Đề GK CH2020-2022 – 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.31 KB, 1 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
<b>————-ĐỀ THI GIỮA KÌ</b>
<b>NĂM HỌC 2020-2021</b>
<b>——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng</b>
Mã mơn học:
<b>MAT...</b>
Số tín chỉ:
<b>3</b>
Đề số:
<b>2</b>
Dành cho sinh viên lớp:
<b>Cao học 20-22</b>
Ngành học:
<b>...</b>
Thời gian làm bài
<b>...</b>
(không kể thời gian phát đề)
<b>Câu 1.</b>
Tìm nghiệm giải tích của bài tốn Cauchy:
ux
(
x
,
y
) +
x
2uy
(
x
,
y
) =
u
(
x
,
y
)
trong
<b>R</b>
2,
u
(
0,
y
) =
cos
(
y
)
.
<b>Câu 2.</b>
Cho các hằng số
a
,
b
.
Xét phương trình
xuxx
(
x
,
t
)
−
x
3utt
(
x
,
t
)
−
aux
(
x
,
t
)
−
bxut
(
x
,
t
) =
x
2f
(
x
,
t
)
trong
x
>
0,
t
>
0.
(i) Xác định loại và chuyển về dạng chính tắc phương trình đã cho.
(ii) Với
a
=
0,
b
>
0,
L
>
0,
f
∈
C
([
0,
L
]
×
[
0,
∞
))
và
u
∈
C
2((
0,
L
)
×
(
0,
∞
))
∩
C
1([
0,
L
]
×
[
0,
∞
))
là nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn
u
(
0,
t
) =
u
(
L
,
t
) =
0,
t
≥
0.
Chứng minh rằng, với
J
(
t
) =
R
<sub>0</sub>L(
x
2u
2<sub>t</sub>(
x
,
t
) +
u
2<sub>x</sub>(
x
,
t
))
dx
1/2ta có
J
(
t
)
≤
J
(
0
) +
Z t
0
Z L
0
|
f
(
x
,
s
)
|
2dx
1/2
ds
.
(iii) Với
a
=
1,
b
=
0,
f
(
x
,
t
) =
0
, tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho. Từ đó,
tìm nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn
u
(
x
, 0
) =
<i>ϕ</i>
(
x
)
,
ut
(
x
, 0
) =
<i>ψ</i>
(
x
)
khi
x
>
0.
Tìm miền nghiệm tìm được là nghiệm duy nhất của phương trình thỏa mãn điều kiện
đã cho. Tìm hàm điều khiển
h
(
t
)
sao cho nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn
</div>
<!--links-->
