De thi vao 10 nam 20092010 Hai Phong

Bài hình học đề thi tuyển sinh 10 năm học 2009-2010
Hải phòng, ngày 24 tháng 6 năm 2009
Đề bài: Cho tam giác ABC vng tại A. Một đường trịn(O) đi qua B và C
cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E( BC không là
đường kính của (O) ) .Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K.
1. CMR góc ADE= góc ACB
2. CM: K là trung điểm của DE
3. Trường hợp K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng đường thẳng DE
là tiếp tiến chung ngồi của đường trịn đuờng kính BH và đường trịn
đường kính CH

B

H
D
A

K
E

C



ACB
a) ADE


 ACB
Vì tứ giác BAEC nội tiếp (O)  ADE
(cùng bù với góc BDE)

b) K là trung điểm của DE




 ACB
ACB
* Ta có DAK
(cùng phụ với góc B) mà ADE


 ADE
DAK
 Tam giác ADK cân tại K  AK = DK
*Chứng minh tương tự ta có AKE cân tại K  AK = EK
Suy ra DK= EK. Vậy K là trung điểm của DE
c) Giả sử khi K là trung điểm của AH thì DE là tiếp tuyến chung ngồi của
đường trịn đường kính BH và CH.
Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm đường trịn đường kính BH và CH.
Khi K là trung điểm của AH thì tứ giác ADHE là
B
hình chữ nhật. Ta có:
*  DKH cân tại K (tính chất hình chữ nhật)
O

D

1




 D1  A 2 (1)
1
2

2
1

K



 DO1H cân tại O1  D2  A1 (2)
0
0




Mà A1  A 2 90  D1  D2 90
 DE là tiếp tuyến của (O1).

H
3 4

O

2

1 2

A

E

C

*Chứng minh tương tự ta có DE là tiếp tuyến
của (O2).
Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.