Tài liệu về phép biến hình

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Người soạn: Huỳnh Văn Quy

Tìm quỹ tích bằng cơng cụ phép biến hình

<b>1</b>

<b>Phương pháp chung</b>

Thường thì bài tốn tìm quỹ tích (tìm tập hợp điểm) được cho dưới dạng "Cho một
điểm<i>M</i> chuyển động trên một hình(<i>H</i>) và tìm quỹ tích một điểm<i>M</i>0 _{thỏa mãn một}

số giả thuyết nào đó". Cách giải của chúng ta là dựa vào các điều kiện đã cho trong
giả thiết đã xác định được phép biến hình<i>f</i> biến<i>M</i> thành<i>M</i>0_{, hay rõ hơn, xác định}

<i>M</i>0 _{là ảnh của} <i>_M</i> _{trong phép biến hình} <i>_f</i>_{. Như vậy quỹ tích của} <i>_M</i>0 _{là hình} ₍<i>_H</i>0₎_,

ảnh của hình(<i>H</i>) trong phép biến hình <i>f</i>.

<b>2</b>

<b>Nhắc lại một số quỹ tích cơ bản</b>

<b>2.1</b> <b>Các quỹ tích là đường thẳng</b>

i) Quỹ tích các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn
thẳng nối hai điểm ấy.

ii) Quỹ tích các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc.
iii) Quỹ tích các điểm cách đường thẳng cố định ∆một khoảng <i>h</i> không đổi là hai

đường thẳng song song với ∆ và cách∆một khoảng <i>h</i>.

iv) Quy tích những điểm<i>M</i> có hiệu bình phương các khoảng cách đến hai điểm cố
định <i>A, B</i> bằng một số không đổi<i>M A</i>2<i>₋_{M B}</i>2 ₌<i>_k</i>2 _{là đường thẳng vng góc}

với<i>AB</i> tại điểm<i>H</i> với<i>IH</i> = <i>k</i>

2

2AB, trong đó <i>I</i> là trung điểm của <i>AB</i>.

<b>2.2</b> <b>Các quỹ tích là đường trịn</b>

i) Quỹ tích những điểm cách điểm cố định <i>O</i> một đoạn khơng đổi<i>R</i>là đường trịn
tâm <i>O</i>, bán kính<i>R</i>.

ii) Quỹ tích các điểm<i>M</i> ln nhìn hai điểm cố định<i>A, B</i>dưới một góc <i>α</i>cho trước
là hai cung chứa góc <i>α</i> dựng trên đoạn <i>AB</i>.

Đặc biệt, khi <i>α</i> = 90◦ _{thì quỹ tích nhứng điểm} <i>_M</i> _{ln nhìn đoạn thẳng} <i>_AB</i>

dưới một góc vng là đường trịn đường kính <i>AB</i>.

iii) Quỹ tích những điểm <i>M</i> có tổng bình phương các khoảng cách đến hai điểm cố
định<i>A, B</i> bằng một số không đổi<i>M A</i>2+<i>M B</i>2 =<i>k</i>2 là đường tròn tâm là trung
điểm <i>I</i> của đoạn thẳng <i>AB</i> và bán kính <i>R</i>= 1

2

<i>√</i>

2k2 <i>₋_AB</i>2_.

iv) Quỹ tích những điểm <i>M</i> có tỉ số các khoảng cách đến hai điểm cố định <i>A, B</i>

bằng một số khơng đổi <i>k</i>

<i>M A</i>
<i>M B</i> =<i>k</i>

là đường trịn đường kính <i>EF</i>, trong đó <i>E, F</i> là các điểm chia trong và chia
ngoài đoạn <i>AB</i> theo tỉ số <i>k</i>. (Đường trịn này gọi là đường trịn Appollonius
-nhà tốn học học cổ Hi Lạp).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Người soạn: Huỳnh Văn Quy

Ví dụ 1. Cho đường trịn(O;<i>R)</i>, một đường kính<i>AB</i>và một điểm<i>M</i> di chuyển trên
đường tròn. Gọi <i>A</i>0 là điểm đối xứng của điểm <i>A</i> qua tâm <i>M</i>, dựng về phía ngồi
đường trịn hình chữ nhật <i>BM A</i>0<i>C</i>.

a) Tìm quỹ tích tâm <i>I</i> của hình chữ nhật.
b) Tìm quỹ tích điểm<i>C</i>.

c) Tìm quỹ tích điểm<i>A</i>0.

d) Tìm quỹ tích trọng tâm<i>G</i> của tam giác <i>ABA</i>0.

Ví dụ 2. Cho hai đương trịn đồng tâm. Qua một điểm<i>P</i> cố định thuộc đường tròn
nhỏ, ta kẻ một dây cung <i>P A</i>thay đổi thuộc đường tròn này. Đường thẳng qua<i>P</i> và
vng góc với<i>P A</i> cắt đường trịn lớn tại hai điểm<i>B, C</i>.

Tìm tập hợp trung điểm của các cạnh của tam giác <i>ABC</i>.

