Hướng dẫn Bài tập Đại số tuyến tính_ Chương 2: Hệ phương trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (591.5 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN

B. Đạo hàm và vi phân

Bài 1. Tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của

(1)

z f x y

 

, ln x x2y2 

 

Giải:

 

2 2



2 2



12 1



2 2



, ln ln ln

z f x y   x x y  x x y  x x y

 

 Tính đạo hàm riêng





2 2

2 2
'

2 2 2 2 2 2

1 1 1

. .

2 2 2.

x
x

x

x x y x y

z
z

x x x y x x y x y



  

    

     









'
2 2

2 2
'

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

. .

2 2 2. .

y
y

y

x x y

x y

z y

z

y x x y x x y x y x x y

  



   

       

 Tính vi phân tồn phần





' '

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

. .

2 2. .

.
2

x y

dz z dx z dy

y

dx dy

x y x y x x y

y

dx dy

x y x x y

 

   

 

 

   

    

Bài 2: Đạo hàm của hàm hợp

(1) Cho



2 2



ln ; . ; x y

z u v ux y ve 

. Tính

x

z

và

y

z

.

Giải:

' ' ' ' '

. . . .

x u x v x

z z u z v

z z u z v

x u x v x

    

    

    

' ' ' ' '

. . . .

y u y v y

z z u z v

z z u z v

y u y v y

    

    

    

Ta có:

' ' ' ' ' '

2 2 2 2

2 2

; ; ; ; x y; x y

u v x y x y

u v

z z u y u x v e v e
u v u v

 

     

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2





   

' ' ' ' '

2 2 2 2

2 2

2
2

2 2

. .

2 2

. .

. . .

2
.

x u x v x

x y

x y
x y

z z u z v

u v

y e

u v u v

u y v e
u v

xy e
x y e






 

 

 



 

   







   

' ' ' ' '

2 2 2 2

2 2

2
2
2

2 2

. .

2 2

. .

. . .

2
.

y u y v y

x y

x y
x y

z z u z v

u v

x e

u v u v

u x v e
u v

x y e
x y e






 

 

 



 

   



Bài 5: Tính dz biết z=z(x, y) là hàm ẩn xác định bởi:

(1)

arctanzz exy

Giải:

' '

. .

x y

dzz dxz dy

Ta có:

2
2

arctan

arctan 0

xy

z z e
z z e

 

   

Đặt





, , arctan xy

F x y z  zz e

' ' '

2 2

1 1 2z 2z

. ; . ; 2

1 1

xy xy

x x z

F y e F x e F z

z z

 

      

 









' '

' 3 ' 3

. . 1 . . 1

;

1 2z 2z 1 2z 2z

xy xy

y
x

x y

z z

y e z F x e z

F

z z

F F

 

     

   

















' '

2 2

3 3

2
3

. .

. . 1 . . 1

. .

1 2z 2z 1 2z 2z

. 1

. . .

1 2z 2z

x y

xy xy

xy

dz z dx z dy

y e z x e z

dx dy

e z

y dx x dy

  

 

 

   



 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3

Bài 7. Đạo hàm cấp cao

(3) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại (0; 1) của hàm số:

 

2 3

2 2

, x y

f x y e

x y



 



Giải:

 Đạo hàm riêng cấp 1:









' 2 3 ' 2 3

3 3

2 2 2 2 2 2

2. x y ; 3. x y

x y

f e f e

x y x y

 

   

 

 Đạo hàm riêng cấp 2:

 

















 

' 3 1

2 2 2 2 2 2 2

'' ' 2 3 2 3 '' 3

3 2 2 3

2 2 2

2. x y 4. x y 0;1 4 1

xx x x xx

x

x y x x y
x

f f e e f e

x y
x y

 

 

  

 

        



  

 

 













 

' '

'' ' 2 3 2 3 2 3 '' 3

3 3 5

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3

2. x y 6. x y . 6. x y 0;1 6

xy x y xy

y y

x xy

f f e e x e f e

x y x y x y

  

   

   

           

      

   

 

















 

