Đề thi thử Đại học môn Toán có đáp án - Đề số 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö 2 2 a) a(x + 1) – x(a + 1) b) x – 1 + xn + 3 – xn HD: a). a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 – a2x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax – 1). b). x – 1 + xn(x3 – 1) = (x – 1)[1 + xn(x2 + x + 1)] = (x – 1)(xn+2 + xn+1 + 1). C©u 2: (1,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:  x y   x2  y2    2 : 2 2 2  y  xy x  xy    x y  xy  HD: + Điều kiện xác định:. ( x  0;y  0;x  y;x   y )..  x y   x2  y2  2 +A   2 : 2 2  y  xy x  xy   x y  xy. C©u 3: (1,5 ®iÓm). 1. HD: + Điều kiện xác định: + Xét 4 trường hợp:.  x 2  y 2 xy(x  y) x  y . 2   2 xy  xy(x  y) x  y. Rót gän biÓu thøc:. A. xy xy. ( x   y ).. xy x  y  1; *NÕu x  0;y  0  B   1; xy xy x  y xy *NÕu x  0;y  0  B  ; *NÕu x  0;y  0  B  xy xy *NÕu x  0;y  0  B . C©u 4: (1,5 ®iÓm) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức. x2  3 cã gi¸ trÞ nguyªn. M x2. HD: + M cã nghÜa khi x  2 x 2  3 x 2  4  1 (x  2)(x  2)  1 1 M     (x  2)  x2 x2 x2 x2  x  Z, M  Z  (x  2)  ¦(1)  1;1  x  3;1. C©u 5: (3,5 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lÊy ®iÓm F sao cho AE = CF. a)Chøng minh r»ng tam gi¸c EDF vu«ng c©n. b)Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo AC vµ BD; I lµ trung ®iÓm cña EF; Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, C, I th¼ng hµng. HD: 2. C©u 1: Cho ®a thøc : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 a)Ph©n tÝch P(x) thµnh nh©n tö.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n b)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho 6 víi mäi x  Z. HD: a). P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x +6 = (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2) =(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1). b). P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3) = 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1)  P(x)6 (§fcm).. 3. 4. C©u 2: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). VÏ CE  AB, CF  AD. Chøng minh r»ng AB.AE + AD.AF = AC2 x 4  x 3  x 2  2x  2 C©u 3: Cho ph©n thøc F(x)  4 (x  Z) x  2x 3  x 2  4x  2 a)Rót gän ph©n thøc. b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất. C©u 4: Cho tam gi¸c vu«ng ABC, c¹nh huyÒn BC = 289 cm vµ ®­êng cao AH = 120 cm. TÝnh hai c¹nh AB vµ AC. Câu 5: Cho 3 số dương a, b, c. 1 1 1 Chøng minh r»ng: (a  b  c)      9 a b c Câu 6: Cho 3 số dương a, b, c. abx bcx cax 4x    1 Giải phương trình: c a b abc Câu 1: Giải phương trình: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x2 – 6x + 1) x 1 x  4  3 Câu 2: Giải bất phương trình: 2 2 2a  b 5b  a  C©u 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  3a  b 3a  b BiÕt 10a2 – 3b2 + 5ab = 0 vµ 9a2 – b2  0. x 4 + x3 + x + 1 C©u 4: Cho biÓu thøc: P = 4 x - x3 + 2 x2 - x + 1 a)Tìm điều kiện xác định của P. b)Rót gän P. c)Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ b»ng 2. C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (BC//AD) cã gãc ABC = gãc ACD. Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đường chéo AC. C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm c¹nh BC. Tõ mét ®iÓm E trªn c¹nh BC ta kÎ ®­êng th¼ng Ex // AM. Ex c¾t tia CA ë F vµ tia BA ë G. Chøng minh EF + EG = 2AM. 4 a 2  12 a +9 C©u 1:Rót gän biÓu thøc: A  2a2  a  6. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 0,5a  a  2 a  8 2 C©u 2: Cho biÓu thøc B  :  1  0,5a a  2 a(2  a) a)Tìm a để B có nghĩa. b)Rót gän biÓu thøc B. C©u 3: 1) Giải bất phương trình: (x – 2)(x + 1) < 0. 2) Giải phương trình: x 2  2 x  2 x + 1  2  0 C©u 4: Cho biÓu thøc: A = x2 + 6x + 15 a)Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x. b)Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt hay lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá nhất hay lớn nhất đó. Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AB  DC AD. Cho MN  . Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang. 2 C©u 6: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, trªn ®­êng chÐo AC lÊy mét ®iÓm I. Tia DI c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i M, c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i N. AM DM CB   Chøng minh a) ; b) ID2 = IM.IN. AB DN CN C©u 1: Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña mét tam gi¸c, chøng minh r»ng: a2b + b2c + c2a +ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > 0. C©u 2: x2  2x  3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc: A  x2  2. Chương trình luyện thi HSG THCS. 2. 5. 6. 3. Câu 3: Giải phương trình: x  1  2 x  3  x  4 Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với c¹nh AD vµ CD t¹i M vµ N. TÝnh c¸c gãc cña h×nh thoi ABCD biÕt r»ng 2MN = BD. C©u 1: Cho a – b = 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1) 2 7 6  2 3  C©u 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng c¸ch nhanh nhÊt: 2 x   1 x  6  9  3  2 2   a3  8 C©u 3: Cho biÓu thøc B =  a  :   1  0,5a  a  2 2a  a 2  a)Tìm x để B có nghĩa. b)Rót gän B. Câu 4: Giải phương trình: (x – 2)(x + 2)(x2 – 10) = 72. Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm, độ dµi hai ®­êng chÐo lµ AC = 16 cm, BD = 12 cm. Tõ A vÏ ®­êng th¼ng song song víi BD c¾t CD t¹i E. 1) Chøng minh ACE lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A. 2) TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD. C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, ®­êng ph©n gi¸c trong cña gãc C c¾t c¹nh AB t¹i. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n D. Chøng minh r»ng: CD2 < CA.CB C©u 1:Cho a, b lµ hai sè nguyªn. Chøng minh r»ng: NÕu a chia cho 13 d­ 2 vµ b chia cho 13 d­ 3 th× : a2 + b2 chia hÕt cho 13. C©u 2: Cho a, b lµ c¸c sè thùc tuú ý. Chøng minh r»ng: 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a – 6b + 13  0. §¼ng thøc x¶y ra khi nµo? C©u 3: ë bªn ngoµi cña h×nh b×nh hµnh ABCD, vÏ hai h×nh vu«ng ABEF vµ ADGH. Chøng minh: 1) AC = FH vµ AC vu«ng gãc víi FH. 2) Tam gi¸c CEG vu«ng c©n. 7 C©u 4: Cho ®a thøc: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (Víi x nguyªn) 1)Ph©n tÝch ®a thøc P(x) thµnh nh©n tö. 2)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho 6. C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, BD vµ CE lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c ABC. DF vµ EG lµ hai ®­êng cao cña tam gi¸c ADE. Chøng minh r»ng: 1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. 2)Chøng minh: FG//BC. C©u 6: 1)Chứng minh rằng phương trình x4 – x3 – x – 1 = 0 chỉ có hai nghiệm. 2)Giải và biện luận phương trình: m2x + 1 = x + m (m là tham số) x 4  2x 2  1 C©u 1: Cho ph©n thøc: A  3 x  3x  2 1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. 2) Rót gän A. 3) Tính x để A < 1. 3 C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ph©n thøc: E  2  x  2x  4 1 1  Câu 3: Giải phương trình: x(x  1) 2 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; Gọi G là 8 chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC, 1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF. 2) Chøng minh AB.AE + AD.AF = AC2.. Bài tập tương tự: 1)Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, hai ®­êng cao BD vµ CE c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng BH.BD = CH.CE = BC2. 2)Cho tam gi¸c ABC vÏ ph©n gi¸c AD. Chøng minh : AD2 = AB.AC + BD.DC. 3)Cho tam gi¸c ABC cã: BC = a, AC = b, AB = c. µ  2B µ  a 2  b 2  bc. Chøng minh r»ng A 4)Cho tam gi¸c ABC. BiÕt ®­êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A c¾t c¹nh BC kÐo dµi t¹i E. Chøng minh r»ng: AE2 = EB.EC + AB.AC. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 4 3 2 9 C©u 1: Cho ®a thøc: P(x) = x – 3x + 5x – 9x + 6. 1)Trong trường hợp x là số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6. 2)Giải phương trình P(x) = 0. 9 C©u 2:Cho tø gi¸c ABCD cã chu vi lµ 2p vµ M lµ mét ®iÓm ë trong tø gi¸c. Chøng minh: 1) p < AC + BD < 2p; 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p. 9 C©u 3: Cho a + b + c = 1, vµ a2 + b2 + c2 = 1. x y z 1) NÕu   . Chøng minh r»ng: xy + yz + xz = 0. a b c 2) NÕu a3 + b3 + c3 = 1. T×m gi¸ trÞ cña a, b, c. 9 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (AB < AC). Hai ®­êng cao BD vµ CE c¾t nhau t¹i H. 1) So s¸nh hai gãc BAH vµ CAH. 2) So s¸nh hai ®o¹n th¼ng BD vµ CE. 3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng. 9 Câu 5: Giải phương trình: x  1  2 x  1  x 9 xa xb xc 1 1 1    2     (Trong đó x Câu 6: Giải phương trình: bc ac ab a b c lµ Èn) 10 Câu 1: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0 10 x 2  y 2  xy x3  y3 : 2 C©u 2: Rót gän biÓu thøc: A  x2  y2 x  y 2  2xy 10. 10 10. 11. 11. C©u 3: Chứng tỏ rằng bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 4 50 2 x  2x  2 x 2  4x  1 C©u 4: T×m g¸i trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  x2 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng tai A (AC > AB), ®­êng cao AH. Trong nöa mÆt ph¼ng bê AH cã chøa ®iÓm C vÏ h×nh vu«ng AHKE. µ  450 . 1)Chøng minh r»ng B 2)Gäi P lµ giao ®iÓm cña AC vµ KE. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABP vu«ng c©n. 3)Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ. Chøng minh ba ®iÓm H, I, E th¼ng hµng. 4)Chøng minh r»ng HE // QK. C©u 1: (3®) (x 2  a)(1  a)  a 2 x 2  1 Chøng minh biÓu thøc P = 2 kh«ng phô thuéc vµo (x  a)(1  a)  a 2 x 2  1 biÕn x Câu 2: (2đ) Giải phương trình: x3 + 12 = 3x2 + 4x Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 11 1  8x 4x 32x 2 Câu 3: (2đ) Giải phương trình:   0 4  8x 12x  6 3(4  16x 2 ) 11 C©u 4: (5®) Cho ba ph©n thøc: 4xy  z 2 4yz  x 2 4xz  y 2 A ; B ; C xy  2z 2 yz  2x 2 xz  2y 2 Trong đó x, y, z đôi một khác nhau. Chøng minh r»ng nÕu: x + y + z = 0 th×: A.B.C = 1. 11 C©u 5: (4®) Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song víi BC c¾t ®­êng chÐo BD t¹i M vµ c¾t CD t¹i I. Qua B kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD c¾t c¹nh CD ë K. Qua K kÎ ®­êng th¼ng song song víi BD c¾t BC ë P. Chøng minh r»ng: MP//CD. 11 C©u 6: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi O lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB. 1)Chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh. 2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào cña tam gi¸c ABC? Gi¶i thÝch v× sao? 12 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: P(x) = 6x3 + 13x2 + 4x – 3. 