DA TS 10 DHQG HN 2001

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên </b>

<b>Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội năm 2001 </b>

<b>Mơn thi : Tốn </b>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

<b>Câu I: </b>

1. Điều kiện: 0≤ <i>x</i> =<i>t</i>≤5

Phương trình đã cho tương đương với:
5

5
8+<i>t</i> + −<i>t</i> =

Bình phương hai vế ta được:
0

4
3
2 <i>_{+ t}</i>₋ ₌

<i>t</i> ; t1= - 4:loại; t2=1<i>⇒ x</i>=1
2.Hệ đã cho tương đương với:





=
+

+
−
+

=
+
+

17
)

(

7
2 <i>_xy</i> <i>_x</i> <i>_y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

Đặt x+y=S, xy=P rồi giải hệ phương tình trên được:
a.














=
=
⇒
=
=
⇒
=
=

1
3
3

1
3

4

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>P</i>

<i>S</i>

b.




=
−
=

13
6
<i>P</i>
<i>S</i>

Hệ này vô nghiệm.
<b>Câu II: Ta có </b>

0
)
(

)
(

)
(

2
2
2
2

2
2

<
−
−
+
−
−
+
−
−
=

−
−
−
+
+
=
∆

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>ca</i>
<i>bc</i>
<i>ab</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

⇒ PT vơ nghiệm

<b>Câu III: Giả sử n</b>2+2002=m2 (m nguyên)
⇒ (m-n)(m+n)=2002 (*)

Chú ý rằng m và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ ⇒ (m-n)#2 và (m+n) #2

Vế trái của (*) chia hết cho 4 nhưng vế phải không chia hết cho 4. Vậy khơng có

số ngun n nào để n2+2002 là số chính phương.

<b>Câu IV: </b>

Chú ý rằng với a,b,c >0 áp dụng BĐT Bu-nhi-a- cơp-xki có:
9

1
1
1
)

( ≥







 ₊ ₊
+

+

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2
3
3

9
3

9

2
2

2 ₊ ₊ ≥
+

≥
+
+
+
≥
⇒

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>zx</i>

<i>yz</i>

<i>xy</i>
<i>P</i>

Khi x = y = z = 1 thì P =

2
3
2

3 <i>_{⇒ MinP}</i>₌

<b>Câu V: </b>

Từ giả thiết suy ra <i>_∠MAN</i> ₌₄₅0_(h.1)

1. Tứ giác ABMP có _∠<i>_PBM</i> ₌_∠<i>_PAM</i> ₌₄₅0_{nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra}
0

90
=

<i>∠MPA</i> .

Tương tự, tứ giác ADNQ nội tiếp và có <i>_∠NQA</i>₌₉₀0_{. Vậy năm điểm}
P,Q,M,C,N nằm trên đường trịn đường kính MN.

2.Ta có ∠<i>AMN</i> =∠<i>APB</i>=∠<i>AMB</i>

Kẻ AH⊥<i>MN</i>. Dễ thấy ∆<i>AHM</i> =∆<i>ABM</i> ⇒<i>AH</i> = <i>AB</i>. Vậy MN luôn tiếp xúc với
đường trịn tâm A bán kính AB cố định.

1. Do ∆ AQN và ∆ APM vuông cân tại Q và P nên:

1
2

1
2
1
.
2
1
.

.
2
1

2
1 ₌
⇒
=
=

=
⇒

=
=

<i>S</i>
<i>S</i>
<i>AM</i>

<i>AN</i>
<i>QP</i>
<i>AQ</i>
<i>S</i>

<i>S</i>
<i>AM</i>

<i>AP</i>
<i>AN</i>
<i>QA</i>

<i>AMN</i>
<i>APQ</i>

<b>Câu VI: </b>

<b>1. Điều kiện x>2. PT đã cho tương đương với: </b>

2
0

)
3
2

)(
1
1
(

3
1
2

3
2

1

=
⇒
=
+
−
−
−

−
⇔

+
−
+
−
=

+
+
−
−

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

2. PT đã cho có dạng: (x+1)(y+1)=10 (1)
Phân tích 10=1.10=2.5 (2)

Từ đó (1) và (2) suy ra PT có 8 nghiệm là:

(0,9), (9,0), (-2,-11),(-11,-2),(1,4),(4,1),(-3,-6),(-6,-3)
<b>Câu VII: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Khai triển và rút gọn được:
2y (x2+(x+y)2)=0

Hệ có 2 nghiệm (x,y) là (1,0), (-1,0).

