UBND THàNH PHố Huế
PHòNG Giáo dục và đào tạo
Đề chính thøc
kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè
líp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
2
1. x 7 x 6
4
2
2. x 2008 x 2007 x 2008
Bµi 2: (2điểm)
Giải phơng trình:
1.
x 2 3x 2 x 1 0
2
2
2
1
1
1
1
2
8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4
x
x
x
x
2.
Bài 3: (2điểm)
1. Căn bËc hai cđa 64 cã thĨ viÕt díi d¹ng nh sau: 64 6 4
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng
dới dạng nh trên và là một số nguyên? HÃy chỉ ra toàn bộ các số đó.
2. T×m sè d trong phÐp chia cđa biĨu thøc
2
thøc x 10 x 21 .
x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy
®iĨm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
GB
HD
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: BC AH HC .
Hết
UBND THàNH PHố Huế
PHòNG Giáo dục và đào tạo
kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố
lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
1.
Câu
1.1
Nội dung
Điểm
2,0
(0,75 điểm)
x 2 7 x 6 x 2 x 6 x 6 x x 1 6 x 1
0.5
0,5
x 1 x 6
1.2
(1,25 ®iÓm)
x 4 2008 x 2 2007 x 2008 x 4 x 2 2007 x 2 2007 x 2007 1
0,25
2
x 4 x 2 1 2007 x 2 x 1 x 2 1 x 2 2007 x 2 x 1
x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008
2
2
2
2
2.
2.1
x 2 3 x 2 x 1 0
0,25
2
0,25
2,0
(1)
2
x 1 0 x 1
+ NÕu x 1 : (1)
(tháa m·n ®iỊu kiƯn x 1 ).
x 2 4 x 3 0 x 2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0
+ NÕu x 1 : (1)
x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất lµ x 1 .
2.2
2
2
0,5
0,5
2
1
1
1
1
2
8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4
x
x
x
x
(2)
x
0
Điều kiện để phơng tr×nh cã nghiƯm:
(2)
2
1
1
1
8 x 4 x2 2 x2 2
x
x
x
2
1
x
x
2
2
x 4
1
1
2
2
8 x 8 x 2 2 x 4 x 4 16
x
x
x 0 hay x 8 vµ x 0 .
Vậy phơng trình đà cho có một nghiệm x 8
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Gọi số cần tìm là ab 10a b (a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết: 10a b a b là số nguyên, nên ab và b là các số chính
phơng, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
10a b a b 10a b a 2 2a b b 2a 5
Ta cã:
2 5 b a
(vì a 0 )
Do đó a phải là số chẵn: a 2k , nên 5 b k
b a 2
NÕu b 1 a 8 81 8 1 9 (thỏa điều kiện bài toán)
Nếu b 4 a 6 64 6 4 8 (thỏa điều kiện bài toán)
3.2
Nếu b 9 a 4 49 4 9 7 (tháa ®iỊu kiƯn bài toán)
Ta có:
P ( x ) x 2 x 4 x 6 x 8 2008
0,5
0,5
x 2 10 x 16 x 2 10 x 24 2008
2
Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại:
P ( x ) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993
2
Do ®ã khi chia t 2t 1993 cho t ta cã số d là 1993
4
0,5
0,5
4,0
4.1
+ Hai tam giác ADC và BEC
có:
Góc C chung.
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
4.2
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
0
Suy ra: BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
0
Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
BE AB 2 m 2
BM 1 BE 1 AD
Ta cã: BC 2 BC 2 AC (do BEC ADC )
mµ AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
AB 2 BE (do ABH CBA )
nªn BC 2 AC 2 AC
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
4.3
0
0
Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135 AHM 45
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
GB AB
AB ED
AH
HD
ABC DEC ED // AH
HC
HC
Suy ra: GC AC , mµ AC DC
GB HD
GB
HD
GB
HD
GB GC HD HC
BC AH HC
Do ®ã: GC HC
0,5
0,5
