2020

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (562.02 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HAØM SỐ LIÊN TỤC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ÑIEÅM

Định nghĩa : Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a ; b) và x0 (a ; b). Hàm số f được gọi là liên tục tại
điểm x0 nếu xlimx f

   

x f x0





Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) khơng liên tục thì khi đó hàm số được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0

được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x).

Nhớ : Một hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu đồng thời thỏa mãn cả 3 điều kiện sau:

1) f(x) xác định tại x0. 2)

xlim f (x)x tồn tại. 3) xlimx0f

   

x f x0

Nhớ : Nếu sử dụng một bên thì :

1) Nếu

xlim f (x)x tồn tại vàxlim f xx0

   

f x0 thì hàm số được gọi là liên tục bên trái tại điểm x0.

2) Neáu

x x

lim f (x)

 tồn tại và 0

   

x x

lim f x f x

  thì hàm số được gọi là liên tục bên phải tại điểm x0.

3) Hàm số y = f(x) liên tụa tại điểm x0

 

0 0 x x

x x x x

lim f x lim f x lim f x



   

 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng hàm số f(x) = x4 – x2 + 2 liên tục trên R.

Hàm số f(x) = x4 – x2 + 2 là hàm số đa thức xác định trên R nên liên tục trên R.

 Ví dụ 2 : Chứng minh rằng hàm số f(x) =

1
1

 liên tục trên (–1 ; 1).

f(x) được xác định  1 – x2 > 0  –1 < x < 1.

 hàm số f(x) =

1
1

 xác định trên khoảng (–1 ; 1).

x0 (–1 ; 1), ta coù : f(x )

x
1

1
x

1
1
lim
)
x
(
f

lim 0

2
0
2

x
x
x

x 0   0    

Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x0. Do đó f(x) liên tục trên khoảng (–1 ; 1).

 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng hàm số f(x) = 2

8 x liên tục trên [–2 ; 2].

f(x) được xác định  8 – 2x2 0  –2  x  2.

 haøm số f(x) = 2

8 x xác định trên [–2 ; 2].

x0 (–2 ; 2), ta coù : lim f(x) lim 8 2x2 8 2x20 f(x0)

x
x
x

x 0 0










Vậy hàm số liên tục trên khoảng (–2 ; 2). Mặt khác, ta có :
 lim f(x) lim 8 2x2 8 2.( 2)2 0 f( 2)

)
2
(
x
)

2
(
x









 

 





 lim f(x) lim 8 2x2 8 2.22 0 f(2)

2
x
2






 

 



Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–2 ; 2].

DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Phương pháp : Để xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Tính f(x0).

Bước 2 : Tính lim f(x)

x .

Bước 3 : Nếu lim f(x)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Còn nếu lim f(x)

x  f(x0) thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

 Ví dụ 4 : Xét tính liên tục của hàm số : f(x) =












1)
x

)
x
(

2

1
(

1
x2

tại điểm x = –1.
 Giảiï : Ta coù :

 f(–1) = 2

 limf(x) lim(x2 1) 2

1
x
1

x    

Vì limf(x) f( 1)

x   nên hàm số f liên tục tại điểm x = –1.

 Ví dụ 5 : Xét tính liên tục của hàm số : f(x) =










1)
x
1
x

)
x
(

(

1

x2 tại điểm x = 1.

 Giảiï : Ta có :
 f(1) = 2

 limf(x) lim(x2 1) 2

1
x
1

x    

 limf(x) lim(x 1) 0

1
x
1



 

 



Vì limf(x) limf(x)

1
x
1

x 

 nên hàm số f khơng liên tục tại điểm x = 1 (Hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1).

 Ví dụ 6 : Xét tính liên tục của hàm số sau:

 

3 2

x 3 x 1

hi x 5

x 5
3

f x hi x 5

x 5x 2x 10

hi x 5

18x 216x 630

    

 




 



   



   



k
k
k

tại x0 = 5 ; x0 = 10.

 Hướng dẫn:
Tại x0 = 10

 f(10) = 4



 

  


x 10 x 10

lim f(x) = lim =

x 3

x 1

x 5



x 10

4
f(10) = lim f(x) =

5 nên hàm số liên tục tại x0 = 10.

Tại x0 = 5

 f(5) = 3





 











  

  

  

+ + +

x 5 x 5 x 5

x
x

lim f(x) = lim = lim

x 5 x

x 3 1

x 5 x 3+ -1 











 



  

+ +

x 5 x 5

x 7x +10 x 2 3

= lim = lim =

4
x 3 + x -1
x 5

x 3+

1







  

 

3 2 2

- -

-x 5 x 5 2 x 5

x 5x + 2x 10 x + 2 3

lim f(x) = lim = lim = .

x 7 4

18x + 216x 630

 + 

-x 5lim f(x) = lim f(x) = f(5)x 5 nên hàm số liên tục tại x0 = 5.

