CHUYÊN ĐỀ VECTƠ
Dạng toán 1: Chứng minh hai véc tơ bằng nhau.
Phương pháp: Có thể dùng một trong những cách sau:
Hai véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau
Hai véc tơ có cùng độ dài và cùng hướng
Hai véc tơ cùng bằng một véc tơ thứ ba
Câu 1. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác ⃗0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
→
CMR :
=
MQ
→
NP
Câu 2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
→
→
a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN b/ Xác định các vectơ bằng NP
→
Câu 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→
EH và
bằng
FG
→
AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
→
Câu 4. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ
→
→
DA . CMR :
→
→
a/ I là trung điểm AB và DI = CB
CI
→
b/
=
=
AI
→
IB = DC
Dạng toán 2: Chứng minh một đẳng thức véc tơ
Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức véc tơ ta cũng tiến hành như chứng minh
một đẳng thức đại số: Biến đổi VT thành VP hoặc biến đổi VP thành VT hoặc biến đổi
đẳng thức về một đẳng thức hiển nhiên đúng. Trong quá trình biến đổi chúng ta có thể
sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, các tính chất của phép cộng, trừ các
véc tơ, biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.
Câu 5. Với các điều kiện đã cho, chứng minh các đẳng thức sau:
→
→
→
→
a)
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
b)
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : AB + CD + EA = CB + ED
c)
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
→
→
→
AD
→
→
+
BE
→
+
→
CF
→
→
=
AE
+
→
+ CD
Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
BF
d)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF
Câu 6. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
→
→
→
→
a/ DO + AO = AB
b/ OD + OC = BC
→
→
→
→
c/ OA + OB + OC + OD = ⃗0
M là 1 điểm tùy ý)
d/ MA + MC = MB + MD (với
Câu 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
→
→
CMR :
→
→
OD
+
→
→
OC
=
→
AD
+
→
BC
→
→
Câu 8. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA '
→
CMR : AA '
→
+ BB '
→
+ CC '
=
→
BA '
→
→
, BB '
, CC '
→
+ CB '
+ AC ' .
Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối AB và
CD, O là trung điểm của cạnh EF. CMR :
OA OB OC OD 0 .
a)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
MA MB MC MD 4 MO (với M bất kỳ)
b)
Câu 10. Chứng minh⃗rằn⃗g nế
⃗ u⃗G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và
A'B'C' thì 3GG ' AA ' BB ' CC '
→
→
Caâu 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AD theo a
Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
→
→
→
a/ Tính AB + AD
→
b/ Dựng ⃗u = AB + AC . Tính ⃗u
Câu 13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
→
→
a/ Dựng ⃗v = AB +AC .
b/ Tính ⃗v
Câu 14. Cho
tứ giác ABCD, biết rằng tồn⃗ tạ⃗i ⃗mộ
t điểm O sao cho các véc tơ
⃗
OA, OB, OC , OD có độ dài bằng nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là
hình chữ nhật
Câu 15. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm
tùy ý.
→
→
→
a/ CMR : AM + BN + CP = 0⃗
→
→
→
= OM + ON + OP
b/ CMR :
→
+
OA
→
→
OB
+
+
MC
→
OC
→
Caâu 16. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC
→
→
→
a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM
→
b/ CMR :
MA
→
+
MB
→
= 3
→
MG
Câu 17. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung
điểm của EF.
→
→
→
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
→
+ OD = ⃗0
→
→
b/ CMR :
→
→
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
→
c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
−→
−→
−→
−→
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
Câu 18. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M
là 1 điểm tùy ý.
→
→
→
→
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0⃗
→
→
→
→
→
→
→
→
b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH
→
→
→
→
c/ CMR : AB + AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
Câu 19. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
→
→
→
→
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Caâu 20. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
→
→
→
→
a/ OA + OB + OC + OD = 0⃗
→
→
→
→
EB + 2 EA + 4 ED = EC
→
b/
→
→
+
EA
→
EB
→
→
+ 2 EC
→
= 3 AB
c/
→
Caâu 21. Cho 4 ñieåm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB
Câu 22. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
→
→
→
→
→
→
a/* CD + FA BA ED + BC FE = ⃗0
→
→
→
→
→
→
→
→
→
b/ AD MB EB = MA EA FB
→
→
→
c/ MA DC FE = CF MB + MC
Câu 23. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
→
→
→
a/ MA MB + MC = ⃗0
→
→
MC + MA = ⃗0
→
→
→
b/ MB MC + BC = ⃗0 c/
→
→
→
→
d/ MA MB MC = 0⃗
→
→
→
→
e/ MC + MA MB + BC = 0⃗
MB
Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
→
→
→
a/ Tính AD AB
→
b/ Dựng ⃗u = CA AB . Tính ⃗u
Câu 25. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
→
→
→
a/ Tính AB − AC
→
b/ Tính BA BI
→
Câu 26. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a.
