(0,25®)
Bài 2 : (1 điểm)
Ta có:
( )
2
0 2a b a b ab
− ≥ ⇒ + ≥

(0,25®)
Tương tự:
2a c ac
+ ≥


2b c bc
+ ≥

1 2a a
+ ≥
(0,25®)

1 2b b
+ ≥

1 2c c
+ ≥
(0,25®)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh.
( )
2
1
3
a b c ab bc ca a b c
+ + + ≥ + + + + +
(0,25®)
Bài 3 : (2 điểm)
Ta có: 3x
2

+ 10xy + 8y
2
= 96

⇔
3x
2
+ 4xy + 6xy + 8y
2
= 96

⇔
(3x
2
+ 6xy) + (4xy + 8y
2
) = 96 (0,25®)

⇔
3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

⇔
(x + 2y)(3x + 4y) = 96 (0,25®)

Do x, y nguyên dương nên : x + 2y; 3x + 4y nguyên dương và 3x + 4y > x + 2y
3
≥

Mà 96 = 2
5

. 3 có các ước là : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 được biểu diễn thành
tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 (0,25®)
Lại có : x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 ( là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẵn (0,25®)
Do đó ta giải các hệ phương trình sau:




=+
=+
2443
42
yx
yx
Hệ phương trình này vô nghiệm. (0,25®)

Hoặc



=+
=+
1643
62
yx
yx



=

=
⇒
1
4
y
x
(0,25®)
Hoặc



=+
=+
1243
82
yx
yx
Hệ phương trình này vô nghiệm (0,25®)
Vậy cặp số nguyên dương phải tìm là : x = 4, y = 1 (0,25®)
Bài 4: (2 điểm)
a/ * Gọi A là giao điểm của (d) và ( d
2
).
Vậy tọa độ của A là nghiệm của hệ :
4 2
2 2 2
y x x
y x y
= − =
 

⇔
 
= − + = −
 
Vậy A(2 ; – 2).Ta được:2 + 2.(– 2 )= – 2
=> A thuộc (d
1
).Vậy ba đường thẳng
(d); (d
1
) và (d
2
) đồng quy tại A.
(0,5®)
* Gọi B; D; và C lần lượt là giao
điểm của (d); (d
1
) và (d
2
) với trục Ox .
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox.
Ta được : B( 4; 0);C(–2; 0);D( 1; 0);
H ( 2; 0)=> BH = 2;HC = 4; BC = 6;
H
CD = BD =3; AH = 2. (0,25®)
* Áp dụng định lý Pi – Ta – Go và các
Tam giác vuông ADH và AHC
ta được :
AD 5;AC 20 2 5= = =
(0,25®)

* Xét tam giác ACD, ta được :
AC 2 5
2
AC BC
AD
5
AD BD
BC 6
2
BD 3

= =


⇒ =


= =


=> AB là phân giác góc ngoài của tam
giác ADC
Suy ra các điểm thuộc AB cách đều AD và AC hay các điểm thuộc (d) cách
đều (d
1
) và (d
2
). (Đpcm). (0,5®)
b/ Diện tích tam giác được tạo bởi (d
1

) , (d
2
) và trục Oy là
33.2.
2
1
=
(0,5®)
Bài 5: (3 điểm)
* Dựng tam giác đều BCD sao cho A và D nằm
cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
BC. ( 0,5 đ)

* Ta được :

0
000
000
15
ˆ
ˆ
154560
ˆˆˆ
154560
ˆˆˆ
==⇒






=−=−=
=−=−=
ACDABD
BCABCDACD
ABCCBDABD
( 0,5 đ)
* Xét ΔDAB và ΔDAC :
DB = DC
0
15
ˆ
ˆ
==
ACDABD
AB = AC
D
C
B
I
A
Suy ra : ΔDAB = ΔDAC =>
0
30
ˆ
2
1
ˆˆ
===
BDCCDABDA

( 0,5 đ )
* Xét ΔDBA và ΔCBI :
0
15
ˆˆ
==
IBCABD
DB = BC
0
30
ˆ
ˆ
==
ADBBCI

Suy ra : ΔDBA = ΔCBI =>AB = IA => ΔABI cân tại B (0,5 đ )
* Tam giác ABI cân tại B và
ICACAIBIAIABIBA
ˆ
15
ˆ
75
ˆ
ˆ
30
ˆ
000
==⇒==⇒=
Suy ra tam giác AIC cân tại I ( 1 đ )
-----------------------------------------

LƯU Ý:
- Các cách giải khác nếu đúng, được hưởng điểm tối đa của phần
đó.
- Điểm từng phần, điểm từng bài khi chấm không làm tròn.