2020

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>GIỚI HẠN HAØM SỐ </b>

<b>GVBM : </b>ĐOAØN NGỌC DŨNG
<b>B. GIỚI HẠN MỘT BÊN </b>

<i><b>1) Giới hạn hữu hạn </b></i>

<i><b>Định nghĩa 1 :</b></i> Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0 ; b) (x0 R). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên

phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (x0 ; b) mà limxn

= x0, ta đều có limf(xn) = L. Khi đó ta viết : lim f

 

x L

0

x
x





 hay f(x)  L khi x  x0

+_.

Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số được phát biểu tương tự.

<i><b>Định nghĩa 2 :</b></i> Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a ; x0) (x0 R). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên

trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (a ; x0) mà limxn

= x0, ta đều có limf(xn) = L. Khi đó ta viết : lim f

 

x L

0

x
x





 hay f(x)  L khi x  x0

–_.

<i><b>Định lý 4 : </b></i> lim f

 

x L lim f

 

x lim f

 

x L

0
0

0 x x x x

x

x   _   _  

<i><b>2) Giới hạn vô cực </b></i>

Các giới hạn : _

 



 f x

lim

0

x
x

; _

 



 f x

lim

0

x
x

; _

 



 f x

lim

0

x
x

vaø _

 



 f x

lim

0

x
x

được định nghĩa tương tự.

<i><b>Phương pháp tìm giới hạn một bên của hàm số : </b></i>

Chú ý rằng : khi x x0



 nghóa là xx0 và x > x0. Khi x x0



 nghóa là xx0 và x < x0.

 

0

xlim f xx  L

 

 

 

 

0 0

0 0

x x x x

x x x x

lim f x ; lim f x

lim f x ; lim f x L

 

 

 

 









tồn tại.

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm :

x 2

x 2
lim

x 2








 x > 2, ta coù : x – 2 > 0  x – 2 = x – 2. Vaäy

x 2 x 2

x 2 x 2

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 _  _

 

<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm :

x 2

x 2
lim

x 2








 x < 2, ta coù : x – 2 < 0  x – 2 = –(x – 2). Vaäy

x 2 x 2

x 2 (x 2)

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 _   _{ }

 

<i><b>Ví dụ 3 </b></i>: Tìm :

x 2

x 2
lim

x 2





 x > 2, ta có : x – 2 > 0  x – 2 = x – 2. Do đó :

x 2 x 2

x 2 x 2

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 

 

 

 x < 2, ta có : x – 2 < 0  x – 2 = –(x – 2). Do đó :

x 2 x 2

x 2 (x 2)

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 _   _{ }

 

Vì

x 2

x 2
lim

x 2







  x 2

x 2
lim

x 2







 neân x 2

x 2
lim

x 2




 không tồn tại

<i><b>Ví dụ 4 </b></i>: Tìm :

x
2

x
4
lim

2
2

x 







Với x < 2  (2 x) 2 x

x
2

x
2
)
x
2
)(
x
2
(
x
2

x

4 2 _ _ _











 _{. Vậy}

0
x
2
)
x
2
(
lim
x
2

x
4
lim

2
x
2
2

x











 _



<i><b>Ví dụ 5 </b></i>: Tìm :

4
5
2
)
1
(

x _x _x

2
x
3
x
lim








</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Với x > –1  ₂ ₂ ₂

4
5
2

x
1
x
)
2
x
(
)

1
x
(
x

1
x
)
2
x
)(

1
x
(
1
x
x

)
2
x
)(
1
x
(
x
x

2
x
3

x _  

















Vaäy 0

x
1
x
)
2
x
(
lim
x

x

2
x
3
x

lim ₂

)
1
(
x
4
5
2
)
1
(
x













 _ _




<i><b>Hoặc</b></i> : 0

x
1
x
)
2
x
(
lim
)

1
x
(
x

1
x
)
2
x
)(
1
x
(
lim
1

x
x

)
2
x
)(
1
x
(
lim
x

x

2
x
3
x

lim ₂

)
1
(
x
2

)
1
(
x

2

)
1
(
x
4
5
2
)
1
(
x





























 _ _ __ __




<i><b>Ví dụ 6 </b></i>: Tìm :

1
x

x
)
1
x
(

lim 3 ₂

)

1
(

x 








0
1
x

)
1
x
(
x
)
1
x
x
(
lim
)
1
x

)(
1
x
(

)
1
x
(
x
)
1
x
x
(
lim
)
1
x
)(
1
x
(

x
)

1
x
x

)(
1
x
(
lim
1
x

x
)
1
x
(

lim 2

)
1
(
x
2
2

)
1
(
x
2

)

1
(
x
2
3

)
1
(

x  


























 _ _ _

 __ __ __




<b>BAØI 8 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn một bên) </b>
<i><b>1)</b></i>

x 2

x 2
lim

x 2







 ÑS : 1 <i><b>2)</b></i> x 2

x 2
lim

x 2







 ÑS : –1 <i><b>3)</b></i> x 2

x 2
lim

x 2




 ĐS: không tồn tại

<i><b>4)</b></i>

x
2

x
4
lim

2
2

x 





 ÑS : 0 <i><b>5)</b></i> 5 4

2
)
1
(

x _x _x

2
x
3
x
lim










 ÑS : 0 <i><b>6)</b></i> _x _x

x
2
x
lim

0

x 





 ÑS : –2

<i><b>7)</b></i>

2
2
3

x ₉ _x

12
x
7
x
lim







 ÑS : ₆

6 <i><b>₈₎</b></i>

1
x

x
)
1
x
(

lim 3 ₂

)
1

(

x    ÑS : 0 <i><b>9)</b></i> _x ₂

2
x
2
8
lim

)
2
(

x 








 ÑS : 0

10) 2

x ( 1)

x 3x 2

lim

x 1



 

 

 ÑS : –1 11) x 0

1 1

lim 1

x x 1





 _ 

 _ 

  ÑS : –1 <i><b>12)</b></i> _x ₃ 3

x

27

x
3
lim






 ÑS : 0

<i><b>13)</b></i>

x
1
x
1
2

x
1
.

x
lim

1

x   





 ÑS : ₂

1 <i><b>₁₄₎</b></i>

3
2
1

x _x _x

1
x
x
1
lim








 ÑS : 1 <i><b>15)</b></i> _













1 3

x 1 x

1
1
x

1

lim ÑS : +

<i><b>16)</b></i> 














 _x ₄

1
2
x

1

lim ₂

2

x ÑS : – <i><b>17)</b></i> 2

2
)
3
(

x (x 3)

3
x
5
x
2
lim









 ÑS : – <i><b>18)</b></i> _x ₂_x

8
x
lim ₂

3
2
x 





 ÑS : +

<i><b>19)</b></i>

x
x

1
x
lim ₂

1

x 





 ÑS : + <i><b>20)</b></i> 2

2
0

x x

x
x
x
lim_  

 ÑS : + <i><b>21)</b></i> _x ₄_x ₃

1
x
lim ₂

4
)
3
(

x  






 ÑS : +

22)

4
x

2
x
3
x

lim ₂

2
2

x 








ÑS : + 23)

4
x
5
x

2
x
3
x
lim ₂

2
1

x  








ÑS : + 24)

1
x

x
1
1
x
lim

2
1

x 







 ĐS :

1
2
 <i><b>Tìm giới hạn của hàm số </b><b>được cho bởi hai cơng thức</b> </i>

Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) :

<i><b>1)</b></i>

f(x) =













2
x
hi
k
1
2x

2
x
khi
1

x
2

2 . Tìm _x_lim₍_₂₎ f(x) ; _x_lim₍_₂₎ f(x) và _xlim__₂ f(x) (nếu có)

x < –2 thì  x  = –x, ta có : lim f(x) lim (2 x 1) 2 2 1 3

)
2
(
x
)

2
(
x










 __




x > –2, ta coù : lim f(x) lim 2x 1 lim 2( 2)2 1 3

)
2
(
x
2

)
2
(
x
)

2
(
x












 __ __




Vì lim f(x)

)
2
(

x  =

)
x
(
f
lim

)
2
(

x  neân

)
x
(
f
lim

2

x = 3

<b>BÀI 9 : Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) : </b>
<i><b>1)</b></i> f(x) =













2
x
hi
k

1
2x

2
x
khi
1

x
2

2 . Tìm _x_lim₍_₂₎ f(x);_x_lim₍_₂₎ f(x) và _xlim__₂f(x) ĐS : 3
<i><b>2)</b></i> f(x) =













2
x
hi
k

3

x
4

2
x
khi
3
x
2
x2

. Tìm lim f(x)

2

x  ;

)
x
(
f
lim

2

x  và

)

x
(
f
lim

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3) f(x) =










 




3
x
hi
k
9
x

3
x
hi
k
1

3
x
3
khi
x

9

2
2

. Tìm lim f(x)

3

x  ; xlim3 f(x) và

)
x
(
f
lim

3

x (nếu có)

<b>BÀI 10 : </b>

1) Tìm m để hàm số f(x) =


















1
x
hi
k
m
x

x
m

1
x
khi
1

x
1
x

2
2

3

có giới hạn tại x = –1. ĐS : m = 1  m = –2

2) Tìm m để hàm số

 

















1
x
khi
2

mx

1
x
khi
1
x

3
1
x

1
x

f 3 _{có giới hạn khi x}__1. _{ĐS : m =}_₁

<b>Dạng 3 : Dạng vô định </b>

0
0

<b>của một hàm số lượng giác. </b>
<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm:

x
cos
x
sin
1

x
cos
x
sin
1
lim

0

x  














 _








 _



























2
x
cos
2
x
sin
2
x
sin
2

2
x
cos
2
x
sin
2

x
sin
2
lim
2
x
cos
2
x
sin
2
2
x
sin
2

2
x
cos
2
x
sin
2
2
x
sin
2
lim
x
sin

)
x
cos
1
(

x
sin
)
x
cos
1
(
lim
x
cos
x
sin
1

x
cos
x
sin
1
lim

0
x
2

2

0
x
0

x
0

x

1

1
0

1
0
2
x
cos
2
x
sin

2
x
cos
2

x
sin
lim

0

x  










<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm :

1
x
sin
3
x
sin
2

1
x
sin

x
sin
2

lim ₂

2
6

x  







3
1
x
sin

1
x
sin
lim
)
1
x
sin

2
)(
1
x
(sin

)
1
x
sin
2
)(
1
x
(sin
lim
1
x
sin
3
x
sin
2

1
x
sin
x
sin
2

lim

6
x
6

x
2

2
6
x






























<b>BÀI 11 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác) </b>
1)

x
cos
x
sin
1

x
cos
x
sin
1
lim

0

x  




 ÑS : –1 2) ₂_sin _x ₃_sin_x ₁

1
x
sin
x
sin
2
lim ₂

2
6

x  






 ÑS : –3 3) 1 tanx

x
2
cos

lim

4
x 

ÑS : 1

4)

x
cos
1

x
3
sin
1
1
lim

0

x 




 ÑS : 3 2 5) _cos_x

1

x
2
sin
x
2
cos
lim

2
x






 ÑS : 2 6) 






 _




x
tan

x
cos

1
lim

2
x

ÑS : 0
7)

x
cos
1

x
3
cos
x
cos
lim

0

x 



 ÑS : 8 8) _sin₄_x

1
x
4
cos
lim

0
x



 ÑS : 0 9) _tan_x ₁

x
2
sin
x
tan
lim

4

x 






ÑS : 1
10)

x
2
cos
x
2
sin
1

x
2
sin
lim

0

x   ÑS : –1 11) ₂_sin_x _sin₂_x

x
2
sin
x
2
cos
1
lim

0

x 




 ÑS : ₂

1₁₂₎

x
tan
1

x
cos
x
sin
lim

4

x 






ÑS :–

2
2

13)

x
sin
x
2
cos
1

x
2
sin
x
sin
2

lim ₂

0

x  



 ÑS : 0 14) _sin₂_x _cos₂_x ₁

x
3
cos
x
cos
lim

0

x  



 ÑS : 0 15) _tan_x ₁

1
x
tan
lim

3

4

x 






ĐS : 3

<b>B. GIỚI HẠN HÀM SỐ CỦA DẠNG VÔ ĐỊNH </b>


_,

 –  , 0.

<i><b>Nh</b><b>ớ</b></i> :

1) limx a
a

x  ; xlimx ; xlimx ; _x 0
1
lim

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2) 




2

xlim x vaø  
2
xlim x

3) 




3

xlim x và  
3
xlim x

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm : lim(3x3 5x2 7)

x  








 _ _










 3

3
x
2

3

x _x

7
x
5
3
x
lim
)
7
x
5
x
3
(
lim

Vì 





3

xlim x vaø _x 3 0

7
x
5
3

lim ₃

x  






 _ _



 nên lim(3x 5x 7)

2
3
x

<b>BÀI 12 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn vô cực) </b>
<i><b>1)</b></i> lim(3x3 5x2 7)

x   ÑS : – <i><b>2)</b></i> lim 2x 3x 12

4

x   ÑS : + 3) lim 2x 3x 12

4

x   ĐS : +

<b>Dạng 1 : Dạng vô định </b>




<i><b>Cách giải</b></i> : Để khử dạng vơ định



_{ta chia tử và mẫu cho x}n_{với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x}

(hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn_{rồi giản ước).}



 _v₍_x₎

)
x
(
u
lim

x












mẫu.
bậc
hơn
lớn
tử
bậc
nếu

mẫu.
bậc
hơn
nhỏ
tử
bậc
nếu


0

mẫu
bậc
bằng
tử
bậc
nếu
số)
hằng

laø .

(C

0
C

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm :

1
x
x

4
x
3
x
2

lim ₃ ₂

3

x   






 (Giới hạn dạng vô định 

₎

2
x

1

x
1
1

x
4
x

3
2
lim
x

1
x
1
1
x

x
4
x

3
2
x
lim
1
x
x

4
x
3
x
2
lim

3
3
2
x

3
3

3
2
3

x
2

3
3

x 

















_ _ _







 _ _


















hay có thể trình bày như sau : 2

x
1
x
1
1

x
4
x

3
2
lim
1
x
x

4

x
3
x
2
lim

3
3
2
x

2
3
3

x 























<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm : 2₂ 2₂

x ₍₂ _x₎₍₃ _x₎ ₍₄ _x₎

)
x
3
(
)
x
1
)(
x
1
(
lim













 (Giới hạn dạng vô định 

₎

1
1
.
1
).
1
(

1
.
1
).
1
(
1
x
4
1
x

3
1
x
2

1
x
3
1
x
1
1
x
1
lim
1

x
4
x
1
x
3
x
1
x
2
x

1

x
3
x
1
x
1
x
1
x
1
x
lim
)

x
4
(
)
x
3
)(
x
2
(

)
x
3
(
)

x
1
)(
x
1
(

lim ₂ ₂

2
2

x
2
2

2
2

2
2

2
2

x
2
2

2

2

x  








 





 





 







 





 





 







 






 






 






 






 





 





















<i><b>Ví dụ 3 </b></i>: Tìm : 3

3
2

3
5

x ₍₂_x ₁₎₍_x _x₎

1
x
x
2
lim









 (Giới hạn dạng vô định 

₎

1
2
2
x

1
1
x

1
2

x
1
x

1

2
lim
)
x
x
)(
1
x
2
(

1
x
x
2

lim 3

3

2
2

5
2
x

3

3

2

3
5

x  







 






 


















<b>BÀI 13 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1)

1
x
x

4
x
3
x
2

lim ₃ ₂

3

x   






 ÑS : –2 2) _x ₆_x ₁

8
x
3
x
lim ₄

2

x  






 ÑS : 0 3) ₂_x ₃

1
x
2
x
lim

2

x 






 ÑS : +

4)

2
x
3
x

7
x
2
x
4
lim ₂3

x  






 ÑS :  <i><b>5)</b></i> 4

3
4

x _x

15
x
7
x
2

lim  



 ÑS : 2 <i><b>6)</b></i> _x _x ₂

x
x
lim ₂

x   ÑS : 0

7) 2₂ 2₂

x ₍₂ _x₎₍₃ _x₎ ₍₄ _x₎

)

x
3
(
)
x
1
)(
x
1
(
lim













 ÑS : 1 8) 3x 2

2
x
x
4

lim 2

x 







 ÑS :  9) ₍_x ₁₎₍_x ₂₎₍_x ₃₎

1
x
x
lim

3

x   






 ÑS : 1

<i><b>10)</b></i> 3

2

2

x ₈_x _x ₃

x
2
x
lim








 ÑS : ₂

1 <i><b>₁₁₎</b></i>

3

3
2

3
5

x ₍₂_x ₁₎₍_x _x₎

1
x
x
2
lim









 ÑS : 1 <i><b>12)</b></i> _x ₁

5
x
lim ₂

3

x 





 ÑS : +

<i><b>13)</b></i> 2 ₃

x ₉ ₃_x

10
x
x
2
lim







 ÑS : 0 <i><b>14)</b></i> ₂_x ₇

11
x
x
lim

3
4

x 






 ÑS : + 15) ₂ _x ₁

2
x
5
x
lim

2

x 






 ÑS : +

16)

1
x
x

4
x
3
x
2

lim ₃ ₂

3

x   






 ÑS : –2 17) ₍₂_x ₁₎₍_x ₁₎

)
3
x
5
)(
1
x
3
(

lim ₃

2

x  






 ÑS : 0 18) ₍₃_x ₄₎ ₍₅_x ₁₎

)
7
x
4
(
)
3
x
2
(

lim ₂ ₂

3
2

x  






 ĐS:+

<b>BÀI 14 :</b> Tìm các giới hạn sau :
<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm

3
x
2

1
x
4
x
x
lim

2
2

x 










3
x
2

x
1
4
x
x
1
1
x
lim
3

x
2

1
x
4
x
x
lim

2
x

2
2

x 

















 ₂

1
x

3

2

x
1
4
x
1
1
lim
x

3
2
x

x
1
4
x
x
1
1
x
lim

2
x

2

x 













 













<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm

3 3

2
x

1
x
x

3
x
2
x
lim











3

3
2

2
x

3

3
2
3

2
2

x

3 3

2
x

x
1
x

1
1
x

x
3
x

2
1
x
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
1

x
x

3
x
2
x
lim















 _ _








 _ _

















 Khi x  +, ta coù : 1

x
1
x

1
1

x
3
x
2
1
lim
x

1

x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim

3

3
2

2
x

3

3
2

2
x

3

3
2

2

x 































 Khi x  –, ta có : 1

x
1
x

1
1

x
3
x
2
1
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim

3

3
2

2
x

3

3
2

2
x

3

3
2

2

x 

































<b>BÀI 14 : Tìm các giới hạn sau : </b>
1)

3
x
2

1
x
4
x
x
lim

2
2

x 








 ÑS : ₂

1 ₂₎

3 3

2
x

1
x
x

3
x
2
x
lim









 ÑS :1 ;–1 <i><b>3)</b></i> 4 3x

2
x
1
x
x
4
lim 2

x 








 ÑS :–₃

1

4) 4 ₃ 2 ₃

x ₂_x ₃ ₃ ₂_x _x

3
x

4
1
x
lim












 ÑS : + <i><b>5)</b></i>

5
x
x

3
x
2
lim

2

x  





 ÑS : 2 <i><b>6)</b></i> _x ₄

x
x
lim

4

x 





 ÑS : –

<i><b>7)</b></i>

17
x
3

12
x
7

x
2
lim

2

x 






 ÑS : ₃

2 ₈₎

3 2

2

x _x ₂_x

x
x
3
x
4
lim







 ÑS :  <i><b>9)</b></i> ₁ ₂_x

x
x
lim

4

x 





</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>10)</b></i>

10
x

x
x
x
lim

2

x 






 ÑS : –2 <i><b>11)</b></i> ₁ ₂_x

1
x
x
2
lim

2
4

x 






 ÑS : – <i><b>12)</b></i> ₂_x ₁

5

x
x
lim

2

x 






 ÑS : ₂

1


13)

1
x

1
x
2
x
4
1
x

x
9

lim 2 2

x 










 ÑS : 1 14) _x ₁ ₃_x

5
x
3
x
2
lim

2
2

x  






 ÑS : +



<i><b>Giới hạn dạng vơ định </b></i>



<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm lim



4x2 x 2x



x  



2



xlim 4x  x 2x

2 2

2

x x

(4x x) 4x x

lim lim

1

4x x 2x _x ₄ _2x

x

 

  

 

  _{ } 4

1
2
x
1
4

1
lim
x
2
x
1
4
x

x
lim

x

x 


















<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm _     _


 x x 4 x 3

lim 2

x





3

x
x

1
x
1
1
x

x
4
1
x
lim
3
x
4
x
x

x
4
x
x
lim
3
x

4
x
x
lim

2
x

2

2
2

x
2

x 










 


























 Khi x  –, ta coù :



   







 x x 4 x 3

lim 2

x

 Khi x  +, ta coù :

2
7
3
2
1
3
1
x

1
x
1
1

x
4
1
lim

3
x
x

1

x
1
1
x

x
4
1
x
lim

2
x

2

x    


















 







<b>BÀI 15 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định </b>)
1) lim



4x2 x 2x



x   ÑS : ₄

1 ₂₎








 _ _ _ _



 x x 4 x 3

lim 2

x ÑS :2

7_;+_₃₎





x
x
1
lim

x   ÑS : 0

4)



2



xlim 1 x  1 x x  ÑS :  5) lim



4x 4x 3 2x 1



2

x     ÑS : 0 6)





3 3 2

xlimx1 x 2x ÑS : 1/3

7) lim



2x 3 4x2 4x 3



x     ÑS :–2;– 8)





3 2
3 3 2

xlim x 5x  x 8x ÑS: 9)





3 2 3

xlim4x 3x 64x ÑS : 2

1



10) lim



3 x3 3x2 x2 2x



x    ÑS : 2 11) lim



2 4x 3x 3 x x 7 x 3



2

3 3

2

x      ĐS : 2

3





<i><b>Giới hạn dạng vơ định </b></i>

.0

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm lim[(x 3)( x2 4 x)]

x   

Vì  


 (x 3)

lim

x vaø 0

1
x

4
1

x
4
lim

x
4
x

x
4
x
lim
)
x
4
x
(
lim

2
x

2

2
2

x
2

x 
























 đây là dạng .0 khi x  +. Khử ngay dạng vô định .0 như sau :

Ta coù : 2

1
x

4
1

x
3
1

4
lim
x
x

4
1
x

x
3
1
x
4
lim
x

4
x

)
x
4
x
)(
3
x
(
lim
)]

x
4
x
)(
3
x
[(
lim

2
x

2
x

2

2
2

x
2

x 










 










 



























<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm

4
x

x
)
2
x
(

lim ₂

2

x 





 (Chuyển về dạng ₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta có :

)
2
x
)(
2
x
(

)
2
x
(
x
lim

4
x

x
)
2
x
(
lim

2
2

x
2

2

x  






 _

 _

 (Có dạng ₀

0₎

0
4
0
2

x

)
2
x
(
x
lim

2
x












<b>BÀI 16 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định </b>.0)

1) lim



(x 3)



x2 4 x





x    ÑS : 2 2) _x ₄

x
)
2

x
(

lim ₂

2

x 





 ÑS : 0 <i><b>3)</b></i> ₂ ₁

2
1

lim

4
5

2 







 x

x
x
x
x

x ÑS : ₂

1

<i><b>4)</b></i>

1
x
x
2

x
)

1
x
(

lim ₄ ₂

x    ÑS : 0 5)x





4 2x x3

x
5
5
x
lim









 ÑS : 1 <i><b>6)</b></i>_x 3

x 1
lim (x 2)

x x






 ÑS : 1

7) lim x



x2 3 x



x   ÑS : 2

3

 8) 







 _



 ₁ 1

1
1
lim ₂ ₂

0x x

x ÑS : –1 9) lim x



x x 1



2

x   ÑS : –₂

1

10)

4
x

1
x
x
8
2
x
4

1

lim 3

x 







 ÑS : 2

2 ₁₁₎ _lim _x



_x2 ₂_x _x ₂ _x2 _x



x     ÑS : –₄

1



<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ </b>
<i><b>1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp giữa hai hàm số. </b></i>

Đôi khi ta phải sử dụng định lý kẹp để tìm giới hạn các hàm số.
<i><b>Định lý :</b></i> (Định lý kẹp về giới hạn của hàm số)

Cho khoảng K chứa điểm x0 và ba hàm số f(x), u(x) và v(x). Nếu u(x)  f(x)  v(x) với mọi x  K\x0 và

neáu : limu

 

x lim v

 

x L

0

0 x x

x

x    thì xlimx0f

 

x L



 .

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm

x

1
cos
x
lim 2

0
x

Với mọi x  0, ta có : –1 
x
1

cos  1  –x2 x2
x
1

cos  x2

Mặt khác : lim( x ) limx2 0

0
x
2
0

x     neân _x

1
cos
x

lim 2

0

x = 0

<b>BÀI 17 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng của hàm số lượng giác) </b>
1)

x
1
cos
x
lim 2

0

x ÑS : 0 2) _x _x ₁

x
cos
2
x
2
sin

lim ₂

x  





 ÑS : 0 3) _x

1
sin
x
lim 2

0

x ÑS : 0

<i><b>2) Phương pháp dùng định lý </b></i> 1
x

x
sin
lim

0

x  <i><b>.</b></i>

<i><b>Heä qua</b></i>û : 1
)
x
(

u

)
x
(
u
sin
lim

a

x  ; _sin_x 1

x
lim

0

x  ; _x 1

x
tan
lim

0

x  .

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm

x
x
3
sin
lim

0
x

3
1
.
3
x
3

x
3
sin
3
lim
x

x
3
sin
lim

0
x

0

x     

<i><b>Ví dụ 2 </b></i>: Tìm ₂

0

x _x

x
5
cos
1
lim 



<i><b>2)</b></i>

2
25

25
4
2

x
5

2
x
5
sin
2
lim
x

x
5
cos
1

lim ₂

2

0
x
2

0

x 















<b>BÀI 18 : Tìm các giới hạn sau : </b>
1)

x
x
3
sin
lim

0

x ÑS : 3 2) x 0 _x2

x
5
cos
1
lim 

 ÑS : ₂

25 ₃₎

1
1
x

x
2
sin
lim

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

4)

x
3
sin

x
cos
3
x
sin
lim

3
x





 ÑS : 3

2

 5) 2₂

0

x _x

x
cos
x
1

lim  

 ÑS : 1 6) _sin _x

x
2
cos
1

lim ₂

0
x



 ÑS : 2

7)

x
2

x
5
sin
lim

0

x ÑS : ₂

5 ₈₎

x
cos
1

x
sin
x
lim

0

x  ÑS : 2 9) x 0 _x3

x
sin
x
tan

lim 

 ÑS :₂

1

<b> MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO </b>

<b>BÀI 19 : Tìm các giới hạn sau : </b>
<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm 3

x 0

x 1 x 1

lim

x



   

(DBÑH 2002) ÑS : 5

6
3

x 0

x 1 x 1

lim

x



   

(DBĐH 2002) ĐS : 5

6

Ta có :

x
1
x
1
lim

x

1
1
x
lim
x

1
x
1
x

lim 3

0
x
0

x
3

0
x






















_



_



_

_

2
1
1
1
x

1
lim
1

1
x
x

1
1
x

1
1
x
lim
x

1
1
x
lim

0
x
0

x
0

x _ _  _ _ 
























 







3

1
1
x
1
x
1

1
lim

1
x
1
x
1
x

1
x
1
lim

x
1
x
1
lim

3 2

3
0
x

3 2

3
0
x
3

0

x  _ _ _ _ 





 _ _ _ _













Vậy

6
5
3
1
2
1
x

1
x
1
x

lim 3

0

x   







<i><b>Cách khác :</b></i> Xeùt _f

 

_x _ _x_₁_3 _x_₁_{; f(0) = 0}

 





 

   

_{ }

6
5
0
'f
0
x

0
f
x
f
lim
x

1

x
1
x
lim
L

6
5
0
'f
;
1
x
3

1
1

x
2

1
x

'f

0
x
3

0
x

3 2






















<b>BÀI 19 : Tìm các giới hạn sau : </b>

1) 3

x 0

x 1 x 1

lim

x



   

(DBÑH 2002) ÑS : 5

6 2) 1 cosx

1
x
2
1
x
3

lim3 2 2

0

x 







 (DBÑH 2002) ÑS :

5
6

3)





6
2
x 1

x 6x 5

lim

x 1


 

 (DBÑH 2002) ÑS : 15 4)





3 3 2 2

xlim x 3x  x  x 1 ÑS :

3
2

Các em xem và làm các ví dụ trước khi làm bài tập.

Sau đó hãy xem bài giải ở dưới.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>HƯỚNG DẪN GIẢI </b>

 <i><b>Giới hạn một bên</b> </i>

<b>BÀI 8 :</b> Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn một bên)

<i><b>1)</b></i>

x 2

x 2
lim

x 2







 .  x > 2, ta coù : x – 2 > 0  x – 2 = x – 2. Vaäy x 2 x 2

x 2 x 2

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 _  _

 

<i><b>2)</b></i>

x 2

x 2
lim

x 2







 .  x < 2, ta coù : x – 2 < 0  x – 2 = –(x – 2). Vaäy x 2 x 2

x 2 (x 2)

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 _   _{ }

 

<i><b>3)</b></i>

x 2

x 2
lim

x 2






 x > 2, ta có : x – 2 > 0  x – 2 = x – 2. Do đó :

x 2 x 2

x 2 x 2

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 

 

 

 x < 2, ta có : x – 2 < 0  x – 2 = –(x – 2). Do đó :

x 2 x 2

x 2 (x 2)

lim lim 1

x 2 x 2

 

 

 _   _{ }

 

Vì

x 2

x 2
lim

x 2







  x 2

x 2
lim

x 2







 nên x 2

x 2
lim

x 2




 không tồn tại

<i><b>4)</b></i>

x
2

x
4
lim

2
2

x 







Với x < 2  (2 x) 2 x

x
2

x
2
)
x
2
)(
x
2
(
x
2

x

4 2 _ _ _










 _.

Vaäy lim(2 x) 2 x 0

x
2

x
4
lim

2
x
2
2

x











 _



<i><b>5)</b></i>

4
5
2
)
1
(

x _x _x

2
x
3
x
lim










Với x > –1  ₂ ₂ ₂

4
5
2

x
1
x
)
2
x
(
)

1
x
(
x

1
x
)
2

x
)(
1
x
(
1
x
x

)
2
x
)(
1
x
(
x
x

2
x
3

x  



















Vaäy 0

x
1
x
)
2
x
(
lim
x

x

2
x
3

x

lim ₂

)
1
(
x
4
5
2
)
1
(
x













 _ _




<i><b>Hoặc</b></i> : 0

x
1
x
)
2
x
(
lim
)

1
x
(
x

1
x
)
2
x
)(
1
x
(
lim

1

x
x

)
2
x
)(
1
x
(
lim
x

x

2
x
3
x

lim ₂

)
1
(
x
2

)
1
(
x
2

)
1
(
x
4
5
2
)
1
(
x




























 _ _ __ __




<i><b>6)</b></i>

x
x

x
2
x
lim

0

x 







Với x > 0 



_

_



1
x

2
x
1
x
x

2
x
x
x

x
x
2
x2










 _{. Vaäy}

2
1
x

2
x
lim
x

x
x
2
x
lim

0
x
0

x












 _



<i><b>7)</b></i>

6
1
x
3

x
4
lim
)
x

3
)(
x
3
(

)
x
4
)(
x
3
(
lim
)
3
x
)(
3
x
(

)
4
x
)(
3
x
(
lim

x

9

12
x
7
x
lim

3
x
3

x
3

x
2

2
3
x






























 _ _ _



<i><b>8)</b></i>

0

1
x

)
1
x
(
x
)
1
x
x
(
lim
)
1
x
)(
1
x
(

)
1
x
(
x
)
1
x
x
(

lim
)
1
x
)(
1
x
(

x
)

1
x
x
)(
1
x
(
lim
1
x

x
)
1
x
(

lim 2

)
1
(
x
2
2

)
1
(
x
2

)
1
(
x
2
3
)
1
(

x  


























 _ _ _

 __ __ __




<i><b>9)</b></i>

_

_

_

_

0

2

x
2
8

2
x
2
lim
2

x
2
8
2
x

)
2
x
(
2
lim

2
x
2
8
2
x

4
x
2
8
lim

2
x

2
x
2
8
lim

)
2
(
x
)

2
(
x
)

2
(
x
)

2
(

x   




























 __ __ __




<i><b>10)</b></i>

lim ( x 2) 1

)
1
x
(

)
2
x
)(
1
x
(
lim
1

x
2
x
3
x

lim

)
1
(
x
)

1
(
x
2

)
1
(
x





















 __ __

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>11)</b></i>

1
1
x

1
lim
)

1
x
(
x

)
1
x
(
1
lim
1

1
x

1
x
1
lim

0
x
0

x
0

x  
















 _

  

 _ _



<i><b>13)</b></i>

2
1
x
1
2

x
lim
)
x
1
2
(
x
1

x

1
x

lim
x
1
x
1
2

x
1
x

lim

1
x
1

x
1

x
























 _ _



<i><b>15)</b></i>
























 

 _

 x x 1

2
x
x
1
x

1
lim
x

1
1
1
x

1

lim 2₂

1
x
3
1

x





_






















 _

 _

 3 0vàx 1 0, x 1

4
1
x
x

2
x
x
lim
,
0
1
x
lim

Vì 2₂

1
x
1

x

<i><b>16)</b></i>



























  

 _ _

 ₍_x ₂₎₍_x ₂₎

1
x
lim
)
2
x
)(
2
x
(

1
)
2
x
(
lim
4

x

1
2
x

1
lim

2
x
2

x
2

2

x (Dạng  – )

Ta có :






























)
2
;
2
(
x
,
0
)
2
x
)(

2
x
(

0
)
2
x
)(
2
x
(
lim

0
3
)
1
x
(
lim

2
x

2
x

 














 _x ₄

1
2
x

1

lim ₂

2
x

<i><b>17)</b></i>

3
x

1
x
2
lim
)

3
x
(

)
1
x
2
)(
3
x
(
lim
)

3
x
(

3
x
5
x

2
lim

)
3
(
x
2

)
3
(
x
2
2
)
3
(

x 

















 __ _ _




Ta coù :































0
3
x
3
x

0
)
3
x
(
lim

0
7
)

1
x
2
(
lim

)
3
(
x

)
3
(
x

 









 2

2
)

3
(

x (x 3)

3
x
5
x
2
lim

<i><b>20)</b></i>




















 _ _

 _x _x _x

1
lim

)
x
x
x
(
x

x
)
x
x
(
lim
x

x
x
x
lim

2
0

x
2

2
2
0

x
2

2
0
x

<i><b>22)</b></i>









































 _ _

 x 2 x 2

1
x
lim

2
x
2
x

1
x
2
x
lim
4

x

2
x
3

x
lim

2
x
2

x
2

2
2
x

<i><b>23)</b></i>

_



_



_



_



_



_









































 _ _ _

 ₁ _x _x ₄

x
2
lim
x

4
x
1

x
2
x
1
lim
4

x
1
x

2
x
1
x
lim
4

x
5
x

2
x
3
x
lim

1
x

1

x
1

x
2

2
1
x

 <i><b>Tìm giới hạn của hàm số </b><b>được cho bởi hai cơng thức</b> </i>

<b>BAØI 9 :</b> Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) :

<i><b>1)</b></i>

f(x) =













2
x
hi
k
1
2x

2
x
khi
1

x
2

2 . Tìm _x_lim₍_₂₎ f(x) ; lim f(x)

)
2
(

x  và

)
x
(
f
lim

2

x (nếu có)

x < –2 thì  x  = –x, ta coù : lim f(x) lim (2 x 1) 2 2 1 3

)
2
(
x
)

2
(
x










 __




x > –2, ta coù : lim f(x) lim 2x 1 lim 2( 2)2 1 3

)
2
(
x
2

)
2
(
x
)

2
(
x












 __ __




Vì lim f(x)

)
2
(

x  =xlim(2) f(x) neân xlim2 f(x) = 3

<i><b>2)</b></i>

f(x) =













2
x
hi
k
3

x
4

2
x
khi
3
x
2

x2 _{. Tìm}

)
x
(
f
lim

2

x  ;

)
x
(
f
lim

2

x  và

)
x
(
f
lim

2

x (nếu có)

x < 2, ta coù : lim f(x) lim (x2 2x 3) 3

2
x
2

x





 _

 _



x > 2, ta coù : lim f(x) lim (4x 3) 5

2
x
2

x







 _



Vì lim f(x)

2

x  

)
x
(
f
lim

2

x  neân

)
x
(
f
lim

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i><b>3)</b></i>

f(x) =










 




3

x
hi
k
9
x

3
x
hi
k
1

3
x
3
khi
x

9

2
2

. Tìm lim f(x)

3
x 

; lim f(x)

3
x 

vaø lim f(x)

3

x (nếu có)

 Khi x > 3, ta có : lim f(x) lim x2 9 0

3
x
3

x




 _

 _



 Khi –3  x < 3, ta coù : lim f(x) lim 9 x2 0

3
x

3

x







 _



Vì lim f(x)

3
x 

= lim f(x)

3
x 

nên lim f(x)

3

x = 0

<b>BÀI 10 : </b>

<i><b>1)</b></i>

Tìm m để hàm số f(x) =


















1
x
hi
k
m
x
x
m

1
x
khi
1

x
1
x

2
2

3

có giới hạn tại x = –1.

 Khi x < –1, ta coù : lim (x x 1) 3

1
x

1
x
lim
)
x
(
f

lim 2

1
x
3

1
x
1

x













 __ __




 Khi x  –1, ta coù : lim f(x) lim (mx2 x m2) m2 m 1

1
x
1

x










 __




Hàm số có giới hạn tại x = –1  lim f(x) lim f(x)

1
x
1

x 



 3 = m2_{+ m + 1}__m2_{+ m – 2 = 0}__{m = 1}__{m = –2}

<i><b>2)</b></i>

Tìm m để hàm số

 
















1
x
khi
2

mx

1
x
khi
1

x

3
1
x

1
x

f 3 _{có giới hạn khi x}__1. _{ĐS : m =}_₁

Giới hạn bên phải :

 

1

1
x
x

2
x
lim
1

x
2
x
x
lim
1

x

3
1
x

1
lim
x
f

lim ₂

1
x
3

2
1
x
3

1
x
1

x 








































 _ _ _

 _ _ _



Giới hạn bên trái : limf

 

x lim



mx 2



m 2
1

x
1

x_  _   

Ta có : limf

 

x
1

x tồn tại  xlim_1f

 

x xlim_1f

 

x  m + 2 = 1  m = 1

<b>Dạng 3 : Dạng vô định </b>

0

0<b>_{của một hàm số lượng giác.}</b>

<b>BÀI 11 :</b> Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác)

<i><b>1)</b></i>








 _








 _




























2
x
cos
2
x
sin
2
x
sin
2

2
x
cos

2
x
sin
2
x
sin
2
lim
2
x
cos
2
x
sin
2
2
x
sin
2

2
x
cos
2
x
sin
2
2
x
sin

2
lim
x
sin
)
x
cos
1
(

x
sin
)
x
cos
1
(
lim
x
cos
x
sin
1

x
cos
x
sin
1
lim

0
x
2

2

0
x
0

x
0

x

1

1
0

1
0
2
x
cos
2
x
sin

2
x
cos
2
x
sin
lim

0

x  










<i><b>2)</b></i>

3

1
x
sin

1
x
sin

lim
)
1
x
sin
2
)(
1
x
(sin

)
1
x
sin
2
)(
1
x
(sin
lim
1
x
sin
3
x
sin
2

1

x
sin
x
sin
2
lim

6
x
6

x
2

2
6
x





























<i><b>3)</b></i>

limcosx(cosx sinx) 1

x
cos

x
sin
x
cos

)
x
sin
x

)(cos
x
sin
x
(cos
lim
x

cos
x
sin
1

x
sin
x
cos
lim
tgx
1

x
2
cos
lim

4
x
4

x
2
2

4
x
4

x






 








 _ _ _




<i><b>4)</b></i>

x
cos
1

x
3
sin
1
1
lim

0

x 




 . Ta coù : ₁ _cos_x

)
x
sin
4
3
(
x
sin
x

cos
1

x
sin
4
x
sin
3
x
cos
1

x
3
sin
x

cos
1

x
3
sin
1
1
x
cos
1

x
3
sin
1

1 3 2


















</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

(3 4sin x) 1 cosx
x

cos
1

x
cos
1
)
x
sin
4
3
(

2
2

2












Do đó : lim



3 4sin2x 1 cosx



3 2

x

cos
1

x
3
sin
1
1
lim

0
x
0

x     







<i><b>5)</b></i>

lim2(cosx sinx) 2(0 1) 2

x
cos

x
cos
x

sin
2
x
cos
2
lim
x

cos

x
2
sin
)
x
2
cos
1
(
lim
x

cos

1
x
2
sin
x
2

cos
lim

2
x
2

2
x
2

x
2

x






























<i><b>6)</b></i>

_

_

_

_

0

x
sin
1

x
cos
lim
x
sin
1
x
cos

x
cos
lim

x
sin
1
x
cos

x
sin
1
lim
x

cos
x
sin
1
lim
x

tan
x
cos

1
lim

2
x
2

2
x
2

2
x
2

x
2

x




















 









 _
















<b>B. GIỚI HẠN HAØM SỐ CỦA DẠNG VÔ ĐỊNH </b>


_,

 –  , 0.

<i><b>Nh</b><b>ớ</b></i> :

1) limx a
a

x  ; xlimx ; xlimx ; _x 0
1
lim

x  .

2) 




2

xlim x vaø  
2
xlim x

3) 




3

xlim x và  
3
xlim x

<b>BÀI 12 :</b> Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn vô cực)

<i><b>1)</b></i>









 _ _










 3

3
x
2

3

x _x

7
x
5
3
x
lim
)
7
x
5
x
3
(
lim

Vì 





3

xlim x và _x 3 0

7
x
5
3

lim ₃

x  






 _ _



 neân lim(3x 5x 7)

2
3
x

<i><b>2)</b></i>

2 ₃ ₄

x
4

x _x

12
x

3
2
x
lim
12
x
3
x
2

lim     







Vì 




2

xlim x và _x 2 0

12
x

3
2

lim ₃ ₄

x  






 _ _



 neân lim 2x 3x12

4
x

<i><b>3)</b></i>

lim



x2 3x 1 5x 1



x     ÑS : 

Ta coù :





_










































 _x

1
5
x

1
x
3
1
x
lim
1

x
5
x

1
x
3
1
x
lim
1
x
5
1
x
3
x

lim ₂

x
2

x
2

x





































 _x 6 0

1
5
x

1
x
3
1
lim
x

lim

Vì ₂

x

x và

<b>Dạng 1 : Dạng vô định </b>




<i><b>Cách giải</b></i> : Để khử dạng vô định



_{ta chia tử và mẫu cho x}n_{với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x}

(hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn_{rồi giản ước).}



 _v₍_x₎

)
x
(
u
lim

x












mẫu.
bậc
hơn
lớn
tử
bậc
nếu

mẫu.
bậc
hơn
nhỏ
tử
bậc
nếu


0

mẫu
bậc
bằng
tử
bậc
nếu

số)
hằng

laø .

(C

0
C

<b>BÀI 13 :</b> Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i><b>1)</b></i>

2
x

1
x
1
1

x
4
x

3
2
lim
x

1

x
1
1
x

x
4
x

3
2
x
lim
1
x
x

4
x
3
x
2
lim

3
3
2
x

3

3

3
2
3

x
2

3
3

x 
















_ _ _








 _ _


















hay có thể trình bày như sau : 2

x
1

x
1
1

x
4
x

3
2
lim
1
x
x

4
x
3
x
2
lim

3
3
2
x

2
3
3

x 






















<i><b>2)</b></i>

0

x
1
x

6
1

x
8
x

3
x

1
lim
1
x
6
x

8
x
3
x
lim

4
3

4
3
2
x

4

2

x 




















<i><b>3)</b></i>

2
2
x

2
x

x
3
x
2

x
1
x
2
1
lim
3

x
2

1
x
2
x
lim














 . Maø :
























 










 _ _







0
x
,
0
x

3
x

2

0
x

3
x
2
lim

0
1
x

1
x
2
1
lim

2
2
x

2
x

 








 ₂_x ₃

1
x
2
x
lim

2
x

<i><b>Caùch khaùc :</b></i>

















 








 _ _
















x

3
2

x
1
x
2
1
x
lim
x

3
2
x

x
1
x
2
1
x
lim
3

x
2

1
x

2
x

lim 2

x
2
2

x
2

x



























 ₂ 0

1
x
3
2

x
1
x
2
1
lim
x

lim
Vì

2
x

x và

<i><b>4)</b></i>

2
x
3
x

7
x
2
x
4
lim ₂3

x  






 ĐS : 

Ta có :

3
2

3
2
x

3
2
3

3
2
3

x
2

3
x

x
2
x

3
x
1

x
7
x

2
4
lim
x

2
x

3
x
1
x

x
7
x

2
4
x
lim
2

x
3
x

7
x

2
x
4
lim















 _ _








 _ _

















Maø :


















































 _ _










 _ _










0
x
,

0
x

2
x
3
1
x
1
x

2
x

3
x
1

0
x

2
x

3
x
1
lim

0

4
x

7
x

2
4
lim

0
2
0

3
2

3
2
x

3
2
x







2
x
3
x

7
x
2
x
4
lim ₂3

x  






 = 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ta coù : 















 _ _








 _ _

















2
3
2
x

2
2

3
2
3

x
2

3
x

x
2
x
3
1

x

7
x

2
4
x
lim
x

2
x
3
1
x

x
7
x

2
4
x
lim
2

x
3
x

7

x
2
x
4
lim





























 4 0

x
2
x
3
1

x
7
x

2
4
lim
x

lim
Vì

2
3
2
x

x và

<i><b>7)</b></i>

1

1
.
1
).
1
(

1
.
1
).
1
(
1
x
4
1
x
3
1
x
2

1
x
3
1
x

1
1
x
1
lim
1

x
4
x
1
x
3
x
1
x
2
x

1
x
3
x
1
x
1
x
1
x
1

x
lim
)

x
4
(
)
x
3
)(
x
2
(

)
x
3
(
)
x
1
)(
x
1
(

lim ₂ ₂

2

2

x
2
2

2
2

2
2

2
2

x
2
2

2
2

x  









 





 





 






 





 






 







 






 





 







 






 





 





















<i><b>8)</b></i>















 








_ _ _
















x
2
3

x
2
x
1
4
x
lim
x

2
3

x

x
2
x
1
4
x
lim
2

x
3

2
x
x
4

lim 2

x
2
2

x
2

x





























 3 0

4
x

2
3

x
2
x
1
4
lim
và
x

lim

Vì 2

x
x

<i><b>11)</b></i>

1

2
2
x

1
1

x

1
2

x
1
x

1
2
lim
)
x
x
)(
1
x
2
(

1
x
x
2

lim 3

3

2
2

5
2
x

3

3
2

3
5

x  







 







 

















 Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa xk ra ngoài dấu căn (với k là số mũ bậc cao

nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x.
<b>BAØI 14 :</b> Tìm các giới hạn sau :

<i><b>1)</b></i>

3
x
2

x

1
4
x
x
1
1
x
lim
3

x
2

1
x
4
x
x
lim

2
x

2
2

x 

















 ₂

1
x

3
2

x
1
4
x
1
1
lim
x

3
2
x

x
1
4
x
x
1
1
x
lim

2
x

2

x 













 













<i><b>2)</b></i>

3

3
2

2
x

3

3
2
3

2
2

x

3 3

2
x

x
1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
1

x
x

3
x
2
x
lim
















 _ _








 _ _


















 Khi x  +, ta coù : 1

x
1
x

1
1

x
3
x
2
1
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim

3

3
2

2
x

3

3
2

2
x

3

3
2

2

x 






























 Khi x  –, ta coù : 1

x
1
x

1
1

x
3

x
2
1
lim
x

1
x

1
1
x

x
3
x
2
1
x
lim
x

1
x

1
1
x

x

3
x
2
1
x
lim

3

3
2

2
x

3

3
2

2
x

3

3
2

2

x 






























</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i><b>3)</b></i>

3
1
3

1
2
3

x

4 x

2
1
x

1
x
1
4
lim
3

x
4
x

x
2
1
x

1
x
1
4
x
lim
x

3
4

2
x
1
x
x
4

lim 2

x
2

x
2

x  
















 
































<i><b>4)</b></i>

3 3

2
4

x ₂_x ₃ ₃ ₂_x _x

3

x
4
1
x
lim












 ĐS : +

Ta có :


















































3

2
3

2
4

2
x

3

2
3

2
4
2

x

3 3

2
4

x

1
x

2
x

3
x
3
2
x

x
3
4
x

1
1
x
lim
1
x

2
x

3
x
3
x
2

3
x
4
x

1
1
x
lim
x

x
2
3
3
x
2

3
x

4
1
x
lim

















3

2
3

2
4

x

1
x

2
x

3
x
3
2

x
3
4
x

1
1
x
lim


































 1 0

1
x

2
x

3
x
3
2

x
3
4
x

1
1
lim
và
x

lim
Vì

3

2
3

2
4

x
x

<i><b>7)</b></i>

3
2
x

17
3

x
12
x
7
2
lim
x

17
3
x

x
12
x
7
2
x

lim
17

x
3

x
12
x
7
2
x
lim
17

x
3

12
x
7
x
2
lim

2
x

2
x

2
2

x
2

x 















_ _
















 _ _



















<i><b>8)</b></i>





































3

2
x

3

2
x

3 2

2
x

x
2
x
1

1
x
3
4
lim
x

2
x
1
x

1
x
3
4
x
lim
x

2
x

x
x
3
x
4
lim































 x 0vớimọi x 2

2
x
x

2

x
1
và
0
x

2
x
1
lim
;
3
1
x
3
4
lim

Vì 3

2
3

2
3

2
x

x

<i><b>9)</b></i>

x
2
x

1
x

1
1
lim
x

2
1

x
1
1
x
lim
x

2
1

x
1

1
x
lim
x

2
1

x
x
lim

2
3
x

3
2

x
3
4

x
4

x

















 

















Ta có :























 _











0
x
khi
0
x
2
x

1

0
x
2
x

1
lim

0
1
x

1

1
lim

2
2
x

3
x

 






 ₁ ₂_x

x
x
lim

4
x

<i><b>13)</b></i>

1
x

1
x
2
x
4
1
x
x
9

lim 2 2

x 








</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

 x  :






 































x
1
1
x

x
1
x
2
4
x

1
x
1
9
x
lim
1

x

1
x
2
x
4
1
x

x
9

lim 2 2

x
2

2
x

1
x

1
1

x
1
x
2
4
x

1
x
1
9

lim 2 2

x 













 x  :






 

































x
1
1
x

x
1
x
2
4
x

1
x
1
9
x
lim
1

x

1
x
2
x
4
1
x
x
9

lim 2 2

x

2

2
x

1
x

1
1

x
1
x
2
4
x

1
x
1
9

lim 2 2

x 















<i><b>14)</b></i>
































 _ _

















3
x

1
1

x
5
x
3
2
x
lim
3

x
1
1
x

x
5
x
3
2
x
lim
x
3
1
x

5
x
3
x
2
lim

2
2
x

2
2
2

x
2

2
x

































 2 0

1
3
x

1
1

x
5
x
3
2
lim
và
x

lim
Vì

2
2
x

x

<b>Dạng 2 : Dạng vô định (</b> – ) , 0.

Nhân và chia với biểu thức liên hợp (nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu
để đưa về cùng một phân thức (nếu chứa nhiều phân thức). Thông thường, các phép biến đổi này có thể
cho phép khử ngay dạng vơ định ( – ), 0. hoặc chuyển về dạng vô định


_,

0
0_.

<b>BÀI 15 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định </b>)

<i><b>1)</b></i>



2



xlim 4x  x 2x

2 2

2

x x

(4x x) 4x x

lim lim

1

4x x 2x _x ₄ _2x

x

 

  

 

  _{ } 4

1
2
x
1
4

1
lim
x
2
x
1
4
x

x
lim

x

x 


















<i><b>2)</b></i>





3

x
x

1
x
1
1
x

x
4
1
x
lim
3
x
4
x

x

x
4
x
x
lim
3
x
4
x
x
lim

2
x

2

2
2

x
2

x 










 


























 Khi x  –, ta coù :



   







 x x 4 x 3

lim 2

x

 Khi x  +, ta coù :

2
7
3
2
1
3
1
x

1
x
1
1

x

4
1
lim

3
x
x

1
x
1
1
x

x
4
1
x
lim

2
x

2

x    


















 







<i><b>4)</b></i>





1
x
1
x

1

x
1
x

1

x
lim

x
x
1
x
1

x
lim

x
x
1
x
1
lim

2
2

x
2

2

x
2
x
































</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ta coù :  



 ( x)

lim

x vaø _x 1 1

1
x

1
x
1
x

1

lim ₂ ₂

x 

















 nên 












1

x
1
x

1
x
1
x

1

x
lim

2
2

x

Vậy



   









2
xlim 1 x 1 x x

 <i><b>Chú ý</b></i> : Khi x  – thì u(x) = 4x2 x  + vaø v(x) = 2x  – nên ta có dạng vô định  – . Nếu

xét lim



4x2 x 2x



x   ta sẽ không gặp dạng vô định  –  vì khi đó u(x) = 4x x

2   + và v(x) =

2x  +, vì vậy lim



4x2 x 2x



x   = +.

<i><b>5)</b></i>





1 2

2
2

4
1
2
x

3
x
4
4

x
3
4
lim

1
x
2
3
x
4
x
4

x
4
3
x
4
x
4
lim
1
x
2
3
x
4
x
4
lim

2
x

2

2
2

x
2

x    

























































<i><b>6)</b></i>



3 3 2



xlimx1 x 2x ÑS : +







_



_

1

x
2
1
x
2
1
1

2
lim

1
x
2
x
x
2
x
x
x

x
2
x
x
lim

x
2
x
1
x

lim ₂

3
3

x
2

3 3 2

3 3 2

2

2
3
3

x

3 3 2

x 








































 3

1
1
3

2_ _




<i><b>9)</b></i>



3 2 3



xlim4x 3x 64x

 





 





3 ₂ ₃

2

x 2 ₃ ₂ ₃ ₃ ₂ ₃

4x 3x 64x

lim

4x 4x 3x 64x 3x 64x



 



    16

1
64

x
3
64
x

3
4
16
x

x
3

lim ₂

3
3

2

2

x 





























<i><b>10)</b></i>

lim



3 x3 3x2 x2 2x



x    ÑS : 2



x 3x x 2x



lim



x 3x x x x 2x



lim 3 3 2 2

x
2

3 3 2

x          





































 _x _x ₂_x

x
2
x
x
x
x
3
x
x
x
3
x

x
x
3
x

lim 2 2₂

2

3 3 2

2

3 3 2

3

2
3
x

2
1
1
x
2
1
1
x

x
2
1

x
3
1
x

3
1
x

x
3
lim

3
2
3

2

2

x   
















































<i><b>11)</b></i>

lim



2 4x2 3x 33 x3 x 7 x2 3



x      ÑS : 2

3





2 4x 3x 3 x x 7 x 3



lim



2



4x 3x 2x

 

3 x x x

 

7 x 3 x





lim 2 3 3 2

x
2

3 3

2

x               

Ta coù :

*





2
3
2
x
3
4

6
lim

x
.
2
x
3
4
x

x
3
.

2
lim
x

2
x
3
x
4

x
4
x
3
x
4
2

lim
x
2
x
3
x
4
2
lim

x
x

2

2
2

x
2

x 












































*

























































1
x
1
1
x

1
1
x

x
3

lim
x

x
x
x
x
x

x
x
x
3

lim
x
x
x
3
lim

3

2
3

2
x

2

3 3

2

3 3

3
3

x

3 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

0
1
x
1
1
x

1
1

1
x

3
lim

3
2
3

x 



















*





_

_

0

1
x

3
1
x
7
lim

3
7

lim
x

3
x
7
lim

x
3
x
7

lim
x

3
x
7
lim

2
x

x
2

x

2
2

x
2

x 























































Vaäy





2
3
3
x
7
x
x
3
x
3
x
4
2

lim 2 3 3 2

x      

<b>BÀI 16 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định </b>.0)

<i><b>1)</b></i>

lim[(x 3)( x2 4 x)]

x   

Vì  


 (x 3)

lim

x vaø 0

1
x

4
1

x
4
lim

x
4

x

x
4
x
lim
)
x
4
x
(
lim

2
x

2

2
2

x
2

x 
























 đây là dạng .0 khi x  +. Khử ngay dạng vô định .0 như sau :

Ta coù : 2

1
x

4
1

x

3
1
4
lim
x
x

4
1
x

x
3
1
x
4
lim
x

4
x

)
x
4
x
)(
3
x
(

lim
)]
x
4
x
)(
3
x
[(
lim

2
x

2
x

2

2
2

x
2

x 









 










 


























<i><b>2)</b></i>

4
x

x
)
2
x
(

lim ₂

2

x 





 (Chuyển về dạng ₀

0₎

Ta có :

)
2
x
)(
2
x
(

)
2
x
(
x
lim

4
x

x
)

2
x
(
lim

2
2

x
2

2

x  









 _

 (Có dạng ₀

0₎

0

4
0
2

x
)
2
x
(
x
lim

2
x







 _



<i><b>3)</b></i>

1
2

2
1

lim

4
5

2 







 x

x
x
x
x

x (Chuyển về dạng _

₎

Ta có : 2 2

4

5
x

4
5
2

x ₍₂_x ₁₎₍_x _x₎

2
x
x
lim

1
x
2

2
x
x
x
x

1
lim












 



 (Daïng 

₎

2
1
x

1
1
x
1
2

x
2

x
1
1
lim

x
1
1
x
x
1
2
x

x
2
x
1
1
x

lim ₂

5
x

2
4

5

5

x 






 






 










 







 








 _ _








<i><b>4)</b></i>

0

x
1
x

1
2

x
1
1
x
1
lim
1

x
x
2

)
1
x
(
x
lim
1

x
x
2

x
)

1
x

(
lim

4
2

2
x

2
4

2
x

2
4

x 










 






















<i><b>5)</b></i>





₃

x

5 x
lim x 5

4 2x x





 









x x

3

3 2

3 2

5 ₅

x 1 ₁

1

x _x

lim x 5 lim x 5 .