→
Tính AB − AC
Câu 27. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm
tùy yù.
→
→
→
a/ CMR : AM + BN + CP = ⃗0
→
→
→
= OM + ON + OP
b/ CMR :
→
+
OA
→
→
→
OB
+
+
MC
OC
→
Caâu 28. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho BM = 2 MC
→
→
→
a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
→
= 3
→
MG
Câu 29. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung
điểm của EF.
→
→
→
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
→
OD = ⃗0
→
→
b/ CMR :
→
→
→
OA
+
→
OB
→
+
OC
+
→
c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
Câu 30. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M
là 1 điểm tùy yù.
→
→
→
→
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0⃗
→
→
→
→
→
→
→
→
b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH
→
→
→
→
c/ CMR : AB + AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
Câu 31. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
→
→
→
→
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Câu 32. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
→
a/
OA
→
EB
→
+
OB
→
+
→
OC
→
→
+ OD
=
⃗0
b/
→
EA
→
+ EB
→
+ 2 EC
→
= 3 AB
c/
→
+ 2 EA + 4 ED = EC
Dạng toán 3: Xác định một điểm nhờ một đẳng thức véc tơ
Phương phá
⃗ p⃗: Để xác định điểm M nhờ một đẳng thứ
⃗ c véc tơ, ta biến đổi đẳng thức đó
về dạng PM v , trong đó P là một điểm cố định, v là một véc tơ đã biết. Khi đó ta vẽ
được điểm M.
Câu 33. Cho
tam
giá
c ABC. Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện
MA MB MC 0 (vẽ hình minh họa)
Câu 34. Cho hình
bình hành ABCD. Dựng các điểm M, N thỏa mãn:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a) MA MB MC 0
b) NC ND NA AB AD AC
c) MN BA⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Caâu 35. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí của ñieåm G sao cho GA GB GC GD 0 .
Câu 36. Cho tam giác ABC.
a)
b)
Tìm điểm K sao cho KA 2 KB ⃗CB
⃗ ⃗ ⃗
Tìm điểm M sao cho MA MB 2MC 0
Câu 37. Cho tam giác ABC.
a)
Hãy xác định các điểm G,P,Q,R,S sao
cho:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
GA GB ⃗GC 0 ; 2 PA PB
PC 0 ; QA 3QB 2QC 0
⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
RA RB RC 0 ; 5SA 2SB SC 0
b)
Với điểm O bất kỳ và các điểm G,P,Q,R,S ở trên, chứng minh rằng:
1 1
1
1
1
1
OG OA OB OC ; OP OA OB OC
3
3
3
2
4
4
⃗
⃗1 ⃗ 1 ⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗1
1
5
OQ OA OB OC ; OR OA OB OC ; OS OA OB OC
6
2
3
2
2
Dạng toán 4: Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương
⃗
⃗
⃗
a
b
Phương pháp: Để phân tích véc tơ OC theo hai véc tơ
ng cùng phương và ta vẽ
⃗ khô
⃗
⃗
⃗
a
OA
OB
b
hình
cho
cùng phương với . Vì
⃗ ⃗ hàn⃗h OACB sao
⃗ ⃗ cùng phương với ,
⃗ bình
⃗
OA ha ; OB kb nên OC ha kb .
AM theo hai
Câu 38. Cho tam
giá
c
ABC,
gọ
i
M
là
trung
điể
m
củ
a
BC.
Hã
y
phâ
n
tích
⃗⃗
véc tơ AB, AC .
Câu 39. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.
⃗⃗
⃗
a)
Hãy phân tích AG theo hai véc tơ AB; AC
b)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Gọi E, F là hai điểm xác định bởi điều kiện EA 2 EB ; 3FA 2 FC 0
⃗ ⃗
Hãy tính EF theo AB ; AC
Câu 40. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm
trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
AI
,
AJ
theo
AB, AC
Tính
a)
⃗
AG
AI
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
theo
và AJ
b)
Câu 41. Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh
1
→
→
AC sao cho AN = 2
→
a/ CMR : AK =
→
AB
1
1
4
→
AB
NC . Gọi K là trung điểm của MN.
1
+ 6
→
→
b/ CMR :
AC
1
4
=
KD
→
+ 3
AC
→
→
Câu 42. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB ,
→
→
CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
→
a/ AM = 3
→
AB
+
1
8
→
→
1
b/ MI = 6
AC
→
AB
+
3
8
→
AC
Dạng toán 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh
AB k AC hay BC k BA (k 0) .
MA
2
MB
3MC 0 . Chứng minh rằng
Câu 43. Cho 4 điểm A,B,C,M thỏa mãn hệ thức
ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Câu 44. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là
1
AK AC
3
điểm trên cạnh AC sao cho
. Chứng minh rằng B, I, K thẳng hàng.
⃗
⃗2
BD BC
5
Câu 45. Cho tam giác ABC. Trê
. Gọi E là điểm
n BC
lấy điể
m D sao cho
thỏa mãn điều kiện: 4 EA 2 EB 3EC 0 .
⃗
⃗⃗
ED
theo
EB; EC
a)
Phân tích
b)
Chứng minh A, E, D thẳng hàng
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗
1
3MA 4MB 0 ; CN BC
2
Câu 46. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thỏa mãn:
.
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
→
→
→
Câu 47. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5 AD . CMR : B, C, D thẳng hàng.
→
→
→
→
→
Câu 48. Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0⃗ và PA
→
+ PB = ⃗0
→
→
→
→
a/ Tính PM , PN theo AB vaø AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Câu 49. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng
với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và
A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Câu 50. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng
của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam
giác ABC
Câu 51. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
⃗ ⃗
a/ MA MB .
b/ MA MB MC O
C
d/
c/
C
|
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
C
e/ |
Thầy mong các em cố gắng !
1. . TRỤC - TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.
Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
1.
→
a/ Tìm tọa độ của AB .
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
→
→
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0⃗
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1
2.
Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
→
→
→
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB MC = 0⃗
→
→
→
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB = NC
3. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB
Trên trục x'Ox cho 4 ñieåm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
4.
a/ CMR :
1
AC
1
+ AD
=
2
AB
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : IC .ID=IA 2
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AC . AD=AB. AJ
F. TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
1
Viết tọa độ của các vectơ sau : ⃗a = ⃗i 3 ⃗j , ⃗b = 2
5.
+
6.
3
2
⃗j
⃗i + ⃗j
;
⃗c = ⃗i
; ⃗d = 3 ⃗i ; ⃗e = 4 ⃗j .
Viết dưới dạng u⃗ = x ⃗i + y ⃗j , biết rằng :
⃗u = (1; 3) ; u⃗ = (4; 1) ; u⃗ = (0; 1) ; u⃗ = (1, 0) ; ⃗u = (0, 0)
7. Trong mp Oxy cho ⃗a = (1; 3) , ⃗b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/ ⃗u = 3 ⃗a 2 ⃗b
b/ v⃗ = 2 a⃗ + ⃗b
1
w = 4 ⃗a
c/ ⃗
2
8.
⃗b
Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
→
→
→
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
→
→
→
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2 AB 3 AC
→
→
→
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2 BN 4 CN = ⃗0
9. Trong mp Oxy cho ABC coù A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
10. Trong mp Oxy cho ABC coù A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
11. Trong mp Oxy cho ABC coù A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó.
12. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho
ABM vuông tại M.
13. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
14. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ABC.
ÔN TẬP CHƯƠNG I
15. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
→
→
→
a/ CMR : 2 IA + IB + IC = ⃗0
→
→
→
→
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 OA + OB + OC = 4 OI
16. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
→
→
→
→
→
a/ CMR : 2 AI = 2 AO + AB
→
→
b/ CMR : 3 DG = DA + DB + DC
17. Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho
→
AB
→
→
→
= 3 BN . Tính AN
BC
theo
→
và AC
18. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
→
1
→
→
a/ CMR : AI = 2 ( AD + 2 AB )
→
→
→
b/ CMR : OA + OI + OJ = 0⃗
→
→
→
c/ Tìm điểm M thoûa : MA MB + MC = 0⃗
19. Cho ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
→
→
→
→
→
= MC + AB , ME = MA
→
→
→
→
BC vaø MF = MB + CA . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
→
→
→
→
MD
→
→
b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF
+
20. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
→
→
a/ MA = MB
→
→
→
b/ MA + MB + MC = 0⃗
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
c/ MA + MB = MA MB
→
d/ MA + MB = MA + MB
→
e/ MA + MB = MA + MC
21. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
→
AE
2
= 5
→
→
AD
→
= 2 AB ,
→
AC
→
→
→
→
a/ Tính AG , DE , DG theo AB vaø AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
22. Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
→
AD
=
2
5
→
AC
và M là trung điểm
đoạn BD.
→
→
→
a/ Tính AM theo AB và AC .
IB
b/ AM cắt BC tại I. Tính IC
AM
và AI
23. Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng
AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
Chương II
HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC &
TRONG ĐƯỜNG TRÒN
A. TỈ SỐ LƯNG GIÁC :
24. So sánh các cặp số sau :
a/ sin60o vaø cos30o.
b/ sin100o vaø sin110o
c/ sin90o10' vaø sin90o20'
d/ sin80o vaø sin100o
e/ sin50o15' vaø sin50o25'
f/ cos40o vaø cos50o
g/ cos112o vaø cos115o
h/ cos90o vaø cos180o
i/ cos45o vaø sin135o
j/ cos90o5' vaø cos90o10'
25. Tính giá trị các biểu thức sau :
a/ A = acos0o + bsin0o + csin90o + dcos90o
b/ B = asin180o + bcos180o + ccos90o
c/ C = a2sin90o + 2abcos00 b2cos180o
d/ D = 5 cos20o + 3sin230o 4cotg245o
e/ E = 8b2cos245o 5(btg45o)2 + (4asin45o)2
2
o
2
o
2 cos 0 −3 sin 90
f/ F =
o
o
o
5 cot g 45 +3 sin180 − 2 tg 45
4 2 o
sin 60 +4 sin2 30 o
3
g/ G = 4
cos 2 30 o +4 cos2 60o
3
26. Tính giá trị biểu thức sau :
a/ A = sin2x 3cosx
(với x = 0o, 30o, 45o)
b/ B = 2cosx + sin2x
(với x = 60o, 45o, 30o)
c/ C = tg2x + cotg2x (với x = 30o, 45o, 60o)
d/ D = (acos0o)2 2asin90o.bcos180o b2cos180o
e/ E = 4a2cos245o + 7(atg45o)2 (3asin90o)2
27. Xác định dấu của các biểu thức sau :
a/ A = sin50ocos100o
b/ B = sin130ocos40o
c/ C = cotg110osin140o
d/ D = tg50ocos100o
e/ E = tg70ocotg160ocos100o
28. Cho 0 < x < 90o. Xét dấu của cos(x + 90o) và tg(x + 90o)
B. HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯNG GIÁC
4
29. Cho cos = 5 . Tính sin, tg, cotg
8
30. Cho sin = 17 (90o < < 180o). Tính cos, tg, cotg
31. Cho tg = 3. Tính cotg, sin, cos.
1
32. Cho cotg = 2 . Tính tg, sin, cos.
3 sin x +cos x
33. Cho tgx = 2. Tính A = sin x − cos x
2
cot gx − tgx
34. Cho sinx = 3 . Tính B = cot gx+ tgx
35. Rút gọn biểu thức :
A=
2
2cos x −1
sin x+ cos x
B=
C = (1 sin2x)cotg2x + 1 cotg2x
cos 2 x − cot g 2 x
D=
sin2 x . tg 2 x
E=
√ sin2 x (1+cot gx)+ cos2 x (1+ tgx )
36. Chứng minh các đẳng thức sau :
a/ sin4x + cos4x = 1 2sin2xcos2x
cos x . tgx
2
sin x
cotgx.cosx
b/ sin6x + cos6x = 1 3sin2xcos2x
cos x
1
c/ 1+sin x
2
d/ sin x
+ tgx = cos x
sin x
1+cos x
= sin x
1+cos x
e/ cotg2x cos2x = cotg2x.cos2x
f/
g/
h/
i/
j/
tgx − sin x
1
= cos x (1+cos x )
3
sin x
1+cos 2 x
= 1 + 2cotg2x
2
1 −cos x
1+cos x
1 −cos x
4 cot gx
1 −cos x 1+cos x = sin x
1+2 sin x cos x
tgx+1
= tgx −1
2
2
sin x −cos x
sin x+ cos x
= tg3x + tg2x + tgx + 1
3
cos x
37. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x.
