TÍNH HỢP PHÁP CỦA PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ
(Bài giảng luyện thi vào Đai học và cao đẳng)
Trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng hay thi tuyển chọn
học sinh giỏi thường có câu giải phương trình,bất phương trình hệ phương
trình có chứa căn bậc chẵn 2√n f ( x) với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Muốn
giải nó ta đặt ẩn phụ t=2√n f (x) .Vấn đề đặt ra là khi đặt ẩn phụ như vậy có
phải đăt điều kiện f (x)≥0 hay khơng ?.Nếu khơng đăt điều kiện đó thì
phép giải bài tốn đó có hợp pháp khơng ? Vấn đề này sẽ bổ ích cho học
sinh khi làm bài thi.
A.Một số ví dụ:
Ví du 1:Giải phương trình: 9 x+ √ 3 x − 2=10 .(1)
(Nguyễn Huy Đoan- Bài tập Đai số 10 nâng cao)
Giải:Phương trình (1) ⇔ 3( 3 x −2)+ √3 x −2 −4=0 .(*).Đặt t=√ 3 x −2 ≥ 0
,khi đó (*) trở thành 3t2+t-4=0.Giải ra ta có hai nghiệm t1=1 và t2= -4/3.Do
t ≥ 0 nên chỉ lấy t=1.Vậy(*) ⇔ √ 3 x − 2=1 ⇔ x=1 .
Ví dụ 2:Giải phương trình:
x 2+5 − 3 √2 x 2 − 4 x+ 5=2 x , (2).
Giải :Phương trình (1) ⇔ 2 x 2 − 4 x +5 −6 √ 2 x 2 − 4 x +5+5=0 .Đặt
t=√ 2 x 2 − 4 x +5 .Khi đó (2) trở thành :t2-6t+5=0.Giải ra ta có hai
nghiệm:t=1 và t=5.
+t=1 ⇔ √ 2 x2 − 4 x+5=1 ⇔2 x2 − 4 x+ 4=0
vô nghiệm.
+t=5
√11
❑x=1+
x=1 − √ 11
⇔ √ 2 x2 − 4 x+5=5 ⇔2 x 2 − 4 x − 20=0 ⇔ ¿
Vậy phương trình có hai nghiệm: x=1 ± √ 11 .
(Nguyễn Huy Đoan- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đai số 10)
Ví dụ 3:Giải bất phương trình:
√ 3 x 2 +5 x+7 − √ 3 x 2 +5 x+2>1 (3)
Giải: Đặt t=√ 3 x 2 +5 x+ 2, ,ta có bất phương trình √ t 2 +5 −t >1 ⇔ √ t2 +5>¿
t+1
t +1 ¿2
¿
t <−1
❑−1 ≤t <2
<0
❑t+1
⇔¿
t +5 >¿
¿
❑¿
⇔¿
+ t<-1 ⇔ √ 3 x 2+5 x +2<−1
2
vô nghiệm.
2
3 x + 5 x+2 ≥0
3 x 2+ 5 x+2 <4
+ −1 ≤t <2 ⇔ −1 ≤ √ 3 x +5 x +2<2 (*). ⇔ {❑
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-2;-1]
⇔
x≤ −1
❑−−2<
2
1
3
≤x <
¿
[-2/3;1/3).
3
(Nguyễn Huy Đoan-Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10).
Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy khi giải các phương trình hay bất
phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ,không đặt điều kiện của ản mà chỉ đặt
điều kiện thừa t ≥ 0 ,nhưng có những bài cũng khơng đặt điều kiện đó nữa.
Đẻ cho tiện ta lấy đại diện một phương trình: af (x )+ b √ f ( x )+ c=0 , a ≠ 0 (I).
Có nhiều người cho rằng khi giải phương trình đó khi đặt t=√ f ( x ) thì phải
đặt điều kiện f (x)≥0 .Nếu khơng đặt điều kiện đó thì phép giải đó khơng
hợp pháp.Bây giờ xét tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ đó.
B.Một số căn cứ:Các cách giải phương trình (I).
Cách 1:
*Đặt t=√ f ( x )≥ 0 ta có phương trình:at2+bt+c=0 (II).
*Giải (II):
+Nếu (II) vơ nghiệm hoặc có hai ngjhiêm âm thì (I) vơ nghiệm.
