ON THI HOC KY I TOAN 8 1011

ÔN TẬP HỌC KỲ I TOÁN 8 (2009-2010)

 ĐẠI SỐ
Bài 1 : Rút gọn biểu thức
1/ ( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 )
2/ (x-1)(x3+x2+x+1)
3/ (2x+1)2+2(4x2-1)+(2x-1)2
4/ (x2+xy+y2)(x-y) + (x2-xy+y2)(x+y)
5/ ( 3x – 1)2 + 2(3x – 1)(2x + 1) + (2x +
1)2

6/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3)2
7/ ( x – 1 ) ( x + 1 ) – ( x – 1 )2
8/ ( 2x + 1 )2 + ( 3x – 1 )2 + 2( ( 2x + 1 )
( 3x – 1 )
9/ (x2–1)(x+2) – (x–2)(x2+2x+4)
10/(x2+1)(x–3) – (x–3)(x2+3x+9)
Giải
2/ (x-1)(x3+x2+x+1)
= x4+x3+x2+x– x3–x2–x–1
= x4–1

1/ ( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 )
= x2 – 22 – (x2+x–3x–3)
= x2 – 4 – x2 –x +3x +3
= 2x –1
3/ (2x+1)2+2 (4x2-1)+(2x-1)2
4/ (x2+xy+y2)(x-y) + (x2-xy+y2)(x+y)
= (2x+1)2+2 (2x-1)(2x+1) +(2x-1)2
=
x3 –y3

+ x3+y3
= [(2x+1) + (2x –1)]2
=
2x3
= (2x+1+2x –1)2
= (4x)2 = 16x2
5/ ( 3x – 1)2 + 2(3x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2 6/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3)2
= [(3x – 1) + (2x + 1) ]2
= (x–3)[(x+3)–(x–3)]
2
= (3x – 1 +2x +1)
= (x–3)[x+3 –x+3]
2
2
= (5x) = 25x
= 6(x–3)
2
7/( x – 1) ( x + 1 ) – ( x – 1 )
8/ (2x +1)2 + (3x –1 )2 +2( (2x +1 ) (3x – 1 )
= ( x – 1) [(x+1)– ( x – 1 )]
=[(2x +1)+(3x – 1 )]2
= ( x – 1) [x+1–x+1]
= (2x+1+3x–1)2
= (x – 1) .
2 = 2(x-1)
= (5x)2 = 25x2
9/ (x2-1)(x+2) – (x-2)(x2+2x+4)
10/ (x2+1)(x–3) – (x–3)(x2+3x+9)
= x3+2x2–x–2 –(x3–23)
= x3–3x2+x–3 – (x3–33)

=x3+2x2–x–2 –x3+8
= x3–3x2+x –3 – x3+27
=2x2–x+8
= – 3x2+x+24
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2
1/ x -y -5x+5y
11/ 3x2–6xy+3y2–12z2
2) 5x–5y+ax–ay
12/ 5x2 ( x – 2y ) – 15x ( 2y – x )
3) x3–2x2+x–xy2
13/ x3 – 2x2 + x – xy2
4/ y2(x – 1) – 7y3 + 7xy3
14/ 2x + 2y – x( x + y )
3
2
5/ x – 3x +3x - 1
15/ x2 – 16 + y2 + 2xy
6/ 3x2 –3xy – 5x + 5y
16/ x3+ 3x2 + x +3
7/ 2x – y2 + x2 + 1
17/ x2 – 49 + y2 -2xy
8/ x3-2x2 + x
18/ (x3+x2+x+1)
9/ x2 - y2 + 8x - 8y
19/ x2+5x+6
10/ 5x2 + 5xy – x – y
20/3x2 -8x +4

21/ x2 – 3x + 2
2

2

22/ 3x2 – 7x – 10
2

2)

1/ x -y -5x+5y =(x – y – (5x – 5y)
= (x – y)(x+y) – 5(x – y)
= (x – y)(x+y – 5)
3) x3–2x2+x–xy2 =x[(x2 – 2x+1)– y2]
=x[(x – 1)2 – y2]
=x (x – 1 – y)(x – 1+y)

