ubnd huyện a lưới kỳ thi học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008 2009 phòng gd đt a lưới môn toán lớp 9 thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề đề chính thức câu 1 1 điểm tìm các giá trị c

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>UBND huyện A Lưới</i> <b>KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009</b>

<i>Phịng GD & ĐT A Lưới</i> <b>Mơn: TỐN - Lớp 9</b>

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )

<i><b>ĐỀ CHÍNH THỨC:</b></i>

<i><b>Câu 1:</b></i> ( 1 điểm ). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa:

√

<i>−</i>7<i>x</i>2+6<i>x</i>+1

<i>x</i>2
<i><b>Câu 2:</b></i> ( 2 điểm ). Cho biểu thức:

A = [( 1

√<i>x</i>+
1

√<i>y</i> ).
2

√<i>x</i>+√<i>y</i>+
1
<i>x</i>+

1

<i>y</i> ] :

√

<i>x</i>3+<i>y</i>_√<i>x</i>+<i>x</i>_√<i>y</i>+

√

<i>y</i>3

√

<i>x</i>3<i>y</i>+

√

xy3

a. Tìm điều kiện để A xác định.
b. Rút gọn A

c. Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất.

<i><b>Câu 3:</b></i> ( 2 điểm ). Giải phương trình:

√

<i>x</i>+3+4_√<i>x −</i>1 +

_√

<i>x</i>+8 - 6_√<i>x −</i>1 = 5
<i><b> Câu 4:</b></i> ( 2 điểm ). <i><b>Giải bài toán cổ:</b></i>

Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Tính số trâu mỗi loại.

<i><b>Câu 5:</b></i> ( 2 điểm ). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC);
MBC = CAB và AB = BD. Hãy tính các góc của hình thang.

<i><b>Câu 6:</b></i> ( 1 điểm ). Chứng minh rằng nếu x = sin <i>α</i> (0 < <i>α</i> < 900_{) thì:}
<i>x</i>2

√

1<i>− x</i>2=
1

cos<i>α</i> <i>−</i>cos<i>α</i>

………Hết………

<i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm<b>.</b></i>

HƯỚNG DẪN CHẤM

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Câu 1</b></i>

Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2_{+ 6x + 1} _{0 (1) và x} _{0 (2)}

Để giải quyết (1) ta có: - 7x2_{+ 6x + 1 = -(x - 1)(7x + 1)}

Ta có bảng xét dấu:

x - ₇1 <b> 1</b>

x - 1 - - 0 +

7x + 1 - 0 + +

(x - 1)(7x + 1) + 0 - 0 +

- 7x2_{+6x + 1 0 + 0}

-Như vậy - 7x2_{+6x + 1} ₀ <i>_⇒</i> _- 1
7<i>≤ x ≤</i>1 , kết hợp với (2) ta có:

- ₇1<i>≤ x</i> _{< 0 và 0 < x} ₁
0,25
0,25
0,25
0,25
<i><b>Câu 2</b></i>
a. x > 0; y > 0
b. * ( 1
√<i>x</i>+
1
√<i>y</i> )
2
√<i>x</i>+√<i>y</i> =
2
√xy=
2√xy
xy
* ( 1

√<i>x</i>+
1
√<i>y</i> )
2
√<i>x</i>+_√<i>y</i> +
1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
2√xy
xy +

1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
<i>x</i>+2√xy+<i>y</i>
xy =
(√<i>x</i>+√<i>y</i>)2
xy
*

√

<i>x</i>

3

+<i>y</i>_√<i>x</i>+<i>x</i>_√<i>y</i>+

√

<i>y</i>3

√

<i>x</i>3<i>y</i>+

√

xy3

=<i>x</i>√<i>x</i>+<i>y</i>√<i>x</i>+<i>x</i>√<i>y</i>+<i>y</i>√<i>y</i>
<i>x</i>√xy+<i>y</i>√xy

= √<i>x</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)+√<i>y</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)

√xy(<i>x</i>+<i>y</i>) =

(<i>x</i>+<i>y</i>)(√<i>x</i>+√<i>y</i>)

√xy(<i>x</i>+<i>y</i>) =

√<i>x</i>+_√<i>y</i>

√xy

Vậy A = (√<i>x</i>+√<i>y</i>)
2

xy :

√<i>x</i>+√<i>y</i>

√xy =

(√<i>x</i>+_√<i>y</i>)2

xy .

