đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009
Môn:
Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Phòng GD-ĐT nghi lộc
kỳ thi học sinh giái
2008
3
Bµi 1: Chøng minh r»ng A = 10 +2
9
lµ số tự nhiên.
Bài 2: Cho M = 6 , 25+ √ 8 −2 √ 6 + √ 20 ;
N= √ 5+ 1 . HÃy so sánh M và N.
2
Bài 3: Giải các phơng trình nghiệm nguyên:
a)
xy +x - 2y = 3
b)
x2 – 2y2 = 5
Bµi 4 : Cho a; b; c là các số dơng thoả mÃn điều kiện a+b+c = 2008. Tính giá trị bé nhất
của biểu thức Q=(1+ 2008 )(1+ 2008 )(1+ 2008 ) .
a
b
c
Bµi 5: Cho nưa đờng tròn tâm O, đờng kính AB , trên nửa mặt phẳng có bờ AB cùng phía
nửa đờng tròn kẻ các tiếp tuyến Ax , By . Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến
cắt Ax; By tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM và By ; F là giao điểm của BM với Ax.
a) Chứng minh rằng:
AB2 = BE . AF
b) Tìm giá trị bé nhất của diện tích tứ giác CDEF khi M chạy trên nửa đờng tròn đÃ
cho.
c) Chứng minh trằng : EF , CD, AB đồng quy khi M không phải là điểm chính giữa
cung AB.
Hớng dẫn chấm toán lớp 9
Bµi 1:
2008
3
2008
A = 10 +2 =10 +8
9
9
NhËn xÐt : 102008 có tổng các chữ số là 1.
=> 102008 + 8 có tổng các chữ số bằng 9 => ĐPCM
Bài 2:
M =√ 6 , 25+ √ 8 −2 √6 + √ 20=√ 6 , 25+ √ 8 −2 √ 5+ 2 √ 5+1
√5+1 ¿2
=
¿
¿
¿
8− 2 √¿
6 , 25+ √ ¿
√¿
√ 5 −1 ¿2
=
=
Bµi 3:
¿
= √ 6 ,25+ √ 5 − 1
¿
6 , 25+ √ ¿
√¿
1
=√ 5+
√ 5 ,25+ √5= 21+44 √ 5 = √ 20+2 2.2 √ 5+1 = 2 √ 5+1
2
2
√ 6 ,25+ √6 − 2 √5
=> M = N
a) xy +x - 2y = 3
=> Hc
Hc
b)
=
√
<=> x(y+1) – 2(y+1) = 5 <=>
¿
¿
y+ 1=5
y=4
x − 2=1 <=> x=3
¿{
¿{
¿
¿
¿
¿
y +1=1
y=0
x − 2=5 <=> x =7
¿{
¿{
¿
¿
Hc
Hc
(y+1)(x-2) =5
¿
y+ 1=−5
x − 2=−1 <=>
¿{
¿
¿
y +1=−1
x − 2=−5 <=>
¿{
¿
¿
y=− 6
x=1
¿{
¿
¿
y=− 2
x=− 3
¿{
¿
x2 – 2y2 = 5
=> x lẻ đặt x = 2k + 1 (k Z)
<=> 4k2 + 4k + 1 – 5 = 2y2 <=> 2(k2 + k – 1) = y2 => y chẵn.
đặt y = 2n (n Z) => 2(k2 + k – 1) = 4n2 <=> k2 + k = 2n+1
<=> k(k+1) = 2n+1 vế trái chẵn, vế phải lẻ => PT vô nghiệm.
Bài 4:
4
2008 a+ a+b+ c 2 a+2 √ bc 4 √ a . √ bc 4 √ bc
=
≥
≥
=
a
a
a
a
√a
4
2008 b +a+b +c 2 b+2 √ ac 4 √b . √ ac 4 √ ac
1+
=
≥
≥
=
b
b
b
b
√b
4
2008 c +a+ b+c 2 c +2 √ ab 4 √ c . √ ab 4 √ ab
1+
=
≥
≥
=
c
c
c
c
√c
4 2 2 2
2008
2008
2008 64 √ a b c
=>(1+
)(1+
)(1+
)
=64
a
b
c
abc
1+
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=2008/3
Vậy Min Q = 64 .
Bài 5:
a) Kết luận đợc tam giác :
ABF đồng dạng với tam giác BEA.
AB2 = BE.AF.
b)
E
F
D
M
C
J
A
O
B