 Ví dụ 7 : Định a để hàm số

 

4 2

3 2

13 36

3 3

12 3

x x

khi x

f x x x x

ax khi x

  

 


   

   



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Hướng dẫn:
 f

 

 3 9a12



 

4 2

3 2

3 3

13 36

lim lim

3 3

x x

f x

x x x

 

 



  















2 2

2
3

9 4

lim

3 1

x

x x



 



 









3 4

lim 3

x

x x

x



 

  



Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 3

Ûlimx®-3f x

( )

= f

( )

-3 9a12 3 a 1

Vậy vớia1 thì hàm số liên tục tại điểm x 3

 Ví dụ 8 : Cho hàm số

4 3

( 1)
1

( ) 2 3 ( 1)

3 ( 1)

x x

a x

x

f x b x

x ax b x

    

 



  

   




.

Tìm a và b để hàm số f x( ) liên tục tại điểm x1.

 Hướng dẫn:
 f(1)3b2







1 1 1

4 3

lim ( ) lim lim 3 2

x x x

x x

f x a a x a

x

  

  

   

       



 







1 1

lim ( ) lim 3 3 1

x f x x x ax b  a b

Hàm số f x( ) liên tục tại điểm x1 

1 1

lim ( ) lim ( ) (1)

x x

f x f x f

 

    

2 3 2
3 1 3 2

a b

a b b

  



    

 

7
1

a
b



 


Vậy với a = 7 và b = 1 thì hàm số liên tục tại điểm x = 1.

 Ví dụ 9 : Cho hàm số

 




















4
sin

0
18

6
cos
1

x
x

x
x
a

x
x
x

x

x
f

neáu
neáu
neáu

Chứng minh f luôn liên tục bên phải tại x = 0. Định a để f liên tục tại x = 0.
 Hướng dẫn:

 f(0) = 18



 

3
3
sin
.
9
.
2
lim
3

sin
2
lim
6

cos
1
lim
lim

0
2

0
0

f
x

x
x

f

x
x


























   

   



 Hàm f liên tục phải tại x = 0



 





a
x
4
x

x
sin
a
lim
x

4
x

x
sin
a
lim
x
f
lim

0
x
2

0
x








  

  



 Hàm f liên tục tại x = 0  18

2
a

  a = 36

Nhớ : 1

x
x
sin
lim

x  và các hệ quả : u(x) 1

)
x
(
u
sin
lim

x  ; sinx 1

x
lim

x  ; x 1

x
tan
lim

x  .

Ta coù:

 

2 2 2

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x

lim f x lim lim 9 lim 9 lim .9 1.9 9

x 9x 3x 3x

    

    

 

         

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>



BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1 : Hàm số liên tục tại một điểm. 
BAØI 1 : Chứng minh rằng hàm số :

1) f(x) =









2)
x
(

1

2)
x
(

x
x
x
2

2
3
2

liên tục tại x = 2. 2) f(x) =









1)
x
(

2

)
x
(

x
x
1
1
1
3

gián đoạn tại x = 1.

BAØI 2 : Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm cho trước :

1) f(x) =







)
x
(

2x
2)
x
(

2
1
4

x2 taïi x = 2. 2)

 















1
x
với
9
x
4
1
x
với
1
x
1
x
x
2
x
f
3

taïi x = 1

3) f(x) =















)
x
4
1

2)
x
2
(

(

2
x
4
x
10
x
3

taïi x = –2 4)

 





1 2x 3 3

x x 2

2 x 2

f x

1 x 2

      
   
  
 

vaø

taïi x = 2, x = 3

5) f(x) =












2
x

3
1

x
2
2
x
2
4
x
3 2

taïi x = 2, x = 0. 6) f(x) =





















2)
x
(

x
2
3)

x
(

2
3)
x
(2

2
x
3
x
1 3
x
1
2
x
2

taïi x = 3; x = 2

7) f(x) =

x
1

 taïi x = 0. 8) f(x) = (x 2) x 4x 4

2  

 tại x = 2.

BÀI 3 : Xét tính liên tục của hàm số sau :

1) f(x) =









)
1
)
1
1
x
1
x2
x
(

a

x
(

taïi x = 1. 2)

 

32x2 9 2x 9 3

f x 2x 6

a x 3

   
 
  
 

với x
với

taïi x = 3

3) f(x) =



















2
x

1
3x
)
(x

5
2
x

x2
2
2

taïi x = –2; x = 2 4)

 














5
x
25
x
2
5
x
5
x
5
5
x
4
x
f
nếu
nếu

tại x = 5

BÀI 4 : Tìm a để hàm số f(x) =
















0)
(x

x
x
1
x
1
0)
(x

2
x
x
4
a

liên tục tại điểm x = 0.

BÀI 5 : Tìm m để hàm số

 
















2
x
x
2
x
1
m
2
x
2
x
6
x
7

x
2
x
f
2
nếu
nếu

liên tục tại x0 = 2.

BÀI 6 : Tìm m để hàm số

2
2
2

5 10

, khi 2
4

( )

, khi 2
16

x x x

x
x

f x

x mx x

   
  
 
 
    


</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

BÀI 7 : Tìm m để hàm số

 



















3
x
hi
x

3
26
2
m

3
x
hi
1

x
2

9
x
x

2
2

k
k

liên tục tại x = 3.

