Nghiên cứu xây dựng thuật toán tấn công hệ mật RSA

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN&TRUYỀN THƠNG

VÕ TÁ HỒNG

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG THUẬT
TỐN TẤN CƠNG HỆ MẬT RSA

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Thái Nguyên – 2020


ii

LỜI CAM ĐOAN
Học viên xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu thực sự của
bản thân, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hồ Văn Canh.
Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được cơng
bố dưới bất cứ hình thức nào. Tất cả các nội dung tham khảo, kế thừa của các tác
giả khác đều được trích dẫn đầy đủ.
Em xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.

Người cam đoan

Võ Tá Hoàng


3

LỜI CẢM ƠN
Học viên trân trọng cảm ơn sự quan tâm, tạo điều kiện và động viên của
Lãnh đạo Trường Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Khoa Đào tạo sau đại học,
các khoa đào tạo và các quý phòng ban Học viện trong suốt thời gian qua.
Học viên xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới TS. Hồ Văn Canhđã nhiệt tình
định hướng, bồi dưỡng, hướng dẫn học viên thực hiện các nội dung khoa học
trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ to lớn từ phía Cơ quan đơn
vị, đồng nghiệp và gia đình đã hỗ trợ học viên trong suốt quá trình triển khai các
nội dung nghiên cứu.
Mặc dù học viên đã rất cố gắng, tuy nhiên, luận văn khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Học viên kính mong nhận được sự đóng góp từ phía Cơ sở đào
tạo, quý thầy cô, các nhà khoa học để tiếp tục hoàn thiện và tạo cơ sở cho những
nghiên cứu tiếp theo.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng

năm 2020

Học viên

Võ Tá Hoàng


4

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................iii

MỤC LỤC............................................................................................................ iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ...............................................vii
DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU .............................................................viii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: TÌM HIỂU VỀ HỆ MẬT RSA ....................................................... 4
1.1 Hệ mật mã hóa RSA........................................................................................ 4
1.1.1 Mô tả hệ mật RSA .................................................................................... 4
1.1.2 Thực thi hệ mật RSA................................................................................ 6
1.1.3 Vấn đề an toàn của hệ mật RSA............................................................... 6
1.2 Tính an tồn của hệ mật mã RSA.................................................................... 7
1.2.1 An tồn vơ điều kiện ................................................................................ 7
1.2.2 An tồn được chứng minh........................................................................ 7
1.2.3 An tồn tính tốn ...................................................................................... 7
1.3 Các kiểu thám mã ............................................................................................ 8
1.3.1 Bài toán thám mã chỉ biết bản mã ............................................................ 9
1.3.2 Bài toán thám mã khi các cặp rõ/ mã đã biết ........................................... 9
1.3.3 Bài toán thám mã với bản rõ lựa chọn ..................................................... 9
1.3.4 Bài toán thám mã với bản mã lựa chọn.................................................... 9
1.4 Tấn công hệ mật RSA lợi dụng những lỗ hổng của chúng .............................
9
1.4.1 Biết (n) tìm được p, q ...........................................................................
10
1.4.2 Biết số mũ bí mật của RSA .................................................................... 10
1.4.3 Giao thức công chứng ............................................................................ 12
1.4.4 Giao thức module n chung ..................................................................... 14
1.4.5 Giao thức số mũ công khai nhỏ.............................................................. 20
1.4.6 Giao thức số mũ bí mật nhỏ ................................................................... 21