4 2

4 2 x ₁

x 1

x x

x x

 

 _ 



 

 

   

 _ _  _ _

 

 

1
1
1
1

1
x

2
x

4
1
x
5
x

5
1
lim

2
3

x  














 


</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>









































































x
x

3
1
x

3
x

lim
x

x

3
1
x

3
x

lim
x

3
x

x
3
x
x
lim
x
3
x
x
lim

2
x

2
x

2
2
2

x
2

x

<i><b>9)</b></i>

lim x



x x2 1



x   =









2
1
x

1
1
1

1
lim

1
x
x

1
x
x
x
lim
1
x
x
x
lim

2
x

2
2
2
x

2

x 




























<i><b>11)</b></i>

lim x



x2 2x 2 x2 x x



x     ÑS : 4

1





x 2x 2 x x x



lim x



x 2x x 2



x x x





x

lim 2 2

x
2

2

x           







x 2x x



x x x



x
2
x
x
x
x
2
lim
x

x
x

x
2
x

x
2
x

x
2
x

lim ₂2 2 ₂2

x
2

2

x _ _ _ _































4

1
x
2
x
x
x
1
x
1
1
1
x
2
1

x
2
lim

2
2

x 































<b>C.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. </b>

<i><b>1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp giữa hai hàm số. </b></i>
Đôi khi ta phải sử dụng định lý kẹp để tìm giới hạn các hàm số.
<i><b>Định lý :</b></i> (Định lý kẹp về giới hạn của hàm số)

Cho khoảng K chứa điểm x0 và ba hàm số f(x), u(x) và v(x). Nếu u(x)  f(x)  v(x) với mọi x  K\x0 và

neáu : limu

 

x lim v

 

x L

0

0 x x

x

x    thì xlimx₀f

 

x L.

<b>BÀI 17 :</b> Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng của hàm số lượng giác)

<i><b>1)</b></i>

Tìm

x
1
cos
x
lim 2

0
x

Với mọi x  0, ta có : –1 
x
1

cos  1  –x2 x2
x
1

cos  x2

Mặt khác : lim( x ) limx2 0

0
x
2
0

x     nên _x

1

cos
x
lim 2

0

x = 0

<i><b>2)</b></i>

Tìm

1
x
x

x
cos
2
x
2
sin

lim ₂

x  






ta có : x2_{+ x + 1 > 0,}__sin2x___1,__cosx___{1, do đó :}

1
x
x

3
1

x
x

x
cos
2
x
2
sin
1
x
x

3

2
2

2     










Vì 0

1
x
x

3
lim

1
x
x

3

lim ₂

x
2

x   














 neân _x _x ₁ 0

x
cos
2
x
2
sin

lim ₂

x   






<i><b>2) Phương pháp dùng định lý </b></i>: 1

x

x
sin
lim

0

x  <i><b>.</b></i>

<i><b>Hệ quả</b></i> : 1
)
x
(
u

)
x
(
u
sin
lim

a

x  (neáu limxau(x)0) ; _sin_x 1

x
lim

0

x  ; _x 1

x
tan
lim

0

x 

<b>BÀI 18 :</b> Tìm các giới hạn sau :

<i><b>1)</b></i>

3.1 3

x
3

x
3
sin
3
lim
x

x
3
sin
lim

0
x
0

x     

<i><b>2)</b></i>

2
25

25
4
2

x
5

2
x
5
sin
2
lim
x

x
5
cos

1

lim ₂

2

0
x
2

0

x 











</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i><b>3)</b></i>

2( x 1 1) 4
x

2
x
2

sin
lim
1

1
x

)
1
1
x
(
x
2
sin
lim
1
1
x

x
2
sin
lim

0
x
0

x

0

x       







  



<i><b>4)</b></i>

_

_

_

_

_

_

3
2
x

3
x
3
sin
3

3
x

3

x
sin
2
lim
3

x
x
3
sin

3
x

3
x
sin
2
lim
x

3
sin

3
x
sin
2
lim
x

3
sin

x
cos
2

3
x
sin
2
1
2
lim
x

3
sin

x
cos
3
x
sin
lim

3
x
3

x
3

x
3

x
3

x



















 




















 














 _































<i><b>5)</b></i>

₂

2

0
x
2

2

2
2

0
x
2
0
x
2

2
0

x
2

2
0

x

2
x
.
4

2
x
sin
2
lim
)

1
x
1
(
x

)
1
x
1

)(
1
x
1
(
lim
x

x
cos
1
lim
x

1
x
1
lim
x

x
cos
x

1
lim






































1
2
1
2
1
2
1
1
x
1

1
lim

2
0

x      





<b> MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO </b>

<b>BÀI 19 : Tìm các giới hạn sau : </b>

<i><b>1)</b></i>

3

x 0

x 1 x 1

lim

x



   

(DBĐH 2002) ĐS : 5

6

Ta có :

x
1
x
1
lim
x

1
1
x

lim
x

1
x
1
x

lim 3

0
x
0

x
3

0
x





















_



_



_

_

2
1
1
1
x

1
lim
1

1
x
x

1
1
x
1
1
x
lim
x

1
1
x
lim

0
x
0

x
0

x _ _  _ _ 
























 







3

1
1
x
1
x
1

1
lim

1
x
1
x
1
x

1
x
1
lim

x
1
x
1

lim

3 2

3
0
x

3 2

3
0
x
3

0

x  _ _ _ _ 





 _ _ _ _














Vậy

6
5
3
1
2
1
x

1
x
1
x

lim 3

0

x   








<i><b>Cách khác :</b></i> Xeùt _f

 

_x _ _x_₁_3 _x_₁_{; f(0) = 0}

 





 

   

_{ }

6
5
0
'f
0
x

0
f
x
f
lim
x

1
x
1
x
lim
L

6
5
0
'f
;
1
x
3

1
1

x
2

1
x

'f

0
x
3

0
x

3 2






















<i><b>2)</b></i>

x
cos
1

1
x
2

1
x
3

lim3 2 2

0

x 






 (DBÑH 2002) ÑS :

5
6

Ta coù :



 



3 2 2

3 2 2

x 0 x 0 ₂

3x 1 1 2x 1 1

3x 1 2x 1

lim lim _x

1 cosx _2sin

2

 

    

  




 Tính





3 2 2

x 0 ₂ x 0 ₂ ₂ 2 ₃ ₂

3

3x 1 1 3x 1 1

lim _x lim

x

2sin ₂ 2sin 3x 1 3x 1 1

2

 

  _  

 _ _ _{ } 

 

 





2

2

x 0 ₃ ₂ ₃ ₂

x

1 6

2

lim6 _x 2

3

sin 3x 1 3x 1 1

2



 

 

 _ _   

     

 

 Tính





2 2

x 0 ₂ x 0 ₂ ₂

2x 1 1 2x 4

lim _x lim _x 2

2

2sin 2sin 2x 1 1

2 2

 

 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Vaäy 3 2 2
x 0

3x 1 2x 1

lim 4

1 cosx



  




<i><b>Caùch khaùc : </b></i>

2
2

2

3 2

0
x
2

3 2

0
x

x
x
cos
1

x

1
x
2
1
x
3

lim
x

cos
1

1
x
2
1
x
3

lim _

















2
1

2
x
2
x
sin
lim
2
1
x

x
cos
1
lim

2

0
x
2

0

x 


















t

1
t
2
1
t
3
x

1
x
2
1
x

3
lim

3
2

2

3 2

0
x












   

_'f

_{ }

₀ ₂
0

t
0
f

t
f
lim

0

t   




 với f

 

t 3t 1 2t 1

3 _ _ _



Vaäy 3 2 2

x 0

3x 1 2x 1

lim 4

1 cosx



  




<i><b>3)</b></i>





6
2
x 1

x 6x 5

lim

x 1


 

 (DBĐH 2002) ĐS : 15

Ta có :

















5 4 3 2

6

2 2

x 1 x 1

x 1 x x x x x 5

x 6x 5

lim lim

x 1 x 1

 

     

  _

 













2 ₄ ₃ ₂

2
x 1

x 1 x 2x 3x 4x 5

lim 1 2 3 4 5 15

x 1



    

      

 .

<i><b>4)</b></i>



3 3 2 2



xlim x 3x  x  x 1 ÑS :

3
2

Ta coù L lim





3 x3 3x2 x

 

x2 x 1 x





x

5 __       . Xét các giới hạn :











₁ 1

x
3
1
x

3
1

3
lim

x
x
3
x
x
x
3
x

x
3
lim

x
x

3
x
lim
A

3
3

2
x

2

3 3 2

3 3 2 2

2
x

3 3 2

x 










 




























2
1
1

x

1
x
1
1

x
1
1
lim

x
1
x
x

1
x
lim

x
1
x
x
lim
B

2
x

2
x

2

x 
































Do đó L5 = A – B =

</div>

<!--links-->