sách đại số đại cương của thầy nguyễn viết đông – trường đh khtn tphcm bạn cũng làm được như tôi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1
<b>Nhớm 3 </b>

Bài 1.3

1. (X,.) là nhóm => a X; aX= Xa= X
Ta chứng minh aX=X

Với mọi b thuộc aX thì b có dạng ak với k thuộc X nên b thuộc X
=>

Với mọi k thuộc X thì k = a( a-1k) nên k thuộc aX.
Vậy aX=X

Tương tự Xa=X
Do đó: Xa=aX=X

2. (X,.) là nhóm <= a X; aX= Xa= X
Vì a X; aX= Xa= X

Do đó

Ư X,.  là nhóm. 

Bài 1.7 

<b>a)</b> CM: ~ là quan hệ tương đương
Tính phản xạ: a~a vì

Tính đối xứng: a~bÙ
Ùha

Ùb~a
Tính truyền: x~yÙ

y~zÙ

Ö x=

Ö x=

mà ba

Ö x~z

<b>b)</b> CM: ~ là quan hệ thứ tự trên G Ù G giao hoán
G giao hoán => ~ là quan hệ thứ tự trên G

Vì ~ đã có tính phản xạ và truyền nên ta chỉ xét tính phản xứng
x~y thì y~x (do tính đối xứng đã cm ở trên)

x ~y Ù

Ù x=

Ù x=

Ư ~ có tính phản xứng
Ö ~ là quan hệ thứ tự trên G

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2
Chọn x bất kì thuộc G

Ta có

Ư x~y ( do tính đối xứng)
vì ~ có tính phản xứng

Ư y=x

Vậy
Do đó:
Ư ax=xa

Vậy G giao hốn
Bài 1.11

<b> </b>

<b>a) </b> 1= (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) = (6 5) (6 3) (6 2) (6 1) (8 7) (8 4) (9 10)
2= (1 5 2 7) = (7 2) (7 5) (7 1)

Sign( 1)= -14+2+1= -1 => 1 là hoán vị lẻ
Sign( 2)= -13 = -1 => 2 là hoán vị lẻ
Cấp của 1 = [5,3,2] = 30
Cấp của 2 = [4] = 4

<b>b) </b> 1 2= (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) (1 5 2 7) = (1 6) (2 8 4 7) (3 5) (9 10)
2)2 = (1 5 2 7) (1 5 2 7) = (1 2) (5 7)

( 2)-1 = (7 2 5 1)

( 2)-2 = (1 2) (5 7)

( 1)2 = (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) = (1 3 6 2 5) (4 8 7)
( 1)2 2= (1 3 6 2 5) (4 8 7) (1 5 2 7) = (2 4 8 7 3 6)

1 ( 2)2 = (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) (1 2) (5 7) = (1 3 5 8 4 7 6) (9 10)
<b>c) </b> 1 ( 2)-2 = ( 1)3

Ù ( 2)-2 = ( 1)-1( 1)3
Ù = ( 1)2( 2)2

Ù = (1 3 6 2 5) (4 8 7) (1 2) (5 7)
Ù = (1 5 4 8 7) (2 3 6)

Bài 1,15
<b>a) </b>

Ta có M(2,Q) chứa H

H khác rỗng vì thuộc H
Với mọi k, l thuộc H:

+

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3
-k = => -k thuộc H

Vậy H là nhóm con của nhóm (M(2,Q),+)

<b>b) </b> Ta có GL(2,Q) chứa H, vì với mọi số hữu tỉ x, y thì det _⎟⎟

⎠

⎞
⎜⎜

⎝
⎛

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

2 = 0 khi
và chỉ khi x2 = 2y2 khi và chỉ khi x = y = 0 ( vì x, y hữu tỉ)

Vậy H là tập con của G.
Với k,l thuộc H:

ta có kl= = cũng thuộc H.

Với k thuộc H: k-1 = H

Vậy H (GL(2,Q),.)
i) Un={cos( + isin(

C* chứa Un
Un vì 1  

Lấy z,t thuộc Un, ta có zt = [cos( + isin( ] [cos( + isin( ] =
cos( + isin(

Ư zt thuộc Un

Ta có: z thuộc Un => zn=1 => z-n=1 => z-1 thuộc Un
Vậy Un (C*,.)

ii) C* chứa U
U vì 1
Ta có: z,t thuộc U

Ư tồn tại k,l thuộc N sao cho zk =1 và tl = 1
ta có: (zt)kl=(zk)l.(tl)k =1

do đó: zt thuộc U

Ta có: z thuộc U => k *: zk = 1 => z-k=1
Do đó z-1 thuộc U

Vậy U (C*,.)
iii) C* chứa T

T khác rỗng vì 1 T

Với z,t thuộc T: |zt| = |z| |t| = 1
Do đó zt T

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4
Vậy T (C*,.)

Bài 1.19

a) C(a) là nhóm con của G:

e thuộc C(a). Với mọi x, y thuộc C(a) thì (xy)a = x(ya) = x(ay) = xay = axy = a(xy) do
đó xy cũng thuộc C(a).

Đồng thời xa = ax nên x-1a = ax-1 do nhân hai vế với x-1 về bên trái và bên phải.
Vậy C(a) là nhóm con của G.

Ta chứng minh C(G) là nhóm con của G hồn toàn tương tự, mặt khác dễ thấy C(G) là
tập con của C(a) nên nó cũng là nhóm con của C(a).

b) Vì C(G) là nhóm con của C(a) với mọi a thuộc G, nên VT là tập con của VP.
Mặt khác nếu x thuộc ∩C(a) thì với mọi a thuộc G ta có xa = ax nên a thuộc C(G).
Vậy VP là tập con của VT, nên ta có đpcm.

c) G giao hốn khi và chỉ khi với mọi x thuộc G, với mọi y thuộc G thì xy = yx
khi và chỉ khi x thuộc C(G) với mọi x thuộc G

khi và chỉ khi G là con của C(G)

mà C(G) là nhóm con của G nên G giao hốn khi và chỉ khi C(G) = G.
d) Gọi H là nhóm con của C(G) nên H là nhóm con của G.

Mặt khác với mọi x thuộc G và h thuộc H thì xh = hx( do h thuộc C(G) ) nên xhx-1 = h
thuộc H.

Vậy H là nhóm con chuẩn tắc của G.

e) Ta chứng minh C(GL) = { aIn : a là số thực }

Các ma trận có dạng aIn đều thuộc nhóm tâm hóa của GL:
(aIn)A = a(InA) = aA = Aa = A(aIn)

Giả sử A là ma trận thuộc C(GL) suy ra AB = BA với mọi B khả nghịch cấp n.

Áp dụng kết quả quen thuộc với mọi ma trận P ta có thể biểu diễn P = B + C với B, C là
các ma trận khả nghịch.

Do AB = BA và AC = CA nên AP = PA.
Vậy AB = BA với mọi ma trận B vuông cấp n.

+ Xét B = Eij với Eij là ma trận chỉ có phần tử thứ ij bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0.
Cho i = j ta được AB là ma trận chỉ có cột thứ i khác khơng, và có cột thứ I chính là cột
thứ i của A.

Cịn BA là ma trân chỉ có hàng thứ i khác khơng, và hàng thứ i chính là hàng thứ I của A.
AB = BA suy ra A có các phần tử trên hàng i, cột i đều bằng 0, ngoại trừ phần tử thứ ii.
Cho i chạy từ 1 đến n, ta suy ra A là ma trận đường chéo.

+ Ta xét i = 1, j bất kì.

AB là ma trận chỉ có phần tử thứ 1j khác 0, và bằng [A]11.
BA là ma trận chỉ có phần tử thứ 1j khác 0, và bằng [A]jj.
Vậỵ [A]11 = [A]jj

Cho j chạy từ 1 đến n suy ra A là ma trận aIn.
Vậy C(GL) = { aIn : a là số thực }

Bài 1.23

a)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

5

Với mọi a, b thuộc K, tồn tại các số tự nhiên p,q sao cho ap, bq đều thuộc H.
Khi đó apq, bpq cũng thuộc H, do đó đặt n = pq thì an, bn đều thuộc H.
Ta có :

( ab)n = anbn thuộc H
(a-1)n = (an)-1 thuộc H
Do đó ab và a-1 đều thuộc K.

Mặt khác K khác rỗng do e thuộc K.
=> K là nhóm con của G

Mà G là nhóm Abel

=> K là nhóm con chuẩn tắc của G.
ii) Chứng minh H là tập con của K

Lấy x thuộc H ta cm x thuộc K tức là tồn tại m thuộc N* sao cho xm thuộc K
Chọn m =1 => x thuộc K

Vậy H là tập con của K

b) Giả sử G/K có 1 phần tử yK có cấp hữu hạn n>1, suy ra yK khác K.
nên (yK)n = K

=> ynK = K
Vậy yn_{thuộc K}

Do đó tồn tại một số tự nhiên m sao cho (yn)m thuộc H, hay ymn thuộc H trong đó
mn là số tự nhiên.

Nên y thuộc K, khi đó thì yK cũng chính là K( vơ lí)

Vậy trong G/K khơng có phần tử nào có cấp hữu hạn lớn hơn 1.
Bài 1.27.

Nhắc lại kết quả bài 1.26. cấp của tích các chu trình rời nhau bằng bội số chung
nhỏ nhất của cấp của các chu trình này.

a) 20 = 4.5

Suy ra phần tử σ có cấp 20 trong S9 là tích các chu trình rời nhau, sao cho có một
chu trình có độ dài chia hết cho 5, mà độ dài chu trình nhỏ hơn 9, suy ra σ phải
chứa một chu trình có độ dài 5. Trừ 5_ chu trình này ra thì chỉ cịn lại tối đa 4
phần tử cho các chu trình cịn lại, mà bội chung nhỏ nhất của tích các chu trình
này phải bằng 4, suy ra đó phải là 4_ chu trình.

Vậy các phần tử có cấp 20 trong S9 phải là tích của hai chu trình rời nhau có độ
dài là 4 và 5.

b) 18 = 2.3.3.

Giả sử phần tử σ có cấp 18 trong S9 suy ra trong dạng phân tích thành các chu
trình rời nhau của σ phải có một chu trình có cấp là bội số của 3.

Hơn nữa nếu gọi a là chu trình trong σ có cấp có lũy thừa của 3 trong phân tích
thành nhân tử cao nhất so với các chu trình khác trong σ thì cấp của a phải chia

hết cho 9 nếu khơng thì BCNN của các chu trình trong σ khơng thể chia hết cho 9
được.

Vậy σ chứa một chu trình cấp 9, suy ra σ chính là 9_ chu trình, vơ lí.
Bài 1.31.

Giả sử G chỉ có hai nhóm con tầm thường, xét <a> với a khác e thuộc G thì G =
<a> do đó G là nhóm cyclic.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6

Mà nhóm cyclic cấp n có số nhóm con bằng số ước số của n( theo bài 1.34), do đó
G phải có cấp ngun tố. Nếu khơng dùng kết quả của bài tốn 34 thì ta thấy <
ad> với d là ước không tầm thường của n( giả thiết n không nguyên tố) khơng
trùng với G. Vì với mọi h ngun thì (dh,n) chia hết cho d nên dh khơng thể đồng
dư 1 mod n, suy ra a không thuộc < ad>. Vậy n phải nguyên tố.

Bài 1.35.

a) Nếu G1, G2 là các nhóm cyclic có cấp nguyên tố cùng nhau thì G = G1 x G2
cyclic.

Giả sử G1 = <a> với a có cấp p, G2 = <b> với b có cấp q, và (p,q) = 1.
Khi đó ta cm G = < (a,b)>.

Với mọi x thuộc G, x có dạng ( ah, bk) , vì p, q nguyên tố cùng nhau nên tồn tại
m,n để

pm – qn = k – h

Dặt t = pm + h = qn + k thì (a,b)t = (at, bt) = ( ah, bk) = x.
Vậy G là nhóm cyclic.

b) Nếu G cyclic thì G1, G2 là các nhóm cyclic có cấp nguyên tố cùng nhau.
Giả sử G = < (a,b)>.

Khi đó với mọi x thuộc G1 và y thuộc G2 thì tồn tại số nguyên n sao cho an _{= x và}
bn = y .

Do đó G1 = <a>, G2 = <b>

Vì G1, G2 có tối thiểu 2 phần tử nên a, b đều khác e.

Xét (e, b) thuộc G, tồn tại n nguyên sao cho (a,b)n = (e,b), suy ra n khác 0 và an =
e, do đó n chia hết cho cấp a, suy ra G1 có cấp hữu hạn giả sử là p, tương tự G2 có
cấp q.

Giả sử (p, q) = d. Khi đó xét ( a2, b) = (a,b)h = (ah, bh)

Nên h ≡ 2(mod p) ≡ 1( mod q) do đó h ≡ 2(mod d) ≡ 1( mod d) vậy d = 1.
Bài 1.39.

Với mọi x thuôc H và y thuộc K thì

yx-1y-1 thuộc H nên x yx-1y-1 thuộc H.
x yx-1thuộc K nên x yx-1y-1 thuộc K.

mà H ∩ K = {e} nên x yx-1_y-1_{= e hay xy = yx.}
Bài 1.43.

a) Để cm nhóm sinh bởi S là nhóm con chuẩn tắc của G ta chỉ cần cm xsx-1thuộc
<S> với mọi s thuộc S và x thuộc G. Đặc biệt khi đã biết một số phần tử sinh của
G thì ta chỉ cần kiểm tra đối với x là phần tử sinh.