Ví dụ 3. Cho nửa đường trịn đường kính <i>AB</i> và một điểm <i>C</i> di chuyển trên nửa
đường trịn. Ta dựng về phía ngồi nửa đường trịn một tam giác đều <i>BCD</i>.

a) Tìm tập hợp đỉnh<i>D</i>.

b) Tìm tập hợp trung điểm <i>N</i> của cạnh <i>BD</i>.
c) Tìm tập hợp trung điểm<i>M</i> của cạnh <i>CD</i>.

d) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác<i>BCD</i>.

<b>3</b>

<b>Bài tập</b>

Bài tập 1. Cho tam giác <i>ABC</i> có cạnh <i>BC</i> cố định và góc <i>A</i>b= <i>α</i>, khơng đổi. Gọi

<i>A</i>0 là điểm đối xứng với với điểm<i>A</i> qua đường trung trực của cạnh <i>BC</i>.
a) Tìm quỹ tích điểm<i>A</i>.

b) Tìm quỹ tích điểm<i>A</i>0.

Bài tập 2. Cho đường tròn (O) và một điểm <i>A</i> cố định khơng ở trên đường trịn.
Với mỗi điểm<i>M</i> thuộc đường tròn, ta cho ứng với điểm <i>M</i>0 _{sao cho} <i>−−→_AM</i>0 ₌<i>−−→_OM</i>_.

Tìm tập hợp các điểm <i>M</i>0.

Bài tập 3. Cho đường trong(O)và một dây <i>BC</i> cố định của đường tròn. Một điểm

<i>A</i>di chuyển trên đường tròn. Gọi <i>D</i> là trung điểm của dây <i>BC</i> và <i>E</i>,<i>F</i> theo thứ tự
là các điểm đối xứng với điểm<i>F</i> qua các trung điểm của các cạnh <i>AB, AC</i>.

Tìm tập hợp các điểm <i>E, F</i>.

Bài tập 4. Cho hình bình hành<i>ABCD</i> có hai đỉnh <i>A, B</i> cố định. Tìm tập hợp đỉnh

<i>C</i> trong các trường hợp

a) Đỉnh <i>D</i> di chuyển trên đường tròn tâm<i>A</i>, bán kính <i>R</i>.
b) Đỉnh <i>D</i> di chuyển trên một đường thẳng cố định∆.

Bài tập 5. Cho một đường tròn tâm (O) và một điểm <i>A</i> cố định thuộc đường tròn,
kẻ tiếp tuyến<i>AT</i> và lấy trên <i>AT</i> một điểm<i>M</i>. Từ<i>M</i> kẻ tiếp tuyến thứ hai<i>M B</i> với
đường trịn. Tìm tập hợp:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Người soạn: Huỳnh Văn Quy

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác<i>M AB</i>.
b) Trực tâm<i>H</i> của tam giác<i>M AB</i>.

Bài tập 6. Cho hình thang <i>ABCD</i> (<i>AB//CD</i>) có <i>AD</i> = <i>a</i>, <i>CD</i> = <i>b</i>, <i>AB</i> =<i>c</i>. Hai
đỉnh <i>A</i>, <i>B</i> cố định và đỉnh<i>D</i> thay đổi

a) Tìm tập hợp đỉnh<i>C</i>.

b) Tìm tập hợp giao điểm<i>I</i> của hai đường chéo.

Bài tập 7. Cho đường tròn (O) và một điểm<i>A</i> cố định thuộc đường tròn. Một điểm

<i>B</i> thay đổi trên đường tròn. Đường thẳng kẻ qua <i>B</i> vng góc với tiếp tuyến tại
điểm <i>A</i> tại điểm<i>A</i> cắt tia phân giác của góc <i>AOB</i> tại điểm<i>M</i>.

Tìm tập hợp các điểm <i>M</i>.

Bài tập 8. Cho hai đường thẳng<i>x</i>0<i>_x</i>_,<i>_y</i>0<i>_y</i>_{vng góc với nhau tại điểm}<i>_O</i>_{và một điểm}

<i>A</i> cố định. Đường tròn tâm<i>I</i> đi qua hai điểm <i>O, A</i> cắt <i>x</i>0<i>_x</i> _và <i>_y</i>0<i>_y</i> _{lần lượt tại} <i>_B</i> _và

<i>C</i>. Gọi <i>A</i>0 là điểm đối xứng của điểm <i>A</i> qua đường thẳng <i>BC</i>.
a) Tìm tập hợp các điểm<i>I</i>.

b) Tìm tập hợp các điểm<i>A</i>0_.

Bài tập 9. Cho nửa đường tròn đường kính <i>AB</i> và một điểm <i>C</i> di chuyển trên nửa
đường tròn. Trên tia<i>AC</i> ta lấy một điểm <i>M</i> sao cho <i>AM</i> =<i>BC</i>.

Tìm tập hợp các điểm <i>M</i>.

Bài tập 10. Cho đường tròn (<i>O</i>) và một cung
y

<i>AB</i> thuộc đường tròn, một điểm <i>C</i>

di động trên cung <i>AB</i>y . Lấy trên <i>AC</i> một điểm <i>M</i> sao cho <i>AM</i> =<i>BC</i>. Tìm tập hợp
điểm <i>M</i>.

Bài tập 11. Cho đường tròn(O), một dây<i>BC</i> thay đổi nhưng có độ dài2acho trước
và một điểm <i>A</i> cố định trịn mặt phẳng.

a) Tìm tập hợp trung điểm <i>M</i> của dây<i>BC</i>.

b) Dựng tam giác đều <i>AM N</i>. Tìm tập hợp đỉnh <i>N</i>.

Bài tập 12. Cho nửa đường tròn đường kính<i>AB</i>và một điểm<i>M</i> di chuyển trên nửa
đường trịn. Trên tia<i>AM</i> ta lấy một điểm<i>N</i> sao cho<i>M N</i> =<i>M B</i>. Dựng hình vng

<i>BM N P</i>.

a) Tìm tập hợp đỉnh<i>P</i> của hình vng.
b) Tìm tập hợp đỉnh<i>N</i> của hình vng.
c) Tìm tập hợp tâm<i>I</i> của hình vng.

Bài tập 13. Cho đường thẳng <i>d</i> cố định và một điểm<i>A</i> cố định không thuộc<i>d</i>. Ứng
với mỗi điểm<i>M</i> thuộc<i>d</i>, ta dựng tam giác<i>AM N</i> vuông cân tại<i>M</i>. Trên<i>AN</i> ta đặt
đoạn <i>AP</i> =<i>M B</i>.

a) Tìm tập hợp điểm<i>P</i>.
b) Tìm tập hợp điểm<i>N</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Người soạn: Huỳnh Văn Quy

Bài tập 14. Cho đường trịn(O) đường kính<i>AB</i> và một dây cung<i>CD</i> chuyển động,
ln song song với<i>AB</i>.

a) Tìm quỹ tích trung điểm<i>M</i> của dây <i>CD</i>.
b) Tìm quỹ tích trọng tâm<i>G</i> của tam giác <i>ACD</i>.

Bài tập 15. Cho tam giác <i>ABC</i>. Từ một điểm <i>D</i> chuyển động trên cạnh <i>BC</i> ta kẻ
đường thẳng song song với<i>AB</i>, cắt cạnh <i>AC</i> tại điểm<i>F</i> và đường thẳng song song
với<i>AC</i>, cắt cạnh <i>AB</i> tại điểm<i>E</i>.

Tìm quỹ tích trung điểm <i>I</i> của đoạn thẳng <i>EF</i>.

Bài tập 16. Cho tam giác <i>ABC</i> cân tại đỉnh <i>A</i>; một điểm<i>E</i> chuyển động trên <i>AB</i>.
Trong cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng <i>AB</i> ta dựng các tam giác vuông cân

<i>ACM</i> (vuông tại<i>C</i>) và<i>BDM</i> (vuông tại <i>D</i>). Gọi <i>P</i> là giao điểm của <i>AC</i> và <i>BD</i>.
a) Chứng minh<i>P</i> là điểm cố định.

b) Tìm quỹ tích trung điểm<i>I</i> của đoạn thẳng <i>CD</i>.

Bài tập 17. Cho tam giác <i>ABC</i> cân tại đỉnh<i>A</i>. Một điểm<i>M</i> di chuyển trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác;<i>P</i> là giao điểm của <i>CM</i> với đường thẳng vng góc kẻ từ

<i>B</i> với đường thẳng <i>AM</i>.
a) Tìm tập hợp điểm<i>P</i>.

b) Tìm tập hợp trung điểm <i>I</i> của <i>AP</i>.

Bài tập 18. Cho nửa đường trịn đường kính<i>AB</i> và một dây<i>CD</i> song song với<i>AB</i>.
Tìm tập hợp trọng tâm của tam giác <i>CAD</i>.

Bài tập 19. Cho đường trịn(O), đường kính<i>AB</i> và một dây<i>CD</i> đi qua trung điểm

<i>P</i> của bán kính <i>OA</i>.

1. Tìm tập hợp trung điểm<i>M</i> của dây <i>CD</i>.
2. Tìm tập hình chiếu<i>E</i> của điểm <i>B</i> trên <i>CD</i>.
3. Tìm tập hợp trực tâm <i>H</i> của tam giác <i>BCD</i>.

Bài tập 20. Cho đường tròn (O) và một dây cố định <i>AB</i>. Một điểm <i>D</i> di chuyển
trên đường trịn. Dựng hình bình hành <i>ABCD</i>.

a) Tìm tập hợp đỉnh<i>C</i>.

b) Tìm tập hợp tâm<i>I</i> của hình bình hành.

Bài tập 21. Cho hai đường trịn (O) và (O0) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm <i>A</i>.

Trong đường tròn (O) kẻ một dây <i>AB</i> và trong đường trịn (O0₎ _{kẻ một dây} <i>_AC</i>

vng góc với<i>AB</i>.

a) Chứng minh rằng đường thẳng <i>BC</i> đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp hình chiếu <i>M</i> của điểm<i>A</i> trên đường thẳng <i>BC</i>.

</div>

<!--links-->