5/ x3 – 3x2 +3x – 1 = (x – 1)3

7/ 2x – y2 + x2 + 1= (x2 +2x + 1) – y2
=(x+1)2 – y2 = (x+1+y)(x+1–y)
9/ x2 - y2 + 8x - 8y = (x2 - y2) +( 8x - 8y)
= (x+y) (x–y)+8(x–y)= (x–y)(x+y+8)
11/3x2–6xy+3y2–12z2=3[(x2–2xy+y2)–4z2]
=3[(x–y)2–(2z)2]=3(x–y–2z)(x–y+2z)
13/ x3 – 2x2 + x – xy2 =x[(x2 – 2x +1)– y2 ]
=x[(x – 1)2– y2 ]=x(x–1–y)(x–1+y)
15/ x2 – 16 + y2 + 2xy=(x2 + y2 + 2xy)– 16
=(x+y)2– 42= (x+y– 4)(x+y+4)
17/ x2 – 49 + y2 -2xy =(x2-2xy+ y2 )– 49

= (x–y2) – 72=(x–y–7)(x–y+7)
19/ x2+5x+6 = (x2 +2x)+(3x+6)
=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)

Giải
2) 5x–5y+ax–ay =(5x – 5y)+(ax – ay)
=5(x – y)+a(x – y)= (x – y)(5+a)
4/ y2(x – 1) – 7y3 + 7xy3
= y2(x – 1) – (7y3 – 7xy3)
= y2(x – 1) – 7y3(1 – x)
= y2(x – 1) + 7y3(x – 1)
= (x – 1) (y2+7y3)
= y2 (x – 1) (1+7y)
6/ 3x2 –3xy – 5x + 5y
= (3x2 –3xy) – (5x –5y)
=3x(x –y) –5
=(x –y)(3x –5)
8/ x3-2x2 + x =x(x2 –2x+1)
=x(x–1)2
10/ 5x2 + 5xy – x – y = (5x2 + 5xy )–(x + y)
= 5x(x + y )–(x + y) = (x+y)(5x–1)
12/ 5x2 ( x – 2y ) – 15x ( 2y – x )
=5x2 ( x – 2y ) +15x ( x – 2y )
= ( x – 2y )(5x2+15x)= 5x ( x – 2y )(x+3)
14/ 2x + 2y – x( x + y) = (2x +2y) – x(x + y)
=2(x +y) – x (x + y)=(x + y)(2–x)
16/ x3+ 3x2 + x +3 = (x3+ 3x2 )+( x +3)
=x2 (x+ 3)+( x +3)=( x +3)(x2+1)
18/ (x3+x2+x+1) = (x3+x2)+(x+1)
= x2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x2+1)

= (x+1)(x2+1)
20/ 3x2 –8x +4 = 3x2–6x–2x+4
=(3x2–6x)–(2x–4)= 3x(x–2)–2(x–2)
(x –2)(3x–2)

21/ x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x+ 2
22/ 3x2 – 7x +10 = 3x2 – 10x +3x – 10
= ( x2 – x) – ( 2x –2) = x( x – 1) – 2( x –1)
= (3x2 –10x) +(3x–10)=x(3x–10) +(3x –10)
= ( x–1)(x–2)
= (3x –10) (x+1)
BÀI 3 : Rút gọn phân thức ,rồi tính giá trị
x3  2 x 2  x
x2  1
1/Cho phân thức M=

Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức M tại x = 3
14 xy 5 (2 x  3 y )
2
2/Cho phân thức B = 21x y (3 y  2 x )

Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức B tại x =

1
3 , y=2


x2  y2
2
2

3/ Cho phân thức Q = x  y  xz  yz

Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức Q tại x = 2; y=3; z=4
2

25 x −1
15 x+3

4/Cho phân thức A =

Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức A tại x = 2
5/ Cho phân thức P =

x 3 + x 2+ x+1
3 x 2 +6 x +3

1

Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức P tại x = 2
3

6/ Cho phân thức D =

2

x −3 x +3 x −1
x2 y − xy − x +1

Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức D tại

1

x= – 4 , y= 2

CÁCH RÚT GỌN: Trước tiên phân tích tử và mẫu thành nhân tử sau đó đơn giản
nhân tử chung
Giải
x3  2 x 2  x
x ( x 2 +2 x +1)
x 2  1 = ( x −1)( x+ 1)
1/ M=
x+ 1¿2
x ( x +1)
= x¿¿ =
x −1
¿
12
3 (3+1)
Khi x=3 thì M =
= 2 =6
3−1