A = 2(sin6x + cos6x) 3(sin4x + cos4x)
B = cos4x + cos2xsin2x + sin2x
C = (tgx + cotgx)2 (tgx cotgx)2
cos 2 x − sin 2 y
D=
sin2 x . sin2 y
cotg2x.cotg2y
38. Cho ABC. Chứng minh rằng :
a/ sinA = sin(B + C)
b/ cosA = cos(B + C)
A+ B
C
= cos 2
2
A+ B −C
e/ sin
= cosC
2
A
c/ sin
d/ sin 2
= cos
B+C
2
C. TÍCH VÔ HƯỚNG
39. Cho ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a.
→
→
→
→
→
→
→
→
Tính AB . AC , CA . AB , CB . CA , AB . BC
40. Cho ABC coù AB = 5, BC = 7, AC = 8
→
a/ Tính AB
→
→
rồi suy ra góc A
AC
→
b/ Tính CA . CB
→
→
→
→
c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = 3. Tính CD . CB , AD . AB
41. Cho hình vuông ABCD cạnh a.
→
→
→
→
a/ Tính AB . AC
b/ Tính AB . BD
→
→
→
→
c/ Tính ( AB + AD )( BD + BC )
→
→
→
→
d/ Tính ( AC AB )(2 AD AB )
42. Cho ABC đều có cạnh bằng a và I là trung điểm BC. Tính các tích :
→
→
→
→
→
→
AC . BC , AI . BC , AI . CA
A = 120o
43. Cho ABC biết AB = 2; AC = 3 và ^
→
→
a/ Tính AB . AC
b/ Tính BC
c/ Tính độ dài trung tuyến AM
→
→
d/ Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi 2 IA IB = ⃗0 ;
→
→
2 JC = ⃗0 . Tính IJ
44. Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4)
JB
a/ CMR ABC vuông tại A
→
→
b/ Tính BA . BC
c/ Tính cosB
45. Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5)
a/ CMR ABC vuoâng.
→
→
b/ Tính AB . AC
c/ Tính cosA
46. Cho a⃗ = (4; 3) , ⃗b = (1; 7)
a/ Tính ⃗a . ⃗b
b/ Tính góc giữa 2 vectơ a⃗ và ⃗b
47. Cho ABC coù AB = 2 ; BC= 4 ; AC = 3
−− →
−− →
a) Tính AB . AC vâ suy ra cosA ?
−− →
−→
b) Gọi G là trọng tâm . Tính AG . BC ?
3
1
ÑS: a) - 2 ; - 4
5
b) 3
48. Cho ABC coù AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o
−− →
−− →
a) Tính AB . AC và suy ra độ dài BC ?
b) Tính độ dài trung tuyến AM ?
ĐS: a) BC = √ 19
b) √ 7 /2
49. Cho ABC coù AC 2 ; BC= 4 ; AB= 3 ; có AD là phân giác trong
−− →
−− →
−− →
a) Tính AD theo AB ; AC
−− →
3
ĐS: a) AD = 5
−− →
AB
b) Tính AD ?
2
+ 5
−− →
AC
3
;- 2
3
b) 5
--------------------------HK2------------------------------------------------
√6
→
→
AB . AI ,
A. ĐỊNH LÝ COSIN
1. Cho ABC. Biết
A = 60o . Tính BC
a/ AB = 5 ; AC = 8 ; ^
A = 120o .
b/ AB = 6 ; AC = 8 ; ^
Tính BC
A = 45o. Tính BC
c/ AB = 4 ; AC = 2 √ 2 ; ^
A = 30o .
d/ AB = √ 3 ; AC = 2 ; ^
Tính BC
^ = 30o. Tính AC
e/ AB = 2 √ 3 ; BC = 4 ; B
^ = 120o .
f/ AB = 6 ; BC = 10 ; B
Tính AC
A = 60o .
g/ AB = 8 ; BC = 13 ; ^
Tính AC
^ = 60o.Tính AC
h/ AB = √ 3 ; BC = √ 2 ; C
A = 60o ; AC = 8 ; BC = 7 . Tính AB
i/ ^
^ = 120o ; BC = 10 ; AC = 14 .