5

1.4.7 Trường hợp các tham số p-1 và q-1 có các ước nguyên tố nhỏ ............. 24
Kết luận Chương 1 .............................................................................................. 26
CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN TẤN CƠNG HỆ MẬT
RSA ..................................................................................................................... 27
2.1 Kiểm tra tính ngun tố của một số .............................................................. 27
2.1.1 Đặt bài toán ............................................................................................ 27
2.1.2 Các thuật tốn kiểm tra tính ngun tố theo xác suất ............................ 28
2.1.2.1 Thuật toán Fermat ............................................................................... 29
2.1.2.2 Thuật toán Solovay-Strassen............................................................... 29
2.1.2.3 Thuật toán Miller-Rabin...................................................................... 30
2.1.2.4 So sánh thuật toán Fermat, Solovay-Strassen và Miller - Rabin ........ 31
2.1.2.5 Kiểm tra tính nguyên tố của số nguyên tố Mersenne.......................... 32
2.1.2.6 Một số thuật tốn kiểm tra tính ngun tố khác.................................. 32
2.2 Các thuật tốn phân tích thừa số ................................................................... 34
2.2.1 Thuật tốn tìm nhân tử lớn nhất thứ nhất............................................... 34
2.2.2 Thuật tốn phân tích thứ hai................................................................... 37
2.2.3 Thuật tốn phân tích thứ ba.................................................................... 38
Kết luận Chương 2 .............................................................................................. 42
CHƯƠNG 3: ĐỀ XUẤT THUẬT TỐN TẤN CƠNG RSA KHƠNG CẦN
PHÂN TÍCH NHÂN TỬ..................................................................................... 43
3.1 Mở đầu........................................................................................................... 43
3.2 Cơ sở toán học của thuật toán ....................................................................... 44
3.2.1 Một số mệnh đề ...................................................................................... 44
3.2.2 Xác định hàm ф(n) ................................................................................. 45
3.3 Đề xuất thuật toán ......................................................................................... 46
3.3.1 Lưu đồ giải thuật .................................................................................... 46
3.3.2 Xây dựng chương trình .......................................................................... 47
3.3.3 Một số ví dụ............................................................................................ 51
Kết luận Chương 3 .............................................................................................. 53

6

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 54
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 55
PHỤ LỤC ............................................................................................................ 57
Phụ lục Mã nguồn Chương trình......................................................................... 57
Phụ lục Thư viện tính tốn số lớn ....................................................................... 71
1 Biểu diễn số lớn ................................................................................................ 72
2 Các phép toán với số lớn.................................................................................. 73


vii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
K
ý
v
i
RR
Siv
RC
Chi
GG
Cre

Ý

n

Hệ mật mã
RSA
Định lý đồng
dư Trung Hoa
Ước chung lớn
nhất
G Trường số
F thực
G Trường nhị
F phân
Tập hợp khóa
mã
Thuật tốn mã
hóa
Thuật tốn giải
mã
Tập hợp các
bản rõ
Tập hợp các
bản mã
 Hàm Phi_Ơle



p

Cặp p và q
số
Số nguyên
dương bất kỳ

Văn P
bản
B C
ả
Thành phần
khóa cơng
Thành phần
khóa bí mật
Số ngun tố
Mersenne
Số nguyên lẻ


viii

DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU
Hình 3.1: Lưu đồ thuật tốn................................................................................ 47
Hình 3.2: Giao diện chính của chương trình ...................................................... 48
Hình 3.3: Kiểm tra tính chẵn của số cần phân tích ............................................ 49
Hình 3.4: Kiểm tra tính ngun tố của số cần phân tích .................................... 49
Hình 3.5: Chức năng phân tích........................................................................... 50
Hình 3.6: Chức năng dừng trong q trình phân tích ........................................ 50
Hình 3.7: Chức năng hiển thị kết quả ................................................................. 51


1


MỞ2ĐẦU
1. Đặt vấn đề

Hệ mật RSA được phát minh bởi Ron Rivest, Adi Shamir, và Len
Adleman, công bố lần đầu vào tháng 8 năm 1977 trên tạp chí khoa học Mỹ,
được sử dụng trong lĩnh vựcbảo mật và cung cấp cơ chế xác thực của dữ liệu
số [3],[17]. Ngày nay, RSA đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong tất
cả các lĩnh vực đời sống, kinh tế xã hội, an ninh quốc phòng, đặc biệt là trong
thương mại điện tử. Theo [4],[6] RSA được sử dụng nhiều nhất để trao đổi
khóa bí mật và xác thực đối với hệ mật mã đối xứng; sử dụng trên web servers
và trên các browsers nhằm đảm bảo an ninh đường truyền, đặc biệt RSA được
coi là hạt nhân của hệ thống thanh tốn điện tử... Bởi vậy, nghiên cứu phân
tích hệ mật RSA luôn thu hút sự quan tâm của nhiều quốc gia, tổ chức, các
tập đồn, cơng ty và các nhà khoa học đầu tư nghiên cứu [7],[9].
Ở nước ta hiện nay, hầu hết các cơ quan, tổ chức hoạt động trong lĩnh
vực bảo mật và các trung tâm nghiên cứu, trường đại học khối kỹ thuật đều có
những kết quả nghiên cứu, phân tích hệ số an tồn đối với các tham số hệ mật,
từ đó chỉ rõ những mối nguy hiểm tiềm ẩn cần cải thiện hệ mật RSA khi sử
dụng [5],[10]. Vấn đề thám mã đối với hệ mật RSA hiện nay đang được các
nhà nghiên cứu tập trung khai thác dựa trên các sơ hở của RSA như: tấn công
vào số mũ công khai hoặc số mũ bí mật thấp, tấn cơng vào các tham số nguyên
tố p, q bé hoặc cách xa nhau lớn, hoặc họ tập trung vào việc phân tích nhân tử
số n (modul của RSA). Trường hợp đối với số lớn, từ n 1024 trở lên thì các
phương pháp hiện tại khơng phát huy được hiệu quả hoặc chạy chậm và không
cho quả như mong muốn [3]. Mặt khác về mặt toán học đã chứng minh hiệu
quả của việc tấn công hệ mật RSA phụ thuộc vào cách thu hẹp khoảng cách dị
tìm số ngun tố p đối với hệ mật RSA. Do vậy cần có những nghiên cứu tấn
cơng RSA mới mà khơng cần phân tích nhân tử [4].


