Giai de Toan TS 10 9 9

THPT Võ Minh Đức
GIẢI ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 9
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
2
2
2
2
Cho P = x 1  y  y 1  x . Hãy tính giá trị của P theo a, biết a = xy  (1  x )(1  y )

Bài 2.
a) Giải phương trình :

( x 2  3) 2  6 x 2  3  5 0

3
2
 x  2 y  4 y  3 0
 2
x  x 2 y 2  2 y 0
b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình : 
2
2
Hãy tính giá trị biểu thức : x  y

Bài 3.
Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5
1 1

x

y
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =

Bài 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A (ab < ac) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ
đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A)
a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng.

 ADE và MA  DE.
b) Chứng minh : MAE
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường trịn có tam là O. Tứ giác
AMOH là hình gì ?

d) Cho góc ACB = 30o và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a.

GIẢI :
Bài 1.
2
2
2
2
Cho P = x 1  y  y 1  x . Hãy tính giá trị của P theo a, biết a = xy  (1  x )(1  y )
2
2
2
2
2
2
Ta có P2 = x (1  y )  y (1  x )  2 xy (1  x )(1  y )
2 2

2
2
2
2
a2 = x y  (1  x )(1  y )  2 xy (1  x )(1  y )
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
P2 – a2 = x (1  y )  y (1  x )  x y  (1  x )(1  y ) = x (1  y  y )  ( 1  y  y )(1  x )
=–1
Bài 2.

a) Giải phương trình :

( x 2  3) 2  6 x 2  3  5 0

(1)

2

x 3

Đặt t =
≥0
Pt (1)  t2 – 6t + 5 = 0  t = 1 hoặc t = 5
+ Với t = 1 

x2  3

= 1  x2 – 3 = 1 hoặc x2 – 3 = – 1  x = 2 hoặc x =  2

Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên


THPT Võ Minh Đức

+ Với t = 5 

x2  3

= 5  x2 – 3 = 5 hoặc x2 – 3 = – 5  x = 2 2

Vậy phương trình có nghiệm : x = 2 ; x =  2 hoặc x = 2 2
3
2
 x  2 y  4 y  3 0 (1)
 2
x  x 2 y 2  2 y 0 (2)
b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình : 
2

2
Hãy tính giá trị biểu thức : x  y

2y
2
Từ (2), ta có : x2(1 + y2) = 2y  x2 = 1  y ≤ 1 vì 1 + y2 ≥ 2y , với mọi y

Nên : – 1 ≤ x ≤ 1
Từ (1) , ta có : – x3 – 1 = 2(y – 1)2 ≥ 0  x3 ≤ – 1
Vậy x = -1 và y = 1
Do đó : x2 + y2 = 2
Bài 3.
Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5
1 1

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x y
1 1
xy
5

x
y
xy
xy
Ta có : S =
=
=
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi xy đạt giá trị lớn nhất

Do x + y = 5 (khơng đổi) nên tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

25
5
( x  y)2
xy
4
x+y≥2
 xy ≤
= 4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là : 5

Bài 4.
Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường trịn
tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A)
a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng.

 ADE và MA  DE.
b) Chứng minh : MAE
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường trịn có tâm là O. Tứ giác
AMOH là hình gì ?

d) Cho góc ACB = 30o và AH = a. Tính diện tích HEC theo a.

Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên


THPT Võ Minh Đức


a) Từ gt  DAE

= 90o( góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn tâm H) do đó DE
là đường kính , hay D, H, E thẳng hàng
b) Trong ABC vuông tại A, AH

đường cao nên ABH HAE
(1)
AHE cân tại H (HA = HE = bk)


HAE
HEA
(2)


ABH HEA

(1) , (2) 
mà MCA MAE

A

E
B

C
H

M

D

O

(MAC cân tại M)

 ADE MAE
(4)(cùng phụ
ABH HEA

)
 (2góc

Mà DA  AE nên
DE
BHD
CHE
c) BDHCEH
(do AM
(4) và
: đối đỉnh)
nhọn
có cạnh
tương ứng vng góc)
DBC

CED : cùng nhìn CD dưới một góc bằng nhau, nên tứ giác DBEC nội tiếp
nên :
được trong đường tròn tâm O.
Với O là giao điểm của hai đường trung trực của BC và DE , nên AH // OM , AM // OH

Do đó AMOH là hình bình hành

d) Cho góc ACB = 30o và AH = a

suy ra vuông AHC là nửa tam giác đều và AC = 2AH = 2a và HC = a 3

và ADE = ACB = 30o nên AHE đều  E là trung điểm AC do đó diện tích tam giác

1
HEC bằng 3 diện tích tam giác vng AHC
1
1 1
a2 3
SHEC = 3 SAHC = 3 . 2 .AH.HC = 6 (đvdt)

Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên