De thi DA Toan BD 2009

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.68 MB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Mơn thi: TỐN; Khối: B

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2009 MƠN TỐN – KHỐI B 
Câu I

(2,0 điểm)

I.1 Đề bài:

Lời giải:

• TXĐ: D R≡
• Sự biến thiên

Ta có: ' 8 3 8 0 0

x

y x x

x

=
⎡

= − = ⇔ ⎢

= ±

⎣

Bảng biến thiên:

x −∞ -1 0 1 +∞

y' − 0 + 0 − 0 +

y +∞ 0 +∞
-2 -2

Đồ thịđồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và

(

1;+∞

)

; nghịch biến trên mỗi khoảng

(

−∞ −; 1

)

và

( )

0;1 . Hàm sốđạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1; yCT = −2; đạt cực đại tại x = 0; yCD =0

• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình

• Nhận xét: đồ thị hàm sốđối xứng qua trục tung Oy, cắt trục hoành tại các điểm

(

± 2;0

)

I.2 Đề bài:
Lời giải:

• Số nghiệm của phương trình x x2| 2− = ⇔2 | m 2x4−4x2 =2m là số giao điểm của đồ thị

hàm số y= 2x4−4x2 và đường thẳng y=2m

• Vì

(

)

4 2 4 2

4 2

4 2 4 2

2x 4x ; 2x 4x 0
2x 4x

2x 4x ; 2x 4x 0

⎧ − − ≥

⎪

− = ⎨

− − − <

⎪⎩ nên vẽ đồ thị hàm số

4 2

2x 4x

y= − như

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) trên trục hoành
- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

• Từđó suy ra pt đã cho có 6 nghiệm phân biệt ⇔ <0 2m< ⇔ < <2 0 m 1

Câu II 
(2,0 điểm)

II.1 Đề bài: 
Lời giải:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(1) sin sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 3sin sin 3

2 2

x x x x

x + x x −

⇔ + + = +

sin 3 3 cos3 2cos 4 cos 3 cos 4
6

x x x ⎛ x π ⎞ x

⇔ + = ⇔ ⎜ − ⎟=

⎝ ⎠

3 4 2

6 (k )

3 4 2

x x k

Z

x x k

π π
π π
⎡ − = −
⎢
⇔⎢ ∈
⎢ − = − −
⎢⎣

(

)

6
2
24 7
x k
k Z
k
x
π π
π π
⎡ = − +
⎢
⇔⎢ ∈
⎢ = +
⎢⎣

Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2
6

x= − +π kπ; 2

24 7

k

x= π + π (k ∈ Z)

II.2 Đề bài: 
Lời giải:

(

)

2 2 2 2 2 2

1 7 1

1 7

1 13 1 13

x y y

xy x y

x y xy y x y xy y

⎧ + = −
+ + =
⎧⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨
+ + =
⎪ ⎪ + + =
⎩ ⎩

Từ phương trình trên ta suy ra: 7 1
1
y
x
y
−

+ (y≠-1), thay vào phương trình sau ta được

2 2

7 1 7 1 1 13

1 1

y y

y y y

y y

⎛ − ⎞ +⎛ − ⎞ + =

⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)(

)

(

)

4 3 2 2

36 33 5 1 0 1 3 1 12 5 1 0

1 3

1 1

y y y y y y y y

y x
x
y
⇔ − − + + = ⇔ − − + + =
=
⎡ ⎡ =
⎢
⇔⎢ ⇒ ⎢
=
= ⎣
⎣

Vậy hệ có nghiệm: (x ; y) = {(1 ; 1

3) ; (3 ; 1)}.

Câu III 
(1,0 điểm)

Đề bài: 
Lời giải:

3 3 3

2 2

1 1 1

3 3 3

1 1 1

3 3 3

1 1 1

3 ln 3 ln ( 1 )

( 1) ( 1) 1

3 1 1

ln 2 (ln )

1 1 1

3 1 3 1 1 1 3 3

ln 3 ln 3 ln 3 ln 2

4 4 ( 1) 4 4 1 4 4

x dx

I dx xd

x x x

d x

x x x

dx

dx dx

x x x x

+
= = −
+ + +
−
= − +
+ + +
= − + = − + − = + −
+ +

∫

Câu IV 
(1,0 điểm)

Đề bài:

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của AB
G là hình chiếu của B’ lên (ABC) (giả thiết cho).

