rèn luyện cho phọc sinh kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương rèn luyện cho phọc sinh kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương mở đầu đối với học sinh lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.19 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
B
A
C
M
M1
M2
<b>Rèn luyện cho phọc sinh kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương.</b>
<b>Mở đầu: </b>
Đối với học sinh lớp 10 mới tiếp xúc với khái niệm vectơ và làm quen với hình học vectơ thì các em cịn thấy nhiều bỡ ngỡ và trừu
tượng,bài tốn phân tích vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương là một bài tốn khó và kỹ năng phân tích một vectơ theo hai
vectơ khơng cùng phương là một kỹ năng rất quan trọng trong giải toán hình học vectơ. Để giúp các em tháo gỡ bài toán này bằng
kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi mạnh dạn trao đổi cùng với các em và quý đồng nghiệp một số bài toán nhằm củng cố và
rèn luyện cho học sinh kỹ năng này.
<b>A. Cơ sở lí thuyết.</b>
<b>Định lí 1. Cho hai vectơ </b>
vµ
<i>a</i> <i>b</i>
0
<i>b</i>
. Điều kiện cần và đủ để
<i>a</i><sub> cùng phương với </sub>
<i>b</i>
<sub> là tồn tạị số thực k sao cho </sub>
<i>a</i> <i>kb</i><sub>.</sub>
<b>Hệ quả: Nếu </b>
µ
<i>a v b</i><sub>cùng phương và </sub><i>a</i><i>kb</i><sub>thì </sub>
<i>a</i>
<i>k</i>
<i>b</i>
.
Nếu <i>a</i> <i>b</i><sub> thì </sub>
<i>a</i>
<i>k</i>
<i>b</i>
; nếu <i>a</i> <i>b</i><sub>thì. </sub>
<i>a</i>
<i>k</i>
<i>b</i>
<b>Đặc biệt: </b>
<i>AB</i> <i>AC</i><sub> thì </sub>
<i><sub>AB</sub></i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i>
<sub>; </sub>
<i>AB</i> <i>AC</i><sub> thì </sub>
<i><sub>AB</sub></i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i>
<sub>.</sub><b>Định lí 2. Cho hai vectơ khơng cùng phương </b>
,
<i>a b</i>
<sub>. Khi đó với mọi vectơ </sub><i><sub>c</sub></i>
<sub> đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ</sub>
,
<i>a b</i>
<sub> nghĩa là tồn tại duy nhất một cặp số </sub><i>x y</i>
,
<sub>sao cho </sub> = +r r r
<i>c</i> <i>xa</i> <i>yb</i><sub>.</sub>
<b>Đặc biệt: *,Tứ giác ABCD là hình bình hành ta có: </b>
=
+
uuur
uur
uuur
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AD</i>
<sub>.</sub> *, Với
uuur
<i>AM</i>
<sub> là trung tuyến của tam giác ABC ta có: </sub>=
+
uuur
<sub>1</sub>
uur
<sub>1</sub>
uuur
2
2
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
<b>B. Một số bài tập.</b>
Bài 1. CHo tam giác ABC. Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy điểm M sao cho
+
=
uuur
uuur
r
2
<i>MB</i>
3
<i>MC</i>
0
<sub>. Hãy phân tích vectơ </sub>uuur
<i>AM</i>
theo
uur
uuur
vµ AC
<i>AB</i>
<sub>.</sub>Bài giải:
Cách 1. Vẽ hình bình hành AM1MM2, ta có
=
+
uuur
uuuur uuuur
1 2
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<sub>. Từ giả thiết </sub><sub>2</sub>
uuur
<i><sub>MB</sub></i>
<sub>+</sub>
<sub>3</sub>
uuur
<i><sub>MC</sub></i>
<sub>=</sub>
<sub>0</sub>
r
<sub>.</sub>Ta có
=
=
=
=
2
3
<sub>,</sub>
12
5
5
<i>AM</i>
<i>BM</i>
<i>AM</i>
<i>MC</i>
<i>AC</i>
<i>BC</i>
<i>AB</i>
<i>BC</i>
<sub>. Do đó:</sub>=
=
=
=
uuuur
uur
uur uuuur
uuur
uuur
2 2
1 2
2
3
;
5
5
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AB AM</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<sub>.</sub>Vậy:
=
+
uuur
<sub>2</sub>
uur
<sub>3</sub>
uuur
5
5
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
Cách 2. Ta có:
( )
=
+
Þ
=
+
uuur
uur
uuur
uuur
uur
uuur
12
2
2
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>BM</i>
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>BM</i>
<sub>;</sub>( )
=
+
Þ
=
+
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
23
3
3
<i>AM</i>
<i>AC</i>
<i>CM</i>
<i>AM</i>
<i>AC</i>
<i>CM</i>
. <sub>Cộng (1) và (2) theo vế ta được </sub>(
) (
)
=
+
+
+
=
+
uuur
uur
uuur
uuur
uuur
uur
uuur
5
<i>AM</i>
2
<i>AB</i>
3
<i>AC</i>
2
<i>AM</i>
3
<i>BM</i>
2
<i>AB</i>
3
<i>AC</i>
.
Û
=
+
uuur
<sub>2</sub>
uur
<sub>3</sub>
uuur
5
5
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
Cách 3.Theo giả thiết ta có:
+
= Û
(
+
) (
+
+
)
= Û
(
+
) (
+
+
)
=
uuur
uuur
r
uuur uur
uuur uuur
r
uuur
uuur
uur
uuur
r
2
<i>MB</i>
3
<i>MC</i>
0
2
<i>MA</i>
<i>AB</i>
3
<i>MA</i>
<i>AC</i>
0
2
<i>MA</i>
3
<i>MA</i>
2
<i>AB</i>
3
<i>AC</i>
0
Û
5
uuur
=
2
uur
+
3
uuur
Û
uuur
=
2
uur
+
3
uuur
5
5
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
A
B
C
M
M1
M2
*,Với cách thứ hai rèn luyện cho học sinh cách phân tích một vectơ theo nhiều hướng khác nhau nhờ kĩ thuật xen điểm.
*,Với cách thứ ba rèn luyện cho học sinh một kĩ năng phân tích vectơ bằng cách khai thác giả thiết và kĩ thuật xen điểm.
Bài 2. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho
=
uuur
uuur
3
<i>MB</i>
<i>MC</i>
<sub>. Hãy phân tích vectơ </sub>uuur
<i>AM</i>
<sub> theo</sub>uur
uuur
vµ
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<sub>.</sub><b>Bài giải.</b>
Cách 1. Vẽ hình bình hành AM1MM2. Ta có:
=
+
uuur
uuuur uuuur
1 2
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<sub>. Từ giả thiết </sub>uuur
<i><sub>MB</sub></i>
<sub>=</sub>
<sub>3</sub>
uuur
<i><sub>MC</sub></i>
<sub> ta có</sub>=
=
=
=
Þ
=
=
+
1
2
2 2
1
2
;
2
1
2
AC
2
3
AM
3
<i>M A</i>
<i>MC</i>
<i>AC</i>
<i>CB</i>
<i>AB</i>
<i>CB</i>
<i>M C</i>
<i>CM</i>
<i>AC</i>
<i>hay</i>
<i>AC</i>
<i>CM</i>
Do đó:
=-
=
uuuur
uur uuuur
uuur
1 2
1
3
;
2
2
<i>AM</i>
<i>AB AM</i>
<i>AC</i>
.Vậy:
=-
+
uuur
<sub>1</sub>
uur
<sub>3</sub>
uuur
2
2
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
Cách 2. Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
( ) ( )
=
+
=
+
Þ
=
+
uuur
uur
uuur uuur
1uuur uuur
uuur
uuur
uuur
2;
3
3
3
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>BM</i>
<i>AM</i>
<i>AC</i>
<i>CM</i>
<i>AM</i>
<i>AC</i>
<i>CM</i>
<sub>. Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: </sub>2
<i>AM</i>
uuur
=-
uur
<i>AB</i>
+
3
uuur
<i>AC</i>
<sub>. Vậy</sub>=-
+
uuur
<sub>1</sub>
uur
<sub>3</sub>
uuur
2
2
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
Cách 3. Từ giả thiết
=
Û
+
=
(
-
)
Û
+
=-
+
uuur
uuur
uuur uur
uuur uuur
uuur
uuur
uur
uuur
3
3
3
3
<i>MB</i>
<i>MC</i>
<i>MA</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>MA</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
=-
+
uuuuur
uur
uuur
2
<i>AM</i>
<i>AB</i>
3
<i>AC</i>
<sub>. Vậy</sub>=-
+
uuur
<sub>1</sub>
uur
<sub>3</sub>
uuur
2
2
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
<b>Nhận xét: Trong bài toán 1 điểm M nằm giữa B và C. Trong bài tốn 2 điểm M nằm ngồi đoạn BC học sinh sẽ gặp khó khăn hơn </b>
trong việc dựng hình bình hành và làm các thao tác phân tích theo cách giải 1.
<b>Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy điểm N sao cho 2NC = 3NB. Hãy phân tích vectơ</b>
<sub>uuur</sub>
<sub>uur uuur</sub>
theo
,
<i>AN</i>
<i>AB AC</i>
<sub>.</sub><b>Bài giải: Nhận xét điểm N nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC và 2NC= 3NB nên có hai điểm N thỏa mãn bài toán.</b>
TH1:, Điểm N nằm trong đoạn BC, 2
+
=
uuur
uuur
r
3
0
<i>NC</i>
<i>NB</i>
<sub>ta trở về bài tập 1. Giải hoàn toàn tương tự bài tập 1 ta được</sub>=
+
uuur
<sub>3</sub>
uur
<sub>2</sub>
uuur
5
5
<i>AN</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
TH2: Điểm N nằm ngồi đoạn BC,
=
uuur
uuur
2
<i>NC</i>
3
<i>NB</i>
<sub>,cụ thể khi đó điểm N nằm trên tia đối của tia BC.</sub>Giải hoàn tồn tương tự bài tập hai ta có
=
-uuur
uur
uuur
3
2
<i>AN</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<sub>.</sub><b>Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB=3MC, trên tia đối của tia BC lấy điểm N sao cho 2NC=3NB. </b>
Hãy phân tích các vectơ
uuur uuur
,
<i>AM AN</i>
<sub>theo các vectơ </sub>uur uuur
<i>AB AC</i>
,
<sub>.</sub><b>Bài giải: Bài tập 4 chính là sự kết hợp của bài tập 1 và 3. Cụ thể điểm M thỏa mãn </b>
+
=
uuur
uuur
r
3
0
<i>MB</i>
<i>MC</i>
<sub>, điểm N thỏa mãn</sub>=
uuur
uuur
2
<i>NC</i>
3
<i>NB</i>
<sub>. Kết quả: </sub>=
+
=
-uuur
<sub>1</sub>
uur
<sub>3</sub>
uuur uuur
uur uuur
;
3
4
4
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
A
C
B
H
M
<b>Tổng quát: Với M là điểm thỏa mãn </b> + =
uuur uuur r
0
<i>x MB</i> <i>y MC</i> <sub> với </sub>
<i>x</i>
+ ¹
<i>y</i>
0
<sub>thì ta có sự phân tích: </sub>=
+
+
+
uuur
<i><sub>x</sub></i>
uur
<i><sub>y</sub></i>
uuur
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<sub>. </sub>*,Đặc biệt với điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC ta có:
=
+
uuur
<i><sub>MC</sub></i>
uur
<i><sub>MB</sub></i>
uuur
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>BC</i>
<i>BC</i>
*,Ngồi ra bài tốn phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương trở nên dễ dàng hơn khi giải bài toán trong mặt phẳng tọa độ.
<b>Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba vectơ </b>
(
-
) (
-
)
(
-
-
)
r
r
r
2;3 ,
1; 2 vµ c
3; 5
<i>a</i>
<i>b</i>
. Hãy phân tích vect
r
r
r
theo các vectơ và
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<sub>.</sub><b>Bài giải:</b>
Ta tìm cặp số thực
<i>x y</i>
,
sao cho = +r r r
<i>c</i> <i>xa</i> <i>yb</i><sub>.</sub>
Ta có
= -
=
(
-
)
r
r
( 2 ;3 ),
; 2
<i>xa</i>
<i>x</i>
<i>x yb</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
. Vậy = +
r r r
<i>c</i> <i>xa</i> <i>yb</i>
ì
-
+ =-
ì
=
ï
ï
ï
ï
Û
í
<sub>ï</sub>
Û
í
<sub>ï</sub>
-
=-
=
ï
ï
ỵ
ỵ
2
3
11
3
2
5
19
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<sub>.</sub>Vậy
=
+
r
r
r
11
19
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<sub>.</sub><b>Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết </b>
(
) ( )
ổ ử
ỗ
<sub>ỗ</sub>
ữ
<sub>ữ</sub>
ữ
ữ
ỗố ứ
3
4;6 ,
1; 4 ,
7;
2
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
. M là giao điểm của AB với Oy. Hãy
phân tích vectơ
uuur
uur
uur
theo
vµ
<i>CM</i>
<i>CA</i>
<i>CB</i>
<sub>.</sub><b>Bài giải: Trước hết ta tìm tọa đơ của điểm M. </b>
Vì M thuộc Oy nên tọa độ M có dạng M
(
0;<i>y</i>)
. Ta có=
(
-
)
= -
(
-
)
uuur
uur
4;6
,
3; 2
<i>MA</i>
<i>y AB</i>
.
Vì M, A, B thẳng hàng nên
-=
Û
=
-
-6
4
10
.
2
3
3
<i>y</i>
<i>y</i>
Vậy M
æ
ử
<sub>ữ</sub>
ỗ
<sub>ữ</sub>
ỗ
<sub>ữ</sub>
<sub>ữ</sub>
ỗố
ứ
10
0;
3
<sub>.</sub>Ta cú
ổ
ử
<sub>ữ</sub>
ổ
ử
<sub>ữ</sub>
ổ
ử
<sub>ữ</sub>
ỗ
ỗ
ỗ
= -
ỗ
<sub>ố</sub>
<sub>ỗ</sub>
<sub>ữ</sub>
<sub>ữ</sub>
<sub>ứ</sub>
ữ
= -
ỗ
<sub>ố</sub>
<sub>ỗ</sub>
-
ữ
<sub>ữ</sub>
<sub>ữ</sub>
<sub>ứ</sub>
= -
<sub>ố</sub>
ỗ
<sub>ỗ</sub>
<sub>ữ</sub>
<sub>ữ</sub>
ữ
<sub>ứ</sub>
uuur
<sub>11</sub>
uur
<sub>9</sub>
uur
<sub>5</sub>
7;
;
3;
;
6;
6
2
2
<i>CM</i>
<i>CA</i>
<i>CB</i>
,ta tìm các số thực a, b sao cho
=
+
uuur
uur
uur
<i>CM</i>
<i>aCA</i>
<i>bCB</i>
<sub>.</sub>Ta có
=
+
uuur
uur
uur
<i>CM</i>
<i>aCA</i>
<i>bCB</i>
ì - =-
-ïï
ïï
Û í
<sub>ï</sub>
=-
+
ïïïỵ
7
3
6
11
9
5
6
2
2
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
. Giải ra ta được a =
=
13
74
,
69
<i>b</i>
69
<sub>.</sub>Vậy
=
+
uuur
<sub>13</sub>
uur
<sub>74</sub>
uur
69
69
<i>CM</i>
<i>CA</i>
<i>CB</i>
.
<b>Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =1, AC =2. Dựng điểm M sao cho AM</b>
<sub>uuur</sub>
<sub>uur</sub>
<sub>uuur</sub>
^
<i>BC AM</i>
,
=
2 5
. Hãy phân tích vectơtheo
vµ
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<sub>.</sub><b>Bài giải.</b>
Cách 1. Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên BC.
TH1:
uuur uuur
<i>AH</i> <i>AM</i><sub>.</sub>
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
=
+
= + = Þ
=
2 2 2
1
1
1
1
5
2 5
1
4
4
<i>AH</i>
5
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
A
y
x
H
B
C
Do đó:
=
=
uuur
uuur
<sub>1</sub>
uuur
5
<i>AH</i>
<i>AH</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<sub>.</sub>Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
=
+
=
=
=
=
=
2 2
2 2
4 5
5
5,
,
5
5
<i>CA</i>
<i>AB</i>
<i>CB</i>
<i>CA</i>
<i>CB</i>
<i>CH</i>
<i>BH</i>
<i>CB</i>
<i>CB</i>
<sub>. Từ đó </sub>ta có
=
+
=
+
uuur
uuur
uur
<sub>1</sub>
uuur
<sub>4</sub>
uur
5
5
<i>HB</i>
<i>HC</i>
<i>AH</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>BC</i>
<i>BC</i>
Þ
=
+
uuur
uur
uuur
4
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
TH2:
uuur uuur
<i>AH</i> <i>AM</i>, <sub>khi đó lấy điểm M1 đối xứng với M qua A thì ta có M1 điểm đóng vai trị như điểm M trong TH1 . do đó</sub>
=
+
Þ
= -
= -
-uuuur
uur
uuur
uuur
uuuur
uur uuur
1
4
14
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AM</i>
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<sub>.</sub>*,Bằng cách kết hợp với tích vơ hướng ta có sự phân tích vectơ.