BÀI 8 : Tìm a và b để hàm số

 

ax 2b hi x 9

ax 9a

f x hi x 9

x 1 2

12 hi x 9

 


 


 

 


 



k
k
k

liên tục tại x = 9.

BÀI 9 : Tìm m, n để hàm số

 



























2
x
n
2
x

1
1
x

2
x
n

2
x
2
x
3
x

8
x
x

3
2

liên tục tại x = 2

BAØI 10 : Định a, b để hàm số

 

x x 6

a 2b khi x 3

x 3

f x 8 khi x 3

x 3

a 2b khi x 3

12 x 3

    

 



 

 

  

  



liên tục tại x = 3.

BÀI 11 : Định a để hàm số f(x) =






















1
x
,
a

3
x
3
1
a

1
x
,
1

x
2
x

4
x
5
1
x
3
x
3

2
2

lieân tục tại x0 = 1.

BÀI 12 : Tìm giá trị của m để hàm số :













5 1 3

1
1

( )

1 3 1

x x

x
x

y f x

m x mx x

    

 

  

   



với
với

liên tục tại x = 1.

BÀI 13 : Tìm giá trị của m để hàm số : f(x) =

























1)
(x

2
x

4
x
)
1
m
(

3
1
mx

1
x

3
x
x
2

3
3

liên tục tại x = 1.

BÀI 14 : Tìm giá trị của m để hàm số :

 





2
2

12 x 2 2

hi x 2
12 3x

f x hi x 2

x 4

hi x 2

x 2(m 1)x 4m

  

 

 



  



  

   



k
k
k

liên tục tại x = 2.

BÀI 15 : Tìm giá trị của a để hàm số :

 

ax (a 2)x 2

hi x 1

f x x 3 2

8 a hi x 1

   




  

  



k
k

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BAØI 16 : Tìm giá trị của m để hàm số :

 

3
2

, 2

1
x
x

x khi x
x

f x

x x m

khi x
x


  




 

 

  







liên tục tại x2.

BÀI 17 : Cho hàm số

 











3 3

1 x 1 ax 1

x 0
x

f x 0 x 0

tan x sin x

b 0 x

2
1 cos x

   

 




 

  

   

 



neáu
neáu
neáu

a) Định a để f liên tục trái tại x = 0.
b) Định a và b để f liên tục tại x = 0.

BÀI 18 : Tìm a và b để hàm số

 























0
x

3
x
2
sin
b

0
x

a

0
x

x

x
3
1
.
x
2
1
.
x

1
x
4
1

x
f

nếu
nếu
nếu

liên tục tại x0 = 0.

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN

Định nghóa :

a) Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a ; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a ; b).
b) Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và phải thỏa
mãn limf

   

x f a

x   (liên tục bên phải tại điểm a) và xlimbf

   

x f b (liên tục bên trái tại điểm a).

 Ví dụ 10 : Xét tính liên tục của hàm số : 2

x
1

)
x
(

f   trên đoạn [–1 ; 1].

 Giảiï : Ta có :

Hàm số đã cho xác định trên đoạn [–1 ; 1].

x0 (–1 ; 1), ta coù : limf

 

x lim 1 x lim 1 x20 f(x0)

x
x
2
x

x
x

x 0 0 0










 nên hàm số f liên tục trên khoảng (–1 ; 1).

Mặt khác:

 f(–1) = 0

 lim f

 

x lim 1 x2 0 f( 1)

)
1
(
x
)

1
(

x        

 limf

 

x lim 1 x2 0 f(1)

1
x
1

x     

Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn [–1 ; 1].

 Ví dụ 11 : Xét tính liên tục của hàm số :













1)
x
4

)
x
(

1
(

1
x

x3 trên tập xác định của nó.

 Giảiï :

Tập xác định của hàm số laø D = R.

Trên khoảng (– ; 1), f(x) = 2x + 4 là hàm đa thức nên liên tục.

Trên khoảng (1 ; +), f(x) = x3 + x + 1 là hàm đa thức nên liên tục.

Tại điểm x0 = 1, ta có :

 f(1) = 3

3
)
1
x
x
(
lim
)
x
(
f

lim 3

x
1




 

 

 vaøxlim1 f(x) xlim1 (2x 4) 6



 

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vì limf(x) limf(x)

1
x
1

x 

 nên limf(x)

x không tồn tại nên hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 = 1.

Kết luận : Hàm số f(x) đã cho liên tục trên (– ; 1) và trên (1 ; +) nhưng gián đoạn tại điểm x0 = 1.

 Chú ý : Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a ; b) , (a ; b] , [a ; +) , ( ; b] , được định nghĩa

tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.
 Nhận xét :

a) Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liên tục trên khoảng đó.

a) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó
(trong trường hợp thương thì giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).

b) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm
thuộc tập xác định của chúng).

Định lý 1 : Các hàm số lượng giác y = sinx; y = cosx ; y = tanx và y = cotx liên tục trên tập xác định của

chúng.


BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 2 : Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn. 
BAØI 19 : Chứng minh rằng hàm số f(x) =













  ( x 2)
3

7
x

x x 4 (x )
7

2
x2

liên tục trên khoảng (–7 ; +).

BÀI 20 : Tìm các khoảng, nửa khoảng mà trên đó hàm số

 






























2
x
3
khi
5
x

2
x
khi
3

2
x
khi
4

x
8
x
x
f

2
3

liên tục.

VẤN ĐỀ 3 : Hàm số liên tục trên R. 
BAØI 21 : Tìm giá trị của a để hàm số f(x) =

















)
x
a

)
x

2
(

1

2
(

x

2
x

2
x
3
x

2
2

liên tục trên R.

BÀI 22 : Tìm giá trị của a và b để hàm số : f(x) =



















)
(x

1
bx

)
(x

a

)
(x

2
2
2
8

2
x

3
x

3
2

liên tục trên toàn trục số.

BÀI 23 : Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) =













2
x
nếu
x
a
1

2
x
nếu

a2 2

liên tục trên R.
------

Các em xem và làm các ví dụ trước khi làm bài tập.

Sau đó hãy xem bài giải ở dưới.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

HƯỚNG DẪN GIẢI 
VẤN ĐỀ 1 : Hàm số liên tục tại một điểm.

BAØI 1 : Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm cho trước :

1)

f(x) =













x
(

1

2)
x
(

x

x
x

2
2
3

liên tục tại điểm x = 2.
 Hướng dẫn :

f(2) = 1



x 2 x 2 x 2 x 2

x 3x 2 (x 1)(x 2)

lim f (x) lim lim lim(x 1) 1

x 2 x 2

   

   

    

 

Vì

x 2

lim f (x) f (2)

  nên hàm số f liên tục tại điểm x = 2.

2)

f(x) =












1)
x
(

2

)
x
(

x
x

1
1

gián đoạn tại điểm x = 1.
 Hướng dẫn :

f(1) = 2



3 2

x 1 x 1 x 1 x 2

x 1 (x 1)(x x 1)

lim f (x) lim lim lim(x x 1) 3

x 1 x 2

   

   

     

 

Vì

x 1

lim f (x) f (1)

  nên hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1.

BAØI 2 : Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm cho trước :

1)

f(x) =










)
x
(

2x

2)
x
(

2
1

x2 tại điểm x = 2.

 Hướng dẫn :
 f 2

 

5



 





 

xlim f x2 xlim 2x 12   5 f 2



 

x 2 x 2

lim f x lim (x 4) 8

    

Vì

x 2 x 2

lim f (x) lim f (x)

   neân lim f (x)x2 không tồn tại nên hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 = 2.

2)

 



















1
x
với
9

x
4

1
x
với
1

1
x
x
2
x
f

tại x = 1
 Hướng dẫn :

 f(1) = 4.(1) + 9 = 5

 lim f

 

x lim



4x 9



 

1
x
1

x    

 









lim



2x 2x 1



 

1
x

1
x
2

x
2
1
x
lim
1

x
1
x
x
2
lim
x

lim 2

1
x
2

1
x
3

1
x
1

x     











   

   




Từ (1) và (2)  lim f

 

x lim f

 

x 5 limf

 

x 5 f

 

1
x
1

x
1

x        

3)

f(x) =




















)
x
4

2
(

(

2

4
x
10
x
3

tại điểm x = –2
 Hướng dẫn :

f(–2) =

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



)
4
x
10

x
3
)(
2
x
(

16
x
5
x
lim

)
4
x
10
x
3
)(
2
x
(

)
4
x
(
)
10

x
3
(
lim
2

4
x
10
x
3
lim
)
x
(
f
lim

2
2

x
2
2

x
2

x    































f( 2)

4
1
4
x
10
x
3

)
3
x
(
lim

)
4
x
10
x
3

)(
2
x
(

)
3
x
)(
2
x
(
lim

2
x
2

x      






















Vì limf(x) f( 2)

x   nên hàm số f liên tục tại ñieåm x = –2.

4)

f(x) =













2)
x
(

1

2)
x
(

x
x
2

3
2
1

tại điểm x = 2; x = 3.
Tại x0 = 2, ta có :

 f(2) = 1



 





















1 2x 3 1 f

 

lim
3
x
2
1
x
2

x
2
2
lim

3
x
2
1
x
2

3
x
2
1
lim
x

2
3
x

2
1
lim
x
f
lim

2
x
2

x
2

x        























Vaäy hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2.

Tại x0 = 3, ta coù :

 

3 1 f

 

x
2

3
x
2
1
lim
x
f

lim

3
x
3

x    







  hàm số f(x) liên tục tại x0 = 3

5)

f(x) =
















2
x

3
1

x
2
2

2
4
x

3 2

tại điểm x = 2, x = 0.
 Hướng dẫn :

Taïi x = 0 :


 

3
3

0 4 2 4 2
f 0

2 2

  

 

 



 

3 2 3

x 0 x 0

x 4 2 4 2

lim f x lim f (0)

x 2 2

 

  

  

 

Vì

x 0

lim f (x) f (0)

  nên hàm số f liên tục tại điểm x = 0.