Xuất phát từ thực tế đó, luận văn “Nghiên cứu xây dựng thuật tốn tấn
cơng hệ mật RSA” mang tính cấp thiết, thực sự có ý nghĩa khoa học và thực
tiễn.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về các phương pháp tấn công hệ mật RSA hiện nay và đề
xuất một phương pháp tấn công RSA mới.
- Sử dụng ngơn ngữ lập trình C để xây dựng chương trình phần mềm
được đề xuất.
3. Hướng nghiên cứu của luận văn
Nghiên cứu tổng quan về vấn đề an toàn hệ mật RSA, các phương pháp
tấn công RSA phổ biến hiện nay. Từ đó đi sâu nghiên cứu đề xuất một phương
pháp tấn công RSA mới, không dựa trên bài tốn phân tích nhân tử. Nghiên
cứu xây dựng phần mềm giải pháp và thực nghiệm, đánh giá.
4. Những nội dung nghiên cứu chính
Chương 1: Tổng quan về hệ mật RSA
Nghiên cứu mô tả, thực thi hệ mật RSA, vấn đề an tồn và các kiểu,
phương pháp tấn cơng hệ mật RSA phổ biến.
Chương 2: Nghiên cứu một số thuật toán tấn cơng RSA
Tập trung nghiên cứu, phân tích một số thuật tốn tấn cơng RSA phổ
biến sử dụng chung phương pháp phân tích nhân tử. Nội dung chính của
chương trình bày kết quả nghiên cứu các thuật toán kiểm tra số ngun tố và
thuật tốn phân tích số ngun thành tích các thừa số nguyên tố.
Chương 3: Nghiên cứu đề xuất thuật tốn tấn cơng RSA
Dựa trên cơ sở lý thuyết tốn học, nội dung Chương 3 nghiên cứu, tìm
hiểu và xây dựng chương trình thuật tốn tấn cơng hệ mật RSA khơng cần
phân
tích nhân tử. Việc tính tốn, phân tích số nguyên n để xác định các số nguyên


tố p, q được thực hiện thơng qua tính tốn hàm  n . Đồng thời đã phân
tích,
tính tốn thực nghiệm để đưa ra một số kết luận.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các bài báo khoa học, cơng trình nghiên cứu trong nước
và quốc tế.
- Nghiên cứu, phân tích các phương pháp tấn cơng RSA hiện nay. Từ đó
xây dựng thuật tốn tấn cơng RSA mới.
- Xây dựng phần mềm ứng dụng và đánh giá.
6. Ý nghĩa khoa học của luận văn
Nghiên cứu vấn đề tấn cơng hệ mật RSA có ý nghĩa và vai trị to lớn
trong việc vệ an ninh thơng tin. Đây là vấn đề đang được quan tâm, thu hút
nhiều quốc gia, tổ chức, cá nhân đầu tư nghiên cứu. Học viên đã nghiên cứu
tìm hiểu và xây dựng phần mềm giải pháp tấn cơng RSA, khơng cần phân tích
nhân tử. Do vậy, luận văn có tính khoa học và ứng dụng thực tiễn.


