chuyeân ñeà nguyôn huy du chuyeân ñeà 6 phöông trình vaø baát pt coù chöùa logarít toùm taét giaùo khoa i kieán thöùc cô baûn veà haøm soá loâgarít 1 ñònh nghóa vôùi a 0 a 1 vaø n 0 ñieàu kieän

Chuyên đề 6 :

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PT CÓ CHỨA LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghóa:

Với a > 0 , a 1 và N > 0
dn

log a N M

Điều kiện có nghóa:

log a N



aM N

có nghóa khi

2. Các tính chất :






log a 1 0

log a a 1
log a aM M
alog a N N
log a (N1 .N 2 ) log a N1  log a N 2
log a (



N1
) log a N1  log a N 2
N2


 log a N  . log a N
3. Công thức đổi cơ số :



Đặc biệt :

log a N 2 2. log a N

log a N log a b. log b N
log b N 


* Hệ quả:
log a b 


log a N
log a b

1
log b a

* Coâng thức đặc biệt:

log

và
a

logb c

ak

=c

1
N  log a N
k
logb a

Dạng y log a x ( a > 0 , a  1 )

Tập xác định : D R
T R
Tập giá trị
Tính đơn điệu:


*a>1
: y log a x đồng biến trên R

4. Hàm số logarít:




¿
a> 0
a ≠1
N >0
¿{ {
¿



* 0 < a < 1 : y log a x nghịch biến trên R
Đồ thị của hàm số lôgarít:



y

y

y=logax
x

1

O

y=logax
x

1

O

a>1

Minh họa:
3.5

y

0
y

f(x)=ln(x)/ln(2)

y

3

3.5

y

f(x)=ln(x)/ln(1/2)

3

2.5
2.5

y=log2x

2

y log 1 x

2

1.5
1.5

2

1
1

x

0.5

0.5

x

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

O

-0.5

1

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

4.5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

O

-1
-1.5

0.5
-0.5

1

1.5

1

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

-1
-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
-3

-3

-3.5

-3.5

1. Định lý 1: Với 0 < a 1 thì :

aM = aN

2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì :

aM < aN  M > N (nghịch biến)

3. Định lý 3: Với a > 1 thì :

aM < aN  M < N (đồng biến )

4. Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì :

 M=N

loga M = loga N  M = N

5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì :

loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6. Định lý 6: Với a > 1 thì :

loga M < loga N  M < N (đồng biến)

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ baûn : log a M log a N
1. log5 x log5  x  6   log5  x  2  2. log5 x  log25 x log 0,2 3
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

1/.

log 3 x  log x 9 3

2)

log 22 x  3.log 2 x  2 0


3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log 2 x  2. log 7 x 2  log 2 x. log 7 x

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0  (a;b) sao cho
f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
2
Ví dụ : Giải các phương trình sau : log 2 (x  x  6)  x log 2 (x  2)  4

Bài 1: Giải các phương trình:
1/.

log 3 x  log x 9 3

3/.

log 22 x  3.log 2 x  2 0

5/.

4/.

x.log5 3  log5 3x  2 log5 3x1  4







log3 x 2  x  5 log3  2 x  5



7/.
9/.

2/.

log32 x

3

11/.
13/.
15/.

17/.
19/.
21/.



x

log3 x

6

log 22 x  3.log 2 x  2 log 2 x 2  2

3.log3  x  2  2.log 2  x  1
log 2  4 x   log
2

 2 x  5
2

log

2

x2

8 2







log3 x

4

8/.

log32 x  ( x  12) log3 x  11  x 0

6





log 2 x  4 log 2 2  x  4

12/.
14/.

log 2 x.log 3 x  x.log 3 x  3 log 2 x  3log3 x  x

20/.

x

log3 4

x 2 .2

 7.x

log3 2
1
3

log 2 x.log3 x  3 3.log3 x  log 2 x

log3 2 x  2  log 3 2 x  1 log3 2 x2  6



log 2 x

25/.

log3 x

log 3  log 27 x   log 27  log3 x  

 

log 3

x

10/.

22/. 6.9
2
23/. log 2 x  log 2 x.log 2  x  1  2 3.log 2 x  2.log 2  x  1
log x

log3 2

6/.

 log 2 8 x 2 8

24/. 3 2  x 2 18
Bài 2 : Giải các bất phương trình:
1/. log 4  log 2 x   log 2  log 4 x  2



3

18/.
x  7 1





log3 x  9 x   log x  3 x  1

16/.

log 3 x  2 4  log 3 x
2.log 24 x log 2 x.log 2



log 2 2 x  1 .log 4 2 x1  2 1





 6.x 2 13.x



log2 6

x.log 22 x  2( x  1).log 2 x  4 0

2/.

log 2 x  3 log 2 x  1





3/.
5/.

log 2 x 2  3x  2 log 2  x  14 





4/.

log 2 4 x  2 x  1  x





log
6/. 

log 2 x  1 3  log 2 x

7/.

log 2 x 2  6 x  5



log 2  2  x 

9/.
11/.

8/.

 2


log 2  log 1 x  log

2


1
2


x  3  1



 x
log 2 x    log 2 x 2 1
8

13/.
Bài 3 : Giải các hệ phương trình
1/.
4/.

 x  y 6

log 3
log 2 x  log 2 y 2 2

7/.

log x  2
3
 y
 x 9

10/.

2

2
2

x  2 log 2 x  3

log 1 x
2  2.x 2 3

log2 x

10/.
12/.

log 2 x.log 3 x  2 log3 x  log 2 x 2

14/.

3

log32 x

x

2/.

log x 2  y 2  6 4
2

log3 x  log 3 y 1

5/.

 x 2  y 2 3

log 3  x  y   log 5  x  y  1

8/.

 xlog 2 y  y log 2 x 16

log 2 x  log 2 y 2

3

3.xlog 2 y  2. y log 2 x 10

log 4 x 2  log 2 y 2

11/.

x 2  5 x  4 0



log 22 x  log 2 x  2
0
x
log 2
2



 x  y 6

log 2 x  log 2 y 3

log 2 y

log 22  2 x   log 2 x3 1

log3 x



6

3/.

log x y  log y x 2

 x  y 6

6/.

 x  log 2 y 4

 2 x  log 2 y 2

9/.

log x  2 x  y  2  2

log y  2 y  x  2  2


 xy 32
log x 4

 y

12/.

log 2  xy  4



 x
log 2 y 2



PHƯƠNG TRìNH Và BấT PHƯƠNG TRìNH LOgrIT

1. log5 x log5  x  6   log5  x  2 
2. log5 x  log25 x log 0,2 3
3.





logx 2x 2  5x  4 2

x 3
lg(x  2x  3)  lg
0
x 1
4.
1
.lg(5x  4)  lg x  1 2  lg 0,18
2
5.
1
2


1
4

lg
x
2

lg
x
6.
2

7. log2 x  10 log2 x  6 0



log3  log 1 x  0



2 
32.
4x  6
log 1
0
x
3

34. log2  x  3  1  log 2  x  1

33.

x 2  4x  3

log3 2
0
x

x

5
log
3x

4.log
5

1
x
36. 5
37.
log 1 x  log3 x  1
log 2x x 2  5x  6  1

38.
40.

2

log3x x2  3  x   1



39.

log

41.



 2 5

 x  x  1  0
2


x2 1
3x


x  1  log

log

x 1

log x 6  log2
 0
2

x

2


3
42.
43. log2 x  log2 x 0
1
log x 2.log x 2 
log2 x  6
16

x  3 1

0,04
0,2
8.
9. 3logx 16  4 log16 x 2 log2 x

10.

log x2 16  log 2x 64 3

44.

3
11. lg(lg x)  lg(lg x  2) 0

2

45. log3 x  4 log3 x  9 2 log3 x  3

1


log3  log 9 x   9 x  2x
2


12.

13.
14.
15.
16.





x



log2 4.3  6  log2 9  6 1







1
8



log2 4 x1  4 .log 2 4 x  1 log 1
2



x

lg 6.5  25.20



2  lg2  1  lg 5

x

47. 6
49.

 x  lg25
x

 

1 x

 1 lg 5

5





17.
lg x
lg5
18. 5 50  x
18. x  1

lg 2 x  lg x 2

x  1

3

2

log x
log x
19. 3 3  x 3 162





x  lg x 2  x  6 4  lg  x  2 

21. log3  x  1  log5  2x  1 2
x  2  log32  x  1  4  x  1 log3  x  1  16 0

22.

23. 2
24.
25.
26.
27.
28.



2
3

x  lg 4  5x x lg2  lg3

20.



46.



x

log21 x  4 log 2 x  2 4  log16 x 4

log5  x 3 

x





log8 x 2  4x  3 1
2
2 log8 (x  2)  log 1 (x  3) 
3
8





log 1  log 4 x 2  5   0


3





log 1 x 2  6x  8  2log5  x  4   0
5

log 1 x 
3

5
log x 3
2

log26 x

 x log6 x 12





x

x 2 log2 2x  log2 x 

48.



log 2 2  1 .log 1 2

x 1

1
x



 2 2

2





2



log5 x 2  4x  11  log11 x 2  4x  11
2  5x  3x 2

50.



3

0

1  log 32 x
1
2
1

1
1

log
x
5

log
x
1

log
x
3
5
5
51.
52.
1
logx 100  log100 x  0
2 log 5 x − log x 125<1
2
53.
54.

55.
56.

log 1 ( x −1 ) + log 1 ( 2 x+ 2 )+ log √ 3 ( 4 − x ) <0
3

2

3

( log2 x )

2

+x

 4 57.

log2 x

log5  x 2  4 x  12   log 5  x 2  1  1

58.
59.
60.
61.
62.
63.

1

lg ( x 2 − 3 ) > lg ( x 2 − 2 x +1 )
2
2
log 4 x +log 8 ( x − 1 )3  1
2

2

√ log ( 3 x + 4 x+ 2 ) +1>log ( 3 x + 4 x+ 2 )
9

3

log x− 1 ( x +1 ) >log x − 1 ( x +1 )
2

2

2 x − log 3 8+ x log 3 ( 2 x ) −log 3 x 3 ≥ x 2 −3+ x log 3 ( 4 x2 )
5+ x
lg
1+log
2000
<
2
5
−x
|
|
64.

x
<0
x
2 − 3 x +1