14 xy 5 (2 x  3 y )
2
2/ B = 21x y (3 y  2 x )
4
− 7 .2 xy y (3 y −2 x)
7 . 3 x . xy (3 y − 2 x )
4
−2y

=
3x

Khi x =
x2  y2
2
2
3/Q = x  y  xz  yz =
( x + y)( x − y )
( x+ y)(x − y )+ z ( x − y )
( x+ y)(x − y )
= ( x − y)(x + y − z ) =

( x+ y)
(x+ y − z)
2+3
Khi x = 2; y=3; z=4 Thì Q = 2+3 − 4 =5

4/ A =
5 x −1
3

=

− 2. 24
=
3.1
3
(5 x+1)(5 x − 1)
=

=
3(5 x +1)

1
, y=2 Thì B=
3
2

25 x −1
15 x+3

Tại x = 2 Thì A =

5 . 2− 1
3

9

= 3 =3

–32


3
2
( x 3+ x2 )+(x +1)
x + x + x+1
/P=
=
3 x 2 +6 x +3

3(x 2+ 2 x +1)
2
2
x +1 ¿
x+1 ¿
3¿
3¿
=
=
2
2
x (x +1)+(x+ 1)
( x+ 1)( x +1)
¿
¿
2
(x +1)
=
3 (x+1)
1
1 2
+1
+1
1
4
2
Khi x = 2 thì P=
= 3
=
1

+3
3 ( +1)
2
2
1 4
+
4 4
3 3.2
+
2 2
5
4
5 2
10
5
= 9 = 4 . 9 = 36 = 18
2

()

1/
2/
3)

6x
5x
x
+
+
2

x
−3
x+3
x −9
x 2+2
2
1
+ 2
−
3
x −1 x + x+1 x −1
x
x
4 xy
+
+ 2 2
x −2 y x+ 2 y 4 y − x

6/ D =
=

x 3 −3 x 2+3 x −1
x2 y − xy − x +1
x −1 ¿
¿
¿
¿

3

=

1

Khi x= – 4 , y= 2

− 25
3

x −1 ¿
¿
¿
¿

=
3

x −1 ¿3
¿
¿
¿

2

x −1 ¿
¿
=
¿
¿
2

− 4 −1 ¿
¿
thì D=
¿
¿
2
−5 ¿
25
= ¿¿ = − 3 =
¿

Bài 4: Thực hiện phép tính:
4)
5/
6/

x
x
−
5 x +5 10 x −10
7
x
54
−
− 2
x x +6 x +6 x
x +1 1 − x 2 x (1− x)
−
+ 2
x −3 x+ 3

x −9

Qui tắc : Muốn cộng (Trừ) các phân thức trước tiên phải qui đồng mẫu thức các phân thức ,
sau đó cộng các phân thức đã qui đồng ( Tử cộng tử ,giữ nguyên mẫu chung ) ,sau đó rút gọn
kết quả (nếu được )
Giải
6x
5x
x
6x
5x
x
+
+
+
+
=
2
( x − 3)( x −3) x −3 x +3
x −9 x −3 x+3
5 x ( x+3)
x (x −3)
6x
+
+
( x − 3)( x+3) (x − 3)( x +3) ( x+3)(x −3)
6 x +5 x ( x+ 3)+ x (x −3)
6 x (x+ 3)
6 x +5 x 2+15 x + x 2 − 3 x
6 x 2 +18 x

=
=
=
=
=
( x −3)(x +3)
( x − 3)( x+3)
( x −3)(x +3)
( x − 3)( x+3)
6x
x −3
2
x +2
2
1
x 2+2
2
1
+ 2
−
+
−
2/
=
2
3
2
x
−1
x

−1
( x − 1)(x + x+ 1) x + x+ 1
x −1 x + x+1
2(x − 1)
1 .( x 2+ x+1)
x 2 +2
+
−
=
( x − 1)(x 2 + x+ 1) (x 2+ x +1)(x − 1) ( x −1)( x 2 + x+1)
x 2 +2( x − 1) −(x 2+ x +1)
=
(x −1)( x2 + x +1)
2
2
x +2 x −2 − x − x − 1
=
2
(x − 1)( x + x +1)