(

)

(

B B ABC' ,

)

(

B B BG' ,

)

B BG'

⇒ = =

' 60

B BG

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3
'

B GB

Δ có

0 12

60
3

' '
2
BG a
B

BB a B G a

⎧ =
⎪
⎫⎪ ⎪
= ⇒
⎬ ⎨
= ⎪⎭ ⎪ =
⎪⎩
(*)
Tính SABC theo a?

Đặt AB = 2x

AC CM MA MB x

BC x
= = = =
⎧⎪
⇒ ⎨
=
⎪⎩
1

3 3
x
GM CM
⇒ = =

Xét ΔGMB có GMB=2CAB=1200, theo định lí hàm số cosin ta có:

2 2 2 2. . cos1200

GB =GM +MB − GM MB

2 1 2 2.1 . 1 13 2

3 3 2 9

GB =⎜⎛ x⎞⎟ +x − x x⎛⎜− ⎞⎟= x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Từ (*)

1 13 3

2a 9 x x 2 13a

⎛ ⎞

⇒⎜ ⎟ = ⇔ =

⎝ ⎠

Vậy AC = x = 3

2 13a; BC =

3 3
3

2 13

x= a

1 1 3 3 3 9 3

2 2 2 13 2 13 104

ABC

S = AC CB= ⎜⎛ a⎟⎜⎞⎛⎜ a⎞⎟⎟= a

⎝ ⎠⎝ ⎠ (đvdd)

Do ABCA’B’C’ là hình trụ nên (ABC) // (A’B’C’)

(

)

(

)

(

)

' 3

d A ABC =d B ABC =B G= a

(

)

(

)

' 13 . ', 2089

A ABC ABC

V S d A ABC a

⇒ = =

Câu V 
(1,0 điểm)

Đề bài:

Lời giải:

Ta có: A=3(x4+y4+x y2 2) 2(− x2+y2) 1+

= 3(x2+y2 2) −2(x2+y2) 3− x y2 2+1 9( 2 2 2) 2( 2 2) 1

4 x y x y

≥ + − + +

( Vì: ( 2 2 2) 4 2 2 3( 2 2) 3 2 2

x + y ≥ x y ⇒ x +y ≥ x y )
Vì: 4xy≤(x y+ )2 nên từ giả thiết.

2 3

1 (x y) (x y)

⇒ ≤ + + + ⇒(x y+ −1) (⎡ x y+ )2+2(x y+ ) 2+ ⎤≥0

⎣ ⎦

2 2 ( ) 1

2 2

x y

x y x y +

⇒ + ≥ ⇒ + ≥ ≥

Do vậy: 4A=9(x2+y2) 8(− x2+y2) 4+ = ⎡8(x2+y2 2) +2⎤−8(x2+y2) (+ x2+y2 2) +2

⎣ ⎦

2 2 2 2 2 2 1 9

2(2( ) 1) ( ) 1 2

4 4

x y x y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4
Dấu “=” xảy ra khi 1

x= =y

Vậy: min 9
16

A= , đạt được khi 1
2

x= =y .

Câu Via 
(2,0 điểm)

VIa.1 Đề bài:
Lời giải:

Giả sử ( , ) ( ) ( 2)2 2 4(1)

K a b ∈ C ⇒ a− +b =

( 1)C tiếp xúc với Δ1, Δ2, ta có:

2
7

2 50

a b

a b a b

R b
a
=
⎡
− − ⎢
= = ⇒
⎢ = −
⎣

2 2 4 4 8

1: 2 ,(1) (2 2)

5 5 5

8 4 4

( ; );

5 5 5 2

TH a b b b b a

K R

= ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

⇒ =

2 2 4

2 : ,(4) ( 2)

2 2 5

b b

TH a= − ⇒ − − +b = ⇒ vô nghiệm

Vậy ( ; );8 4 4

5 5 5 2

K R=

VIa.2 Đề bài:
Lời giải:

Giả sử véc tơ pháp tuyến của (P) là ( , , )Δ a b c ; (a2+b2+c2>0)

( ) : (P a x 1) b y( 2) c z( 1) 0(1)

⇒ − + − + − =

( 2 ) 0

ax by cz a b c

⇒ + + − + + =

( 2,1,3) ( ) 3 2 0(2)

B − ∈ P ⇒ − − +a b c=

Khoảng cách từ C, D tới (P):

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2

a b

a b c a b c b c a b c

b

a b c a b c

=
− + − − − = + − − − ⎡
⇒ ⎢ =
+ + + + ⎣
1
7
: 2 ,(2)

b

TH a= b ⇒ =c ⇒phương trình ( ) : 4P x+2y+7z−15 0=

3
: 0,(2)

a

TH b= ⇒ =c ⇒phương trình ( ) : 2P x+3z− =5 0
Câu VIIa

(1,0 điểm)

Đề bài: 
Lời giải:

Giả sử z = a +bi, (a,b ∈R ) ⇒ z = −a bi

Từ giả thiết suy ra:

(

) (

)

2 2

2 1 10

25
a b
a b
⎧ − + − =
⎪
⎨
+ =

⎪⎩ ⇔ 2 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

⇔ 2 10 2 2

(10 20) 25

b a

a

= −

⎧

⎨ + − =

⎩ ⇔ 2

10 2
8 15 25

b a
a a
= −
⎧
⎨ − + =
⎩
5
0
a
b
=
⎧
⇔ ⎨ =
⎩

Vậy: 3
4
a
b
=
⎧
⎨ =
⎩

Vậy số phức z cần tìm là: z = 5 hoặc z = 3 + 4i
Câu VIb

(2,0 điểm)

2 điểm.
VIb.1 Đề bài:
Lời giải:

Gọi AH ⊥ Δ ⇒( ) phương trình đường thẳng (AH) có dạng:
1.(x+ +1) 1.(y−4) 0= hay 3 0x y+ − =

Tọa độ H là nghiệm của hệ:

3 0 2

4 0 1

x
x y

x y y

⎧ =
⎪
+ − =
⎧ ⇒⎪
⎨ − − = ⎨

⎩ ⎪ = −
⎪⎩

Đỉnh B∈ Δ ⇒( ) B t t( ; −4).
ABC

Δ cân đỉnh A 2. 2 ( 7)2 ( 7)2 2 2 7

2 2 2

BC BH t t t

⇒ = = − + − = −

1 1 9 7 7

. 2.( ) .2 2 9 18.

2 2 2 2 2

ABC

SΔ = AH BC= t− = t− =

11
7 2
2
3

2
2
t
t
t
⎡ =
⎢
⇒ − = ⇒ ⎢
⎢ = −
⎢⎣

Do đó 11 3; 3; 5

2 2 2 2

B⎛⎜ ⎞⎟⇒C⎛⎜ − ⎞⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ hoặc

3 11 17 9

; ;

2 2 2 2

B⎛⎜− − ⎞⎟⇒C⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VIb.2 Đề bài:

Lời giải:

Xét đường thẳng đi qua d và song song (P)

( ),( )

d Q Q

⇒ ⊂ qua A và ( ) / /( )Q P

Xét phương trình (Q) ⇒na/ /n( )P =(1, 2, 2)− , Q qua A (-3,0,1).
( )Q

⇒ (x+ −3) 2(y− +0) 2(7 1) 0− = ⇔ −x 2y+2z+ =1 0

Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là min chính là đường thẳng đi qua hình chiếu
của B lên (Q).

Ta sẽ tìm hình chiếu của B0 của B trên (Q).

Xét đường thẳng (Δ) và ( )⊥ Q véc tơ chỉ phương (Δ) là: (1, 2, 2)uΔ − ⇒ Δ có phương trình:
1
1 2
3 2
x t
y t
z t
= +
⎧
⎪ = − −

⎨
⎪ = +
⎩

⇒ B0 là giao của (Δ) và ( )Q (1⇒ + − − −t) 2( 1 2 ) 2(3 2 ) 1 0t + + t + =

1 t 2 4t 6 4 1 0t

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

6
10
9 10
9
t t
⇒ − − = −
0

1 11 7 26 11 2

( ; ; ) ( ; ; )

9 9 9 9 9 9

B AB

⇒ − ⇒ = − ⇒ phương trình (AB) 3 1

26 11 2

x+ = y = z−
−

Câu VIIb 
(1,0 điểm)

Đề bài:
Lời giải:

Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
2 1
x
x m
x
−
− + =

⇔f(x) = 2x2 – mx – 1 = 0 (với x≠0)

Vì Δ =m2+ >8 0 ∀m và f(0)≠0 nên f(x) = 0 ln có hai nghiệm phân biệt

Đường thẳng y = m – x luôn cắt đồ thị hàm số y x2 1
x

−

= tại hai điểm phân biệt
A(x1 ; y1) ; B(x2 ; y2)

y1 = m – x1 ; y2 = m – x2

Theo định lí Vi-ét thì

1 2
1 2
2
1
2
m
x x
x x
⎧ + =
⎪⎪
⎨
⎪ = −
⎪⎩

Ta có: AB = 4

(

) (

)

