Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.69 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<i>UBND huyện A Lưới</i> <b>KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009</b>
<i>Phịng GD & ĐT A Lưới</i> <b>Mơn: TỐN - Lớp 9</b>
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
<i><b>ĐỀ CHÍNH THỨC:</b></i>
<i><b>Câu 1:</b></i> ( 1 điểm ). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa:
<i>x</i>2
<i><b>Câu 2:</b></i> ( 2 điểm ). Cho biểu thức:
A = [( 1
√<i>x</i>+
1
√<i>y</i> ).
2
√<i>x</i>+√<i>y</i>+
1
<i>x</i>+
1
<i>y</i> ] :
<i>x</i>3+<i>y</i><sub>√</sub><i>x</i>+<i>x</i><sub>√</sub><i>y</i>+
a. Tìm điều kiện để A xác định.
b. Rút gọn A
c. Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất.
<i><b>Câu 3:</b></i> ( 2 điểm ). Giải phương trình:
Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Tính số trâu mỗi loại.
<i><b>Câu 5:</b></i> ( 2 điểm ). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC);
MBC = CAB và AB = BD. Hãy tính các góc của hình thang.
<i><b>Câu 6:</b></i> ( 1 điểm ). Chứng minh rằng nếu x = sin <i>α</i> (0 < <i>α</i> < 900<sub>) thì:</sub>
<i>x</i>2
cos<i>α</i> <i>−</i>cos<i>α</i>
………Hết………
<i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm<b>.</b></i>
HƯỚNG DẪN CHẤM
<i><b>Câu 1</b></i>
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2<sub> + 6x + 1 </sub> <sub> 0 (1) và x </sub> <sub> 0 (2)</sub>
Để giải quyết (1) ta có: - 7x2<sub> + 6x + 1 = -(x - 1)(7x + 1)</sub>
Ta có bảng xét dấu:
x - <sub>7</sub>1 <b> 1</b>
x - 1 - - 0 +
7x + 1 - 0 + +
(x - 1)(7x + 1) + 0 - 0 +
- 7x2<sub> +6x + 1 0 + 0 </sub>
-Như vậy - 7x2<sub> +6x + 1 </sub> <sub> 0 </sub> <i><sub>⇒</sub></i> <sub> -</sub> 1
7<i>≤ x ≤</i>1 , kết hợp với (2) ta có:
√<i>x</i>+
1
√<i>y</i> )
2
√<i>x</i>+<sub>√</sub><i>y</i> +
1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
2√xy
xy +
3
+<i>y</i><sub>√</sub><i>x</i>+<i>x</i><sub>√</sub><i>y</i>+
=<i>x</i>√<i>x</i>+<i>y</i>√<i>x</i>+<i>x</i>√<i>y</i>+<i>y</i>√<i>y</i>
<i>x</i>√xy+<i>y</i>√xy
= √<i>x</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)+√<i>y</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)
√xy(<i>x</i>+<i>y</i>) =
(<i>x</i>+<i>y</i>)(√<i>x</i>+√<i>y</i>)
√xy(<i>x</i>+<i>y</i>) =
√<i>x</i>+<sub>√</sub><i>y</i>
√xy
Vậy A = (√<i>x</i>+√<i>y</i>)
2
xy :
√<i>x</i>+√<i>y</i>
√xy =
(√<i>x</i>+<sub>√</sub><i>y</i>)2
xy .
