tổng hợp đề thi tuyển sinh thạc sĩ đại học cần thơ

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ</b>
<b>KHOA SƯ PHẠM</b>

<b>BỘ MƠN SƯ PHẠM TỐN HỌC</b>

<b>TỔNG HỢP</b>

<b>ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ</b>

<b>ĐẠI HỌC CẦN THƠ</b>

Giai đoạn 2001 – 2012

Biên soạn LA_TEX

<i>Mai Mẫn Tiệp</i>

Email

<i></i>

Homepage

<i>maimantiep.wordpress.com</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012

L

A

_TEX

_{by Mẫn Tiệp}

∗

Ngày 5 tháng 12 năm 2013

<b>Lưu ý</b>

a) Thời gian làm bài của mỗi đề là<i>180 phút</i>

b) Thí sinh<i>khơng được</i>sử dụng bất kì tài liệu nào, kể cả Sách giáo khoa (đối với môn Lý luận dạy
học toán) để làm bài

c) Đối với đề thi Giải tích (tương ứng: Đại số) mà đề có hai phần<i>Giải tích cơ sở</i>và<i>Giải tích hàm</i>

(tương ứng:<i>Đại số tuyến tính</i>và <i>Đại số đại cương</i>) thì thí sinh <i>làm mỗi phần trên tờ giấy thi</i>
<i>riêng</i>

d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau này sẽ gọi tắt là đề thi mơn Phương pháp) thì các kiến
thức tốn học trong đề chỉ được xét trong chương trình Tốn (phân ban) hiện hành

e) Câu tơ màuđỏcó thể đánh máy khơng chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ

f) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tác
giả chưa cập nhật, xin liên hệ email<i></i>

g) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồnLA_TEX_{của ebook này, nhưng phải ghi rõ đội}

ngũ thực hiện

<b>Tài liệu</b>

[1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán:<i>nguyenchiphuong.wordpress.com</i>

[2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ:<i>gs.ctu.edu.vn</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH

<b>1</b>

<b>Đề thi mơn Giải tích</b>

<b>1.1</b>

<b>Giải tích, đề mẫu 01 (gần với đề Giải tích, năm 2006)</b>

<b>Câu 1</b> (1,0 điểm). Tính tích phân

<i>K</i> =

˚
<i>V</i>

<i>x y z</i>d<i>x</i>d<i>y</i> d<i>z</i>

với<i>V</i> là vật thể giới hạn bởi các mặt <i>x</i>+<i>y</i> =1và0_≤<i>z</i> ≤<i>x y</i>

<b>Câu 2</b> (2,0 điểm). Tính tích phân đường

<i>I</i> =

ˆ
<i>L</i>

<i>x y</i>d<i>l</i>

với<i>L</i> là đường giao tuyến của các mặt<i>z</i> =2−<i>x</i>2−2<i>y</i>2 và<i>z</i> =<i>x</i>2 từ điểm<i>A</i>(0; 1; 0)đến<i>B</i>(1; 0; 1)

<b>Câu 3</b> (1,5 điểm). Tìm cực trị (nếu có) của hàm số

<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =2<i>x</i>3+12<i>x y</i>−6<i>y</i>2+3

<b>Câu 4</b> (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

<i>y</i>00+4<i>y</i>0+4<i>y</i> =2<i>e</i>2x(<i>x</i>2+2<i>x</i>+10)

<b>Câu 5</b> (1,5 điểm). Chứng minh rằng tập hợp<i>A</i> mở trong<i>C</i>[−3, 3], với

<i>A</i>=<i>f</i> ∈<i>C</i>[−3, 3]:_|<i>f</i>(<i>x</i>)|<i><</i>5_∀<i>x</i> ∈[0, 1] _∩

<i>f</i> ∈<i>C</i>[−3, 3]:

ˆ ₁
0

<i>f</i>(<i>x</i>)d<i>x</i> <i><</i>5

<b>Câu 6</b> (1,5 điểm). Cho<i>k</i> <i>></i>0, chứng minh rằng phương trình

<i>f</i>0(<i>t</i>) =4<i>t</i> +3+5 sin[<i>f</i>(<i>t</i>)]2; <i>f</i>(0) =1

có nghiệm <i>f</i> ∈<i>C</i>[0,<i>k</i>]thỏa mãn <i>f</i>0∈<i>C</i>[0,<i>k</i>]

<b>Câu 7</b> (1,0 điểm). Cho<i>E</i> là không gian mêtric với khoảng cách<i>d</i>. Chứng minh

<i>ρ</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) = <i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)

1+<i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>),∀<i>x</i>,<i>y</i> ∈<i>E</i>

cũng là một khoảng cách trong<i>E</i>

———————————HẾT———————————

<b>1.2</b>

<b>Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03)</b>

<b>Câu 1</b> (2,0 điểm). Cho miền<i>D</i> giới hạn bởi <i>y</i> =<i>x</i>3,<i>y</i> =<i>x</i> ≥0. Hãy

• Biểu diễn miền<i>D</i>

• Tính diện tích của<i>D</i>

• Tớnh<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Cõu 2</b> (1,5 im). Tớnh tớch phân đường

<i>I</i> =

ˆ
<i>C</i>

(4<i>x</i>2−4<i>y</i>2)d<i>x</i>+ (ln<i>y</i> −8<i>x y</i>)d<i>y</i>

với<i>C</i> =<i>C</i>1∪<i>C</i>2, mà<i>C</i>1=

(<i>x</i>,<i>y</i>)|1≤<i>x</i> ≤2,<i>y</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>2 ,<i>C</i>2=

(<i>x</i>,<i>y</i>)|2≤<i>x</i> ≤4,<i>y</i>(<i>x</i>) =8−2<i>x</i>

<b>Câu 3</b> (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số sau

<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =−4<i>x</i>3+10<i>x y</i> +2<i>y</i>2+10

<b>Câu 4</b> (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân

2<i>y</i>00−3<i>y</i>0+<i>y</i> =<i>e</i>2x(<i>x</i>2−10)

thỏa mãn điều kiện <i>y</i>(0) =6, <i>y</i>0(0) =15

<b>Câu 5</b> (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp

<i>B</i> =<i>f</i> ∈<i>C</i>[0, 1]:_|<i>f</i>(<i>x</i>)|<i><</i>6_∀<i>x</i> ∈[0, 1] _∩

<i>f</i> ∈<i>C</i>[0, 1]:

ˆ 1
0

<i>f</i>(<i>x</i>)d<i>x</i> ≥5

khơng mở, khơng đóng trong<i>C</i>[0, 1]

<b>Câu 6</b> (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình

<i>f</i>(<i>t</i>) =

ˆ ₁
0

<i>e</i>−[<i>t</i>−f(<i>s</i>)]2d<i>s</i>

có nghiệm duy nhất <i>f</i> ∈<i>C</i>[0, 1]