(

)

(

)

2 2 2

2 1 2 1 2 1

2
2

2 1 2 1

16 8

4 8 2 8

2
2 6

x x y y x x

m

x x x x

m
⇔ − + − = ⇔ − =
⎛ ⎞
⇔ + − = ⇔⎜ ⎟ + =
⎝ ⎠
⇔ = ±

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

G

ợi ý

Ph

ần chung cho tất cả thí sinh

Câu I.

1. Kh

ảo sát v

à v

ẽ đồ thị khi m = 0

Khi đó hàm số trở th

ành:



TXĐ: R.



Hàm s

ố l

à hàm s

ố chẵn nên đồ thị có t

r

ục đối xứng l

à Oy



Ta có:



B

ảng biến thi

ên:

Đồ thị l

õm trong các kho

ảng:

và l

ồi trong

.



Hàm s

ố đạt cực tiểu tại

; đạt cực đại tại

.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2. Hoành độ giao điểm l

à nghi

ệm phương tr

ình

(*)

Đặt

thì (*) tr

ở th

ành:

(**)

Gi

ả sử các nghiệm của (*) l

à

<

< 2

Thì

;

v

ới

< < là các nghi

ệm (**)

Do đó:

<

< 2

<

< 2

< < < 4

Nh

ưng (**)

Do đó bài tốn thoả m

ãn

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu II.

1. Gi

ải phương tr

ình:

2. Điều kiện xác định:

H

ệ phương tr

ình

Đặt

Ta có:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

+)

Ta có:

K

ết hợp ĐKXĐ, hệ đ

ã cho có 2 nghi

ệm (x; y) l

à :

và

.

Câu III.

Đặt

Câu IV.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

T

ừ tr

ên

Kho

ảng cách từ A đến

Câu V.

Đặt

, v

ới

thì

Khi

đó:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

L

ập bảng biến thi

ên c

ủa S với

T

ừ đó ta có: S đạt giá trị nhỏ nhất l

à

và đạt giá trị lớn nhất l

à

Ph

ần ri

êng

A. Theo chương tr

ình Chu

ẩn.

Câu VI. a

1. To

ạ độ A l

à nghi

ệm của hệ:

Suy ra to

ạ độ

Phương tr

ình

đường cao AH:

phương tr

ình

đường thẳng BC

là:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tìm

được

Phương tr

ình

đường thẳng AC l

à:

.

2. Phương tr

ình

đường thẳng AB l

à:

To

ạ độ D có dạng

Vectơ pháp tuyến của (P) l

à:

.

V

ậy

.

Câu VII. a

Gi

ả sử z = a + bi với a; b

vì M (a ; b) là

điểm biểu diễn của z.

Ta có:

M(a;b) thu

ộc đường tr

ịn tâm I

, bán kính

.

B. Theo chương tr

ình Nâng cao

Câu VI. b

1. Đường tr

ịn (C) có tâm (1; 0) bán kính R = 1

T

ừ giả thiết ta có:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Do tính ch

ất đối xứng của đường tr

ịn, ta có 2

điểm M thỏa m

ãn là:

và

2. G

ọi M là giao điểm của

và (P), tìm

được

Vectơ chỉ phương của

là

= (1; 1; -1);

= (1; 2; -3);

= (-1; 2; 1)

Câu VII.b

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thoả m

ãn

(v

ới

)

(1)

Phương tr

ình (1) có

nên ln có 2 nghi

ệm phân biệt l

à .

.

Khi đó:

và

.

Suy ra trung điểm AB l

à

.

I thu

ộc trục tung

(vì theo

định lý Vi

-ét thì

).

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17></div>

De thi DA Toan BD 2009

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

<b>G</b>

<b>ợi ý</b>

<b>Ph</b>

<b>ần chung cho tất cả thí sinh</b>

<b>Câu I.</b>

1. Kh

ảo sát v

à v

ẽ đồ thị khi m = 0

Khi đó hàm số trở th

ành:

TXĐ: R.

Hàm s

ố l

à hàm s

ố chẵn nên đồ thị có t

r

ục đối xứng l

à Oy

Ta có:

B

ảng biến thi

ên:

Đồ thị l

õm trong các kho

ảng: