CHUN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Dạng tốn 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c 0 (1)
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
B1 Xét a = 0 m = ? Thay trực tiếp vào (1) x = ?
B2 Xét a 0 . Ta tính = b2 – 4.a.c
B3 < 0: phương trình vơ nghiệm.
b
= 0: phương trình có nghiệm số kép x1 = x2 = 2a = thay m vào tính nghiệm.
b
2a
> 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 , 2 =
Từ đó ta suy ra:
a 0
0
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là
a 0
0
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là
a 0
b 0
a 0
0
3. Điều kiện để phương trình có đúng một nghiệm là
Caâu 1.
Giải và biện luận các phương trình
a) (m – 2)x – 2(m + 1)x + m + 5 = 0
b) x2 – mx + 4 = 0
c) (m – 1)x2 + (m – 1)x + m – 2 = 0
d) ax2 – 2(a + 2)x + a – 1 = 0
e) (a –1)x2 + 2(2 – a)x – 1 = 0
2
1
f) 2x – (2m + 1)x + 2 m2 = 0
2
g/ x2 (2m + 1)x + m = 0
h/ mx2 2(m + 3)x + m + 1 = 0
i/ (m 1)x2 + (2 m)x 1 = 0
j/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0
k/ (m 3)x2 2mx + m 6 = 0
k/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m 5 = 0
l/ (4m 1)x2 4mx + m 3 = 0
m/ (m2 1)x2 2(m 2)x + 1 = 0
Câu 2.
Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
a/ x2 2mx + m2 2m + 1 = 0
e/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0
b/ x2 2(m 3)x + m + 3 = 0
f/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
c/ mx2 (2m + 1)x + m 5 = 0
g/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0
2
d/ (m 3)x + 2(3 m)x + m + 1 = 0
h/ (3 m)x2 2mx + 2 m = 0
Câu 3.
Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
a/ x (2m + 3)x + m2 = 0
f/ (m 1)x2 3(m 1)x + 2m = 0
b/ (m 1)x2 2mx + m 2 = 0
g/ (m + 2)x2 + 2(3m 2)x + m + 2 = 0
c/ (2 m)x2 2(m + 1)x + 4 m = 0
h/ (2m 1)x2 + (3 + 2m)x + m 8 = 0
d/ mx2 2(m 1)x + m + 1 = 0
i) (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0
2
e/ x 2(m + 1)x + m + 7 = 0
j)x2 – (2m + 3)x + m + 2 = 0
2
k) x2 + mx + 2(m – 2) = 0
l)(m + 1)x2 – 2(m - 1)x + m - 2 = 0
Câu 4.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
a/ x (m + 2)x + m + 2 = 0
c/ (2 m)x2 + (m 2)x + m + 1 = 0
b/ x2 + 2(m + 1)x + m2 4m + 1 = 0
d/ (m + 1)x2 2(m 3)x + m + 6 = 0
2
Câu 5.
Định m để phương trình có 1 nghiệm.
a/ x (m 1)x + 4 = 0
c/ (3 m)x2 + 2(m + 1)x + 5 m = 0
b/ x2 2(m 1)x + m2 3m + 4 = 0
d/ (m + 2)x2 (4 + m)x + 6m + 2 = 0
2
Dạng tốn 2.Tìm hệ thức độc lập liên hệ giữa các nghiệm của phương trình
Phương pháp :
a 0
B1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm : 0
b
x1 x 2 a
x .x c
1 2 a
B2: Lập Định Lý Viet
Khử tham số m biểu thức bằng mọi giá !!
GHI CHÚ : Nếu có S là hằng số hoặc P là hằng số thì đó là biểu thức liên hệ
Câu 6.
Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm và tìm lập hệ thức liên hệ giữa
các nghiệm x1 ; x2 độc lập đối với m
a) (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
h/ (m + 2)x2 2(4m 1)x 2m + 5 = 0
3m
b) x2 + mx + 2(m – 2) = 0
i/ (m + 2)x2 (2m + 1)x +
=0
2
2
4
c) x – 2(m – 1)x + m – 3m + 4 = 0
j/ 3(m 1)x2 4mx 2m + 1 = 0
d) x2 – ( m – 2)x + m(m – 3) = 0
k/ mx2 + (m + 4)x + m 1 = 0
e) x2 – 4x – m2 -5 = 0
f) x2 + (m2 – 2m + 4)x – 3 = 0
l/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 4 = 0
g/ mx2 (2m 1)x + m + 2 = 0
Dạng toán 3: Điều kiện để phương trình có nghiệm cho trước xo
Phương pháp:
Thay x0 vào phương trình giải ra tham số m
Muốn tính nghiệm cịn lại Dùng Viet cho tích số x2.x1 = P suy ra nghiệm cịn lại
Câu 7.
Tìm m để phương trình có một nghiệm cho trước, tính nghiệm kia?
a/ 2x (m + 3)x + m 1 = 0
; x1 = 3
b/ mx2 (m + 2)x + m 1 = 0
; x1 = 2
2
c/ (m + 3)x + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x1 = 2
d/ (4 m)x2 + mx + 1 m = 0
; x1 = 1
2
e/ (2m 1)x 4x + 4m 3 = 0
; x1 = 1
f/ (m 4)x2 + x + m2 4m + 1 = 0 ; x1 = 1
g/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
; x1 = 2
2
2
h/ x 2(m 1)x + m 3m = 0
; x1 = 0
2
Câu 8.
Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + m – 1 = 0
a)Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt ?
b)Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = 3. Tính nghiệm x2 cịn lại ?
Câu 9.
Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ?
b)Xác định m để phương trình có nghiệm x1 = 2; tính nghiệm x2 cịn lại ?
Câu 10.