———————————HẾT———————————

<b>1.3</b>

<b>Giải tích, năm 2001</b>

<b>Câu 1</b> Cho hàm<i>u</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =ln sin_p<i>x</i>

<i>y</i> với <i>x</i>(<i>t</i>) =3<i>t</i>

2_, <i>_y</i>₍<i>_t</i>_{) =}p<i>_t</i>2₊₁_{. Tìm} d<i>u</i>

d<i>t</i>

<b>Câu 2</b> Tính cực trị (nếu có) của hàm số <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>y</i>3−<i>x</i>2−2<i>x y</i> −<i>x</i>−2<i>y</i>

<b>Câu 3</b> Tính <i>I</i> =

ˆ

<i>AB</i>

(<i>x</i>2+<i>y</i>2)d<i>l</i> với <i>AB</i> là 1<i>/</i>4cung đường trịn tâm <i>O</i>, bán kính <i>R</i> nằm ở góc
vng thứ nhất

<b>Câu 4</b> Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi

∞

X

<i>n</i>=1

(<i>n</i>+1)<i>x</i>2n
(2<i>n</i>+1)

<b>Câu 5</b> Cho<i>T f</i> =

ˆ 1
−1

<i>t</i>|<i>t</i>|<i>f</i>(<i>t</i>)d<i>t</i>, với mọi <i>f</i> ∈C[−1; 1]. Chứng minh rằng<i>T</i> là ánh xạ tuyến tính,
liên tục từC[₋1; 1]vào_R. Tìm_||<i>T</i>||

<b>Câu 6</b> Cho<i>D</i> =(<i>x</i>;<i>y</i>;<i>z</i>):<i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>z</i>2+<i>x y</i> +<i>y z</i>+<i>z x</i> ≤1 . Chứng minh rằng<i>D</i> compăc trong

R3

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1.4 Giải tích, năm 2002 1 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH

<b>1.4</b>

<b>Giải tích, năm 2002</b>

<b>Câu 1</b> Tính cực trị (nếu cú) ca <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>y</i>2<i>x</i> +2<i>x</i>24<i>x y</i> +5<i>x</i>

<b>Cõu 2</b> Tớnh<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

(<i>x</i>+2<i>y</i>)(<i>y</i> −<i>x</i>)2d<i>x</i>d<i>y</i>, biết rằng<i>D</i> là miền giới hạn bởi các đường <i>y</i> =<i>x</i>+1;

<i>y</i> =<i>x</i> +4;<i>x</i> =−2<i>y</i>; <i>x</i> =−2<i>y</i> +4
<b>Câu 3</b> Tính<i>I</i> =

ˆ

<i>C</i>(

<i>y</i> +2<i>x ey</i>)d<i>x</i>+ (<i>x</i>+<i>x</i>2<i>ey</i>)d<i>y</i>, với<i>C</i> là đường cong nối từ(1; 0)tới(2; ln 2)

<b>Câu 4</b> Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân <i>y</i>00−5<i>y</i>0+4<i>y</i> =<i>ex</i>

<b>Câu 5</b> Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau có nghiệm duy
nhất <i>y</i> ∈C[0; 1]: <i>y</i>(<i>t</i>) =

ˆ <i>t</i>

0

<i>y</i>(<i>x</i>)cos(<i>t</i> −<i>x</i>)2d<i>x</i>

<b>Câu 6</b> Chứng minh rằng tập hợp<i>A</i>compăc trongR2 với<i>A</i>=

§

(<i>x</i>;<i>y</i>):<i>x</i>2+3

2<i>x y</i> +<i>y</i>

2

≤1

ª

———————————HẾT———————————

<b>1.5</b>

<b>Giải tích, năm 2003</b>

<b>Câu 1</b> Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến <i>f</i> :<i>D</i> ⊂R<i>n</i> →Rtrong đó<i>D</i>

là tập đóng giới nội. Áp dụng với <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>) =<i>x y z</i> và<i>D</i> là hình cầu đơn vị đóng

<b>Câu 2</b> Tìm miền hội tụ của chuỗi ly tha

X

<i>n</i>=1

(2<i>x</i>+1)<i>n</i>

2<i>n</i>.3<i>n</i>

<b>Cõu 3</b> Tớnh<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

ặ

<i>x</i>2₊<i>_y</i>2_d<i>_x</i>_d<i>_y</i>_{, vi}<i>_D</i> ₌

(<i>x</i>,<i>y</i>)|<i>x</i>2+<i>y</i>22<i>y</i>

<b>Cõu 4</b> Vit nghim tổng quát của phương trình vi phân <i>y</i>00−6<i>y</i>0+9<i>y</i> =3<i>x</i>2−1

<b>Câu 5</b> Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình: <i>y</i>(<i>t</i>) =

ˆ 1
0

<i>d s</i>

1+ (<i>t</i> −<i>y</i>(<i>s</i>))2 có

nghiệm duy nhất<i>y</i> ∈C[0; 1]

<b>Câu 6</b> Cho toán tử<i>T</i>:C[₋1; 3]_→Rvới<i>T f</i> =

ˆ 3

−1

<i>x</i>(<i>x</i>−2)<i>f</i>(<i>x</i>)d<i>x</i>,_∀<i>f</i> ∈C[−1; 3]

a) Chứng minh rằng<i>T</i> là ánh xạ tuyến tính liên tục
b) Tính_||<i>T</i>||

<b>Câu 7</b> Trên khơng gianC[<i>a</i>;<i>b</i>],<i>a<b</i> đặt_||<i>f</i>||1=
ˆ <i>b</i>

<i>a</i> |

<i>f</i>(<i>t</i>)|d<i>t</i>, <i>f</i> ∈C[<i>a</i>;<i>b</i>]

a) Chứng minh rằng_||.||1 là một chuẩn

b) Chứng mình rằngC[<i>a</i>;<i>b</i>]với chuẩn_||._||₁là khơng đầy đủ

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>1.6</b>

<b>Giải tích, năm 2004</b>

<b>Câu 1</b> Tìm cực trị (nếu có) của hàm số: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) = (<i>x</i>2+<i>y</i>2)<i>e</i>−(<i>x</i>2+<i>y</i>2)−(<i>x</i>2+<i>y</i>2)

<b>Câu 2</b> Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến <i>L</i>:<i>I</i> =

˛
<i>L</i>

<i>x</i>2<i>y</i>2d<i>x</i> +<i>y x</i>3d<i>y</i> , với<i>L</i>

tạo bởi <i>x</i> =0, <i>y</i> =p<i>x</i>, <i>y</i> =<i>x</i> −2

<b>Câu 3</b> Chứng minh rằng nếu chuỗi dương

∞

X

<i>n</i>=1

<i>an</i> hội tụ thì lim

<i>n→∞n an</i>=0

<b>Câu 4</b> Viết nghiệm của phương trình vi phân: <i>y</i>00−4<i>y</i>0+3<i>y</i> =<i>x</i>2+1thỏa mãn điều kiện ban đầu

<i>y</i>(0) =2, <i>y</i>0(0) =10

<b>Câu 5</b> Chứng minh rằng tập hợp <i>A</i> =

<i>f</i> ∈C[0; 1],||<i>f</i>|| ≤5và

ˆ 1
0

<i>f</i>(<i>x</i>)d<i>x</i> ≥2

là một tập mở
trongC[0; 1]với_||<i>f</i>||=max

0≤t≤1|<i>f</i>(<i>t</i>)|

<b>Câu 6</b> Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn:

<i>x</i>(<i>t</i>) =3<i>t</i> +2

ˆ 2
0

arctan(<i>t</i> −<i>x</i>(<i>s</i>))d<i>s</i> có nghiệm<i>x</i> ∈C[0; 2]

———————————HẾT———————————

<b>1.7</b>

<b>Giải tích, năm 2005, lần 1</b>

<b>Câu 1</b> Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theo<i>p</i>,<i>q</i>

+∞

X

<i>n</i>=1

<i>np</i>
<i>nq</i>₊_sin2<i>_n</i>

<b>Câu 2</b> Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến<i>L</i>

<i>I</i> =

˛
<i>L</i>

<i>x y</i>2d<i>x</i>+3<i>y x</i>2d<i>y</i>

<b>Câu 3</b> Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phân<i>A</i>=arcsin 0, 51+p3 8, 25
<b>Câu 4</b> Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞

X

<i>n</i>=1

(−1)<i>n−1</i>(<i>x</i>−5)

<i>n</i>

p

<i>n</i>

<b>Câu 5</b> Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân3<i>y</i>00+<i>y</i>0−4<i>y</i> =<i>e</i>2x(<i>x</i>−1)

<b>Câu 6</b> Cho<i>A</i>=(<i>x</i>;<i>y</i>;<i>z</i>)∈R3:<i>x</i> ≥0,<i>x</i> +<i>y</i> +<i>z</i> <i><</i>1 . Chứng minh rằng<i>A</i>khơng mở, khơng đóng

trong_R3

<b>Câu 7</b> Đặt <i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>3−2và<i>T x</i>=<i>x</i> − <i>f</i>(<i>x</i>)

<i>f</i>0₍<i>_x</i>₎

a) Chứng minh rằng có tập hợp<i>D</i> ⊂(0;+∞)sao cho<i>D</i> là tập đóng và<i>T</i>(<i>D</i>)⊂<i>D</i>

b) Chứng minh rằng<i>T</i> có điểm bất động thỏa mãn phương trình <i>x</i>3−2=0

<b>Câu 8</b> Chứng minh rằng tồn tại hàm <i>f</i> ∈C[0; 1]thỏa mãn

<i>f</i>(<i>t</i>) =1

2

ˆ ₁
0

<i>f</i>(<i>s</i>)arctan[2(<i>t</i> −<i>s</i>)]d<i>s</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 1 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH

<b>1.8</b>

<b>Giải tích, năm 2005, lần 2</b>

<b>Câu 1</b> .

a) Tính tích phân đường theo chiều dương của<i>L</i>
<i>I</i> =

˛

<i>L</i>

<i>ex y</i>(1+<i>x y</i>)d<i>x</i>+<i>x</i>2d<i>y</i>

trong đó<i>L</i> là nửa đường elip <i>x</i>

2

<i>a</i>2 +

<i>y</i>2

<i>b</i>2 =1với <i>y</i> ≤0,<i>a></i>0,<i>b</i> <i>></i>0

b) Cho<i>D</i> =(<i>x</i>;<i>y</i>):<i>x</i>2+<i>y</i>2≤2<i>y</i> , tính tớch phõn kộp

<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

(<i>x</i>+<i>y</i>)2d<i>x</i>d<i>y</i>

<b>Cõu 2</b> .

a) Tớnh giỏ tr gn đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân

<i>A</i>=p4 16, 16+sin(ln 1, 273)

b) Tính khoảng cách từ điểm <i>A</i>(3; 0) đến đường cong <i>y</i> = <i>x</i>2 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số

nhiều biến

<b>Câu 3</b> Tìm miền hội tụ của chuỗi

+∞

X

<i>n</i>=1

(−1)<i>n</i>(2<i>x</i> −4)

<i>n</i>

<i>n</i>.2<i>n</i>

<b>Câu 4</b> Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân7<i>y</i>00+<i>y</i>0−3<i>y</i> =<i>x</i>2+3<i>x</i>−2
<b>Câu 5</b> Chứng minh rằng tập hợp sau mở trongC[0; 2]

<i>B</i> =<i>f</i> ∈C[0; 2]:<i>f</i>(<i>x</i>)<i><</i>6_∀<i>x</i> ∈[0; 2] _∩

<i>f</i> ∈C[0; 2]:

ˆ 1
0

<i>f</i>(<i>x</i>)d<i>x</i> <i><</i>5

<b>Câu 6</b> Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm <i>f</i> ∈C[0; 2]

<i>f</i>(<i>t</i>) =30<i>t</i> +3+5

ˆ 2
0

<i>e</i>−[<i>t</i>−f(<i>s</i>)]2d<i>s</i>

———————————HẾT———————————

<b>1.9</b>

<b>Giải tích, năm 2006</b>

<b>Câu 1</b> Tính tích phân

<i>I</i> =

ˆ 2
0

ˆ p₄₋<i>y</i>2
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Câu 2</b> Tính tích phân đường

<i>I</i> =

ˆ
<i>L</i>

<i>x y</i>d<i>l</i>

trong đó <i>L</i> là đường giao tuyến của các mặt <i>z</i> =2₋<i>x</i>2−2<i>y</i>2 và <i>z</i> = <i>x</i>2 từ điểm <i>A</i>(0; 1; 0) đến

<i>B</i>(1; 0; 1)

<b>Câu 3</b> Tìm cực trị (nếu có) của hàm số <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) = sin<i>x</i> +cos<i>y</i> +cos(<i>x</i> +<i>y</i>) trên miền <i>D</i> =

Đ

(<i>x</i>;<i>y</i>)|0<i>x</i> 3<i></i>

2 , 0<i>y</i>
3<i></i>

2

ê

<b>Cõu 4</b> Vit nghim tng quát của các phương trình vi phân sau
a) <i>y</i>00+4<i>y</i>0+4<i>y</i> =2<i>e</i>2x(<i>x</i>2+2<i>x</i> +10)

b) (<i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>x</i>)d<i>x</i>+<i>y</i> d<i>y</i> =0

<b>Câu 5</b> Chứng minh rằng tập hợp<i>A</i>mở trongC[0; 3]. với

<i>A</i>=<i>f</i> ∈C[0; 3]:_|<i>f</i>(<i>x</i>)|<i><</i>7_∀<i>x</i> ∈[0; 3] _∩

<i>f</i> ∈C[0; 3]:

ˆ 2
1

<i>f</i>(<i>x</i>)d<i>x</i> <i><</i>5

<b>Câu 6</b> Cho<i>k</i> <i>></i>0, chứng minh rằng phương trình <i>f</i>0(<i>t</i>) =4<i>t</i>+3+5 cos[<i>f</i>(<i>t</i>)]2; <i>f</i>(0) =1có nghiệm

<i>f</i> ∈C[0;<i>k</i>]thỏa mãn <i>f</i>0∈C[0;<i>k</i>]

<b>Câu 7</b> Cho<i>E</i> là không gian mêtric với khoảng cách<i>d</i>. Chứng minh rằng với<i>x</i>,<i>y</i> ∈<i>E</i> thì

<i>ρ</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) = <i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)

1+<i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)

cũng là một khoảng cách trong<i>E</i>

———————————HẾT———————————

<b>1.10</b>

<b>Giải tích, năm 2007, khóa 14</b>

<b>Câu 1</b> (2,5 điểm). Tích phân bội

Cho một miền<i>V</i> giới nội bởi các mặt<i>z</i> =0, <i>y</i> =<i>z</i>, <i>y</i> =<i>x</i>2và <i>y</i> =1. Hãy
a) Biểu diễn miền<i>V</i>

b) Tính thể tích khối<i>V</i>

c) Tính tích phân bội ba<i>I</i> =

˚
<i>V</i>

(<i>x</i> +<i>y</i>)d<i>x</i>d<i>y</i> d<i>z</i>

<b>Câu 2</b> (1,0 điểm). Tính tích phân đường

<i>I</i> =

ˆ
<i>L</i>(

2<i>x</i>2−2<i>y</i>2)d<i>x</i>+ (ln<i>y</i> −4<i>x y</i>)d<i>y</i>

với<i>L</i> là đường nối hai điểm<i>A</i>(−1; 1)và<i>B</i>(4;<i>e</i>)

<b>Câu 3</b> (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 1 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH

<b>Câu 4</b> (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

<i>y</i>00−6<i>y</i>0+9<i>y</i> =<i>e</i>2x(<i>x</i>2+5)

<b>Câu 5</b> (1,0 điểm). Khảo sát tính đóng (hay mở) trong<i>C</i>[0, 1]của tập hợp

<i>A</i>=

<i>f</i> ∈<i>C</i>[0, 1]:

ˆ 1
0

<i>f</i>(<i>t</i>)d<i>t</i> ≥4 :<i>f</i>(0) = <i>f</i>(1) =0

<b>Câu 6</b> (2,0 điểm). Chứng minh rằng với <i>λ</i>_∈


0,1
8

‹

, ta có thể chọn được<i>M</i> <i>></i>0 để phương trình

<i>x</i> =<i>T x</i> có nghiệm trong<i>KM</i> với

<i>T x</i>(<i>t</i>) =<i>λ</i>+

ˆ <i>t</i>
0

<i>x</i>2(<i>s</i>)d<i>s</i>(0_≤<i>t</i> ≤2)

và<i>KM</i> ={<i>x</i> ∈<i>C</i>[0, 2]:||<i>x</i>|| ≤<i>M</i>}

<b>Câu 7</b> (1,0 điểm). Chứng minh rằng ánh xạ

<i>T f</i> =1

3

<i>f</i>(1) +<i>f</i>(0), <i>f</i> ∈<i>C</i>[0, 1]

là ánh xạ tuyến tính liên tục trên<i>C</i>[0, 1]. Tìm chuẩn của nó

———————————HẾT———————————

<b>1.11</b>

<b>Giải tích, năm 2009, đề số 02</b>

<b>Câu 1</b> (1,0 điểm). Tính tích phân đường với<i>C</i> là một chu tuyến bất kì

<i>I</i> =

ˆ
<i>C</i>

(<i>x</i>2+<i>y</i>2)(<i>x</i>d<i>x</i>+<i>y</i> d<i>y</i>)

<b>Câu 2</b> (2,0 điểm). Cho miền<i>D</i> giới nội bởi

(<i>x</i>2+<i>y</i>2)2=2<i>a</i>2(<i>x</i>2−<i>y</i>2)

Hãy

• Tính din tớch ca min<i>D</i>

ã Tớnh tớch phõn<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

<i>x y</i>d<i>x</i>d<i>y</i>

<b>Cõu 3</b> (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i>3+<i>y</i>3+3<i>x y</i> +5

<b>Câu 4</b> (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân

<i>y</i>00−4<i>y</i>0+3<i>y</i> =<i>x</i>2+3<i>x</i> +5

thỏa mãn điều kiện <i>y</i>(0) =1, <i>y</i>0(0) =2

<b>Câu 5</b> (2,0 điểm). Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trên<i>C</i>[−1, 1]

<i>T f</i> =

ˆ 0
−1

<i>f</i>(<i>t</i>)d<i>t</i> −

ˆ 1
0

<i>f</i>(<i>t</i>)d<i>t</i>,∀<i>f</i> ∈<i>C</i>[−1, 1]

Tính chuẩn của<i>T</i>

<b>Câu 6</b> (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình <i>f</i>(<i>t</i>) = 1

2

ˆ <i>t</i>
0

<i>e</i>−[<i>t</i>−<i>f</i>(<i>s</i>)]3d<i>s</i> có nghiệm duy nhất

<i>f</i> ∈<i>C</i>[0, 1]

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>1.12</b>

<b>Giải tích, năm 2010, đề số 03</b>

<b>Câu 1</b> (1,0 điểm). Tính tích phân đường loại hai dọc theo<i>C</i> là các cạnh của tam giác nối các đỉnh

<i>O</i>(0; 0), <i>A</i>(2; 0),<i>B</i>(0; 2)

<i>I</i> =

ˆ

<i>C</i>

<i>x</i>2<i>y</i>(<i>y</i> d<i>x</i> +<i>x</i>d<i>y</i>)

<b>Câu 2</b> (2,0 điểm). Cho miền<i>D</i> giới nội bởi

<i>D</i> =(<i>x</i>;<i>y</i>)|<i>π</i>2≤<i>x</i>2+<i>y</i>2≤4<i>π</i>2

Hãy

• Biu din hỡnh hc min<i>D</i>

ã Tớnh tớch phõn<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

sinặ<i>x</i>2₊<i>_y</i>2_d<i>_x</i>_d<i>_y</i>
<b>Cõu 3</b> (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i>2+<i>y</i>2+3<i>x y</i> +5

<b>Câu 4</b> (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình

<i>x y</i>0+ (1₋2<i>x</i>)<i>y</i> =<i>x</i>

<b>Câu 5</b> (2,0 điểm). Chứng minh rng tp hp

<i>B</i> =

Đ

<i>f</i> <i>C</i>[0, 1]: 10 min

<i>x</i>[0,1]<i>f</i>(<i>x</i>)<i>></i>6

ê

khụng m, khơng đóng trong<i>C</i>[0, 1]

<b>Câu 6</b> (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình <i>y</i>0=<i>x</i> +1

2cos(<i>x y</i>(<i>x</i>)); <i>y</i>(0) =0có nghiệm duy

nhất <i>y</i> ∈<i>C</i>[0, 1]

———————————HẾT———————————

<b>1.13</b>

<b>Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01</b>

<b>I. Giải tích cơ sở</b>

<b>Câu 1</b> Cho hàm <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i> +<i>y</i> <i>x y</i> v tp<i>D</i> =Ư(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>R</i>2: 0<i>y</i> 1,<i>y</i> <i>x</i> ặ2<i>y</i> −<i>y</i>2©

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hm <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)trờn min<i>D</i>

b) Tớnh tớch phõn<i>I</i> =

ă
<i>D</i>

<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)d<i>x</i>d<i>y</i>

<b>Cõu 2</b> Tớnh tớch phân đường:<i>I</i> =

ˆ ₍_3,2₎

(−2,1)<i>e</i>

<i>x−y</i>

(1+<i>x</i> +<i>y</i>)d<i>x</i> + (1₋<i>x</i>−<i>y</i>)d<i>y</i>

<b>Câu 3</b> .

a) Giải phương trình vi phân <i>y</i>0= <i>y</i>

2

<i>x y</i> −<i>x</i>2

b) Giải phương trình vi phân


<i>y</i> + 2
<i>x</i>2

‹

d<i>x</i>+

<i>x</i> − 3

<i>y</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 1 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH

<b>II. Giải tích hàm</b>

<b>Câu 4</b> Cho không gian metric(<i>X</i>,<i>d</i>)và<i>A</i>⊂<i>X</i>. Đặt diam(<i>A</i>) = sup

<i>x</i>,y∈A

<i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)

Chứng minh nếu<i>A</i> là tập compact thì tồn tại<i>a</i>,<i>b</i> ∈<i>A</i>sao cho diam(<i>A</i>) =<i>d</i>(<i>a</i>,<i>b</i>)

<b>Câu 5</b> Chng minh<i>A</i>=

Đ

<i>f</i> <i>C</i>_[0,1]: max

<i>x</i>[0,1]<i>f</i>(<i>x</i>)1

ê

l tp úng

<b>Cõu 6</b> Cho toỏn t<i>A</i>:<i>C</i>_[0,1]<i>C</i>[0,1]xỏc định bởi <i>A x</i>(<i>t</i>) =<i>x</i>(<i>t</i>) +<i>x</i>(1−<i>t</i>)với <i>x</i> ∈<i>C</i>[0,1]

Chứng minh <i>A</i>là tốn tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của<i>A</i>

———————————HẾT———————————

<b>1.14</b>

<b>Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01</b>

<b>I. Giải tích cơ sở</b>

<b>Câu 1</b> Tìm cực trị của hàm ẩn<i>z</i> =<i>z</i>(<i>x</i>,<i>y</i>), <i>z</i> <i>></i>0, xác định bởi phương trình

<i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>z</i>2−2<i>x</i> +4<i>y</i> −6<i>z</i>−11=0

<b>Câu 2</b> Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳng<i>O x y</i> và giới hạn bởi
mặt paraboloid<i>z</i> =<i>x</i>2+<i>y</i>2 và mặt trụ<i>x</i>2+<i>y</i>2=<i>a</i>2(<i>a</i> <i>></i>0)

<b>Câu 3</b> Tính tích phân mặt sau

<i>I</i> =

"
<i>S</i>

<i>x z</i>2d<i>y</i>d<i>z</i>+ (<i>x</i>2<i>y</i> −<i>z</i>3)d<i>z</i>d<i>x</i> + (2<i>x y</i> +<i>y</i>2<i>z</i>)d<i>x</i>d<i>y</i>

với<i>S</i> là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt <i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>z</i>2 =<i>a</i>2 (<i>a</i> <i>></i>0) và <i>z</i> =0. Tích
phân mặt lấy theo phía ngồi của<i>S</i>

<b>Câu 4</b> .

a) Giải phương trình vi phân


<i>y</i> + 2
<i>x</i>2

‹

d<i>x</i> +

<i>x</i>− 3

<i>y</i>2

d<i>y</i> =0, <i>y</i>(1) =1

b) Tìm dạng nghiệm tổng qt của phương trình

<i>y</i>00+3<i>y</i>0+2<i>y</i> =<i>x</i>(<i>e</i>−x −<i>e</i>−2x)

<b>II. Giải tích hàm</b>

<b>Câu 5</b> Cho không gian metric(<i>X</i>,<i>d</i>),(<i>Y</i>,<i>ρ</i>)và ánh xạ <i>f</i> :<i>X</i> →<i>Y</i>. Trên<i>X</i> ×<i>Y</i> ta xét metric

<i>d</i>_∗((<i>x</i>,<i>y</i>),(<i>x</i>0,<i>y</i>0)) =<i>d</i>(<i>x</i>,<i>x</i>0) +<i>ρ</i>(<i>y</i>,<i>y</i>0), (<i>x</i>,<i>x</i>0),(<i>y</i>,<i>y</i>0)∈<i>X</i> ×<i>Y</i>

và xét tập hợp<i>G</i> =(<i>x</i>,<i>f</i>(<i>x</i>)):<i>x</i> ∈<i>X</i>

a) Giả sử <i>f</i> liên tục, chứng minh<i>G</i> là tập đóng

b) Giả sử<i>G</i> là tập đóng và(<i>Y</i>,<i>ρ</i>)là không gian compact, chứng minh <i>f</i> liên tục

<b>Câu 6</b> Chứng minh<i>K</i> =(<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>)∈R3:<i>x</i>+<i>y</i> +<i>z</i> ≤1,<i>x</i> ≥ −1,<i>y</i> ≥ −2,<i>z</i> ≥ −3 là tập compact
<b>Câu 7</b> Cho toán tử<i>A</i>:<i>C</i>_[_0,1_]→<i>C</i>_[_0,1_]xác định bởi <i>A x</i>(<i>t</i>) =2<i>t</i>.<i>x</i>(<i>t</i>)với <i>x</i> ∈<i>C</i>_[_0,1_]

Chứng minh <i>A</i>là tốn tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của<i>A</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>2</b>

<b>Đề thi môn Đại số</b>

<b>2.1</b>

<b>Đại số, năm 2009, đề số 01</b>

<b>Câu 1</b> Cho<i>G</i> là một nhóm giao hốn. Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của<i>G</i>

là một nhóm con của<i>G</i>. Kết quả trên cịn đúng khi<i>G</i> khơng gian hốn hay khơng? Tại sao?

<b>Câu 2</b> Giải phương trình sau trong_Z488

68<i>x</i> −60=620

<b>Câu 3</b> TrongQ[<i>x</i>], xét hai đa thức

<i>f</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> −1)(<i>x</i>2+1) và <i>g</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>3n−<i>x</i>2n+<i>xn</i>−1

trong đó<i>n</i> là số nguyên dương. Xác định<i>n</i> để <i>f</i>(<i>x</i>)|<i>g</i>(<i>x</i>)

<b>Câu 4</b> Trong không gian_R4cho các véctơ

<i>u</i>1= (1, 2, 3, 4); <i>u</i>2= (2, 1, 5, 4); <i>u</i>3= (1, 4, 3, 8)

Gọi<i>W</i> là không gian con của_R4 sinh bởi<i>u</i>₁;<i>u</i>₂;<i>u</i>₃

a) Chứng minh<i>B</i> = (<i>u</i>1;<i>u</i>2;<i>u</i>3)là một cơ sở của<i>W</i>

b) Xác định tham số<i>m</i> để vectơ<i>u</i>= (−1, 1, 2,<i>m</i>)thuộc<i>W</i>. Với giá trị<i>m</i> đó, hãy tìm[<i>u</i>]B

<b>Câu 5</b> Trong không gian_R3cho các véctơ

<i>u</i>1= (1, 1, 2); <i>u</i>2= (0, 1, 1); <i>u</i>3= (0, 1, 2);

và tốn tử tuyến tính <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>) = (<i>x</i>−<i>y</i> +<i>z</i>, 2<i>x</i>−3<i>y</i>, 2<i>x</i> −<i>y</i> +4<i>z</i>)

a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(<i>f</i>), Ker(<i>f</i>)

b) Chứng minh<i>B</i> = (<i>u</i>1;<i>u</i>2;<i>u</i>3)là một cơ sở củaR3 và tìm ma trận biểu diễn của <i>f</i> theo cơ sở<i>B</i>

<b>Câu 6</b> Cho ma trận hệ số thực<i>A</i>=





2 2 1
1 3 1
1 2 2





a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của<i>A</i>

b) Chứng minh <i>A</i> chéo hóa được và tìm một ma trận <i>P</i> khả nghịch sao cho <i>P</i>−1<i>AP</i> là ma trận
chéo. Tính<i>A</i>20

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ

<b>2.2</b>

<b>Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01</b>

<b>Câu 1</b> Cho<i>G</i> là nhóm nhân cyclic cấp<i>n</i> sinh bởi<i>x</i>. Chứng minh rằng với<i>m</i>,<i>k</i> là hai số ngun bất
kì ta có<i><xm></i>=<i><xk></i>khi và chỉ khi UCLN(<i>m</i>,<i>n</i>) =UCLN(<i>k</i>,<i>n</i>)

<b>Câu 2</b> a) Xét vành _Zn các số nguyên đồng dư modulo <i>n</i>. Tìm điều kiện của <i>k</i> ∈ N để ánh xạ

<i>f</i> :Zn →Zn định bởi <i>f</i>(<i>x</i>) =<i>k x</i> là một đồng cấu vành

b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vành_Zp với<i>p</i> nguyên tố

<b>Câu 3</b> Cho đa thức với hệ số nguyên

<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>6+7<i>x</i>5+10<i>x</i>4−35<i>x</i>3−120<i>x</i>2−108<i>x</i>−16

a) Viết khai triển Taylor của <i>f</i>(<i>x</i>)tại<i>x</i>₀=−2

b) Phân tích <i>f</i>(<i>x</i>)thành tích các đa thức bất khả qui trênQ

<b>Câu 4</b> Trong không gian<i><b>R</b></i>4 cho các vectơ

<i>u</i>1= (1, 2, 1,−3), <i>u</i>2= (2, 3,−2, 5),<i>u</i>3= (1, 1, 0, 2);

<i>v</i>1= (2, 3,−1, 5), <i>v</i>2= (1, 2,−2, 3), <i>u</i>3= (5, 8,−5, 13)

Gọi<i>W</i> là không gian con của<i><b>R</b></i>4 sinh bởi<i>u</i>1,<i>u</i>2,<i>u</i>3

a) Chứng minh_B₁= (<i>u</i>1,<i>u</i>2,<i>u</i>3)là một cơ sở của<i>W</i>

b) Chứng minh_B₂= (<i>v</i>1,<i>v</i>2,<i>v</i>3)là một cơ sở của<i>W</i>. Tìm ma trận chuyển cơ sở từB1 sangB2
<b>Câu 5</b> Trong không gianR3cho các vectơ

<i>u</i>1= (1, 1, 2); <i>u</i>2= (0, 1, 1); <i>u</i>3= (0, 1, 2);

<i>v</i>1= (2, 9,−3);<i>v</i>2= (0, 3,−3); <i>u</i>3= (1, 7,−4);

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính <i>f</i> trên_R3 thỏa mãn <i>f</i>(<i>uk) =</i> <i>vk</i> với

mọi<i>k</i> =1, 2, 3và xác định biểu thức của <i>f</i>

b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(<i>f</i>), Ker(<i>f</i>)

<b>Câu 6</b> Cho ma trận hệ số thực<i>A</i>=





3 2 1

0 2 0
1 2 3





a) Chéo hóa ma trận<i>A</i>

b) Cho <i>f</i> là tốn tử tuyến tính trên_R3 thỏa[<i>f</i>]_B =<i>A</i> trong đó_B = (<i>u</i>1,<i>u</i>2,<i>u</i>3)là cơ sở củaR3

với

<i>u</i>1= (1,−1, 1);<i>u</i>2= (0, 1, 1);<i>u</i>3= (1, 1, 4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>2.3</b>

<b>Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03</b>

<b>A. Phần Đại số tuyến tính</b>

<b>Câu 1</b> Trong khơng gian vectơ<i><b>M</b></i>(2, 2), khơng gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trên<i><b>R</b></i>, cho

<i><b>E</b></i> =

<i>M</i> =

<i>a</i> 0

<i>b</i> <i>a</i>+<i>b</i>

;<i>a</i>,<i>b</i> ∈<i>R</i>

và<i><b>H</b></i> =Sp

<i>v</i>1=

1 0
1 2

,<i>v</i>2=

0 1
1 0

a) Chứng minh rằng <i><b>E</b></i> ∩<i><b>H</b></i> là không gian con của<i><b>M</b></i>(2, 2)và tìm cho<i><b>E</b></i> ∩<i><b>H</b></i> một cơ sở

b) Cho_B=

<i>v</i>1=

1 0
1 2

,<i>v</i>2=

0 1
1 0

là cơ sở của<i><b>H</b></i>, tìm<i><b>v</b></i> ∈<i><b>E</b></i> ∩<i><b>H</b></i> sao cho[<i><b>v</b></i>]_B=

2
0

<b>Câu 2</b> Cho<i><b>B</b></i>0={1;<i>x</i>;<i>x</i>2}là cơ sở chính tắc của<i><b>P</b></i>2(<i>x</i>)và phép biến đổi tuyến tính

<i>T</i>:<i><b>P</b></i>2(<i>x</i>)→<i><b>P</b></i>2(<i>x</i>)xác định bởi<i>T</i>(1) =3+2<i>x</i>+<i>x</i>2, <i>T</i>(<i>x</i>) =2, <i>T</i>(<i>x</i>2) =2<i>x</i>2

a) Tìm Ker<i>T</i> và Im<i>T</i>

b) Biết_B=_{1; 1+<i>x</i>; 1+<i>x</i>2}là cơ sở của <i><b>P</b></i>2(<i>x</i>). Tìm ma trận của<i>T</i> đối với cơ sở_B, từ đó tìm
đa thức<i>p</i>∈<i><b>P</b></i>2(<i>x</i>)sao cho[<i>T</i>(<i>p</i>)]_B=





4
2
1





c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính<i>T</i> là chéo hóa được, từ đó tìm cho<i><b>P</b></i>2(<i>x</i>)một cơ sở

<i><b>C</b></i> để ma trận của<i>T</i> đối với cơ sở<i><b>C</b></i> là ma trận chéo
d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tính<i>T</i>4(2+<i>x</i>)

<b>A. Phần Đại số đại cương</b>

<b>Câu 3</b> Cho<i>X</i> là một nhóm nhân. Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếp<i>k</i>,<i>k</i>+1,<i>k</i>+2sao cho với các

phần tử<i>a</i>,<i>b</i> bất kì của<i>X</i> ta ln có

(<i>a b</i>)<i>k</i>=<i>ak</i>.<i>bk</i>, (<i>a b</i>)<i>k</i>+1=<i>ak</i>+1.<i>bk</i>+1 và (<i>a b</i>)<i>k</i>+2=<i>ak</i>+2.<i>bk</i>+2

Chứng minh rằng<i>X</i> là nhóm giao hốn

<b>Câu 4</b> Cho<i>X</i> và<i>Y</i> là những nhóm nhân cyclic có cấp lần lượt là<i>m</i> và<i>n</i>. Chứng minh rằng<i>X</i> ×<i>Y</i>

là một nhóm cyclic khi và chỉ khi<i>m</i> và<i>n</i> nguyên tố cùng nhau

<b>Câu 5</b> Cho<i>X</i> là một vành giao hốn có đơn vị, và<i>P</i> là một ideal của <i>X</i>. Chứng minh rằng<i>X/P</i> là
miền nguyên khi và chỉ khi<i>P</i> là ideal nguyên tố

<b>Câu 6</b> Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trongQ[<i>x</i>]
<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>4+5<i>x</i>3−2<i>x</i>2−6<i>x</i>+3

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

3 ĐỀ THI MƠN PHƯƠNG PHÁP

<b>3</b>

<b>Đề thi mơn Phương pháp</b>

<b>3.1</b>

<b>Phương pháp, năm 2010, đợt 1</b>

<b>Câu 1</b> .

a) Theo R. Marzano, khi dạy học kiến thức thông báo giáo viên cần thực hiện theo các bước nào?
Áp dụng vào dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau trong chương trình Hình học 10

b) Cho bài toán: “Trong mặt phẳng<i>O x y</i>, cho 4 điểm<i>A</i>(2; 2),<i>B</i>(4; 4),<i>C</i>(1;<i>a</i>2)và<i>D</i>(−1;<i>a</i>). Tìm

<i>a</i> sao cho tứ giác<i>AB C D</i> là một hình bình hành”
Một học sinh giải như sau:

“<i>AB C D</i> là hình bình hành _⇔−→<i>AB</i>=−−→<i>D C</i>

⇔<i>a</i>2−<i>a</i> =2_⇔<i>a</i> =−1hoặc<i>a</i> =2.Đáp số:<i>a</i> =−1,<i>a</i>=2”
Hãy phân tích lỗi trên của học sinh

<b>Câu 2</b> Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm cách giải bài tốn sau đây: “Giải phương trình:_|3−2<i>x</i>|=

<i>x</i>” (Đại số 10)

<b>Câu 3</b> .

a) Trình bày một mơ hình dạy học có thể dùng để dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạy
học theo mơ hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh

b) Hãy tổ chức q trình dạy học định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị (khơng chứng minh
định lí) bằng dạy học khám phá

<b>Câu 4</b> Cho bài toán: “Trong tập số thực, tìm tham số<i>m</i> sao cho hệ phương trỡnh sau õy cú nghim:
ăp

<i>x</i>1+p<i>y</i> 2=1

<i>x</i>+<i>y</i> =<i>m</i>

a) Gii bi tốn trên

b) Tổng qt hóa bài tốn trên và nêu ra thuật giải

———————————HẾT———————————

<b>3.2</b>

<b>Phương pháp, năm 2011, đợt 1</b>

<b>Câu 1</b> .

a) Theo Marzano, khi dạy học kiến thức qui trình giáo viên cần thực hiện theo các bước nào? Áp
dụng vào dạy học giải phương trình sau đây trên tập số thực

<i>f</i>(<i>x</i>).<i>g</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>).<i>h</i>(<i>x</i>)

b) Phân tích sai lầm sau đây của học sinh

(<i>x</i> −3)p<i>x</i>2₋₁₆=₀_⇔

<i>x</i> −3=0

p

<i>x</i> −16=0 (2)⇔

<i>x</i> =3

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Câu 2</b> .

a) Hãy nêu các ý nghĩa khác nhau của khái niệm hàm số

b) Hãy sử dụng sơ đồ để biểu thị mối liên hệ giữa các khái niệm “giá trị của hàm số”, “giới hạn

của hàm số”, và “hàm số liên tục”