12 C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6). 12 C©u 3: Cho a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc. 12 Câu 4: Giải phương trình: (4x + 3)3 + (5 – 7x)3 + (3x – 8)3 = 0. 12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab + bc + ac  a2 + b2 + c2 < 2(ab + ac + bc) 12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều 12 C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC lÊy mét ®iÓm M tuú ý. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i M c¾t CD t¹i E vµ AB t¹ F. Chøng minh AM = FE. 12 C©u 8: Trong tam gi¸c ABC kÎ trung tuyÕn AM, K lµ mét ®iÓm trªn AM sao cho AM = 3AK. Gäi N lµ giao ®iÓm cña BK vµ AC. 1)TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AKN. BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S. 2)Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J. AB AC   6. Chøng minh r»ng: AI AJ 13 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 13 C©u 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 . 13 2 1 2x  1 Câu 3: Giải phương trình: 2   3 x  x 1 x 1 x 1 13 C©u 4: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a  b, c  d. Chøng minh: ac + bd  bc + ad. 13 C©u 5: Cho h×nh vu«ng ABCD; §iÓm E thuéc c¹nh CD, ®iÓm F thuéc c¹nh BC. BiÕt. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 0 gãc FAE = 45 . Chøng minh chu vi tam gi¸c CFE b»ng nöa chu vi h×nh vu«ng ABCD. 13 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, lÊy mét ®iÓm O n»m trong tam gi¸c. C¸c tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng OA OB OC    2. AP BQ CR 14 1 1 1 C©u 1: Cho ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n a  b  c      1 a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995) 14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần lượt là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = – 1 thì đa thøc nhËn gi¸ trÞ lµ (– 18). 14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số ®o cña gãc MCN? 15 2a  1 5  a  C©u 1: Cho biÓu thøc: A  3a  1 3a  1 1 1)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi a  . 2 2)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 10a2 + 5a = 3. 15 Câu 2: Giải phương trình : x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0. 15 C©u 3: Cho ®o¹n th¼ng AB, gäi O lµ trung ®iÓm cña AB. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. LÊy C trªn tia Ax, D trªn tia By sao cho gãc COD = 900. 1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng. 2) Chøng minh : CD = AC + BD. 3) KÎ OM vu«ng gãc víi CD t¹i M, gäi N lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. Chøng minh r»ng MN//AC. 16 5n  11 Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức: A  lµ sè tù 4n  13 nhiªn. 16 C©u 2: Cho n lµ sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng B = n3 + 6n2 – 19n – 24 chia hÕt cho 6. 16 1 1 1 C©u 3: TÝnh tæng S(n)    ...  (n  N) 2.5 5.8 (3n  1)(3n  2) 16 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®­êng chÐo lín AC. Tia Dx c¾t AC, AB, CB lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh: 1) IM.IN = ID2. KM DM  2) . KN DN 3) AB.AE + AD.AF = AC2.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 16 Câu 5:Giải phương trình : x  1  x  2  x  3  14 16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x3 + xy = 7. 16 Câu 7: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh: a b c d 1    2 abc bcd cda dab 16 C©u 8: Cho tam gi¸c ABC cã BC = a vµ ®­êng cao AH = h. Tõ mét ®iÓm M trªn ®­êng cao AH vÏ ®­êng th¼ng song song víi BC c¾t hai c¹nh AB, AC lÇn lượt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC. 1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x). 2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất. 17 C©u 1: (2®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 – 7x – 6 17 C©u 2: (6®) Một trường tổ chức lần lượt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng được 18 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 sè c©y cßn l¹i. TiÕp theo líp thø ba trång 54 c©y vµ thªm 1/11 sè c©y cßn l¹i. Cø nh­ thÕ c¸c líp trång hÕt sè c©y vµ sè c©y trång ®­îc cña mçi líp b»ng nhau. Hỏi trường đó đã tồng được bao nhiêu cây? 17 C©u 3: (4®) x 1 x 1  x  1 x 1 Cho biÓu thøc: A  x3 1 1  x3 Hãy viết A dưới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với bËc cña tö thÊp h¬n bËc cña mÉu. 17 Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng “Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác 3 th× lín h¬n chu vi vµ nhá h¬n chu vi cña chÝnh tam gi¸c Êy”. 4 17 C©u 5: (4®) Gäi O lµ mét ®iÓm n»m trong tø gi¸c låi MNPQ. Gi¶ sö bèn tam gi¸c MON, NOP, POQ, QOM cã diÖn tÝch b»ng nhau. 1) MP c¾t NO ë A. Chøng minh A lµ trung ®iÓm cña NP. 2) Chøng minh O n»m trªn ®­êng chepos NQ hoÆc ®­êng chÐo MP cña tø gi¸c MNPQ. 18 C©u 1: (4®) Rót gän biÓu thøc: A = 75(41993 + … + 42 + 5) + 25. 