√xy
√<i>x</i>+<sub>√</sub><i>y</i>=
√<i>x</i>+√<i>y</i>
√xy
c. Vì xy = 16 <i>⇒</i>√xy=4<i>⇒</i>√<i>x</i>√<i>y</i>=4
Hai số dương √<i>x</i> , √<i>y</i> có tích √<i>x</i>√<i>y</i> = 4 khơng đổi nên tổng
√<i>x</i>+√<i>y</i>
Có giá trị nhỏ nhất khi √<i>x</i>=<sub>√</sub><i>y</i>=2 <i>⇒A</i>=2+2
4 =1
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
<i><b>Câu 3</b></i>
Ta viết x + 3 + 4 √<i>x −1</i>=¿ x - 1 + 4 √<i>x −1</i>+4
Với nhận xét ( √<i>x −1</i> )2<sub> = x - 1</sub>
Ta có: x - 1 + 4 √<i>x −</i>1+4 = ( √<i>x −</i>1 )2<sub> + 2.2</sub>
√<i>x −</i>1 + 22
<i>⇒</i> x + 3 + 4 √<i>x −1</i> = ( √<i>x −</i>1 + 2)2
Tương tự ta có: x + 8 - 6 √<i>x −</i>1 = ( √<i>x −1</i> - 3)2
Phương trình trở thành:
- Với √<i>x −</i>1<i>−3≥</i>0<i>⇒x −</i>1≥9<i>⇒x ≥</i>10
Phương trình trở thành: √<i>x −</i>1+2+√<i>x −</i>1−3=5
0,25
0,25
0,5
<i>⇒</i>√<i>x −</i>1=3<i>⇒x</i>=10 (1)
- Với √<i>x −</i>1<i>−3</i> < 0 <i>⇒x −</i>1 < 9 <i>⇒</i> x < 10
Phương trình trở thàmh: √<i>x −</i>1+2<i>−</i>√<i>x −</i>1+3=5
<i>⇒</i> Đẳng thức này nghiệm với mọi x 1 (2)
Từ (1) và (2) và điều kiện x 1 ta có nghiệm cuủa phương trình đã cho
là 1 x 10
0,25
0,25
0,25
<i><b>Câu 4</b></i>
Gọi x, y, z theo thứ tự là số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều
kiện 0 <i>x ; y ; z ≤</i>100 <sub> và x, y,z </sub> <sub> Z, ta có hệ:</sub>
Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được phương
trình 14x + 8y = 200 <i>⇔</i> 7x + 4y = 100 (3)
Đặt x = 4t ta tính ra y = 25 - 7t; t Z
Đem thế các giá trị của x, y theo t vào phương trình (2) ta tính được
z = 3t + 75.
Rõ ràng cho t một giá trị nguyên thì x, y và cả z đều nhận giá trị nguyên
và thỏa mãn hệ đã cho.
Vậy nghiệm nguyên của hệ đã cho là:
Ta xét điều kiện:
Kết hợp các điều kiện này ta có: 0≤ t ≤ 25<sub>7</sub> <i>⇒</i> t = 0; 1; 2; 3.
Từ đó ta có kết quả:
t 0 1 2 3
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5.x + 3y + <sub>3</sub><i>z</i>=100
x + y +z = 100
15x + 9y + z = 300 (1)
x + y + z = 100 (2)
x = 4t
y = 25 - 7t;
z = 3t +75
<i>−</i>75
7 <i>≤ t ≤</i>
x 0 4 8 12
y 25 18 11 4
(I) (II) (III) (IV)
Trâu đứng 0 4 8 12
Trâu nằm 25 18 11 4
Trâu già 75 78 81 84
0,25
<i><b>Câu 5</b></i> Gọi K là trung điểm AD , vì AB = BD nên BK AD tại K.
Ta lại có: DAB❑ = CBA❑ ( ABCD là hình thang cân)
mà <sub>CAB</sub>❑ = <sub>CBM</sub>❑ <i>⇒</i> <sub>MBA </sub>❑ = <sub>DAC</sub>❑ ;
mà KM // AC nên DKM❑ = DAC❑ (đồng vị)
<i>⇒</i> <sub>DKM</sub>❑ = <sub>MBA</sub>❑
<i>⇒</i> ABMK nội tiếp.
<i>⇒</i> <sub>AKB</sub>❑ <sub> = </sub> <sub>AMB</sub>❑ <sub> = 90</sub>0<sub> </sub> <i>⇒</i> <sub>MBA</sub>❑ <sub> = 45</sub>0<sub> (1)</sub>
ABCD là hình thang cân có MC = MD <i>⇒</i> <sub> MA = MB vậy </sub><sub></sub><sub>ABM </sub>
vuông cân tại M. Kẻ MI AB <i>⇒</i> MI = 1<sub>2</sub> AB = 1<sub>2</sub> AC, lại kẻ CH
AB
<i>⇒</i> CH = MI = 1<sub>2</sub> AC
ACH vng tại H có CH = 1<sub>2</sub> AC nên là nửa tam giác đều cạnh AC
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Loại
D M C
K
A <sub>B</sub>
<i>⇒</i> <sub>CAB</sub>❑ = <sub>CBM</sub>❑ = 300 (2)
Từ (1) và (2) <i>⇒</i> <sub>CBA</sub>❑ = <sub>DAB</sub>❑ = 750
Vậy ADC❑ = BCD❑ = 1050 0,25
0,25
0,25
<i><b>Câu 6</b></i>
Ta có <i>x</i>
2
|cos<i>α</i>|=
1−cos2<i>α</i>
cos<i>α</i> ( vì 0 < <i>α</i> < 900 nên cos <i>α</i> > 0)
= <sub>cos</sub>1<i><sub>α</sub></i> <i>−cosα</i> <sub> (đpcm)</sub>