Tại x = 2 :
 f 2

 

3




 





3 2 2

2 2 2

x 2 x 2 x 3 3 2 2 3 2 x 3 3

x 4 2 x 4 8 x 2 4 1

lim f x lim lim lim f (2)

x 2 (x 2) (x 4) 2. x 4 4 (x 4) 2. x 4 4 12 3

   

    

     

         

Vì

x 2

lim f (x) f (2)

  nên hàm số f liên tục tại điểm x = 2.

6)

f(x) =


























2)
x
(

x
2

3)
x
(

2

3)
x
(2

2
x
3
x

1
3
x

1
2
x

tại điểm x = 3; x = 2

 Hướng dẫn :
Tại x = 3 :
 f(3) = 1



 









x 3 x 3 x 3 x 3

x 2 1 x 3 1 1

lim f x lim lim lim

x 3 x 3 x 2 1 x 2 1 2

   

  

   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vì

x 3

1
lim f (x) f (3)

   nên hàm số f liên tục tại điểm x = 3.

Taïi x = 2 :

 f(2) = 2 2 1 1

2 3
  





 

x 2 x 2

x 2 1 1

lim f x lim 1

x 3 1

 

 

  

  

 



 

x 2 x 2 x 2 x 2

x 3x 2 (x 1)(x 2)

lim f x lim lim lim (1 x) 1

(x 2) (x 2)

   

   

   

     

   

Vì

xlim f (x)2 xlim f (x)2 nên hàm số f không liên tục tại điểm x = 2.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 3 và không liên tục tại điểm x = 2.

7)

f(x) =
x
1

 tại điểm x = 0.

 Hướng dẫn :

Hàm số có thể viết thành:

( 0

x 1 x

f (x)

x
1 x

( 0
1 x

 

 

  



 

 


x )
x < )

 f 0

 

0



 

x 0 x 0

lim f x lim 0

1 x

 

    



 

x 0 x 0

x
lim f x lim 0

1 x

 

 



 



Vì

x 0 x 0

lim f (x) lim f (x) f (0)

    neân hàm số f liên tục tại điểm x = 0.

8)

f(x) = (x2) x2 4x4 tại điểm x = 2.

Hàm số có thể viết thành : 2 2

f (x)(x 2) x 4x 4 (x 2) (x 2)  (x 2) x 2 

 f 2

 

0



 

xlim f x2 xlim (x 2) x 22   xlim (x 2)2  0



 

x 2 x 2 x 2

lim f x lim (x 2) x 2 lim[ (x 2) ] 0

         

Vì

x 2 x 2

lim f (x) lim f (x) f (2)

    nên hàm số f liên tục tại điểm x = 2.

BÀI 3 : Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm cho trước :

1)

f(x) =












)
1

)
1
1

x
1
x2

x
(

a

x
(

tại điểm x = 1.

 Hướng dẫn :
 f(1) = a

 lim(x 1) 2

1
x

)
1
x
)(
1
x
(
lim
1
x

1
x
lim
)
x
(
f
lim

1
x
1

x
2
1

x
1

x    












_ Nếu a = 2 thì limf(x) f(1)

x  . Do đó f(x) liên tục tại x = 1.

_ Nếu a  2 thì limf(x) f(1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2)

 

3 2

2x 9 2x 9

f x 2x 6

a x 3

   

 

  

 



với x
với

tại x = 3
 Hướng dẫn :

 f(3) = a



 



























 























 3 2 2 3 2 2

3
2

3
x

3 2

3
x
3

9
x
2
9
x
2
9
x
2
9
x
2
6
x
2

9
x
2
9
x
2
lim

6
x
2

9
x
2
9
x
2
lim
x
f
lim

























      









 3 2 2 3 2 2

2
3

3
x

9
x
2
9
x
2
9
x
2
9
x
2
6
x
2

720
x
486
x

106

x
8
lim









































 




















      











 3 2 2 3 2 2

2
3

x
2

3 2

2
3

9
x
2
9
x
2
9
x
2
9

x
2

120
x
41
x
4
lim

9
x
2
9
x
2
9
x
2
9
x
2
6
x
2

240
x
82
x

8
3
x
lim

9
11
27
33


Do đó :
9
11

a thì hàm số liên tục tại x0 = 3.

9
11

a thì hàm số f không liên tục tại x0 = 3.

3)

f(x) =






















2
x

1
3x

)
(x

5

2
x

x2

2
2

tại điểm x = –2; x = 2
 Hướng dẫn :

Hàm số có thể viết thành :

 



















2
x
hoặc
2
x
nếu
1
x
3

2
x
nếu
5

2
x
2
nếu
x

2
x
f

Tại x0 = 2

Hàm số f(x) không xác định nên không liên tục.
Tại x0 = 2, ta có :

 f

 

2 5

 limf

 

x lim2x2 8 f

 

2
x
2



 

 



 limf

 

x lim



3x 1



5 f

 

2
x
2




 

 



 f(x) liên tục bên phải và không liên tục bên trái tại điểm x0 = 2  f(x) không liên tục tại x0 = 2.