18 C©u 2: (3®) 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B  2 x  x 1 18 C©u 3: (3®) 1 1 1 Chøng minh r»ng nÕu: abc = a + b + c vµ    2 th× a b c 1 1 1  2  2 2 2 a b c 18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dương n để: n1988 + n1987 + 1 là số nguyên tố. 18 C©u 5: (3®) Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n Cho tam gi¸c ABC cã AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, O lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: GO//AC. 18 C©u 6: (5®) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M sao cho BC = 3BM, trªn tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm. 19 C©u 1: Chøng minh r»ng: 2130 + 3921 chia hÕt cho 45. 19 Câu 2: Cho a, b, c là ba số dương. a2 b2 c2 abc Chøng minh r»ng:    bc ac ab 2 19 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = 0 th×: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) 19 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn CM. Qua ®iÓm Q trªn AB kÎ ®­êng th¼ng d song song víi DM. §­êng th¼ng d c¾t BC t¹i R vµ c¾t AC t¹i P. Chøng minh nÕu QA.QB = QP.QR th× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. 19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Người ta lần AM BN CP    k (k  0) lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MB NC PA TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MNP theo diÖn tÝch tam gi¸c ABC vµ theo k. Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất. 20 C©u 1: BiÕt m + n + p = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:  m  n n  p p  m  p m n  S       m n  m  n n  p p  m   p 20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 19851986. Hỏi tổng của haio số đó có ph¶i lµ béi cña 1986 hay kh«ng? 20 Câu 3: Một người đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có một người đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau khi đi được 1giờ 15 phút mà người đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai người mới gặp nhau. Tính vận tốc cua mỗi người? 20 C©u 4: Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i O. Chøng minh r»ng nÕu c¸c tam gi¸c AOB, BOC, COD vµ DOA cã chu vi b»ng nhau th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi. 20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dường chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện tích. Cho SAOB = a2 (cm2) và SCOD = b2 (cm2) với a, b là hai số cho trước. 1)H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña SABCD ? 2) Gi¶ sö SABCD bÐ nhÊt. H·y t×m trªn ®­êng chÐo BD mét ®iÓm M sao cho ®­êng th¼ng qua M song song víi AB bÞ hai c¹nh AD, BC vµ hai ®­êng chÐo AC, BD chia thµnh ba phÇn b»ng nhau 21 C©u 1: Chøng minh r»ng víi x, y nguyªn th×: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là một số chính phương. 21 C©u 2: Ph©n tÝch ®a thøc thanh nh©n tö: (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3. 21 1 1 1 Câu 3: Giải phương trình: 2  2  x  4x  3 x  8x  15 6 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 4 3 2 21 Câu 4: Giải phương trình: x + 2x + 8x + 10x + 15 = 0. 21 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (gãc A nhän); CD lµ ®­êng ph©n gi¸c cña gãc ACB (D thuéc c¹nh AB). Qua D kÎ ®­êng vu«ng gãc víi CD; ®­êng nµy c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i E. Chøng minh: EC = 2BD. 21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 200; cạnh đáy là a, c¹nh bªn lµ b. Chøng minh: a3 + b3 = 3ab2. 22 Câu 1:Giải phương trình: 2 2x  5  3  7 22 315  x 313  x 311  x   3 Câu 2: Giải phương trình: 105 103 101 22 x 4  x3  x  1 C©u 3: Cho biÓu thøc: A  4 x  x 3  2x 2  x  1 1) Rót gän A. 2) Chøng tá r»ng A kh«ng ©m víi mäi gi¸ tÞ cña x. 3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. 22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung ®iÓm cña c¹nh AB, BC. C¸c ®­êng th¼ng DN, CM c¾t nhau t¹i I. Chøng minh: 1) Tam gi¸c CIN vu«ng. 2) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c CIN theo a. 3) Tam gi¸c AID c©n. 23 x 5  2x 4  2x 3  4x 2  3x  6 C©u 1: (3®) Cho ph©n thøc: M  x 2  2x  8 1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa. 2). Tìm các giá trị của x để M = 0. 3). Rót gän M. 23 x 2  2x  1995 Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất: A  (x  0) x2 23 C©u 3: (5®) chøng minh r»ng: 10 n  9n  1 M27 n  N *. . 23. 24. 24. . . . C©u 4: (7®) Cho tø gi¸c ABCD cã: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, vµ BD vu«ng gãc víi BC. 1). Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? T¹i sao? 2). TÝnh c¸c gãc trong cña tø gi¸c ABCD. 2). So s¸nh diÖn tÝch cña tam gi¸c ABD víi diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD. 2a 3  12a 2  17a  2 C©u 1: Rót gän råi tÝnh gi¸ tÞ cña biÓu thøc: A  a2 2 Biết rằng a là nghiệm của phương tình: a  3a  1  1 C©u 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tương ứng của x với:. B  3x  1  4 3x  1  5 2. 24 24. 1 3 C©u 4: Cho 4 ®iÓm A, E, F, B theo thø tù Êy trªn mét ®­êng th¼ng. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ c¸c h×nh vu«ng ABCD; EFGH.. C©u 3: Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c2 . Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 1). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AG vµ BH. Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c OHE vµ OBC đồng dạng. 2). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng CE vµ DF cïng ®i qua O. 24 C©u 5: Cho c¸c ®iÓm E, F n»m trªn c¸c c¹nh AB vµ BC cña h×nh b×nh hµnh ABCD sao cho AF = CE. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AF vµ CE. Chøng minh r»ng ID lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC. 25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tæng c¸c ch÷ sè cña nã. 25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của a b c   tam giác để biểu thức sau : A  đạt giá trị bca acb abc nhá nhÊt. 25 C©u 3: Cho ba sè , y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 0 vµ xy + yz + xz = 0. H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: S = (x – 1)1995 + y1996 + (z + 1) 1997. 25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. µ  2B µ  1800 . TÝnh sè ®o c¸c c¹nh cña tam 25 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã 3A gi¸c ABC biÕt c¸c sè ®o Êy lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp. 26 1 1 1 1 C©u 1:Chøng minh r»ng nÕu:    th× (a + b)(b + c)(a + c) = a b c abc 0. 26 Câu 2: a) Giải phương trình: 3 x  3  2 x  2  x  1  4 . b) Giải phương trình: x4 + 7x2 – 12x + 5 = 0. 26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. 26 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Trªn c¹nh CD vµ BC lÊy ®iÓm M, N sao cho BM = DN. Gäi I lµ giao ®iÓm cua BM vµ DN. Chøng minh IA lµ ph©n gi¸c cña gãc DIB. 26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC 2 . 27 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc. 27 C©u 2: T×m nghiÖm cña ®a thøc: f(x) = x2 + x – 6. 27 Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng: bc ca ab 2 2 2      (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  b)(c  a) a  b b  c c  a 27 Câu 4: Giải phương trình: m2x + 2m = 4x + m2. (với x là ẩn). 27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC. KÎ tia Ax vu«ng gãc víi BM. Gäi H lµ giao ®iÓm cña Ax víi BC vµ K lµ ®iÓm. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky víi AB. TÝnh gãc AIM? 28 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x4 + 1997x2 + 1996x + 1997. b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc. 28 C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = xy + xz + yz + 2xyz. a b c BiÕt: x  ; y ; z bc ac ab 28 C©u 3: T×m bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp, biÕt tÝch cña chóng lµ: 57120. 28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. C¸c ®­êng th¼ng song song kÎ tõ M víi AN vµ tõ N víi AM c¾t nhau t¹i F. Chøng minh: 1). Tø gi¸c ANFM lµ h×nh vu«ng. 2). §iÓm F n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc MCN vµ gãc ACF = 900. 3). Ba diÓm B,O,D th¼ng hµng vµ tø gi¸c BOFC lµ h×nh thang(O lµ trung ®iÓm FA). 28 29 29. 29 29 29. 30. 30 30. Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh vµ Q lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB. Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện: a2 – b2 = c2 – d2. Chøng minh r»ng S = a + b + c + d lµ hîp sè. Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dương thoả mãn điều kiện a + b = 1 th×: a b 2(b  a)  3  3 b  1 a  1 (ab) 2  3 C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x4 + 1996x2 + 1995x + 1996. C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh CD lÊy mét ®iÓm M bÊt kú. C¸c tia phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD t¹i F. Chøng minh AM vu«ng gãc víi FE. Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi N là trung điểm của c¹nh BC. VÏ h×nh b×nh hµnh ECNK vµ h×nh b×nh hµnh BDFN. Gäi M lµ giao điểm của DE và FK. Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động. C©u 1: Cho biÓu thøc: x  10 B 4 x  9x 3  9x 2  9x  10 a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa. b). Rót gän biÓu thøc B. C©u 2: Chøng minh r»ng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hÕt cho 16, víi mäi n lµ sè nguyªn. C©u 3: 3 3 3 1). Giải phương trình:   4x  3 1  3x (3  4x)(3x  1). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n. Chương trình luyện thi HSG THCS. x 1 4  x  2 2 2 Câu 4: Giải và biện luận phương trình sau x  a 1 x  b 1 a Trong đó a, b là hằng số.   xa xb (x  a)(x  b) Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh xiªn BC = 13 cm. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M sao cho BM = AB. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i M c¾t AD t¹i N. 1). Chøng minh r»ng ®iÓm N n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc ABM. 2). Chøng minh r»ng: BC2 = BN2 + ND2 + DC2. 3). TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD. Câu 1: Giải phương trình:. 2). Giải bất phương trình:. 30. 30. 31 31 31 31. 31. 31. 32 32. 32. 32. 2x. 2.  x  1998.   4 x 2. 2.  3x  950.   4 2x 2. 2. .  x  1998 x 2  3x  950. . C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc: f(x) = 6x4 – 7x3 – 22x2 + 7x + 2004, víi x lµ nghiệm của phương trình 6x2 + 5x = 6. Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a(b  c  d  e) Câu 4: Chứng minh đẳng thức: bc ca ab 2 2 2      (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) (a  b) (b  c) (c  a) C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. C¸c ®­êng ph©n gi¸c trong AD vµ BE c¾t nhau t¹i I. 1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD. 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG//BC và suy ra độ dµi cña ®o¹n th¼ng IG. C©u 6: 1). Cho tam giác ABC có góc A = 300. Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD. Chøng minh r»ng: AD2 = AB2 + AC2. 2). Tæng tÊt c¶ c¸c gãc trong vµ mét trong c¸c gãc ngoµi cña mét ®a gi¸c cã sè ®o lµ 47058,50. TÝnh sè c¹nh cña ®a gi¸c?. C©u 1: 1). Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn ch½n n th×: n3 + 20n chia hÕt cho 48. 2). Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x – a)b3 – (x – b)a3 + (a – b)x3. Câu 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có: 19 a 2  9b 2  c 2   2a  12b  4c 2 C©u 3: x  y  z  1  Cho x, y, z lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:  x 2  y 2  z 2  1  3 3 3 x  y  z  1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  (x  1)17  (y  1)9  (z  1)1997 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã H lµ trung ®iÓm c¹nh BC. Gäi I lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn c¹nh AC vµ O lµ trung ®iÓm cña IH. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi IB. 32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lượt trêncác tia AB vµ AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chøng minh r»ng: EK > BC. 33 C©u 1: 1). Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2 – 4x + 3 b»ng hai c¸ch. 2). Cho A(x) = 8x2 – 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x). 33 Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: (x  a)(x  5)  0 33 Câu 3: Giải phương trình: x 2  1  a(x  1)  0 33. 33 34 34. 34. 34 34 35. C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD trªn BC lÊy ®iÓm M sao cho BC = 3BM. Trªn tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và CI c¾t AB t¹i K. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AC. Chøng minh K, M, H th¼ng hµng. C©u 5: Cho h×nh thang can ABCD (AB//CD) cã AC = 6 cm, gãc BDC = 450. Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD b»ng hai c¸ch. C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 1). x8 + 3x4 + 4 . 2). x6 – x4 – 2x3 + 2x2 C©u 2: Cho biÓu thøc: 2x  3y 6  xy x2  9 A   xy  2x  3y  6 xy  2x  3y  6 x 2  9 a). Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa. b). Rót gän biÓut thøc A. C©u 3: 1 Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n: a 3  b 2  b  b3  c 2  c  c3  a 2  a  3 Chøng minh r»ng a = b = c. C©u 4: Cho tø gi¸c låi ABCD. Qua trung ®iÓm K cña ®­êng chÐo BD dùng ®­êng th¼ng song song víi ®­êng chÐo AC, ®­êng th¼ng nµy c¾t AD t¹i E. Chøng minh r»ng CE chia tø gi¸c thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau. C©u 5: Dùng h×nh b×nh hµnh biÕt trung ®iÓm ba c¹nh cña nã. C©u 1: 1). Chøng minh r»ng: 8351634 + 8241142 chia hÕt cho 26.. 2). Chứng minh rằng A là số chính phương, biết rằng A có dạng: A  11.....1 8 { 1442 443  11.....1 1442 443  66...6 1998 soˆ  1. 35 35. 1000 soˆ  1. 999 soˆ  6. x4  1 C©u 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B  4 x  2x 2  1 C©u 3: abc acb bca Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức:   c b a (a  b)(b  c)(a  c) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  . abc. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 35 C©u 4: C¸c ®­êng chÐo cña tø gi¸c låi ABCD vu«ng gãc víi nhau. Qua trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ AD kÎ nh÷ng ®­êng vu«ng gãc theo thø tù víi c¸c c¹nh CD vµ CB. Chøng minh r»ng hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc nµy vµ ®­êng th¼ng AC đồng quy. 35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®­êng th¼ng CD sao cho: 1). §­êng th¼ng AM chia h×nh thang thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau. 2). Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D cã diÖn tÝch b»ng (n – 1) lÇn diÖn tÝch phÇn kia(n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 2). 36 C©u 1: 1  1  1   1   TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  1  2 1  2 1  2  ...1   2  3  4   19982   36 C©u 2: Ph©n tÝch ®a høc thµnh nh©n tö: 1). x2 – x – 12 2). x2 + 8x + 15 36 C©u 3: Chøng minh r»ng: (x  1)(x  3)(x  4)(x  6)  10  1 36 Câu 4: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0. 36 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC (BC < AB). Tõ C vÏ ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng ph©n gi¸c BE t¹i F vµ c¾t AB t¹i K; VÏ trung tuyÕn BD c¾t CK t¹i G. Chøng minh r»ng DF ®i qua trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng GE. 37 C©u 1: (3,5®) 2x 4x 2 2  x   x 2  3x  Cho biÓu thøc: A    2  : 2 3   2  x x  4 2  x   2x  x  1). Rót gän biÓu thøc A. 2). Tìm giá trị của x đê A dương. 3). Tìm giá trị của A trong trường hợp x  7  4 37 C©u 2: (3,5®) Cho tam gi¸c ABC cã BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm. 1). Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC. 2). Gäi CD lµ ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ACH. Chøng minh tam gi¸c ACD c©n. 3). Chøng minh r»ng: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 37 C©u 3: (1,5®) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ M lµ mét ®iÓm n»m trªn c¹nh BC. Gäi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. Xác định M trên BC để tổng BE + CF lớn nhất. 37 C©u 4 37 C©u 5: 38 C©u 1: 1). Xác định giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm: (m 2  3m  2)x  3  2m x  2 x 1  2). Giải và biện luận phương trình ẩn x sau: xm x2. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 38 a b c b a c C©u 2: Cho a  b  c  0 . Chøng minh r»ng:      b c a a c b 38 C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Tõ mét ®iÓm D bÊt kú trªn c¹nh BC kÎ DE, DF vu«ng gãc víi AB, AC t¹i E vµ F. Chøng minh: EA. EB + FA.FC = DB.DC. 38 12x 2  12x  11 5y 2  10y  9  2 Câu 4: Giải phương trình: 4x 2  4x  3 y  2y  2 38 C©u 5: Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 600. Gäi M lµ mét ®iÓm thuéc c¹nh AD. §­êng th¼ng CM c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i N. 1). Chøng minh: AB2 = DM.BN. 2). BM c¾t DN t¹i P. TÝnh gãc BPD. 38 C©u 6: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 3 vµ 0  a  2;0  b  2;0  c  2 . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2  5. 39 C©u 1: 1 1 2 4 8 16 1). Rót gän biÓu thøc: A       2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1  x16 1 1  2 2 x2  9 2). Cho biÓu thøc: B  x  9 x  9  1 1 x2  x2  9 x2  9 a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa. b). Rót gäc biÓu thøc B. 39 Câu 2: Giải phương trình: 1). x3 + 3x2 + 2x + 6 = 0. 2). x 2  1  a(x  1)  0 39. 39 39 39 40 40 40 40. C©u 3: Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. a b c Chøng minh r»ng:    2 bc ac ab C©u 4: Cho tam gi¸c ABC. Trªn AB lÊy ®iÓm D sao cho BD = 3DA. Trªn BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = 4EC. Gäi F lµ giao ®iÓm cña AE vµ CD. Chøng minh r»ng: FD = FC. C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC. Chøng minh r»ng: BC < MC.AB + MB.AC. Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đường chéo không đổi là d. H·y t×m diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt? C©u 1: 1). TÝnh: S = 12 – 22 + 32 – 42 + …+ 992- 1002 + 1012. 1). Cho a + b + c = 9 vµ a2 + b2 + c2 = 53. TÝnh P = ab + ac + bc. C©u 2: Cho a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n: a + b + c + d = 0. Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd). C©u 3: Chøng minh r»ng víi ba sè thùc a, b, c tuú ý th×: a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14. Câu 4: Cho góc xOy = 600. Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm tuỳ ý B. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n vµ C. Chøng minh r»ng: OB  OC  2BC. 40 C©u 5: Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lượt là trung ®iÓm cña c¹nh AB vµ CD. Chøng minh r»ng nÕu: BC + AD = 2MN th× ABCD lµ h×nh thang. 41 Câu 1: Giải phương trình: x2  x x2  x  2 1).  1 x2  x  1 x2  x  2 2). x 2  5x  5  10x  2x 2  11 41. 41 41. 41. 42 42 42 42 42 42 43 43. Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau. ab bc ac 1). TÝnh: S    (b  c)(c  a) (c  a)(a  b) (a  b)(b  c) a2 b2 c2    2. 2). Chøng minh r»ng: (b  c) 2 (c  a) 2 (a  b) 2 Câu 3: Cho ba số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong ba số đó không bé hơn tích của ba số đó. C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (¢ < 900). Tõ B kÎ BM vu«ng gãc víi AC. 2 AM  AB  Chøng minh r»ng:  2   1. MC  BC  C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, cã O lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo. Gäi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia FM c¾t c¹nh BC t¹i E vµ tia FN c¾t c¹nh AD t¹i K. Chøng minh r»ng: AB BC 1).  4 2). BE  AK  BC BF BE C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 1). x2 – 6x – 16. 2). x3 – x2 + x + 3. x 2  yz y 2  xz z 2  xy C©u 2: Rót gän biÓu thøc: A    (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) C©u 3: Cho a  1; a  c  1999; b  1  1999. Chøng minh: ab  c  3998 . Câu 4: Tìm x, y, z thoả mãn phương trình: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0. C©u 5: Cho tam gi¸c ABC (BA = BC). Trªn c¹nh AC chän mét ®iÓm K n»m giữa A và C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK. Chøng minh r»ng BK + BE > BA + BC. Câu 6: Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không phô thuéc vÞ trÝ cña ®iÓm M. 1 C©u 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  x 2  x  3 C©u 2: Cho biÓu thøc:.  B. 1  x2.  :  1  x 2. 1  x2. a). Tìm x để B có nghĩa. Lop8.net.  1  x 3   x  x     1  x   1  x 3.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n b). Rót gän B. c). Chứng minh B luôn dương với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B. 43 C©u 3: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a, vµ E lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn BC (E kh¸c B vµ C). Hai ®­êng th¼ng AE vµ CD c¾t nhau t¹i F. Tia Ax vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i I. 1). Chøng minh dãc AEI = 450. 1 1 1 2). Chøng minh:   AB 2 AE 2 AF 2 a2 3). Chøng minh diÖn tÝch tam gi¸c AEI kh«ng nhá h¬n 2 43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE và CF lần lượt vu«ng gãc víi c¸c ®­êng th¼ng AB, AD (E thuéc AB vµ F thuéc AD). Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC2. 43 C©u 5: 44 C©u 1: ab Cho 4a2 + b2 = 5ab víi 2a > b > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  2 4a  b 2 44 C©u 2: Giải và biện luận phương trình (ẩn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x. 44 C©u 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = x3 + y3 + z3 – 3xyz. 44 C©u 4: Trong mét cuéc ®ua «t« cã 3 xe khëi hµnh cïng mét lóc. Xe thø hai trong mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt 15 km vµ nhanh h¬n xe thø ba 3 km nên đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và đến sớm hơn xe thứ ba 3 phút. TÝnh vËn tèc mçi xe, qu·ng ®­êng ®ua va thêi gian ch¹y cña mçi xe. 44 C©u 5: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vuông gãc víi AB, ME vu«ng gãc víi AC. Chøng minh r»ng tæng MD + ME kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn BC. 44 C©u 6: Cho gãc nhän xAy. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cã tæng c¸c kho¶ng c¸ch đến hai cạnh Ax và Ay bằng một số cho trước. 44 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC, qua mét ®iÓm O tuú ý trong tam gi¸c kÎ c¸c tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm M, N, và P. OM ON OP    1. Chøng minh r»ng: AM BN CP 45 Câu 1: Giải phương trình: 1). (x + 2)(x + 3)2(x + 4) = 12. 2). 2x  1  3 x  1  2x  6 . 45 C©u 2: 1). Cho tam gi¸c ABC cã ®­êng cao BD vµ CE. Chøng minh: gãc AED = gãc ACB. 2). Cho tam gi¸c ABC coa ®­êng ph©n gi¸c AD. Chøng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC. 45 C©u 3: 1). Cho ®a thøc bËc hai: P(x) = ax2 + bx + c. T×m a, b, c biÕt P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 1 1 1 1 2).Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:    a b c abc 25 25 3 3 2000 2000 b c c a TÝnh a  b. Chương trình luyện thi HSG THCS. . 45. 45 46 46. 46. 46. 46 47 47 47. 47 47. 48. 48 48. . . . C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ < 900). Dùng ra bªn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACFG. Dùng h×nh b×nh hµnh AEIG. Chøng minh: 1) ABC  GIA vµ CI = BF. 2) Ba đường thẳng AI, BF, CD đồng qui. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2005 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 – 5x2 + 8x – 4 x y z a b c C©u 2: Cho    1 vµ    0. a b c x y z x2 y2 z2 Chøng minh r»ng: 2  2  2  1 a b c Câu 3: Giải phương trình: 1). x2 + 8x – 20. 2). x  2 x  1  3 x  2  4 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF. Chøng minh r»ng: DB EC FA 1) . .  1. DC EA FB 1 1 1 1 1 1 2)      AD BE CF BC AC AB C©u 5: a 3  b 3  c3  3abc C©u 1: Rót gän ph©n thøc: A  abc 3 2 Câu 2: Giải phương trình: x + x + 4 = 0 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu: abc = 1 th× a b c   1 ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1 C©u 4: Cho x,y  0 vµ x  y  0. Chøng minh: x 5  y 5  x 4 y  xy 4 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = 2EC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña CD vµ BE. Chøng minh r»ng: 1). Hai tam gi¸c BOC vµ AOC cã diÖn tÝch b»ng nhau. 2). BO = 3.EO. C©u 1: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, biết b  c  a   1  a  1  b  1  c   8 . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.     Câu 2: Giải phương trình: x 2  3x  2  x  1  0 C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chương trình luyện thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng Xu©n Th×n 2xyz 48 C©u 4: Xác định các giá trị của x, y để có đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0. 48 Câu 5: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD người ta lấy một điểm tuỳ ý E. Tia ph©n gi¸c cña gãc CDE c¾t BC t¹i K. Chøng minh: AE + KC = DE. 49 C©u 1: x 1 x 1 2(x  2)2 Giải phương trình: 2   6 x  x  1 x2  x  1 x 1 49. C©u 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A(x) . 49. x (với x > 0) đạt giá trị lớn (x  1999)2. nhÊt. C©u 3:. 1 1 4   x y xy 2). Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: 1 1 1 1 1 1      abc bca acb a b c C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ = 900) ®­êng cao AH, trung tuyÕn BM, ph©n gi¸c CD c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. BH CM AD . .  1. 1). Chøng minh: HC AM BD 2). Chøng minh: BH = AC. Câu 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các 1 1 1 1 1 1 đường phân giác của tam giác đó. Chứng minh:      . x y z a b c Câu 1: Trong một cái hộp đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy ra thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả. Cuèi cïng trong hép cßn l¹i 12 qu¶. Hái trong hép lóc ®Çu cã bao nhiªu qu¶ t¸o. C©u 2: Cho a > 0, b > 0 vµ c > 0. Chøng minh: 1 1 1 3    bc ac ab abc C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®­êng cao AH. Cho biÕt AB = 5 cm, BH = 3 cm. TÝnh BC ? C©u 4: Cho tam gi¸c ABC. Mét ®­êng th¼ng song song víi BC c¾t AC t¹i E vµ c¾t ®­êng th¼ng song song víi AB kÎ tõ C ë F. Gäi S lµ giao ®iÓm cña AC vµ BF. Chøng minh r»ng: SC2 = SE.SA C©u 5: C©u 1: 1). Chøng minh r»ng nÕu x > 0, y > 0 th×:. 49. 49. 50. 50. 50 50. 50 51. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>