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ MẬT RSA
1.1 Hệ mật mã hóa RSA
Hệ mật RSA được phát minh bởi Ron Rivest, Adi Shamir và Len
Adleman và được Scientific American công bố lần đầu tiên vào năm 1977
[17].
Hệ mật RSA được sử dụng để bảo mật và đảm bảo tính xác thực của dữ
liệu số. Hiện nay RSA được sử dụng trong hệ thống thương mại điện tử, các
dịch vụ Web Server và Web Browser. RSA còn được sử dụng để đảm bảo tính
xác thực vào bảo mật của Email, đảm bảo an toàn cho các phiên truy cập từ xa
và là bộ phận quan trọng của hệ thống thanh toán thẻ tín dụng. Như vậy ta có
thể thấy rằng RSA thường được sử dụng trong các ứng dụng cần đảm bảo sự
an toàn và bảo mật dữ liệu số cao.
1.1.1 Mô tả hệ mật RSA
Định nghĩa hệ mật RSA
Hệ mật RSA bao gồm bộ P,C, K, D, E  . Trong đó [1]:

1. P là tập các bản rõ.
2. C là tập các bản ký tự mã.


3. K là tập các khóa k , mỗi khóa k gồm hai phần: k ' là khóa cơng khai
dành cho việc lập mã, cịn k '' là khóa bí mật dành cho việc giải mã.
4. Với mỗi bản rõ x  P , thuật toán lập mã E cho ta ký tự mã tương ứng



'



yE k ,x C

5. Với mỗi ký tự mã y thuật toán giải mã D cho ta lại ký tự bản rõ x :
Dk , y   Dk , E k , x   x
''

''

'

Hệ mật RSA sử dụng các tính tốn trong Z n trong đó n là tích của hai số
ngun tố lớn phân biệt nhau p, và  n   p 1q 1 . Mơ tả hình thức
q
của hệ
mật như sau:
Cho n  p.q trong đó p, q là các số nguyên tố lớn phân biệt nhau sao cho

độ dài của hai số này là gần nhau nhất có thể được.



Đặt: P  C 

và định nghĩa k  n, p, q, a,b : ab  1mod  n

Zn

- Mã hóa: ek x   x b mod n
- Giải mã:
d k  y   y mod n
a

Trong đó xP , y C
Các giá trị n,b cơng khai cịn các giá trị  p, q, a được giữ bí mật.
Ta sẽ kiểm xem các phép mã hóa và giải mã có phải là các phép tốn
nghịch đảo của nhau hay khơng?
Vì ab  1mod  n nên ta ab  t. n 1 với một số nguyên bất t  1 .
có
kỳ
Giả sử có x  Z n khi đó ta sẽ xét hai trường hợp.
a.Trường hợp x, n  1  x n  mod n  1 . Khi đó ta có:
y a mod n  xb mod n  x t. n 1 mod n 
a

x

 n 



mod n  x mod n  1t.xmod n  
t

xmod n 

b. Trường hợp (x, n)  d  1  d  hoặc d  q
p

Giả sử d  p , khi đó x  hp với 0  h  và h, n  1
q

Suy ra: y a mod n  x b a mod n  h ab mod n  p ab mod n mod n . Do h, n
 1 nên
h modn  h . Bên cạnh đó ta lại có:
ab

p

ab

mod n  p

p. p



ab

  p   q 

mod  pq  p

ab

mod q  p.p

 n 

mod q  p.p

  p .  q 



mod q  p . y a mod n  hp mod n  hp  x

Vậy
Ví dụ:
Giả sử Bob chọn

p  101 và q  113 . Khi đó n  pq 11413

và

 n   p 1q 1  100.112  11200 .

Vì 11200  26.52.7 nên có thể dùng một số nguyên b khóa cơng khai có

giá
trị khơng chia hết cho 2,5,7 . Anh ta kiểm tra điều
kiện tốn Euclidean.
có:

gcd n,b  1 bằng

thuật
Giả sử Bob chọn


b
3533 ,

khi
đó
theo
thuật
tốn
Eucli
dean
mở
rộng
ta



b

1

 6597mod11200

Do vậy số mũ mật (khóa bí mật) để giải mã của Bob sẽ là a  6597 . Bob
sẽ công bố n  11413 và b  3533.
Giả sử Alice muốn gửi bản rõ 9726 đến Bob. Cô ta sẽ tính:
9726

3533

mod11413 5761

Rồi gửi bản mã 5761 trên kênh truyền. Khi Bob nhận được bản mã 5761
, anh ta sẽ sử dụng khóa bí mật để tính: 57616597 mod11413 9726
1.1.2 Thực thi hệ mật RSA
Để thiết lập hệ thống, Bob sẽ tuân theo các bước sau:
1. Bob tạo ra hai số nguyên lớn p và q sao cho độ dài của hai
số gần bằng nhau nhất có thể được.
2. Bob tính n  p.q và  n p 1q 1
3. Bob chọn một số ngẫu nhiên b 0  b   n sao cho:
gcdb,  n  1

4. Bob tính a  b 1 mod  n bằng cách sử dụng thuật tốn
Euclidean.
Hình 1.1: Thực thi hệ mật RSA
1.1.3 Vấn đề an toàn của hệ mật RSA
Hệ mật RSA chỉ được an tồn khi giữ bí mật khóa giải mã a và thừa số
nguyên tố p, q (hay giữ bí mật  n  ).
Trường hợp biết được p, q thì Marvin dễ dàng tính được  n   p
1q 1

. Khi đó Marvin sẽ sử dụng thuật tốn Euclidean mở rộng để tính a .
Khi biết a thì tồn bộ hệ thống sẽ bị phá vỡ ngay lập tức. Vì khi biết a ,
tồn bộ khóa K đều được biết và Marvin sẽ giải mã được và sẽ đọc được nội
dung của bản rõ, Ngoài ra Marvin có thể lập mã trên văn bản khác là cực kỳ


nguy hiểm. Nhất là những thông tin liên quan đến an ninh quốc gia, qn đội,
ngân hàng.
1.2 Tính an tồn của hệ mật mã RSA
Tính an tồn của một hệ thống mật mã phụ thuộc vào độ khó của bài
tốn thám mã khi sử dụng hệ mật đó. Người ta đã đề xuất một số cách hiểu
cho khai niệm an toàn của hệ thống mật mã, để trên cơ sở các ccách hiểu đó
nghiên cứu tính an tồn của nhiều hệ mật khác nhau, sau đây là một vài cách
hiểu thơng dụng nhất:
1.2.1 An tồn vơ điều kiện
Giả thiết người thám mã có được thơng tin về bản mã. Theo quan niệm
lý thuyết thông tin, nếu những hiểu biết về bản mã không thu hẹp được độ bất
định về bản rõ đối với người thám mã, thì hệ mật mã là an tồn vơ điều kiện,
hay theo thuật ngữ của C.Shannon, hệ mật là bí mật hồn tồn. Như vậy, hệ là
an tồn vơ điều kiện, nếu độ bất định về bản rõ sau khi người thám mã có
được cả thông tin (về bản mã) bằng độ bất định về bản rõ trước đó. Tính an
tồn vơ điều kiện thường được sử dụng cho các hệ mật mã khó đối xứng.
1.2.2 An toàn được chứng minh
Một hệ thống mật mã được xem là có độ an tồn được chứng minh nếu
ta có thể chứng minh được bài tốn thám mã đối với hệ thống đó “khó tương
đương” với một bài tốn khó đã biết, thí dụ bài tốn phân tích một số nguyên
thành tích các thừa số nguyên tố, bài tốn tìm lơgarit theo một modul ngun
tố,…(“khó tương đương” có nghĩa là nếu bài tốn này giải được thì bài toán
kia cũng giải được cùng một độ phức tạp như nhau).

1.2.3 An tồn tính tốn
Hệ mật mã được xem là an tồn về mặt tính tốn, nếu mọi phương pháp
thám mã đã biết đều đòi hỏi một nguồn năng lực tính tốn vượt q mọi khả
năng (kể cả phương tiện thiết bị máy móc) tính tốn của một kẻ thám mã. An


tồn theo nghĩa này, nói theo ngơn ngữ của lý thuyết về độ phức tạp tính tốn
là bao hàm cả khái niệm an tồn theo nghĩa “được chứng minh” nói trên.
Tính an tồn theo nghĩa được chứng minh hay tính tốn được sử dụng
nhiều trong cơng việc nghiên cứu các hệ thống mật mã hiện đại, đặc biệt là các
hệ thống mật mã khóa cơng khai. Các bài tốn đó đều có hạt nhân là tính an
tồn của các hệ mật mã, góp phần giải quyết các vấn đề an tồn thơng tin kể
trên.
1.3 Các kiểu thám mã
Mật mã được sử dụng trước hết là để đảm bảo tính bí mật cho các thông
tin được trao đổi trên các kênh truyền thơng cơng cộng. Do đó bài tốn quan
trọng nhất của thám mã cũng chính là bài tốn phá bỏ tính bí mật đó, tức là:
với những bản mã có thể dễ dàng thu được trên các kênh truyền thông cơng
cộng, người thám mã phải tìm ra được nội dung thông tin che dấu bên trong
bản mã [8],[17],[18].
Giả thiết chung: Ta luôn coi đối phương biết hệ mã đang dùng. Giả thiết
này được gọi là nguyên lý KoreKhoff. Dĩ nhiên nếu đối phương khơng biết hệ
mật được dùng thì nhiệm vụ của anh ta sẽ khó khăn hơn nhiều. Tuy nhiên, ta
không muốn độ mật của một hệ thống dựa trên một giả thiết không chắc chắn:
đối phương không biết hệ mật đang sử dụng. Vì vậy, mục tiêu trong việc thiết
kế một hệ mật là phải đạt được độ mật của giả thiết KoreKhoff.
Việc thám mã có thể quy về việc tìm được bản rõ hoặc phát hiện khóa
giải mã, khi biết trước hệ mật mã sử dụng. Ngoài việc biết hệ mật mã, người
thám mã cần có thơng tin về bản rõ và một số phát hiện khác. Tuỳ theo thơng
tin đó là gì mà ta phân các bài toán thám mã thành 4 loại [2]:

- Bài toán thám mã chỉ biết bản mã: Đây là bài toán phổ biến nhất
- Bài toán thám mã khi biết cặp rõ/mã.
- Bài tốn thám mã khi có bản rõ được chọn.
- Bài tốn thám mã khi có bản mã được chọn.


1.3.1 Bài toán thám mã chỉ biết bản mã
Đây là bài toán phổ biến nhất. Người thám mã chỉ biết các bản mã
c1  ek m1 ,.., ek mi  mà không biết bản rõ tương ứng với những bản mã đó

cũng như khóa giải mã. Anh ta cố gắng tìm khóa giải mã, nếu khơng cần tìm
các bản
rõ m1m2 ..mi .
1.3.2 Bài toán thám mã khi các cặp rõ/mã đã biết


Người thám mã biết các bản mã c1c2 ..ci
Như trên, nhưng cũng biết các bản rõ tương ứng m1m2 ..mi . Anh ta cố
gắng
tìm khóa giải mã a , nếu khơng thì cố gắng phỏng đốn bản rõ mi1 từ bản mã
mới ci1  ek mi1  đã được mã hóa cùng với khóa b .
1.3.3 Bài tốn thám mã với bản rõ lựa chọn
Người thám mã được quyền truy nhập tạm thời cơ chế mã hóa, nên có
thể chọn các bản rõ m1m2 ..mi và có được các bản mã tương ứng c1  ek m1
,
c2  ek m2  ,.., ci  ek mi  ,

từ đó anh ta sẽ phỏng đốn khóa giải mã a và có thể

tìm được bản rõ mi1 từ một vài bản mã mới ci1  ek mi1  cũng được mã hóa

bởi
khóa lập mã b .
1.3.4 Bài toán thám mã với bản mã lựa chọn
Người thám mã được quyền truy cập tạm thời vào cơ chế giải mã, nên từ
các bản mã c1c2 ..ci anh ta nhận được các bản rõ tương ứng m1m2 ..mi . Từ đó anh
ta phỏng đốn khóa giải mã a và có thể tìm được bản rõ
mi1

từ một vài bản mã

mới ci1  ek mi1  cũng được mã hóa bởi cùng khóa lập mã b
.
Trong mỗi trường hợp đối tượng cần phải xác định chính là khóa đã sử
dụng: Rõ ràng bốn mức tấn cơng (thám mã) trên đã được liệt kê theo độ tăng
dần của sức mạnh tấn công và cách tấn công các bản mã được lựa chọn là
thích hợp đối với hệ mật mã hóa cơng khai.
1.4 Tấn cơng hệ mật RSA lợi dụng những lỗ hổng của chúng


Tính bảo mật của RSA chủ yếu dựa vào việc giữ bí mật số mũ giải mã a