<b>Câu 3</b> Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải bài tốn sau đây:

“Giải phương trình:p8+<i>x</i> =4₋p<i>x</i> ”

<b>Câu 4</b> Vận dụng quan điểm hàm số giải bài tốn sau đây: “Giải hệ phương trình






(<i>x</i>6+1)<i>x</i> +

₁

3

‹<i>y</i>

−<i>y</i> =

₁

3

‹<i>x</i>

+<i>y</i>7

3<i>x</i>+4<i>y</i> =7

”

———————————HẾT———————————

<b>3.3</b>

<b>Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03</b>

<b>Câu 1</b> (3.0 điểm):

a) Khi hình thành khái niệm toán học cho học sinh, trong khâu nào giáo viên có thể yêu cầu học
sinh thực hiện hành động phân tích?

b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh phân tích định nghĩa sau đây về một đường thẳng vng góc
với một mặt phẳng: “Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vng
góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó” (HÌNH HỌC 11 - Nâng cao)

<b>Câu 2</b> (3.0 điểm):

Trong dạy học định lí tốn học, nếu bắt đầu q trình dạy học bằng phát biểu định lí thì giáo viên
làm thế nào để tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Áp dụng vào dạy học định lí cosin trong
tam giác

<b>Câu 3</b> (2.5 điểm): Nêu cách hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau đây:

“Giải bất phương trình: _p <i>x</i>

<i>x</i> +1₋1<i><</i>3”

<b>Câu 4</b> (1,5 điểm)

Cho bài toán: “Trong tập số thực, chứng minh rằng phương trình (ẩn <i>x</i>):

4<i>x</i>
<i>x</i>2₊₁=

(<i>a</i>+1)(<i>a</i>−1)₋<i>a</i>+4

p

<i>a</i>(<i>a</i>−1) +2 vơ nghiệm với mọi<i>a</i> ”

Hãy giải và khái qt hóa bài tốn trên theo quan điểm hàm số

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP

<b>3.4</b>

<b>Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02</b>

<b>Câu 1</b> Nếu dạy học một định lí tốn học có khâu nêu giả thuyết thì q trình dạy học cần được tổ
chức như thế nào? Áp dụng vào dạy học định lí sau đây

“Nếu<i>a</i>,<i>b</i> và <i>c</i> là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì<i>b</i> =<i>a</i>+<i>c</i>

2 ”

<b>Câu 2</b> .

a) Trong quá trình dạy học khái niệm tốn học, trong những khâu nào giáo viên có thể yêu cầu học
sinh thực hiện hành động so sánh?

b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh so sánh khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của
đường thẳng

<b>Câu 3</b> Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải bài tốn sau đây:
“Giải phương trình:

p

<i>x</i>3₋₄₊₂<i>_x</i>₍₁₋<i>_x</i>₎₋<i>_x</i>₊₂

p

<i>x</i>2₍<i>_x</i> ₋₁₎₋₍<i>_x</i> ₋₁₎2₋₃₊p

2<i>x</i>2₊₂₍₂₋₃<i>_x</i>₎ =1”

<b>Câu 4</b> Xét bài toán: “Chứng minh rằng:<i>a</i>2+<i>a</i>+ 1

<i>a</i>2+<i>_a</i>+₁≥1với mọi<i>a</i> (1)”

Một học sinh đã giải như sau:

“Giả sử<i>a</i>2+<i>a</i>+ 1

<i>a</i>2₊<i>_a</i>₊₁≤1 (2)
(2)_⇔<i>a</i>2+<i>a</i>+1+ 1

<i>a</i>2₊<i>_a</i>₊₁≤2

⇔(<i>a</i>2+<i>a</i>)2≤0vơ lí

Vậy(1)đúng với mọi<i>a</i> ”
Hãy nêu nhận xét về lời giải trên

———————————HẾT———————————

<b>3.5</b>

<b>Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03</b>

<b>Câu 1</b> .

a) Trình bày một mơ hình dạy học có thể dùng cho dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạy
học theo mơ hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh

b) Hãy dạy học định lý sau đây:

“Cho cấp số cộng(<i>un</i>). Đặt<i>Sn</i> =<i>u</i>1+<i>u</i>2+. . .+<i>un</i>

Khi đó<i>Sn</i> =

<i>n</i>(<i>u</i>₁+<i>u_n</i>)

2 ” (Đại số và giải tích 11)

bằng dạy học khám phá

<b>Câu 2</b> .

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

b) Áp dụng vào dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng với định nghĩa như sau:
“Vectơ<i>n~</i> được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng<i>∆</i>nếu<i>n~</i>6=<i>~</i>0và<i>n~</i>vng góc với vectơ
chỉ phương của<i>∆</i>” (Hình Học 10)

<b>Câu 3</b> Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải bài tốn sau đây:

“Trong tập số thực, giải bất phương trình: 8

<i>x</i>₊₂<i>x</i> ₋₁₁₊₂p5

<i>x</i> −1

5

p

<i>x</i> −1₋1 ≥1”

<b>Câu 4</b> Cho bài toán: “Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số thực<i>α</i>

3
2=

1
2 sin

4<i>_α</i>₊_cos4<i>_α</i>

+sin6<i>α</i>+cos6<i>α</i>+sin22<i>α</i>”
a) Hãy giải bài toán trên theo quan điểm hàm số

b) Hãy khái quát hóa bài tốn trên theo quan điểm hàm số (trình bày cả thuật giải)
c) Anh (Chị) hãy đề xuất hai bài toán kèm theo lời giải chi tiết cùng dạng bài tốn trên

———————————HẾT———————————

<b>Mục lục</b>

<b>1</b> <b>Đề thi mơn Giải tích</b> <b>2</b>

1.1 Giải tích, đề mẫu 01 . . . 2

1.2 Giải tích, đề mẫu 02 . . . 2

1.3 Giải tích, năm 2001 . . . 3

1.4 Giải tích, năm 2002 . . . 4

1.5 Giải tích, năm 2003 . . . 4

1.6 Giải tích, năm 2004 . . . 5

1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1 . . . 5

1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 . . . 6

1.9 Giải tích, năm 2006 . . . 6

1.10 Giải tích, năm 2007 . . . 7

1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 . . . 8

1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03 . . . 9

1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . 9

1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 . . . 10

<b>2</b> <b>Đề thi môn Đại số</b> <b>11</b>
2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01 . . . 11

2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . 12

2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 . . . 13

<b>3</b> <b>Đề thi môn Phương pháp</b> <b>14</b>
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1 . . . 14

3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1 . . . 14

3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 . . . 15

3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 . . . 16

</div>

<!--links-->