Đề thi – Đáp án môn Bài toán biên elliptic 2012 lần 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>

<b>————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ</b>

<b>NĂM HỌC 2011-2012</b>

<b>——oOo——-Mơn thi: Bài tốn biên elliptic</b>

Mã mơn học:

<b>...</b>

Số tín chỉ:

<b>2</b>

Đề số:

<b>2</b>

Dành cho học viên cao học khóa:

<b>2010-2012</b>

Ngành học:

<b>Tốn Giải tích</b>

Thời gian làm bài

<b>90 phút</b>

(khơng kể thời gian phát đề)

<b>Câu 1.</b>

(2 điểm) Hỏi hàm

e

3x+5

có là hàm suy rộng tăng chậm khơng? Giải thích câu trả lời.

<b>Câu 2.</b>

(3,5 điểm) Cho các toán tử vi phân

A

1

(x

,

D) =

<i>∂</i>

2

<i>∂</i>

x

2₁

+

x

1

<i>∂</i>

2

<i>∂</i>

x

₂2

,

A

2

(x

,

D) =

<i>∂</i>

2

<i>∂</i>

x

₁2

+

x

2

<i>∂</i>

2

<i>∂</i>

x

2₂

trong miền

B

=

{

x

= (x

1,

x

2

)

|

(x

1

−

1

)

2

+ (x

2

−

2

)

2

≤

1

|}

.

(a) (1,5 điểm)Tính tốn tử hợp thành

A(x

,

D) =

A

1

(x

,

D)

A

2

(x

,

D)

và biểu trưng chính của

tốn tử hợp thành đó.

(b) (2 điểm) Khảo sát tính elliptic đều của các tốn tử

A

1

(x

,

D)

,

A

2

(x

,

D)

và

A(x

,

D)

trên

miền

B.

<b>Câu 3.</b>

(4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic tại từng điểm trên biên của các bài toán biên sau.

Bài toán biên



























∆

2

_u(x

_1,

_x

_2,

_x

3

)

=

0

khi

x

2₁

+

x

2₂

+

x

2₃

<

1

<i>∂</i>

3

u

<i>∂</i>

x

3₁

(x

1

,

x

2

,

x

3

)

=

g(x

1

,

x

2

,

x

3

)

khi

x

21

+

x

22

+

x

23

=

1

3

∑

j=1

b

j

(x

1

,

x

2,

x

3

)

<i>∂</i>

u

<i>∂</i>

x

j

(x

1

,

x

2,

x

3

)

=

h(x

1

,

x

2,

x

3

)

khi

x

₁2

+

x

2₂

+

x

2₃

=

1.

(a)

(b

1

(x)

,

b

2

(x)

,

b

3

(x)) = (x

1

,

x

2

,

x

3

).

(b)

(b

1

(x)

,

b

2

(x)

,

b

3

(x)) = (x

2

,

−

x

1

,

x

3

).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>

———————–

<b>ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM</b>

<b>ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2011-2012</b>

<b>Mơn thi: Bài tốn biên elliptic</b>

Mã mơn học:

<b>...</b>

Số tín chỉ:

<b>2</b>

Đề số:

<b>2</b>

Dành cho sinh viên khoá:

<b>2010-2012</b>

Ngành học:

<b>Toán Giải tích</b>

<b>Lời giải 1.</b> [2điểm]

e3x+5

6∈

S0

(

<b>R</b>

)

. <b>0,5</b>

Chọn dãy hàm<i>ρ</i>k

(

x

) =

e−k<i>ρ</i>

(

3x

−

k

)

với

<i>ρ</i>

(

x

) =

(

ex21−1 khi

|

x

|

<

_1,

0 cịn lại.

<b>0,5</b>

Có
+)S−lim

k→∞<i>ρ</i>k

=

0;

+)

R

<b>R</b>

e3x+5_e−k<i>_ρ</i>

₍

₃_x

₋

_k

₎

_dx

₌

_e5

R

<b>R</b>

ey<i>_ρ</i>

₍

_y

₎

_dy

₌

_const

_6→

_0. <b>₁</b>

<b>Lời giải 2.</b> [3,5điểm]

(a)A

(

x,D

) =

<i>∂</i>
4

<i>∂</i>x4₁

+ (

x1

+

x2

)

<i>∂</i>2
<i>∂</i>x₁2

<i>∂</i>2
<i>∂</i>x2₂

+

x1x2

<i>∂</i>4
<i>∂</i>x4₂

+

2x1

<i>∂</i>3

<i>∂</i>x3₂ với biểu trưng chính

a

(

x,<i>ξ</i>

) =

x1<i>ξ</i>4₁

+ (

x1

+

x2

)

<i>ξ</i>2₁<i>ξ</i>₂2

+

x1x2<i>ξ</i>4₂.

<b>1,5</b>

(b) Tốn tửA2

(

x,D

)

là elliptic đều với hằng sốC

=

1/2, <b>1</b>
các tốn tử A1

(

x,D

)

,A

(

x,D

)

khơng elliptic đều vì chọn dãy điểm x

= (

2, 1/n

)

,n

=

2, 3, . . ..

<b>1</b>

<b>Lời giải 3.</b> [4,5điểm]

Các biểu trưng chính

+ phương trìnha

(

x,<i>ξ</i>

) = (

<i>ξ</i>2₁

+

<i>ξ</i>₂2

+

<i>ξ</i>2₃

)

2,

+ điều kiện biênb1

(

x,<i>ξ</i>

) =

<i>ξ</i>3₁,b2

(

x,<i>ξ</i>

) =

b1

(

x

)

<i>ξ</i>1

+

b2

(

x

)

<i>ξ</i>2

+

b3

(

x

)

<i>ξ</i>3. <b>0,5</b>
Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến

<i>η</i>

(

x

) = (

x1,x2,x3

)

,<i>ξ</i>

(

x

) = (

<i>ξ</i>1,<i>ξ</i>2,<i>ξ</i>3

)

<b>0,5</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Tốn tử∆là elliptic đúng, và

a+

(

x,<i>ξ</i>

+

<i>τη</i>

) = (

<i>τ</i>

−

i

)

2.

<b>0,5</b>

Cób1

(

x,<i>η</i>

) =

x3₁và

b1

(

x,<i>ξ</i>

+

<i>τη</i>

)

≡

(

3<i>ξ</i>₁2x1

+

6i<i>ξ</i>1x21

−

3x31

)

<i>τ</i>

+ (

<i>ξ</i>31

+

3x12<i>ξ</i>1

+

2ix31

)(

moda+

)

.

<b>0,5</b>

(a) Cób2

(

x,<i>η</i>

) =

1và

b2

(

x,<i>ξ</i>

+

<i>τη</i>

) =

h

<i>η</i>,<i>ξ</i>

+

<i>τη</i>

i

=

<i>τ</i>

≡

<i>τ</i>

(

moda+

)

.

<b>0,5</b>

Như vậy hệb1,b2là chuẩn tắc khix1

6

=

0và khi đó

det

3<i>ξ</i>2₁x1

+

6i<i>ξ</i>1x2₁

−

3x3₁ <i>ξ</i>3₁

+

3x2₁<i>ξ</i>1

+

2ix3₁

1 0

=

−

(

<i>ξ</i>₁3

+

3x₁2<i>ξ</i>1

+

2ix31

)

6

=

0.
Từ đó dẫn đến bài tốn biên đang xét là elliptic khi và chỉ khix1

6

=

0.

<b>0,5</b>

(b) Cób2

(

x,<i>η</i>

) =

x2₃và

b2

(

x,<i>ξ</i>

+

<i>τη</i>

)

≡

2

(

x3<i>ξ</i>3

+

ix32

)

<i>τ</i>

+

<i>ξ</i>23

+

x23

(

moda+

)

.
Như vậy hệb1,b2là chuẩn tắc khix1x3

6

=

0, và khi đó

det

3<i>ξ</i>₁2x1

+

6i<i>ξ</i>1x2₁

−

3x3₁ <i>ξ</i>3₁

+

3x2₁<i>ξ</i>1

+

2ix3₁

2

(

x3<i>ξ</i>3

+

ix₃2

)

<i>ξ</i>2₃

+

x2₃

.

<b>1,5</b>

Chưa biết bài tốn biên có elliptic hay khơng khix1x3

6

=

0?

Hà nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012
NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN

(ký và ghi rõ họ tên)

Đặng Anh Tuấn

</div>

<!--links-->