Cách 2. Ta tìm cặp số = +
uuur uur uuur
, sao cho AM
<i>x y</i> <i>x AB</i> <i>y AC</i><sub>.</sub>
Ta có:
=
(
+
)
=
+
+
=
+
uuur
2uur
uuur
2uur
2uuur
2uuruuur
2 2 2 2
AM
<i>x AB</i>
<i>y AC</i>
<i>x AB</i>
<i>y AC</i>
2
<i>xy AB AC</i>
<i>x</i>
4
<i>y</i>
, theo bài ra AM =
( )
+ = 1
2 2
2 5 nªn ta cã <i>x</i> <i>y</i> 20 <sub>.</sub>
Ta có:
=
-uur
uuur uur
<i>BC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<sub>, mà </sub>^
Þ
= Û
(
-
)(
+
)
=
uuruuur
uuur uur
uur
uuur
0
0
<i>BC</i>
<i>AM</i>
<i>BCAM</i>
<i>AC</i>
<i>AB x AB</i>
<i>y AC</i>
( )
Û uuur2- uur2 = Û - = Û = 2
0 4 0 4
<i>yAC</i> <i>x AB</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <sub>. Thay (2) vào (1) ta được </sub>
<i>y</i>
= ±
1,
<i>x</i>
= ±
4
<sub>.</sub>Vậy = + =-
-uuur uur uuur uuur uur uuur
4 hc AM 4
<i>AM</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i><sub>.</sub>
Cách 3. Ta dựng hệ trục tọa độ xAy như hình vẽ.
(
0; 0 ,) ( ) (
1; 0 , 0;2)
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
. Trước hết ta đi tìm tọa độ của điểm M.
Gọi M
(
<i>x y</i>;)
. Ta có:( )
(
)
= -
(
)
=
(
)
uur
uuur
uur
uuur
1;0 ,
0;2 , BC
1;2 ,
;
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AM</i>
<i>x y</i>
Theo bài ra AM = Þ = + = ( )
3
2 2 2
2 5 <i>AM</i> <i>x</i> <i>y</i> 20 <sub>.</sub>
Mặt khác, vì
( )
^ Þ uuuruur= Û - + = Û = 4
0 2 0 2
<i>AM</i> <i>BC</i> <i>AM BC</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <sub>.</sub>
Thay (4) vào (3) ta được
<i>y</i>
= ±
2;
<i>x</i>
= ±
4
.TH1: x =4, y=2 ta có:
=
(
)
=
+
uuur
uur
uuur
4;2
4
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
TH2: x = -4, y = -2 ta có:
= -
(
-
)
=-
-uuur
uur uuur
4; 2
4
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
.
<b>Bài tập áp dụng.</b>
1, Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm đối xứng của B qua C, Jlà trung điểm của AC, K là điểm trên cạnh AB sao cho
1
3
<i>AK</i>
<i>AB</i>
.
Chứng minh rằng: I,J,K thẳng hang.
2, Cho tam giác ABC. M,N,P là các điểm thỏa mãn
<sub>1</sub>
<sub>3</sub>
,
,
4
6
2
<i>MB</i>
<i>MC NC</i>
<i>NA PA</i>
<i>PQ</i>
. Chứng minh rằng AM,BN,CP
đồng quy.
3, Cho tam giác đều ABC, AB =1. M là điểm thỏa mãn
<i>AM</i>
2,
<i>MAB</i>
45
0 .Hãy phân tích vectơ
theo vµAC
<i>AM</i> <i>AB</i> <sub>.</sub>
4. Cho tam giác ABC có AB=1,AC=2,
0
120
<i>A</i> <sub>. Dựng điểm M sao cho </sub>
<i>AM</i>
<i>BC AM</i>
,
3
<sub>. Hãy phân tích vectơ</sub>
theo vµAC
<i>AM</i> <i>AB</i> <sub>.</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>
<!--links-->