4)

Cho hàm số

 
















5
x
25

x
2

5
x
5

x
5

5
x
4
x

nếu
nếu

. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 5.
 Hướng dẫn:



 

5
2
25
10
5

f  



 









2
10

4
5
5

4
5
5
x
4

4
lim

5
5
x
4
5
x

20
x
4
lim

5
x

5
5

x
4
lim
x
f
lim

5
x
5

x
5




















   

   





 

5
2
25
10
25
10
lim
25

x
2
lim
x
f

lim

5
x
5

x
5

x       

Do limf

 

x limf

   

x f 5

5
x
5

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

BAØI 4 : Tìm a để hàm số f(x) =



















0)
(x

x

x
1
x
1

0)
(x

2
x

x
4
a

liên tục tại điểm x = 0.
 Hướng dẫn :

 f

 

0 a2



 

a 2 f

 

2
x

x
4
a
lim
x
f
lim

0
x
0

x   










 

 





 





x
1
x
1

2
lim

x
1
x
1
x

x
2
lim

x
1
x
1
lim
x
f
lim

0
x
0

x
0





























   

   



Vậy f liên tục tại x001a2a3.

BÀI 5 : Tìm m để hàm số

 






















2
x
x

2
x
1
m

2
x

6
x
7
x
2
x
f

nếu
nếu

liên tục tại x0 = 2.

 Hướng dẫn:
 f 2

 

m 1

4
 



 













lim



3 2x



2
x

3
x
2
x
2
lim
2

3
x
2
2
x
lim
2

6
x
7
x
2
lim
x
f
lim

2
x
2

x
2

2
x
2






















    

    





 

4
1
m
x
2

x
1
m
lim
x
f
lim

x
2

x   










 

 



Hàm số liên tục tại x = 2 

 

   

4
3
m
1
4
1
m
2

f
x
f
lim
x
f
lim

2
x
2

x          

BAØI 6 : Tìm m để hàm số

2
2
2

5 10

, khi 2
4

( )

, khi 2

x x x

x
x

f x

x mx x

   

  

 

 

    



liên tục tại x = –2.

 Hướng dẫn:

 f(–2) = 2 53

m

  (0,25đ)

 2

2 2

11 53

lim ( ) lim ( ) 2

16 16

x x

f x x mx m

 

        











2 2 2

2 2 2

2 2 2

5 10 5 10

lim ( ) lim lim

4 4 5 10

x x x

x x x x x x

f x

x x x x x

  

  

     

 

    









5 5

lim

2 5 10

x  x x x x

 

   

Hàm số f(x) liên tục tại x = –2 

2 2

lim ( ) lim ( ) ( 2)

x x

f x f x f

 

     

3
2

m 

Vậy với 3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

BÀI 7 : Tìm m để hàm số

 


















x
hi
x

3
26
2
m

3
x
hi
1

x
2

9
x
x

2
2

k
k

liên tục tại x = 3.

 Hướng dẫn:



 

2
m
3

f  2 



 

2
m
x
3
26
2
m
lim
x
f

lim 2 2

3
x
3

x  








 

 





 

lim



x 3





2 x 1



1
x
2

9
x
lim
x
f

lim3 3 3

3
x

3
x
3

x        









Hàm số liên tục tại x = 3  limf

 

x limf

   

x f 3

3
x
3

x     m = 2

BÀI 8 : Tìm a và b để hàm số

 

ax 2b hi x 9

ax 9a

f x hi x 9

x 1 2

12 hi x 9

 


 


 

 


 



k
k
k

liên tục tại x = 9.
 Hướng dẫn:

f 9

 

12



 





xlim f x9 xlim ax 2b9  9a2b



 

2 3

x 9 x 9 x 9

a(x 9) (x 1) 2 x 1 4

lim f x lim lim a (x 1) 2 x 1 4 12a

x 9

  

  

 

      

 

       



Hàm số liên tục tại x = 9 

 

   

x 9 x 9

3
9a 2b 12 b

lim f x lim f x f 9 2

12a 12

a 1

 

 



   

 

   



  

BÀI 9 : Tìm m, n để hàm số

 



























2
x
n
2
x

1
1
x

2
x
n

2
x
2
x
3
x

8
x

3
2

liên tục tại x = 2

 Hướng dẫn:

 f(2) = 2m + n

 limf

 

x 12

x 



 

3
1
x
f
lim

x   

Hàm số liên tục f(x) liên tục tại x = 2 

 

   















 

 



3
35
n

71
m
2

f
x
f
lim
x
f
lim

2
x
2

BAØI 10 : Định a, b để hàm số

 

x x 6

a 2b khi x 3

x 3

f x 8 khi x 3

x 3

a 2b khi x 3

12 x 3

    

 



 

 

  

  



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Hướng dẫn :
 f(3) = 8



 

2b lim



x 2



5a 2b

3
x
6

x
x
a
lim
x
f
lim
3
x
2
3
x
3

x     









  
  



 













x 3 x 3 x 3 x 3

x 3 12 x 3

x 3

lim f x lim a 2b lim a 2b lim a 12 x 3 2b 6a 2b

12 x 9

12 x 3

   
   
    

     
            
   
 
   

Do đó, f liên tục tại x = 3 

 

   



















 
 

 b 44

16
a
8
b
2
a
6
8
b
2
a
5
3
f
x

f
lim
x
f
lim
3
x
3
x

BAØI 11 : Định a để hàm số f(x) =

















1
x

,
a
3
x
3
1
a
1
x
,
1
x
2
x
4
x
5
1
x
3
x
3
2
2
2

liên tục tại x0 = 1.

