tr­êng thpt nam §«ng bµi tëp §¹i sè 10 chuyªn ®ò bêt ®¼ng thøc ®¹i sè i môc tiªu gióp häc sinh l¾m v÷ng vµ biõt c¸ch chøng minh bêt ®¼ng thøc vën dông bêt ®¼ng thøc ®ó t×m gtln gtnn cña mét bióu thøc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề : bất đẳng thức đại số

I. Mục tiêu:

- Giúp học sinh lắm vững và biết cách chứng minh bất đẳng thức

- Vận dụng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của một biểu thức.

II. Bài mới

<i><b>Dạng 1</b></i>: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức.
<i>Chú ý các tính chất sau</i>:



a b



20

; A2B2... C 20 ; A2B2... C 2  0 , ( 0) ; Tích các số khơng âm
là số khơng âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng
hằng đẳng thức .

Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:

a)

2
2 2

a b a b

2 2

   

 

  _b)

3
3 3

a b a b

2 2

   

 

  _c)a2b2 2ab

c) a2b2b2ab bc ca  d)





2 2 2

a b c  3 2 a b c 

e)





2 2 2 2 2

a b c d e a b c d e  

f) a2b2 1 ab a b
Bài 2 : Chứng minh các BĐT sau:

a) a2b2c22ab 2ac 2bc  b)

2

2 2
a

b c ab ac 2bc

4     

c) a22b2 2ab 2a 4b 2 0    d)a25b2 4ab 2a 6b 3 0   

e)





4 4 2 2

x y z  1 2x xy  x x 1 

Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau:

a)





2 2 2

ab bc ca  a b c 2 ab bc ca 

b) abc



a b c b c a c a b 

 

 

 

 



c)





2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 a b b c c a  a  b  c 0
d)













2 2 2 3 3 3

a b c b c a c a b 4abc a b c

e)













2 2 2

a b a b b c b c c a c a 0

f)



 

 



3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3

a b c abc a b c b a c c a b  a b c 2abc
Bµi 4 : Chøng minh:



x 1 x 3 x 4 x 6

 



 



 





10 0 víi mäi sè thùc x.
Bµi 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2xy y 2 3x 3y 1998 
Bµi 6 : Cho abc=2 vµ a372. CMR:

2

2 2
a

b c ab bc ca
3      _.
Bµi 7 : CMR:

a) NÕu a2b22 th× a b 2  b) Víi a  b th×

3 2 2 3

2
a ab a b b

b
a b

  




c) NÕu x 1, y 1  th× x y 1 y x 1 1 xy    
d) NÕu 0 x y z   . CM:









1 1 1 1 1

y x z x z

x z y x z

   

     

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

e) NÕu a2b2c21 th× :
1

ab bc ca 1
2

    

.
f) Cho a > 0. CMR: a5 a2 3a 5 0 

Bµi 8 : Cho a, b, c là các số thực trong ®o¹n [0 ; 1]. CMR: a2b2c2 1 a b b c c a2  2  2
Bµi 9 : CMR: NÕu ab+ bc+ ca =1 th×



 

 



2 2 2

1 a 1 b 1 c

bằng bình phơng của một số thực
( a, b, c là các số thực).

Bài 10 : Tìm c¸c sè a, b, c, d biÕt r»ng :

2 2 2 2 ₂

a b c d  ab bc cd d    ₅0

.
Bµi 11 : Cho các số dơng a, b, c. CMR:

a b c

1 2

b c a c a b

   

   _.

Bµi 12 : Cho c¸c sè thùc a, b, c, m, n, p tháa m·n ®iỊu kiƯn :

ap 2bn cm 0   _vµ_{ac b}_ 2 _₀_. _CMR:mp n 2 0_.

Bµi 13 : Cho các số dơng thỏa mÃn: a> b và c ab. CMR: 2 2 2 2

a c b c

a c b c

 



  _.

D¹ng 2: dùng các bđt:

1

a 2, a 0

a

 

;





a b

2, a.b 0

b a  

Bµi 14 : Chøng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số d¬ng)

a)



a b



1 1 4

a b

 

 _  _

  _b)





1 1 1

a b c 9

a b c

 

  _   _

 

c)









2 2 2

a b c a  b c 9abc

d)

bc ac ab

a b c

a  b  c   

e)

a b c 3

b c a c a b     2 _f)

2 2 2

a b c a b c

b c a c a b 2

 

  

  

g)

4 4 4 9

a 2b c 2a b c a b 2c        a b c  _;

h)

a b c 1 1 1

bc ac ab   a b c _i)

2 2 2

2 2 2

a b c a b c

b c a

b c a   

Bµi 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của c¸c biĨu thøc sau:
a)



 







4x 1 4 x

P , x 0

x

 

 

b)





2

x 2x 1

Q , x 2

x 2

 

  



c)

2

2

1

T a 4 a

a a 1

   

  _.

Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc:

2
4 2

x
U

x x 1



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số .
Bài 17 : Tìm GTNN của :

a)



 











2 2 2

f x, y  x y 1   x 1  y 2

b)





2 2 2

f x, y x y x  2xy 4x 1 

c)





2 2

2 2

4y 4x 6xy

f x, y

x y

 



 _.

Bài 18 : Tìm GTLN của :
a)



2

f x  3 4x x

b) f x

  

 x 3 15 x

 





c)





2
2 2

3x 4xy

f x, y

x y

Bài 19 : Tìm GTNN cña :

a)

 





2

x 4x 4

f x x 0

x

 

 

b)

 





3

2

x 1

f x x 0

x


 

c)

 





x 5

f x 0 x 1

1 x x

   

 _d)f x

 

tgx cot gx _{(x lµ góc nhọn)}

Bài 20 : Tìm GTLN của :

a) f x

  

 2x 1 3 5x

 





b)

  

 



3

f x  1 x 1 x

c)

 

2

x
f x
x 2

 _d)

 





2
3
2
x
f x
x 2



e)

  







2 2

f x  a x a x 0 x a

Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN cña :

a) f x

 

3 x 1 4 5 x 1 x 5  



 



b)

 





2

f x 3x 4 3 x   3 x  3

c)

 





o o

f x 3sin x 4cos x 2 0  x 180

Bµi 22 : Cho





2 2

x y 2, x 0, y 0 

. H·y t×m :
a) GTNN cđa :

1 1

A

x y

 

b) GTLN cña : B



x y xy



c) GTLN cña : C xy 2

Bµi 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). H·y t×m GTNN cđa :

a) A x 2y2 b) B x 4y4 c) C



x 1 4y 3

 





d)

2 2

D x y x 9 y    y 9 x

Bµi 24 : Cho 2 số thực dơng a và b. Tìm GTNN của :
a)



 







a x b x

y , x 0

x

 

 

b)

b

y ax , x 0

x

  

c)





b

y ax , x a

x a

   

 _d)y 2 x 1   x 2  x 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>

<!--links-->