' 3 1

2 2 2 2 2 2 2

'' ' 2 3 2 3 '' 3

3 2 2 3

2 2 2

3. x y 9. x y 0;1 9 2

yy y y yy

y

x y y x y

y

f f e e f e

x y

 

 

  

 

        



  

 

Vậy :

 

'' 3

0;1 4 1

0;1 6

0;1 9 2

xx

xy

yy

f e

  

 



  



Bài 8: Tính

d z

biết:

(1)

zx2.ln



xy



Giải:

Ta có:

2 '' 2 '' '' 2

. 2. . .

xx xy yy

d zz dx  z dxdyz dy

 Đạo hàm riêng cấp 1:





' 2 1 ' 2 1

2 .ln . ; .

x y

z x x y x z x
x y x y

   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4

 Đạo hàm riêng cấp 2:

 

























'
2
'

'' '

2
2
2

2 .ln

2 .
2

2.ln

3 4

2.ln

xx x x

x

x
z z x x y

x y

x x y x
x

x y

x y x y
x xy

x y

 

    



 

 

   

 



  



 













'
2
'

'' '

2 2

2 .ln

2 2

xy x y

y

x

z z x x y

x y

x x x xy

x y x y x y

 

    



 



  

  

 

2 '





'
'' '

yy y y

y

x x

z z

x y x y

 

    

 

 

Vậy

















2 '' 2 '' '' 2

2 2 2

2 2

2 2 2

. 2. . .

3 4 2

2.ln . 2. . .

xx xy yy

d z z dx z dxdy z dy

x xy x xy x

x y dx dxdy dy

x y x y x y

  

   

     

  

 

 

C. Dùng vi phân tính gần đúng





1.99





1.04 ln 1.02

D  

Giải:

Đặt









1
2

, , y ln y ln

f x y z  x  z  x  z

Ta có:

0 1; 0 2; 0 1

0.04; 0.01; 0.02

x y z

  

      

















0, 0, 0 x 0, 0, 0 . y 0, 0, 0 . z 0, 0, 0 .

D f x y z  f x y z  x f x y z  y f x y z z



0, 0, 0





1; 2;1



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5



 













 













 











1 1

' 2 2 1 '

1 1

' 2 2 '

1 1

' 2 2 '

1 1

ln . ln ln . . 1; 2;1 1

2 2

1 1

ln . ln ln . .ln 1; 2;1 0

2 2

1 1 1 1

ln . ln ln . 1; 2;1

2 2 2

y y y y

x x x

y y y y

y y y

y y y

z z z

f x z x z x z y x f

f x z x z x z x x f

f x z x z x z f

z

  

 

      

Vậy

1 1 0.04 0



0.01



1 0.02 1.05
2

D         

D. Cực trị của hàm nhiều biến

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm sau:

(2)

 

3 3

, 15

f x y x y  xy

Bước 1: Tìm điểm dừng

Xét hệ:

2 2 2

' 2

2 3

' 2 2

0 3 15 0 5 5 5 0 0

0 5 5

0 3 15 0

3 . 5 0

3. 15 0

5
25

x

y

x x x

y y y

f x y x y

x x y

x

f y x x

x
x

x

   

 

  

        

     

                

 

    

        

       



Hàm số có hai điểm dừng là:

M1

 

0; 0 ;M2

 

5;5

Bước 2:

'' '' ''

6 ; 15; 6

xx xy yy

A f  x B f  C f  y

 Tại điểm

M1

 

0;0

:

A0;B 15;C0
2

AC B

  

Vậy

M1

 

0;0

không phài là cực trị của hàm số.

 Tại điểm

M2

 

5;5

:

A30;B 15;C30

2
0
0

AC B

A

  

 



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

(2)

2 2

( , )

f x y x y

trên miền



2 2



D x y 

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số f(x, y) trên miền D mở.