 Hướng dẫn:

 f(1) = 3a

3
1
a2  



 

3
1
a
a
3
x
3
1
a
lim
x
f

lim 2 2

1
x
1

x   





  
 
 



 









3
5
4
x
5
3
1
x
5
lim
1
x
4
x
5
3
lim
1
x
2
x
4
x

5
1
x
3
x
3
lim
x
f
lim
2
1
x
2
1
x
2
2
1
x
1

x   















   
   


Hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1  f(1) = limf

 

x = limx1f

 

x  3

5
a
3
3
1

a2    







2
a
1
a

BÀI 12 : Tìm giá trị của m để hàm số :













5 1 3

1
1

( )

1 3 1

x x

x
x

y f x

m x mx x

   

 

  
   

với
với

liên tục tại x = 1.
 Hướng dẫn:

 

1 3 1

f m  m

2 2 2

1 1

lim ( ) lim[( 1) 3 ] 3 1

x x

f x m m mx m m

 

       

1 1

5 1 3

lim ( ) lim

1
x x
x x
f x
x
 
 
  

 1

5 1 ( 3)
lim

( 1)( 5 1 3)

x

x x

x x x




  


    1

lim 1

5 1 3

x x x

 

  

Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

1 1

lim ( ) lim ( ) (1)

x x

f x f x f

 

 

   2 0

3 1 1

3


     
 

m
m m
m
Vậy với m = 0 hay m = –3 thì hàm số liên tục tại điểm x = 1.

BÀI 13 : Tìm giá trị của m để hàm số : f(x) =




















1)
(x

1)
(x

1)
(x

2
x
4
x
)
1
m
(
3
1
mx
1
x
3

x
x
2
2
2
3
3

liên tục tại x = 1.

 Hướng dẫn :


 

3
1
m
1
f  



 

















7
1
x
x
3
x
2

x
2
lim
1
x
x
1
x
3
x
2
x
2
1
x
lim
1
x
3
x
x
2
lim
x
f

lim 22

1
x

2
2
1
x
3
3
1
x
1

x   

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>



 





3
3
m
2

4
x
1
m
lim
x
f

lim 2 2 2

1
x
1







 

 



Hàm số liên tục tại

   

   

m 2

2
m

2
m
3

1
m
3

3
m

3
1
m
3
7
1
f
x
f
lim

1
f
x
f
lim
1

x 2

1
x

x  















































 .

BÀI 14 : Tìm giá trị của m để hàm số :

 





12 x 2 2

hi x 2
12 3x

f x hi x 2

x 4

hi x 2
x 2(m 1)x 4m

  

 

 



  



  

   



k
k
k

liên tục tại x = 2.

 Hướng dẫn:



 

2 1

4
 

f



 

















2 2 2 2

12 2 2 12 2 12 1

lim lim lim lim

12 3 3( 2)( 2) 2 2 3( 2) 2 2 4

   

   

  

    

         

x x x x

x x

f x

x x x x x x



 

2
2

2 2 2 2

4 ( 2)( 2) 2 4 2

lim lim lim lim

2( 1) 4 ( 2)( 2 ) 2 2 2 1

   

   

   

    

       

x x x x

f x

x m x m x x m x m m m

Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 

 

   

x 2 x 2

2 1

lim f x lim f x f 2 m 1 8 m 9
1 m 4

 

            

Vậy với m = 9 thì hàm số liên tục tại điểm x = 2.

VẤN ĐỀ 2 : Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn.

Định nghóa :

a) Giả sử hàm số f xác định trong tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói
rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

b) Hàm số f xác định trên đoạn [a ; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ;
c) và limf

   

x f a

x  ; xlimbf

   

x f b .

Chú ý : Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a ; b) , (a ; b] , [a ; +) , ( ; b] , được định nghĩa
tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.

Nhận xét :

a) Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liên tục trên khoảng đó.

b) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm
thuộc tập xác định của chúng).

Định lý 1 :

Các hàm số lượng giác y = sinx; y = cosx ; y = tanx và y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
 Phương pháp : Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2 : Xét tính liên tục của hàm số trên hai khoảng (– ; x0) và (x0 ; +).

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

BAØI 19 : Chứng minh rằng hàm số f(x) =












  ( x 2)
3

7
x

x x 4 (x )
7

2
x2

liên tục trên khoảng (–7 ; +).