√xy

√<i>x</i>+_√<i>y</i>=

√<i>x</i>+√<i>y</i>

√xy

c. Vì xy = 16 <i>⇒</i>√xy=4<i>⇒</i>√<i>x</i>√<i>y</i>=4

Hai số dương √<i>x</i> , √<i>y</i> có tích √<i>x</i>√<i>y</i> = 4 khơng đổi nên tổng

√<i>x</i>+√<i>y</i>

Có giá trị nhỏ nhất khi √<i>x</i>=_√<i>y</i>=2 <i>⇒A</i>=2+2
4 =1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
<i><b>Câu 3</b></i>

Ta viết x + 3 + 4 √<i>x −1</i>=¿ x - 1 + 4 √<i>x −1</i>+4

Với nhận xét ( √<i>x −1</i> )2_{= x - 1}

Ta có: x - 1 + 4 √<i>x −</i>1+4 = ( √<i>x −</i>1 )2_{+ 2.2}

√<i>x −</i>1 + 22

<i>⇒</i> x + 3 + 4 √<i>x −1</i> = ( √<i>x −</i>1 + 2)2

Tương tự ta có: x + 8 - 6 √<i>x −</i>1 = ( √<i>x −1</i> - 3)2

Phương trình trở thành:

√

(√<i>x −</i>1+2)2+

√

(√<i>x −1−3</i>)2=5<i>, x ≥</i>1
<i>⇒</i>√<i>x −</i>1+2+|_√<i>x −</i>1<i>−</i>3|=5<i>, x ≥1</i>

- Với √<i>x −</i>1<i>−3≥</i>0<i>⇒x −</i>1≥9<i>⇒x ≥</i>10

Phương trình trở thành: √<i>x −</i>1+2+√<i>x −</i>1−3=5

0,25
0,25
0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>⇒</i>√<i>x −</i>1=3<i>⇒x</i>=10 (1)

- Với √<i>x −</i>1<i>−3</i> < 0 <i>⇒x −</i>1 < 9 <i>⇒</i> x < 10
Phương trình trở thàmh: √<i>x −</i>1+2<i>−</i>√<i>x −</i>1+3=5

<i>⇒</i> Đẳng thức này nghiệm với mọi x 1 (2)

Từ (1) và (2) và điều kiện x 1 ta có nghiệm cuủa phương trình đã cho
là 1 x 10

0,25
0,25
0,25

<i><b>Câu 4</b></i>

Gọi x, y, z theo thứ tự là số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều
kiện 0 <i>x ; y ; z ≤</i>100 _{và x, y,z} _{Z, ta có hệ:}

{

<i>⇔</i>

{

Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được phương
trình 14x + 8y = 200 <i>⇔</i> 7x + 4y = 100 (3)

Đặt x = 4t ta tính ra y = 25 - 7t; t Z

Đem thế các giá trị của x, y theo t vào phương trình (2) ta tính được
z = 3t + 75.

Rõ ràng cho t một giá trị nguyên thì x, y và cả z đều nhận giá trị nguyên
và thỏa mãn hệ đã cho.

Vậy nghiệm nguyên của hệ đã cho là:

{

t Z

Ta xét điều kiện:

{

<i>⇔</i>

{

Kết hợp các điều kiện này ta có: 0≤ t ≤ 25₇ <i>⇒</i> t = 0; 1; 2; 3.
Từ đó ta có kết quả:

t 0 1 2 3

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

5.x + 3y + ₃<i>z</i>=100
x + y +z = 100

15x + 9y + z = 300 (1)
x + y + z = 100 (2)

x = 4t

y = 25 - 7t;
z = 3t +75

<i>−</i>75
7 <i>≤ t ≤</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

x 0 4 8 12
y 25 18 11 4

z 75 78 81 84
Vậy ta có 4 đáp số:

(I) (II) (III) (IV)

Trâu đứng 0 4 8 12

Trâu nằm 25 18 11 4

Trâu già 75 78 81 84

0,25

<i><b>Câu 5</b></i> Gọi K là trung điểm AD , vì AB = BD nên BK AD tại K.
Ta lại có: DAB❑ = CBA❑ ( ABCD là hình thang cân)
mà _CAB❑ = _CBM❑ <i>⇒</i> _MBA❑ = _DAC❑ ;

mà KM // AC nên DKM❑ = DAC❑ (đồng vị)

<i>⇒</i> _DKM❑ = _MBA❑

<i>⇒</i> ABMK nội tiếp.

<i>⇒</i> _AKB❑ ₌ _AMB❑ _{= 90}0 <i>⇒</i> _MBA❑ _{= 45}0₍₁₎

ABCD là hình thang cân có MC = MD <i>⇒</i> _{MA = MB vậy}__ABM

vuông cân tại M. Kẻ MI AB <i>⇒</i> MI = 1₂ AB = 1₂ AC, lại kẻ CH
AB

<i>⇒</i> CH = MI = 1₂ AC

ACH vng tại H có CH = 1₂ AC nên là nửa tam giác đều cạnh AC

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

Loại

D M C

K

A _B

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>⇒</i> _CAB❑ = _CBM❑ = 300 (2)

Từ (1) và (2) <i>⇒</i> _CBA❑ = _DAB❑ = 750

Vậy ADC❑ = BCD❑ = 1050 0,25

0,25
0,25

<i><b>Câu 6</b></i>

Ta có <i>x</i>
2

√

1<i>− x</i>2=
sin2<i>_α</i>

√

1<i>−</i>sin2<i>_α</i>=
sin2<i>_α</i>

√

cos2<i>_α</i>
= sin2<i>α</i>

|cos<i>α</i>|=

1−cos2<i>α</i>

cos<i>α</i> ( vì 0 < <i>α</i> < 900 nên cos <i>α</i> > 0)

= _cos1<i>_α</i> <i>−cosα</i> _(đpcm)

</div>

<!--links-->