j/ B
Tính AB
2. Cho ABC. Biết :
A
a/ AB = 3 ; BC = 7 ; AC = 8. Tính ^
A
b/ AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 14. Tính ^
^
c/ AB = 5 ; BC = 8 ; AC = 7. Tính B
^
d/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14. Tính B
^ ; C
^
A ; B
e/ BC = 2 ; AC = √ 6 ; AB = √ 3 + 1. Tính ^
^ ; C
^
A ; B
f/ BC = 2 √ 3 ; AC = 3 √ 2 ; AB = 3 + √ 3 . Tính ^
^ ; C
^
A ; B
g/ BC = 6 ; AC = 2 √ 6 ; AB = 3 √ 2 √ 6 . Tính ^
^ ; C
^
A ; B
h/ BC = 2 √ 3 ; AC = 2 √ 2 ; AB = √ 6 √ 2 . Tính ^
^ là góc nhọn
i/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15. Chứng minh B
B. ĐỊNH LÝ SIN
1. Cho ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
A = 45o ; BC = 4 √ 2
a/ ^
A = 120o ; AB = 6 ; AC = 10
b/ ^
c/
^
A
= 60o ; AB = 3 ; AC = 8
d/ AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7
e/ AB = 5 ; AC = 2 √ 3 ; BC = √ 7
2. Cho ABC. Bieát
^
a/ AC = 3 ; R = √ 3 . Tính B
A
b/ BC = 2 ; R = √ 2 . Tính ^
^ = 60o ; R = √ 21 . Tính BC
c/ A
3
A =
d/ Cos ^
5
; R = 10 . Tính BC
^ = 45o ; BC = √ 3 . Tính AC
A = 60o ; B
e/ ^
C. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
1. Tính diện tích ABC. Biết :
A = 60o ; AB = 6 ; AC = 8
a/ ^
^ = 45o ; AB = 2 √ 2 ; BC = 5
b/ B
^ = 30o ; AC = 7 ; BC = 8
c/ C
A = 60o ; AC = 2 √ 3 + 1 ; AB = 2 √ 3 1
d/ ^
3
A =
e/ Cos ^
5
; AC = 7 ; AB = 5
f/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15
g/ AB = 7 ; AC = 6 ; BC = 5
h/ AB = 3 ; AC = 7 ; BC = 8
i/ AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 14
^ = 45o
^ = 60o ; C
j/ BC = 6 ; B
2. Cho ABC. Tính độ dài các đường cao, biết :
a/ AB = 5 ; BC = 7 ; CA = 8.
b/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14.
A = 60o.
c/ AB = 3 ; AC = 8 ; ^
A = 120o.
d/ AB = 6 ; AC = 10 ; ^
e/ AC = 4 ; AB = 2 ; S = 2 √ 3
^ = 30o.
f/ BC = √ 3 ; AC = 1 ; B
3. Cho ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R
a/ AB = 3 ; AC = 7 ; BC = 8
b/ AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 4
A = 60o
c/ AB = 3 ; AC = 8 ; ^
A = 120o
d/ AB = 6 ; AC = 10 ; ^
A = 60o
e/ AB = 16 ; AC = 10 ; ^
4. Cho ABC. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r.
a/ AB = 8 ; BC = 9 ; CA = 7
b/ AB = 5 ; AC = 6 ; BC = 7
A = 60o
c/ AB = 5 ; AC = 8 ; ^
^ = 45o
^ = 60o ; C
d/ BC = 6 ; B
e/ AB = 3 ; AC = 4 ; BC = 2
D. ĐỊNH LÝ TRUNG TUYẾN
* Cho ABC. Tính độ dài các trung tuyến
a/ AB = 5 ; AC = 6 ; BC = 8
b/ AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 4
c/ AB = 8 ; AC = 9 ; BC = 10
d/ BC = 4 ; AC = 2 √ 7 ; AB = 2
e/ AB = 3 ; AC = 4 ; S = 3 √ 3
E. PHÂN GIÁC TRONG
* Cho ABC. Tính độ dài đường phân giác trong AD
A = 60o
a/ AB = 6 ; AC = 8 ; ^
A = 60o
b/ AB = 4 ; AC = 8 ; ^
c/ AB = 3 ; AC = 8 ; BC = 7
d/ AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7
e/ AB = 10 ; AC = 16 ; BC = 14
F. TOÁN TỔNG HP
A = 60o.
1. Cho ABC coù AB = 5, AC = 8, ^
Tính S, BC, AH, R, r, trung tuyến AM
2. Cho ABC coù AB = 13, BC = 14, AC = 15.
Tính S, AH, R, r, trung tuyến AM
A = 60o.