 Hướng dẫn :

 Nếu x > 2 : f

 

x x2x4 là hàm đa thức, nên nó liên tục trên khoảng



2;



 Nếu 7x2, ta có

 

3
7
x

2
x
x






 (1)

2
x

y  là hàm đa thức nên nó liên tục trên khoảng



7;2



7
x

y  là hàm liên tục và dương trên khoảng



7;2



nên hàm số y x7 liên tục trên khoảng



7;2



và do đó hàm số y x73 cũng liên tục trên khoảng



7;2



. (2)

Mặt khác, x730, x



7;2



(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

 

3
7
x

2
x
x






 liên tục trên



7;2



Tại x = 2 :

 f

 

2 22246



 









lim



x 7 3



2
x

3
7
x
2
x
lim
3
7
x

x
lim
x
f
lim

2
x
2

x
2

x     











   

   



 limf

 

x lim(x2 x 4) 6 f

 

2
x
2

x        f(x) liên tục tại x = 2.

Vậy f(x) liên tục trên khoảng



7;



BÀI 20 : Tìm các khoảng, nửa khoảng mà trên đó hàm số

 





























2
x
3
khi
5
x
3

2
x
khi
3

2
x
khi

x
8
x
x
f

2
3

liên tục.

 Hướng dẫn :

Ta có tập xác định của hàm số là : D = [3 ; 2)  (2 ; )
 x  (2 ; ) và x  (2 ; 2) thì f(x) =

4
x

8
x

2
3



 xác định, nên f liên tục trên các khoảng (2 ; 2) và (2 ; ).

 x  (3 ; 2) thì f(x) = 3x5 xác định, nên f liên tục trong (3 ; 2).

 Tại x = 3, ta có : lim f

 

x lim



x 3 5



5 f

 

3
x
3

x         

 Taïi x = 2, ta coù :

 

3 f

 

2
x

4
x
2
x
lim
4
x

8
x
lim
x

lim 2

2
x
2

3
2
x
2

x    








  

  




* lim f

 

x lim



3 x 5



4 f

 

2
x
2

x         

 Hàm số không liên tục tại điểm x0 = 2.

Vậy hàm số f liên tục trên [3 ; 2), (2 ; 2) vaø (2 ; ).

VẤN ĐỀ 2 : Hàm số liên tục trên R. 
BÀI 21 : Tìm giá trị của a để hàm số f(x) =

















)
x
a

)
x

2
(

1

2
(

x
2
x

2
x
3
x

2
2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta coù : f(x) =

2
2

x 3x 2 (x 1)(x 2) x 1

( 2

x 2x x(x 2) x

1 ( 2
       

  



   



x < )

ax a x )

Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (– ; 2) và (2 ; +) nên f(x) liên tục trên R  f(x) liên tục tại x = 2.

 f(2) = 2a + a + 1 = 3a + 1



x 2 x 2

x 1 1

lim f (x) lim

x 2

 

 



 



xlim f (x)2 xlim (ax2   a 1) 3a 1

Vậy hàm số f(x) liên tục trên R  f(x) liên tục tại x = 2 

2
1
1
a

3    a = –

6
1

BAØI 22 : Tìm giá trị của a và b để hàm số : f(x) =



















)
(x

1
bx

)
(x

a

)
(x

2
2
2
8

2
x
3
x

3
2

liên tục trên toàn trục số.

 Hướng dẫn :

 Với x > 2, ta có :

 















x 2x 4

1
x
4

x
2
x
2
x

2
x
1
x
8

x
2
x
3
x
x

f 2 3 2 2



















 do đó f(x) là hàm phân thức xác

định với x > 2 nên nó liên tục khi x > 2.

 Với x < 2, ta có f

 

x bx1 là hàm đa thức nên f(x) liên tục với x < 2.

 Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x2.

Ta coù : f

 

2 a


 

1
4
x
2
x

1
x
lim
x
f

lim 2

2
x
2

x   


 

 



 limf

 

x lim



bx 1



2b 1

x
2

x     

 hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 và do đó liên tục trên R

















24
11
b

12
1
a

a
1
b
2
12

BÀI 23 : Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) =













2
x
neáu
x
a
1

2
x
neáu

a2 2

liên tục trên R.
 Hướng dẫn :

 f(2) = 4a2.



 



2 2



xlim f x2 xlim a x2 4a

 limf

 

x lim



1 a



x 2



1 a



2
x
2

x       

Hàm số f liên tục tại x = 2  4a2 = 2(1 – a) 2

a 1

2a a 1 0 1

a
2
 




    

 


Hiển nhiên hàm số f liên tục tại mọi điểm x  2 với mọi a.

Vậy hàm số f liên tục trên R khi và chỉ khi a = 1 hay

2
1

a .

</div>

2020

<b>HAØM SỐ LIÊN TỤC </b>

   

   

   

   

 

 

 

 

x 3

x 1

x 5



 



















x 3+

1





 

 

 























( )

( )









 

 

 

 





 

 

<b>BÀI TẬP</b>

<sub> </sub>

 





<sub> </sub>









 

 

 

 

 

 













 

