Đề thi – Đáp án môn Bài toán biên elliptic 2012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.7 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
<b>————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ</b>
<b>NĂM HỌC 2011-2012</b>
<b>——oOo——-Mơn thi: Bài tốn biên elliptic</b>
Mã mơn học:
<b>...</b>
Số tín chỉ:
<b>2</b>
Đề số:
<b>1</b>
Dành cho học viên cao học khóa:
<b>2010-2012</b>
Ngành học:
<b>Tốn Giải tích</b>
Thời gian làm bài
<b>90 phút</b>
(khơng kể thời gian phát đề)
<b>Câu 1.</b>
(2 điểm) Cho dãy hàm
{
fk
}
∞<sub>k</sub><sub>=</sub><sub>1</sub>trong không gian các hàm giảm nhanh
S(
<b>R</b>
n)
hội tụ
về hàm
0
trong
S(
<b>R</b>
n)
.
Chứng minh rằng với mọi số thực
s
ta đều có
(a)(1 điểm)
f
k∈
H
s(
<b>R</b>
n)
,
k
=
1, 2, . . .
,
(b)(1 điểm) và
lim
k→∞
R
<b>R</b>n
(
1
+
|
<i>ξ</i>
|
2)
s|F
f
k(
<i>ξ</i>
)
|
2d
<i>ξ</i>
=
0.
<b>Câu 2.</b>
(3,5 điểm) Cho các toán tử vi phân
A
1(x
,
D) =
x
1<i>∂</i>
2
<i>∂</i>
x
<sub>1</sub>2+
<i>∂</i>
2<i>∂</i>
x
<sub>2</sub>2,
A
2(x
,
D) =
<i>∂</i>
2<i>∂</i>
x
<sub>1</sub>2+
x
2<i>∂</i>
2<i>∂</i>
x
2<sub>2</sub>trong miền
B
=
{
x
= (x
1,
x
2)
|
(x
1−
2
)
2+ (x
2−
1
)
2≤
1
|}.
(a) (1,5 điểm)Tính tốn tử hợp thành
A(x
,
D) =
A
1(x
,
D)
A
2(x
,
D)
và biểu trưng chính của
tốn tử hợp thành đó.
(b) (2 điểm) Khảo sát tính elliptic đều của các tốn tử
A
1(x
,
D)
,
A
2(x
,
D)
và
A(x
,
D)
trên
miền
B
.
<b>Câu 3.</b>
(4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic của các bài tốn biên sau.
(a)(2 điểm) Bài tốn biên trong hình vuông
∆
u(x
1,
x
2)
=
0
khi
0
<
x
1,
x
2<
1,
<i>∂</i>
u
<i>∂</i>
x
1(
0,
x
2)
=
<i>ϕ0</i>
(x
2)
,
<i>∂</i>
u
<i>∂</i>
x
1(
1,
x
2) =
<i>ϕ1</i>
(x
2)
khi
0
<
x
2<
1,
<i>∂</i>
u
<i>∂</i>
x
2(x
1, 0
)
=
<i>ψ0</i>
(x
1)
,
<i>∂</i>
u
<i>∂</i>
x
2(x
1, 1
) =
<i>ψ1</i>
(x
1)
khi
0
<
x
1<
1.
(b)(2,5 điểm) Bài tốn biên trong nửa khơng gian
∆
2<sub>u(x</sub>
1
,
x
2,
x
3)
=
0
khi
x
1>
0,
<i>∂</i>
3u
<i>∂</i>
x
3<sub>1</sub>(x
1,
x
2,
x
3)
=
g(x
1,
x
2,
x
3)
khi
x
1=
0,
3
∑
j=1
<i>∂</i>
u
<i>∂</i>
xj
(
x
1,
x
2,
x
3)
=
h
(
x
1,
x
2,
x
3)
khi
x
1=
0.