3. Cho ABC coù AB = 3, AC = 8, ^
Tính S, BC, AH, R, r, trung tuyến BN
4. Cho ABC coù AB = 5, AC = 8, BC = 7.
A , S, AH, R, r, trung tuyeán CK
Tính ^
A = 60o.
5. Cho ABC có AB = 10, AC = 16, ^
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến AM
6. Cho ABC có AB = 13, AC = 8, BC = 7
A , S, AH, R, r, trung tuyến AM
Tính ^
A = 120o.
7. Cho ABC có AB = 6, AC = 10, ^
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến BN
8. Cho ABC có AB = 10, AC = 16, BC = 14.
A , S, AH, R, r, trung tuyến BN và phân giác AD
Tính ^
HỆ THỨC LƯNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN
A. PHƯƠNG TÍCH :
1. Cho đường tròn (O, R) và 1 điểm M. Tính PM/(O) , bieát :
a/ OM = R √ 2
b/ OM = √ 5 ; R = √ 3
2
c/ OM = 3
;R=
4
3
d/ OM = R
e/ OM =
3R
2
2. Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M. Tính OM biết :
a/ PM/(O) = 3R2
b/ PM/(O) =
R
4
2
c/ PM/(O) = 0
d/ PM/(O) = R2
e/ PM/(O) = 5R2
3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trực tâm H.
a/ Tính PB/(AC)
b/ Tính PH/(AC)
4. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 3, AC = 4 và đường cao AH.
a/ Tìm PH/(AB)
b/ Tìm PH/(BC)
c/ Tìm PB/(AC)
5. Trong đường tròn (O) cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau ôû I.
a/ Bieát IA = 3, IB = 4, CD = 8. Tính IC, ID.
IC
b/ Biết IA = 12, IB = 18, ID
=
3
8 . Tính CD.
c/ Biết IA = 12, IB = 16, CD = 32. Tính IC, ID.
d/ Biết IA = 8, IB = 24, CD =
91
3 . Tính IC, ID.
e/ Bieát PI/(O) = 28 , AB = 3. Tính IA, IB
6. Cho đường tròn (O) và 1 điểm I ở ngoài (O). Kẻ 2 cát tuyến IAB và ICD.
a/ Bieát IA = 12, IB = 6, CD = 1. Tính IC, ID.
b/ Biết IA = 5, IB = 6, CD = 13. Tính IC, ID.
IC
c/ Biết IA = 3, IB = 8, ID
2
= 3 . Tính CD.
d/ Biết IA = 4, AB = 5, CD = 35. Tính IC, ID.
e/ Bieát PI/(O) = 28 , CD = 3. Tính IC, ID.
7. Cho đường tròn (O) và 1 điểm I ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến IAB và tiếp tuyến IT.
a/ Biết IA = 4, IB = 9. Tính IT
b/ Biết R = 5, IO = 13. Tính IT
c/ Biết IT = √ 3 , AB = 2. Tính IA, IB
d/ Biết PI/(O) = 49. Tính IT
B. TỨ GIÁC NỘI TIẾP & TIẾP TUYẾN
1. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Gọi (O) là đường tròn đường kính AB; d là đường
thẳng qua C và vuông góc với BC. Gọi M, N là 2 điểm tùy ý trên (O) và AM, AN lần
lượt cắt d tại M’, N’. CMR : M, M’, N, N’ cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A & B. Gọi M là điểm tùy ý trên AB (nằm
ngoài đoạn AB). Vẽ tiếp tuyến MT với (O) và cát tuyến MCD với (O’).
CMR : MT tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp TCD tại T
3. Cho đường tròn (O), R = 5 và 1 điểm I sao cho OI = 9.
a/ Tính PI/(O)
b/ Vẽ cát tuyến IAB, biết IA = 7, Tính IB.
c/ Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M. Vẽ MH IO. CMR : M, B, O, H, A
nằm trên đường tròn . Tính IH.
d/ MH cắt AB tại N; K là trung điểm AB.
CMR : IA . IB = IK . IN
4. Cho đường tròn (O), đường kính BC. Trên (O) lấy điểm A sao cho AB = R.
a/ Tính AC theo R
b/ Trong ABC kẻ đường cao AH. CMR : AB tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp AHC.
c/ Gọi K là trung điểm AC và BK cắt đường tròn (O) tại E. Tính PK/(O) và độ dài KE.