+Nếu (II) có nghiệm t0 0 ta giải phương trình √ f (x )=t 0 (*)
*Kết luận.
Nhận xét:Trong cách giải trên nếu đặt điều kiện f (x) ≥0 hay khơngđặt
điều kiện đó và (II) là phương trình hệ quả của (I) và nghiệm của (*) là
nghiệm của (I) (là điều kiện đủ).Từ đó suy ra khơng cần đặt điều kiện
f (x) ≥0
Cách 2:
* Giả sử (I) có nghiệm x0 a f ( x 0)+b √ f (x 0)+c=0 ⇒ √ f ( x0 ) ln tồn
tại.Do dó đặt t=√ f (x 0 ) ta có phương trình:at2+bt+c=0 (II).Các bước như
cách 1.
Một đồng nghiệp của tôi cho rằng khi đặt ẩn phụ t=√ f ( x ) mà không đặt
điều kiện f (x) ≥0 là không hợp pháp bằng cấch cho ví dụ:
Giải phương trình: − x 2 +3 √ − x 2 −1+3=0 (**).Người đó lập luận:Do mọi
x √ − x 2 −1 không tồn tại nên không thể đặt được t=√ f ( x ) và kết luận
nếu giải phương trình (I) khơng đặt điều kiện f (x)≥0 rồi mới đặt
t=√ f (x ) là sai.Như vậy rất nhiều tác giả đã sai khi viết sách..Quả thật đến
đây hơi bối rối và tự đặt câu hỏi chẳng nhẽ nhiều người sai đến vậy (trong
đó có cả các nhà khoa học đầu ngành) .Từ đó tơi đi tìm một cách lí giải
khác.Trong thực tế thì khơng ai giải như vậy mà chúng ta giải một cách đơn
giản và gọn nhẹ hơn.
C.Tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ.
1) Thế nào là một phương trình:
Một câu hỏi đặt ra là (**) có phải là một phương trình khơng?Để trả lời câu
hỏi đó ta tìm hiểu thế nào là phương trình:
a) Khái niệm hàm số:Cho tập hợp khác rỗng D⊂ R .
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi x thuộc D với
một và chỉ một số,kí hiệu là f (x) ;số f (x) đó là giá trị của hàm số f tại
x.
Tập D gọi là tập xác định,x gọi là biến số của hàm số f.
Từ đó suy ra : D là tập xác định của hàm số f thì D khác rỗng.
b) Thế nào là một phương trình (bất phương trình).
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg .Đặt
D=D f ∩ Dg .Mệnh đề chứa biến “f(x)=g(x)” được gọi là phương trình một
ẩn;x gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của phương trình.
Số x 0 ∈ D được gọi là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x) nếu
f(x0)=g(x0) là mệnh đề đúng..
Từ đó có khẳng định được (**) được khơng phải là một phương trình.
c) Tính hợp pháp của một phếp đặt ẩn phụ:
MỆNH ĐỀ:
Nếu phương trình f(x)=g(x) chứa biểu thức √ h(x) thì biểu thức đó ln
tồn tại.(có nghĩa là luôn tồn tại x thuộc R để √ h(x) xác định).
Chứng minh:
Gọi Df và Dg thứ tự là tập xác định của các hàm số f(x) vàg g(x).
Giả sử không tồn tại x thuộc R để √ h(x) không tồn tại.
+Nếu f(x) chứa √ h(x) suy ra không tồn tại x thuộc Df để f(x) xác định nên
f(x) không phải là hàm số.
+Nếu g(x) chứa √ h(x) thì g(x) khơng phải là hàm số.
Từ đó suy ra f(x)=g(x) khơng phải là phương trình.
Trái với giả thiết chứng tỏ ln tồn tại x thuộc R để √ h(x) xác định.
Vì vậy khi giải phương trình (I) đặt t=√ f ( x ) mà khơng đặt điều kiện
f (x) ≥0 là hồn tồn hợp pháp.Do đó khơng có chuyện nhiều tác giả viết
sách sai như một đồng nghiệp của tôi đã khẳng định.
d) Các bước giải phương trình (I) .
Bước 1: Đặt t=√ f (x ) , t ≥ 0 ta có pt :at2+bt+c=0. (II).(là pt hệ quả của pt
(I),không cần đặt điều kiện đúng của t)
Bước 2: Giải pt (II).
Nếu (II) vơ nghiệm hoặc có hai nghiệm âm thì (I) vơ nghiệm.
Nếu (II) có nghiêm t ≥ 0 thì giải phương trình: √ f (x )=t .
Bước 3:Kết luận.
D.Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1)
√
16
x
−11=
x +1
x+1
(1)
Giải: pt(1)
1
4
+
−12=0 .Đặt
x +1 √ x +1
1
,t
√ x +1
0
t=¿
ta có pt t2+4t-
12=0
Giải ra ta có hai nghiệm t=2 t=-6 Do t>o nên t=-6 loại.
1
1
3
=2 ⇔ √ x +1= ⇔ x=−
t=2 ⇔
2
4 .
√ x +1
2) √ x −1 −2 √3 x −1 −3=0 (2)
Giải: Đặt u= √6 x −1⇒ √ x −1=u 3 , √3 x − 1=u2 .Ta có pt u3-2u2-3=0 với
3 − √ 21
3+ 21
u ≥0 .Giải pt có các nghiệm:u=-1 loại , u=
< 0 loại , u= √
2
3+ √ 21 6
¿ +1
2
.
6
3+ √ 21
⇔ √ x − 1=
⇔ x=¿
2
2
3) x −2 x +(3 − 2 x) √ x −1+1=0
2
(3).
Giải:
x − √ x −1 ¿2 − 3( x − √ x −1)+2=0
.Đặt
⇔¿
t=x − √ x −1
ta có pt : t2-3t+2=0
t=1 hoặc t=2.
+t=1 ⇔ x − √ x −1=1⇔ √ x −1=x −1 ⇔ { x 2 − 3 x+2=0 x− 1 ≥0
5+ 5
x ≥2
⇔ x= √ .
+t=2 ⇔ x − √ x −1=2 ⇔ ❑
⇔ x=1 hoặc x=2.
(3)
⇔
{
2
x −5 x +5=0
2
Vậy phương trình có ba nghiệm là:x=2,x=2,x=
5+ √ 5
.
2
4)
7x+2(x-2) √ x+1 −1=0
(4).
Giải:
(4) ⇔ (x+1) −2( x − 2) √ x+ 1−1=0 .Đặt t=√ x+1 , t ≥ 0 ta có pt :
t2-2(x-2)t-8x=0 .Giải pt này ta có hai nghiệm t=2x,t=-4<0 loại.
1+ 65
t=2x ⇔ √ x+ 1=2 x ⇔ . . .. .. . ⇔ x= √
32
3 √ 10 x − x − √ x= √10 − x +5
5)
(5)
Giải:
(5) ⇔ √ x √10 − x − 3 √ 10 x − x 2+5=0 .
Cách 1:Đặt t=√ 10 x − x 2 ,t ≥ o ⇒ √ x+ √ 10 − x= √ 10+2 t .Khi đó ta có phương
2
trình:
√ 10+2t=3 t +5
{
t≥ −
5
3
⇔ ❑9 t −32
t +15=0
2
⇔. .. . .. .. ⇔t=3 .
t=3 ⇔ √ 10 x − x 2=3 ⇔ x 2 −10 x+ 9=0⇔ x=1 hoặc x=3.
t 2 − 10
Cách 2: Đặt t=√ x+ √ 10 − x ,t ≥ 0⇒ √ 10 x − x 2=
.ta có pt:
2
3t2-2t-40=0
t=−
⇔ t=4 hoặc
10
≤ 0 (loại).
3
t=4 ⇔ √ x+ √ 10 − x =4 ⇔ .. .. . .. .. . ⇔ x=1 hoặc x=9.
x +m(n − x)
¿
Chú ý:Phương trình dạng :
ta
¿
a( √ x +m ± √ n − x )+ b √ ¿
t 2 − m− n
⇒ √( x +m)(n − x)=
đăt t=√ x+ m+ √ n − x
.
2
Riêng pt: a( √ x +m− √ n− x)+b √( x+m)(n − x )+ c=0 thì đặt :
t=√ x+ m− √ n − x .
6)
(x-1)(x+2)+5(x-1) x+2 −14=0 (6)
x−1
x+2
t=
(x −1)⇒
Giải: Đặt
x −1
(x-1)(x+2)=t2 .ta có pt t2-5t+6=0 ⇔ t=2 hoặc t=-7.
⇔. . .. .. . .⇔ x=2.
+t=2 ⇔ (x −1) x +2 =2⇔ {❑x>1
x + x− 6=0
x−1
− 1− √ 205
⇔ .. .. . .. .. . .. . ⇔ x=
+t=-7 ⇔ (x −1) x +2 =−7 ⇔ {❑ x<1
x +x −51=0
x−1
2
−1− √ 205
Vậy phương trình có hai nghiệm là :x=2, x=
.
2
Qua cách giải các bài trên ta thấy khi đặt t=√ f ( x ) với t ≥ o (***) Điều
√
√
√
√
2
2
kiện này gọi là điều kiện thừa.
Ví dụ 2:
Cho phương trình : 4 √ x +m=x +4 (1) ,m là tham số.
1) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Đặt t=√ x+ m .Do x+m 0 ⇒t ≥ 0 (Đây là điều kiện đúng) ta có pt:
t2-4t-m+4=0 (2). Δ ,=m
1) Pt (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm
t ≥ 0 .Điều đó xẩy ra khi và chỉ khi (2) có nghiệm duy nhất t ≥ 0
hoặc (2) có hai nghiệm khác dấu hoặc (2) có 1 nghiệm bằng 0 và
một nghiệm âm.
+ (2) có nghiệm duy nhất t ≥ 0 ⇔ Δ =0,S=0 và P=0 ⇔ …. ⇔ m=0.
+(2) có hai nghiệm khác dấu khi và chỉ khi P=-m+4<0 ⇔ m> 4 .
+(2) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 khi và chỉ khi P=0 và S<0.Hệ
này vơ nghiệm.
Vậy m=0,m>4 thì pt (1) có nghiệm duy nhất.
2) Pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi pt(2) có nghiệm t ≥ 0 .Điều đó xẩy ra
khi và chỉ khi (2) có nghiệm t=0 hoặc có hai nghiệm dương hoặc có
hai nghiểmtái dấu.
+(2) có nghiệm t=0 ⇔ 4-m=0 ⇔ m=4
+(2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P<0 ⇔ 4 − m< ⇔m>4 .
+(2) có hai nghiệm dương ⇔ Δ ≥0 , S .>0 và P>0 ⇔0< m≤ 4
Từ đó ta có m 0 thì (1) có nghiệm.
1 2
Cách 2: (1) ⇔ 16 ( x −18 x − 16)=m ,với x ≥ − 4
y=
1 2
( x −18 x −16)
16
x≥−4
.Đặt
và y= m .Số nghiệm pt (1) là số giao
điểm của hai đồ thị đó …………………….
Chu ý :Đối với những bài tốn tìm điều kiện để phương trình có
nghiệm thì điều kiện của ẩn phụ t phải là điều kiện đúng.
Ví dụ 3 :Giả các bát phương trình:
1) x ( x −1) − √ x2 − x +13 ≤7
(1)
2
2
Giải: (1) ⇔ x − x+13 − √ x − x+ 13− 20 ≤0 .Đặt t =√ x2 − x +13 , t ≥ 0 ta
có:
2
t −t − 20 ≤0 ⇔ − 4 ≤t ≤5 .Do t ≥ 0 nên
2
≥0
0 ≤t ≤5 ⇔ 0≤ √ x 2 − x +13 ≤5 ⇔ 0 ≤ x 2 − x+13 ≤ 25 ⇔ {❑ xx −− x+13
⇔
x −12 ≤0
2
x − x −12 ≤0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 4 (Do x − x +13>0 ∀ x .
2)
(2x-2) √ 2 x −1≤ 6 ( x −1) (2) .
2
2
Giải:
Đặt t=√ 2 x −1 ≥0
⇒ 2 x=t +1 .Ta có phương trình:
3
2
.Khi đó (2) ⇔ 1 ≤ √ 2 x −1 ≤ 3 ⇔
t −3 t − t+3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤t ≤3 , t ≤ −1 (loại)
1≤ 2 x −1 ≤ 9 ⇔1≤ x ≤ 5 .
Cách 2:(2) ⇔ (x −1)( √ 2 x −1 −3)≤0 Sau đó xét dấu các biểu thức x-1,
1
√ 2 x −1− 3 ⇒ dấu của tích (x-1) (√ 2 x −1 −3) …………(..với x ≥ 2 )
3) ❑√ 4 − x2 −5 √|x+ 2|+4 √|x −2|≤ 0 (3)
Giải: Đk: −2 ≤ x 2 khi đó 2+ x ≥ 0,2 − x ≥ 0 nên (3) ⇔
❑
√ 4 − x2 −5 √ 2+ x+ 4 √ 2− x ≤ 0 .Do x=2 không phải nghiệm pt,với −2 ≤
4 2+ x 2
4 2+ x
¿ −
− 4 ≥0
x<2 pt tương đương với 2 − x
.Đặt t= 4 2+ x ≥ 0
2− x
2−x
5¿
4
2+ x
2
Ta có pt : 5 t −t − 4 ≥ 0 ⇔ t ≥1 , t ≤ − 5 (loại). t ≥ 1⇔ 4 2+ x ≥ 1⇔ 2 − x ≥ 1
2−x
2+ x ≥ 2− x ⇔ x ≥ 0 .Do −2 ≤ x <¿ 2 ⇒ 2-x>0 .Vì −2 ≤ x <2 và x ≥ 0
nên nghiệm bpt là 0 ≤ x <0 .
2
√
√
√
√
3 √x +
4)
3
2 √x
<2 ( x+
1
)−7
4x
(5) Đk của pt x>0.
1
1
1
)− 3( √ x +
)− 7>0 Đặt t=¿ √ x+
> 0 .(điều
4x
2√x
2 √x
1
2
t ≥ √ 2¿ ⇒ x + =t −1 .Khi đó ta có pt :2t2-3t-9>0
4x
2(x +
(5) ⇔
kiện đúng là
3
(loại)
2
1
3− √ 7
>3 ⇔ 2 x − 6 √ x +1>0 ⇔ √ x <
t>3 ⇔ √ x+
hoặc
2
2√x
3− √ 7 2
¿
2
+
3 −√ 7
⇔ 0 ≤ x <¿
√ x<
2
3+ √ 7 2
¿
2
+
3+ √ 7
⇔ x> ¿
√ x>
2
3+ √7 2
¿
2
Vậy phương trình có nghiệm là 3 − √7 2
¿ , x >¿
2
0 ≤ x <¿
⇔ t >3 , t<−
√ x>
3+ √ 7
.
2
Ví dụ 4:Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình:
Giải:
1) √ 2 x 2 +5 x+2 −2 √ 2 x 2 +5 x −6=1
(1).Đặt
u= √2 x +5 x+ 2≥ 0
{❑v=√ 2 x +5 x− 6 ≥0 .ta có hệ phương trình: {❑u−u −2vv=1=8 .Giải hệ này ta được
2
2
2
{❑u=3
v=1 ⇔
{❑√√
2
2 x +5 x +2=3
2
2 x +5 x −6 =1
⇔
2x2+5x-7=0 x=1
2
7
hoặc x=−
.
2
√ x+2 − √3 x +1=1 (2) .Đặt u= √ x +2 ≥0 , v=√3 x+1 .ta có hệ pt:
{❑u−u −v=1
v =1 .
u=0
u =3
Giải hệ này ta có các nghiệm: {❑u=1
v=0 , {❑v=− 1 , { ❑v=2
u=1
2=1
⇔ x=− 1
+ {❑v=0 ⇔ {❑√√ x+
x+ 1=0
u=0
+ {❑v=− 1 ⇔ . . .. .. . .. .. . .. ⇔ x=− 2
+ {❑u=3
v=2 ⇔. .. .. . .. .. . .. ⇔ x=7
Vậy phương trình cnghiệm là :x=-1,x=-2,x=7.
3) x 2=√ x +2+2 (3)
Giải: Đặt y=√ x +2 ⇔ y 2=x +2 .ta có hệ pt :
2)
2
3
3
2
x = y+2
y 2=x+2
{❑
Giải hệ đó ta có các nghiệm:x=y=-1,x=y=2,
5− 1
;
2
5 −1
x= √
và
2
x=
− √ 5− 1
và
2
y= √
5− 3
2
n
Phương trình dạng: x =a √n a . x+b +b
y= √
với n nguyên dương lớn hơn 1 Ta
x =a . y +b
đặt y=√ a . x+ b đưa về hệ đối xứng loại II {❑ y =a . x+b
Ví dụ 5:Cho hệ phương trình:
2 − √ y+3=m
, m là tham số.
(I)
{❑√x=x−y=−4
m
1) Giải hệ phương trình khi m=-1.
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Giải:
2 ≥0
Đặt {❑uv==√√ x−
y+3 ≥0 ( đây phải là các điều kiệ đúng).ta có hệ phương trình:
{❑u−u +vv=m=1 −4 m (II)
1) m=-1 có hệ :
n
n
n
2
2
{❑u−u +vv=−1
=5
2
2
u=1
−2=1
⇔ {❑ x=3
Giải hệ này ta có nghiệm {❑v=2 ⇔ {❑√√ xy+3=2
y=1
vậy hệ có nghiệm {❑x=3
y=1
u+t =m
2) Đặt t=-v, t ≤ 0 Hệ (II) trở thành : {❑u +t =1 − 4 m ,với u ≥0 ,t ≤ 0 (III)
2
u+t =m
m2+ 4 m −1
ut=
2
2
{❑
z 2 − mz+
2
u và t là nghiệm của phương trình:
m +4 m−1
=9
2
(*) hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi pt (*) có hai
nghiệm z1,z2 thoả mãn z 1 ≤ 0 ≤ z 2
Vậy −2 − √ 5
m≤ −2+ √ 5 .
2
⇔ P=
m +4 m−1
≤0 ⇔ −2 − √ 5≤ m ≤− 2+ √5
2
BÀI TẬP
Bài 1:Giải các phương trình:
2
1)
10 x+11
4 x −1
−5
x+2
x+2=0
3) (x-3)(x+2)+
√
√ x2 − x − 2=2
.2)
4)
1+ x ¿
¿
1− x ¿2
¿
¿
¿
2 √3 ¿
5
1
1
−
=3+
2
2
x
x √ 2− x √ 2 − x
3
x2 +1+ x ¿2 − 2
+2=0
√
5)
√ x +1 − x
6)
(x 3+ 1)+( x2 +1)+ 3 x √ x+1=0
¿
8) √ x − √ x 2 − 1+ √ x + √ x 2+1=2
x=√ x+1 − √ x − 1+ √ x 2 −1+4
5 x 2 − 10 x +1
x +1
5
+ √ x +1+1=
9)
10) √ x −2= 2
4−x
x + 6 x +11
√4 − x
2
2
11) (4 x −1) √ x +1=2( x +1)+2 x+ 1
12) 4 √ 1+ x −1=3 x +2 √1 − x + √ 1− x 2
13) 2 x 2 −2( √ 2 x −1+2 y − 1) x +4 y 2 −1=0
7)
√
Bài 2:
Cho phương trình:
5(x +1)( x −2)− 6(x −2)
1) Giải phương trình khi m=8.
2) Tìm m để phương trìng có nghiệm.
Bài 3: Giải các bất phương trình:
1)
3)
5)
6)
7)
8)
√
x +1
=m
x −2
, m là tham số.
x
1
− 2 1+ >3
x +1
x
2
2
2
4) √ 3 x +5 x+7 + √ 3 x +5 x+ 2> 1
√ x − √ x − 1+ √ x +√ x −1 ≤2 2
√ 7 x +7+ √7 x −6+2 √ 49 x +7 x − 42< 181−14 x
1− √ 3 x +4 ¿2
x+1¿2 ≤(3 x+7)¿
9¿
2
√ 2 x − 6 x+ 8− √ x ≤ x −2 (HD:Đặt u= √ x , v=x −2 )
x
35
x+ 2
≥
√ x −1 12
( x+ 1)(+ 4)<5 √ x 2 +5 x+ 28
2)
√
Bài 4:Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình:
1) x 2 −21=4 √ 4 x+ 21
2) √ x2 −3 x+ 3+ √ x2 −3 x +6=3
3) √3 2 x −1+ √ x+3=3
4) x 3+ 6=7 ❑√ 7 x −6
Bài 5:
√ y +2=a
1) Cho hệ phương trình: {❑√x+x+1+
,a là tham số
y=2
a) Giải hệ phương trình khi a=3.
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm.
2) Cho hệ phương trình:
√ y+1=a −2
{❑2√2x+x−y=21−a+3
a) Giải hệ phương trình khi a=1.
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm.
Chú ý:Đối với những bài tốn chứa tham số u cầu tìm điều kiện để bài
tốn có nghiệm hay có số nghiệm ,nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước thì
điều kiện của ẩn phụ t phải là điều kiện đúng.
…………..HẾT…………….