Cho phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép ?
b)Định m để phương trình có nghiệm là 1 ? Tính nghiệm cịn lại ?
Dạng tốn 4 Điều kiện phương trình có hai nghiệm thoả hệ thức f(x1 , x2) = 0
Phương pháp:
a 0
0
B1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 :
m (ĐK 1)
b
x
x
1
2
a
c
x1 x2
a
f ( x1; x2 ) 0
B2 Giải hệ phương trình :
tìm m, kết hợp với ĐK1 ta tìm được kết quả.
Câu 11.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện cho trước.
a/ x + (m 1)x + m + 6 = 0
ñk : x12 + x22 = 10
b/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
ñk : x12 + x22 = 2
c/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
ñk : 4(x1 + x2) = 7x1x2
2
2
d/ x 2(m 1)x + m 3m + 4 = 0
ñk : x12 + x22 = 20
e/ x2 (m 2)x + m(m 3) = 0
ñk : x1 + 2x2 = 1
2
f/ x (m + 3)x + 2(m + 2) = 0
ñk : x1 = 2x2
2
1
x1
1
x2
g/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0
ñk :
h/ x2 4x + m + 3 = 0
đk : x1 x2 = 2
Câu 12.
+
=3
Định m để phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 có hai nghiệm
thoả
4(x1 + x2) = 7x1.x2
Caâu 13.
Caâu 14.
Định m để phương trình x2 + mx + 2(m – 2) = 0 có hai nghiệm thoả
1
1
a) x1 x 2 = 3
b) x12 + x22 = 5
Định m để phương trình x 2 – 2(m – 1)x + m 2 – 3m + 4 = 0 có hai nghiệm
thoả
Câu 15.
x12 + x22 = 20 ?
Định m để phương trình x2 – (m – 2)x + m(m – 3) = 0 có nghiệm x1 ; x2 thoả
a) x13 + x23 = 0
b) x1 + 2x2 = 1
Câu 16.
Định m để phương trình x2 – 2x – m2 – 2m – 5 = 0 có nghiệm x1 ; x2 thoả
a) x1 + 2x2 = 0
b) x1 – x2 = 10
ĐS: a)m = 1 v m = -3 b) m = -5 v m = 3
Caâu 17.
Cho phương trình x2 – 2mx + 4 = 0 Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình
a) Tính theo m A = x12 + x22 ; B = x13 + x23 ; C = x15 + x25 ;
D = x1 x2 ;
b) Tìm m để : x14 + x24 32
Caâu 18.
E = x1 x2
ĐS: b) m = 2
3
3
Cho x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm là 0 ? tính nghiệm cịn lại
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả x12 + x22 = 8 ?
ĐS : m = -1 v m = 2
Dạng toán 5. Điều kiện nghiệm âm ; nghiệm dương của phương trình bậc hai
Xét phương trình : a.x2 + b.x + c = 0
Yêu cầu: Suy luận dấu các nghiệm số từ các đại lượng a; ; S ; P
Câu 19.
Định m để phương trình có 2 nghiệm trái daáu
a/ x + 5x + 3m 1 = 0
d/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
2
b/ mx 2(m 2)x + m 3 = 0
e/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
2
Caâu 20.
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
a/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0
d/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m = 0
b/ x2 + 5x + 3m 1 = 0
e/ x2 + 2x + m + 3 = 0
c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0
Câu 21.
3. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.
a/ mx 2(m 2)x + m 3 = 0
d/ 3x2 10x 3m + 1 = 0
2
b/ x 6x + m 2 = 0
e/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
c/ x2 2x + m 1 = 0
2
Câu 22.
4. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
a/ (m 1)x + 2(m + 1)x + m = 0
d/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0
b/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 1 = 0
e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
2
c/ mx + 2(m + 3)x + m = 0
2
Câu 23.
Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm số trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn
hơn ?
ĐS : -1 < m < 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ? ĐS :m < -1 v 2 < m < 3
Caâu 24.
Cho phương trình (m + 2)x2 – 2mx + m – 1 = 0
a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm ? ĐS :
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm có trị tuyệt đối bằng nhau ? ĐS : m = 2 ; 0
Câu 25.
Cho phương trình m x2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0
a) Định m để phương trình có hai nghiêm âm phân biệt ? ĐS :
b) Định m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu? ĐS : m < 0 v 3 < m < 4
Câu 26.
Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m + 2)x + m – 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương ? ĐS : - 2 < m < 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 nằm trên trục số cách nhau 1 đơn vị ?
ĐS : m = 5/8
Dạng toán 6: Điều kiện để PT có một nghiệm âm hoặc một nghiệm dương
Xét phương trình : a.x2 + b.x + c = 0
1 Xét a = 0 m thay trực tiếp x nhận xét âm ; dương để nhận m ?
2 Xét = 0 m tính nghiệm kép nhận xét âm ; dương để nhận m ?
3 Xét P < 0
4 Xét P = 0 và S > 0 nếu 1 nghiệm dương ( S < 0 nếu có 1 nghiệm âm )
Nếu yêu cầu đề bài “ Định m để phương trình có nghiệm âm ( dương ) “ tức là có thể
có một hoặc hai nghiệm ta cần làm thêm bước tìm ĐK cho phương trình có hai nghiệm âm
(dương).
Câu 27.
Cho phương trình (m + 2)x2 – 2mx + m – 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm dương ?
b) Tìm m để phương trình có nghiệm dương ?
Câu 28.
Cho phương trình mx2 – 2(m – 3)x + m – 4 = 0 . Định m để phương trình có
một nghiệm âm ?
Câu 29.
Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm âm ?
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm ?
c) Tìm m để phương trình có nghiêm âm ?
Câu 30.
Xác định các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiêm âm :
(m – 1)x2 + 2(m + 2)x + m – 1 = 0