0 2 0 0

2 0 0

x

y

f x x

y y

f

     

  

     

 



 

x y, (0; 0) D

  

là điểm dừng của hàm số f(x, y) và f(0; 0)=0

Bước 2: Tìm điểm dừng trên biên của miền D:



2 2



D x y

   

Đặt

 

2 2

, 9 0

x y x y

    













2 2



2 2



, , , . , . 9

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7

Xét hệ:









'
'

2 2 2 2

2 2

0
1

2 1 0

0 2 2 . 0

0 0 3

0 2 2 . 0 2 1 0

1 0 3

9 0 9 0

9 0

x

y

x

L x x

y x y

L y y y

y x

x y x y

L

x y








 



 
  


        

                 

         

 

          

 

    




Hàm số có 4 điểm dừng:

M1



0; 3 ;



M2



0;3 ;



M3



3; 0 ;



M4



3; 0



 

2 9

f M f M

   

và

f M

 

3  f M

 

4 9

Vậy

GTLN của f là:

fmax  f



3; 0



 f



3; 0



9

và GTNN là

fmin  f



0; 3



 f



0;  3



(3)

f x y

 

, xy

trên miền

2 2

8 2

x y
D   

 

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số z trên miền D mở

0 0

0
0

x

y

f y

x
f

   

 

  

 



 

x y, (0; 0) D

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

8

Bước 2: Tìm điểm dừng trên biên của miền D:

2 2

8 2

x y

D  

    

 

Đặt





2 2 1 0

8 2

x y
x y

    



, ,



 

, .

 

, . 2 2 1

8 2

x y
L x y   f x y   x y xy    

 

Xét hệ:

'
'

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

0 4 4 4

0 4

0 0

1 0

1 0 1 0 1 0

8 2

8 2 8 2 8 2

2
2
4

8 8

1 0

8 2

x

y

x x

x y y

y
L

x x x

L x y y y y

x y

L x y x y x y

x
y

x x
x

y

x y



 






  






  

           



    



    

            

    

     

       

        

   

   


 


 

 




   




  



2
2 2

2 2

2; 1

2 2

0 2

4 2; 1

2; 1

2
2

2 2; 1

2
2

2 4 2

1 0

8 8

x x

y y

x y
x

x x y

x y
x y
x

x

y
y

x
y

x
x

x x

 









    



  

      

 

      

  

    

 

  

      

  

     




  

   

    

       

  

  

   

     



   




Hàm số có 4 điểm dừng:

M1



2;1 ;



M2



2; 1 ;



M3



2; 1 ;



M4



 2; 1



 

2 2

f M f M

   

và

f M

 

3  f M

 

4 2
Vậy

GTLN của f là:

fmax  f

 

2; 1  f



  2; 1



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

9

(4)

z 1 xy x y

trên miền đóng D giới hạn bởi

yx

và và y=1.

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số z trên miền D mở

0 1 0 1

1 0 1

x

y

z y x

x y

z

      

  

     

  



 

x y, (1;1) D

  

là điểm dừng của hàm số z và z(1; 1) =0

Bước 2: Tìm điểm dừng trên biên của miền D.

: 1 1 0

1 1

y

AmB z x x

x



      

  


3 2

: 1

1 1

y x

AnB z x x x

x

 

    



  



1 (1; 1) 0

' 3x 2 1 0 1 1 1 32

( ; )

3 3 9 27

x z

z x

x z

  




      

   



Vậy GTLN của f là:

max

32
27

</div>

Hướng dẫn Bài tập Đại số tuyến tính_ Chương 2: Hệ phương trình

<b>1 </b>

<b>BÀI TẬP CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN </b>

<b>B. Đạo hàm và vi phân </b>

<b>Bài 1. Tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của </b>

(1)

 

<b>Giải: </b>

 









 Tính đạo hàm riêng













 Tính vi phân tồn phần





<b>Bài 2: Đạo hàm của hàm hợp </b>

(1) Cho





. Tính

và

.

<b>Giải: </b>

Ta có:

<b>2 </b>









<i><b>Bài 5: Tính dz biết z=z(x, y) là hàm ẩn xác định bởi: </b></i>

(1)

<b>Giải: </b>

Ta có:

Đặt

























<sub></sub>

<sub></sub>

<b>3 </b>

<b>Bài 7. Đạo hàm cấp cao </b>

(3) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại (0; 1) của hàm số:

 

<b>Giải: </b>

 Đạo hàm riêng cấp 1:









 Đạo hàm riêng cấp 2:

 

















 

 