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI</b>
<b>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</b>
———————–
<b>ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM</b>
<b>ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2011-2012</b>
<b>Mơn thi: Bài tốn biên elliptic</b>
Mã mơn học:
<b>...</b>
Số tín chỉ:
<b>2</b>
Đề số:
<b>1</b>
Dành cho sinh viên khố:
<b>2010-2012</b>
Ngành học:
<b>Tốn Giải tích</b>
<b>Lời giải Câu1</b>. [<b>2</b>điểm]
(a) Do fk
∈
S(
<b>R</b>n)
nênF
fk∈
S(
<b>R</b>n)
.Khi đó
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2)
(|s|+1+n)/2|F
fk(
<i>ξ</i>)
|
<
C. Do đóZ
<b>R</b>n
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2
<sub>)</sub>
s<sub>|F</sub>
<sub>f</sub>k
(
<i>ξ</i>)
|
2d<i>ξ</i><
CZ
<b>R</b>n
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2
<sub>)</sub>
−(n+1)d<i>ξ</i>
<
+
∞.<b>1</b>
(b) DoS− lim
k→∞fk
=
0nênS−klim→∞F
fk=
0.Khi đó lim
k→∞<i><sub>ξ</sub></i>sup<sub>∈</sub><b><sub>R</sub></b>n
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2)
(|s|+1+n)/2|F
fk(
<i>ξ</i>)
|
=
0. MàZ
<b>R</b>n
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2
<sub>)</sub>
s<sub>|F</sub>
<sub>f</sub>k
(
<i>ξ</i>)
|
2d<i>ξ</i><
sup<i>ξ</i>∈<b>R</b>n
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2)
|s|+1+n|F
fk(
<i>ξ</i>)
|
2Z
<b>R</b>n
(
1+
|
<i>ξ</i>|
2
<sub>)</sub>
−(n+1)d<i>ξ</i>.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
<b>1</b>
<b>Lời giải Câu2</b>. [<b>3,5</b>điểm]
(a)A
(
x,D) =
x1<i>∂</i>4
<i>∂</i>x4<sub>1</sub>
+ (
1+
x1x2)
<i>∂</i>2
<i>∂</i>x2<sub>1</sub>
<i>∂</i>2
<i>∂</i>x2<sub>2</sub>
+
x2<i>∂</i>4
<i>∂</i>x4<sub>2</sub>
+
2 <i>∂</i>3
<i>∂</i>x3<sub>2</sub> với biểu trưng chính
a
(
x,<i>ξ</i>) =
x1<i>ξ</i>4<sub>1</sub>+ (
1+
x1x2)
<i>ξ</i>2<sub>1</sub><i>ξ</i>2<sub>2</sub>+
x2<i>ξ</i>4<sub>2</sub>.<b>1,5</b>
(b) Tốn tửA1
(
x,D)
là elliptic đều với hằng sốC=
1, <b>1</b>các tốn tửA2
(
x,D)
,A(
x,D)
khơng elliptic đều vì chọn dãy điểmx
= (
2, 1/n)
,n=
2, 3, . . . .<b>1</b>
<b>Lời giải Câu3</b>. [<b>4,5</b>điểm]
(a) Các biểu trưng chính
+ phương trìnha
(
x,<i>ξ</i>) =
<i>ξ</i>2<sub>1</sub>+
<i>ξ</i><sub>2</sub>2,+ điều kiện biênb
(
0,x2,<i>ξ</i>) =
b(
1,x2,<i>ξ</i>) =
<i>ξ</i>1,b(
x1, 0,<i>ξ</i>) =
b(
x1, 1,<i>ξ</i>) =
<i>ξ</i>2. <b>0,5</b></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
<i>η</i>
(
0,x2) =
<i>η</i>(
1,x2) = (
1, 0)
,<i>η</i>(
x1, 0) =
<i>η</i>(
x1, 1) = (
0, 1)
,<i>ξ</i>
(
0,x2) =
<i>ξ</i>(
1,x2) = (
0, 1)
,<i>ξ</i>(
x1, 0) =
<i>ξ</i>(
x1, 1) = (
1, 0)
.<b>0,5</b>
Toán tử∆là elliptic đúng, hệ gồm một toán tử biênb
(
x,<i>ξ</i>)
là chuẩn tắc vàa+
(
x,<i>ξ</i>+
<i>τη</i>) =
<i>τ</i>−
i.<b>0,5</b>
Kiểm trab
(
x,<i>ξ</i>+
<i>τη</i>)
trên từng cạnh của hình vng. Từ đó dẫn đến bài tốn biên đangxét là elliptic.
<b>0,5</b>
(b) Các biểu trưng chính
+ phương trìnha
(
x,<i>ξ</i>) = (
<i>ξ</i>2<sub>1</sub>+
<i>ξ</i><sub>2</sub>2+
<i>ξ</i>2<sub>3</sub>)
2,+ điều kiện biênb1
(
x,<i>ξ</i>) =
<i>ξ</i>3<sub>1</sub>,b2(
x,<i>ξ</i>) =
<i>ξ</i>1+
<i>ξ</i>2+
<i>ξ</i>3. <b>0,5</b>Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
<i>η</i>
(
0,x2,x3) = (
1, 0, 0)
,<i>ξ</i>(
0,x2,x3) = (
0,<i>ξ</i>2,<i>ξ</i>3)
.<b>0,5</b>
Toán tử∆là elliptic đúng và
a+
(
x,<i>ξ</i>+
<i>τη</i>) = (
<i>τ</i>−
i)
2.<b>0,5</b>
Hệ hai tốn tử biên cób1
(
x,<i>η</i>) =
1,b2(
x,<i>η</i>) =
1nên hệ chuẩn tắc vàb1
(
x,<i>ξ</i>+
<i>τη</i>)
≡ −
3<i>τ</i>+
2i(
moda+)
,b2(
x,<i>ξ</i>+
<i>τη</i>)
≡
(
<i>ξ</i>2+
<i>ξ</i>3) +
<i>τ</i>(
moda+)
.<b>0,5</b>
Có định thức
det
−
3 2i1 <i>ξ</i>2
+
<i>ξ</i>3=
−
3(
<i>ξ</i>2+
<i>ξ</i>3)
−
2i6
=
0,∀
<i>ξ</i>2,<i>ξ</i>3∈
<b>R</b>.Từ đó dẫn đến bài tốn biên đang xét là elliptic.
<b>0,5</b>
Hà nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012
NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN
(ký và ghi rõ họ tên)
Đặng Anh Tuấn
</div>
<!--links-->