<b>Câu VIII: Giả sử mười số đã cho viết thành một hàng là: a</b>1,a2,...,a10.
Xét mười tổng: a1+1, a2+2,...,a10+10

Khi đó: S= (a1+1)+(a2+2)+...+(a10+10)

Giả sử rằng 10 tổng trên khơng có hai tổng nào có tận cùng giống nhau thì
tổng tất cả chữ số tận cùng của chúng là: 0+1+2+3+...+9=45. Suy ra chữ số
tận cùng của tổng S=(a1+1)+...+(a10+10) là 5 nhưng

S=(a1+a2+...+a10)+(1+2+...+10)=110 có tận cùng là 0. Điều giả sử trên là
sai. Suy ra đpcm.

<b>Câu IX: </b>
Cách 1





=
−
+
=
−
+
=
−

+
<i>z</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
2
2
2

thì x,y,z>0 và






+
=
+
=
+
=

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>c</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>b</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>a</i>

áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có

26
52
24
16
12
16
9
16
4
9
4
16
9
4
2
≥
⇒
=

+
+
≥






+
+





 ₊
+






+
=






 +
+





 +
+





 +
=
<i>P</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>P</i>

Dấu bằng đạt được khi ; 2
2
3 ₌
=
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
và
3
4
=
<i>y</i>
<i>z</i>

hay 3z=4y=6x. Chẳng hạn lấy
x=2<i>⇒ y</i>=3; z=4<i>⇒ a</i>=7, b= 6, c=5, lúc đó P = 26. Vậy GTNN của P là 26.
Cách 2:
29

16
9
4
))
(
)
(
)
((
2
1
16
1
9
1
4
2
−






−
+
+
−
+
+

−
+
×
−
+
+
−
+
+
−
+
=





 ₋
−
+
+
+
+





 ₋
−

+
+
+
+





 ₋
−
+
+
+
=
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>P</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>P</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Đẳng thức xảy ra khi

<i>k</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>

1
4

3

2 ₌

−
+
=
−
+
=
−

+ , (với k>0), suy ra a= 2

5
,
3
,
2

7 <i>k</i>

<i>c</i>
<i>k</i>
<i>b</i>

<i>k</i> ₌ ₌

cụ thể hơn, có thể chọn: a=7, b=6, c=5 thì P=26.
<b>Câu X: </b>

1. ∆<i>AIB</i>'=∆<i>AIC</i>'⇒∠<i>AIB</i>'=∠<i>AIC</i>'⇒∠<i>MA</i>'<i>B</i>'=∠<i>MA</i>'<i>C</i>'⇒ <i>A</i>'<i>M</i> là phân giác
trong của tam giác A’B’C’.

Tương tự B’N, C’P là các đường phân giác trong của tam giác A’B’C’. Suy ra
3 đường A’M, B’N, C’P đồng quy

2. Cách 1: Dựng đường tròn tâm D đi qua 3 điểm B, I, C. Đường tròn này
cắt ID kéo dài tại K. Từ ∆<i>IBA</i>'~∆<i>IKC</i>' suy ra <i>r</i>

<i>ID</i>
<i>IC</i>
<i>IB</i>
<i>IC</i>
<i>IA</i>
<i>IK</i>
<i>IB</i>

2
.

' _⇒ ₌

=
(đpcm)

<i>Cách 2. Ta có BID</i>∆ cân tại D. Gọic E là trugn điểm IB. Từ ∆<i>IDE</i>'~∆<i>ICA</i>' suy

ra = = = ⇒

'
2
'
2
2

' <i>IA</i>

<i>IB</i>
<i>IA</i>
<i>IE</i>
<i>IA</i>

<i>IE</i>
<i>IC</i>
<i>ID</i>

</div>

<!--links-->