1/

=


=

x

x

4 xy

x −3
( x − 1)(x 2 + x+ 1)

x

x

=

x −3
x 3 −1

4 xy

3/ x −2 y + x+ 2 y + 2 2 = x −2 y + x+ 2 y − (x − 2 y )( x +2 y)
4 y −x
x ( x+2 y )

x(x− 2 y)

4 xy

= ( x − 2 y )( x +2 y) + ( x+ 2 y )( x − 2 y ) − ( x −2 y )( x+2 y )
x ( x +2 y)+ x ( x − 2 y) − 4 xy
(x − 2 y )(x +2 y)
2
x +2 xy + x 2 − 2 xy − 4 xy

=
( x −2 y )(x+ 2 y )
2
2 x (x − 2 y )
2x
2 x − 4 xy
=
= ( x − 2 y )( x +2 y) = x +2 y
( x − 2 y )( x +2 y)
x
x
x
x
−
−
=
5 x +5 10 x −10
5 ( x+1) 10( x − 1)
x .2( x −1)
x (x +1)
2 x ( x − 1) − x (x +1)
= 5 (x+1).2( x −1) − 10(x −1)(x+ 1) = 10(x +1)(x −1)
2 x2 − 2 x − x2 − x
x2 − 3 x
=
=
10(x +1)( x −1)
10(x +1)( x −1)

=

4)

7
x
54
7(x +6)
x .x
54
7 ( x+ 6)− x2 −54
−
−
5/
= x x +6 x(x +6) = x (x +6) − (x+ 6) . x − x ( x +6) =
x (x +6)
2
2
7 x + 42− x −54
7 x −12 − x
=
=
x( x+6)
x( x+6)
2
x
(1−
x)
2 x (1 − x )
x +1 1 − x
x +1 1 − x

6/ x −3 − x+ 3 + 2
= x −3 − x+ 3 + (x − 3)(x +3)
x −9
( x+1)(x +3) (1− x)( x −3) 2 x (1− x)
(x+ 1)(x +3)−(1 − x )( x −3)+2 x (1− x)
= ( x − 3)( x+3) − ( x +3)( x − 3) + ( x −3)( x +3)
=
(x −3)(x +3)
2
2
2
x +3 x+ x +3 −( x − 3 − x +3 x )+ 2 x −2 x
=
(x −3)(x +3)
2
x +3 x+ x +3 − x +3+ x 2 −3 x+ 2 x − 2 x 2
=
( x −3)( x +3)
2 x +6
2( x+3)
2
= ( x − 3)( x+3) = ( x − 3)( x+3) = x −3
7
x
54
−
−
x x +6 x2 +6 x

Bài 5 :Tìm số x biết

2

2

1/ (x + 3) + x – 9 = 0
2/ x2 – 49 =0
Cách giải : Phân tích vế trái thành nhân tử (Ta được tích các nhân tử bằng 0 ,Từ mỗi
nhân tử bằng 0 ta tìm được một giá trị của x )
Giải
2
2
1/ (x + 3) + x – 9 = 0
2/ x2 – 49 =0
 (x + 3)2 + (x –3)(x+3) = 0
 x2 – 72 = 0
 (x+3)[(x+3)+(x+3)] =0
 (x–7)(x+7) =0
 (x+3)(x+3+x+3) =0
 (x–7) =0 suy ra x=7
 (x+3)(2x+6) =0
Và (x+7) =0 suy ra x= – 7


2(x+3)(x+3) =0
2(x+3)2 =0
Từ x+3=0 Suy ra x = –3

Vậy: x=7và x= – 7
Vậy x = –3
Bài 6 :

1/Cho biểu thức M= x2 – 4x +11
Hãy chúng tỏ biểu thức M luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x
2/ Cho biểu thức : N = x2 – 2x +5
Tìm giá trị nhỏ nhất của N
Cách giải : Biến đổi biểu thức về dạng
Giải
2
2
1/ M= x – 4x +11 = (x -4x+4)+7
2/ N = x2 – 2x +5 =(x2-2x+1)+3
: N = x2 – 2x +5
= (x– 1)2+3
Ta biết : (x-2)2 ≥ 0 với mọi giá trị của xR
Ta biết : (x-2)2 ≥ 0 với mọi giá trị của xR
Nên (x-2)2 +7 ≥ 7 với mọi giá trị của xR
Nên (x-2)2 +7 ≥ 7 với mọi giá trị của xR
Vậy : M= x2 – 4x +11 luôn lớn hơn 0 với mọi Vậy : M= x2 – 4x +11 có giá trị nhỏ nhất
giá trị của x
bằng 7

ƠN TẬP TỐN 8 HÌNH HỌC HỌC KỲ I (2009-2010)
Bài 1: Cho Δ ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là
điểm đối xứng với điểm M qua điểm I.
a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật
b/ Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành
c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm. Tính SAMCK
d/ Tìm điều kiện của Δ ABC để tứ giác AMCK là hình vng
Giải
a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật

IA = IC và IM = IK nên AMCK là hình bình
hành
Mà AM vng góc với BC ( do tam giác ABC
cân tại A) Do đó hình bình hành AMCK có một
góc vng là hình chữ nhật
b/Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành
MI là đường trung bình của tam giác ABC ,nên
MI ∥AC  MK ∥AC
Và MI=

AC
 2MI =AC
2

 MK = AC
Tứ giác AKMB có hai cạnh đối vừa song
song , vừa bằng nhau nên là hình bình hành
c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm.
Tính SAMCK
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác
vuông MAC : AM2= AC2-MC2
AM2= 52-32
AM2= (5-3)(5+3)=16

d/Tìm điều kiện của Δ ABC để tứ giác AMCK
là hình vng
Để AMCK là hình vng thì AM = MC hay AM
=

BC

2

Vì vậy Tam giác cân ABC phải vưông

tại A ( Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền )


AM = 4 (cm)
SAMCK =AM.MC= 4cm .3 cm = 12 cm2
Bài 2: Cho  ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với
D qua AB, E là giao điểm của DM với AB. N là điểm đối xứng với B qua AC; F là giao
điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng: M đối xứng N qua A.
d)  ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vng ?
Giải
a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
Tứ giác AEDF là hình chũ nhật . vì có ba
góc vng
b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình
gì ? Vì sao ?
Tứ giác ADBM là hình thoi
Vì : EM=ED , EA=EB (Do DE là đường
trung bình tam giác ABC)và AB  DM
Tứ giác ADBM là hình thoi
Vì : FN=FD , FA=FC (Do DF là đường
trung bình tam giác ABC)và AC  DN
c)Chứng minh rằng: M đối xứng N qua
A.

Do tứ giác ADBM; ADCN là hình thoi
nên BD =MA và DC=AN mà BD=DC
Suy ra : MA=AN (1)
¿

d)  ABC có điều kiện gì thì tứ giác
AEDF là hình vng ?
Để tứ giác AEDF là hình vng thì
EA=AF suy ra AB=AC
Vậy tam giác vuông ABC phải cân tại A

¿

^
❑

^
❑

= FAN

DMN
¿
¿

(đồng vị )

¿
¿

^
❑

^
❑

DNM = BAM (đồng vị )
¿
¿
¿
¿
^
❑

^
❑

¿

¿

Mà DMN + DNM =900(Tổng hai góc
nhọn của tam giác vng )
¿

¿

^
❑

^
❑

^
❑

^
❑

Suy ra

0
FAN + BAM =90
¿
¿
¿
¿
¿

Do đó

0
FAN + BAM + BAC =180
¿
¿
¿

^
❑

Hay ba điểm M,A,N thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) Kết luận:M đối xứng N qua
A.
Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC , N là
điểm đối xứng với M qua I .
a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật .
b/ Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?


c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMCN là hình vng ? Khi đó hãy tính chu vi và
diện tích của hình vng AMCN . Biết rằng BC = 20 Cm .
Giải
A

N

I

B

M

C

a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật .
Ta có :
IA = IC và IM = IN nên AMCN là hình bình hành
Mà AM vng góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A) Do đó hình bình hành AMCN có
một góc vng là hình chữ nhật
b/Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?

Tứ giác ABMN là hình bình hành .