[G, G] sinh bởi các hốn tử. Do đó ta chỉ cần xét x, y, z bất kì thuộc G và cm z-1(
x-1y-1xy) zthuộc [G, G].

Ta có z-1 x-1y-1xy z = (z-1 x-1zx)(x-1z-1y-1xy z) = (z-1 x-1zx)[x-1(yz)-1x(yz)] thuộc
[G, G].

Vậy [G, G] là nhóm con chuẩn tắc của G.

b) G/H giao hoán khi và chỉ khi với mọi x, y thuộc G thì xH. yH = yH. xH hay xyH
= yxH hay (yx)-1xy thuộc H.

Vậy G/H giao hoán khi và chỉ khi [G, G] chứa trong H.
Nói riêng G/ [G, G] giao hoán.

Bài 1.47.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7

Khi G abel ta cm f không những là đồng cấu mà còn là đẳng cấu suy ra f là tự
đẳng cấu cảu G.

Mà f là đẳng cấu là hiển nhiên do mỗi phần tử của G có 1 phần tử nghịch đảo duy
nhất, và quan hệ nghịch đảo có tính chất đối xứng.

Bài 1.51.

f đồng cấu khi và chỉ khi f(a)f(b) = f(ab) hay a-1b-1 = (ab)-1 = b-1a-1.

Vậy f là đồng cấu khi và chỉ khi ab = ba với mọi a, b thuộc G-1 mà G-1 = G nên f
đồng cấu tương đương G abel.

Bài 1.55.

a) Xét nhóm con H của nhóm GL(2, C) sinh bởi a = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
1
1
0

, b = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−1
0
0
ς

ς
, trong
đó ς là căn nguyên thủy bậc n của 1( tức là ςn =
1, và ς k_{≠ 1 với mọi số nguyên dương k nhỏ hơn n.}

Ta có a2 = In = e, b-1 = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
ς
ς
0
0
1

, ab = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
0
0 1
ς
ς

= b-1a.

bn = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−n
<i>n</i>
ς
ς
0
0
= e.

Ta cm các phần tử sau thuộc H là đôi một khác nhau
e, a, b, b2, ..., bn-1, ab, ab2, ..., abn-1

Ta có bk = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−k
<i>k</i>
ς

ς
0
0

, abk = _⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
0
0
<i>k</i>
<i>k</i>
ς
ς

với k chạy từ 1 đến n-1.

Vì ς là căn nguyên thủy bậc n của 1 nên ςk ≠ 1 do đó ς k ≠ ς l và ς-k ≠ 1với
mọi số dương k, l nhỏ hơn n,

Do đó các phần tử kể trên là khác nhau đôi một.

b) Ta chứng minh nếu K là nhóm sinh bởi hai phần tử a, b sao cho a, b thỏa mãn các
điều kiện a2 = bn = e, ab = b-1a thì K chỉ gồm các phần tử e, a, b, b2, ..., bn-1, ab,
ab2, ..., abn-1 mà thơi.

Mọi phần tử của nhóm con sinh bởi a, b đều có dạng <i>_an</i>1 <i>_bn</i>2 <i>_an</i>3...(tích hữu hạn)

trong đó ni là các số tự nhiên hoặc bằng 0.

Nhận xét ak = e nếu k chẵn và ak = a nếu k lẻ( do cấp của a bằng 2) nên trong biểu
thức trên có thể giả sử các số mũ ni của a đều là 1( riêng n1 có thể bằng 1 hoặc 0)
tức là phần tử tổng quát của K có dạng (a)<i>_bn</i>2a<i>_bn</i>3a... <i>_bnk</i> (a) ( số trong dấu ngoặc

nghĩa là có thể có hoặc khơng)
Ta cm bka = ab-k, hay abkabk = e.

Ta có với k dương thì abka = (aba)k = b-k( vì (aba)(aca) = abaaca = abca, suy ra
dấu bằng đầu tiên trong dãy đẳng thức vừa nêu)

Nếu k âm thì cũng từ abl_{a = b}-l_{với l = -k, ta có ab}-k_{a = b}k _{nên ab}-k _{= b}k_a.
Vậy là bka = ab-k với mọi k nguyên.

Áp dụng vào dạng khai triển tổng quát, ta có <i>_bn</i>2a <i>n</i>3

<i>b</i> = a <i>n</i>3 <i>n</i>2

<i>b</i> − , khi đó ta đã làm
giảm số lần xuất hiện của b đi 1, áp dụng nhiều lần ta sẽ đưa là dạng tổng quát của
một phần tử thuộc K là (a) <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8
Mà a2 = bn = e

Vậy K chỉ có tối đa là 2n phần tử e, a, b, b2, ..., bn-1, ab, ab2, ..., abn-1.

Ta có K đẳng cấu với nhóm thương của nhóm tự do sinh bởi 2 phần tử x,y( mà ta
đặt là nhóm G) trên nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các phần tử x2, yn, yxyx mà ta

đặt là nhóm chuẩn tắc R.

c) Theo hai câu a, b ở trên ta thấy H chính là một trong các nhóm K, vì nếu H đẳng
cấu với nhóm thương G / T thì hiển nhiên là R là nhóm con của T, khi đó thì
nhóm G/T phải có số phần tử nhỏ hơn hoặc bằng số phần tử của nhóm G/R, do đó
T = R.

Vậy H chính là nhóm nhị diện Dn, và theo chứng minh trên thì các nhóm nhị diện Dn đều
đẳng cấu với nhau, cùng đẳng cấu với nhóm thương của nhóm tự do sinh bởi 2 phần tử
x,y( mà ta đặt là nhóm G) trên nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các phần tử x2, yn, yxyx.
Bài 1.59.

a) f(e) = f(xn) = ( f(x))n = yn nên y có cấp là ước số của n.

b) Mỗi ánh xạ f từ G vào G’ hoàn toàn được xác định khi biết f(x), theo câu a, thì
f(x) có cấp là ước số của n nên tương ứng đã cho là đơn ánh.

Với y thuộc G’ có cấp là ước số của n xét ánh xạ f từ G vào G’ biến xk thành yk
với mọi số nguyên k. Ta cm f xác định.

Vì với t = xk = xl thì k – l là bội của n do đó yk = yl , suy ra f(t) luôn nhận một giá
trị duy nhất.

Việc kiểm tra tính đồng cấu của f khá dễ dàng do cách xác định ở trên.
Vậy tương ứng đã cho là song ánh.

Bài 1.63.

Ta có với mọi (a,b), (x,y) thuộc G1x G2 thì

p1(a,b)p1(c,d) = ac = p1((a,b)(c,d)) = p1(ac,bd).
Do đó p1 là đồng cấu.

Mặt khác với mọi a thuộc G1 p1(a,e) = a. Vậy p1 là toàn cấu.
Ker(p1) = { (e,b), b thuộc H2} = H2.

Tương tự cho p2.

b) Cm hoàn toàn tương tự câu a.

c) Theo câu a, G/H1 đẳng cấu G2, mà G2 đẳng cấu với H2 qua đẳng cấu biến a
thuộc G2 thành (e, a).

Suy ra G/H1 đẳng cấu với H2.
d) (a,b) = (a,e)(e,b) suy ra G = H1.H2.

Bài toán tổng quát: cho Gi là nhóm với i từ 1 đến n.
G = G1 x G2 x ... x Gn.

Hi = {e} x {e} x .. x Gi x {e} x ... x {e}.

Ta có Hi đẳng cấu Gi, và là các nhóm con chuẩn tắc của G.
Khi đó phép chiếu pi : G → Gi

(a1, ..., an) → ai.

Là toàn cấu và ker pi = H1H2...Hi-1Hi+1...Hn.
Suy ra G/ H1H2...Hi-1Hi+1...Hn đẳng cấu Hi.
Phép nhúng Пi : Gi → G

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9

Nhận xét các nhóm con chuẩn tắc Hi của G giao nhau chỉ có e nên chúng giao
hốn nhau từng đôi một.

G = H1H2...Hn
Bài 1.67.

Trước hết ta kiểm tra rằng ánh xạ fx đã cho là xác định và thuộc vào S(G):
Nhận xét từ tính chất giản ước của nhóm ta suy ra ngay ánh xạ fx trên G
biến y thành xy là một đơn ánh.

Do G hữu hạn nên suy ra fx là song ánh trên G nên thuộc S(G).

Ta chứng minh ánh xạ( mà ta đặt là f) biến x thuộc G thành f(x) = fx là một đơn
cấu.

+ f là một đồng cấu:

Với mọi x, y,z thuộc G thì

fxy(z) = xyz = fx(yz) = fx(fy(z)) = fxfy(z).
Vậy f là đồng cấu.

+ f là một đơn cấu :

f(x) = f(y) thì fx(e) = fy(e) hay x=y.

</div>

<!--links-->