sang kien kinh nghiem

Sở giáo dục và đào tạo Hng Yên
Phòng giáo dục và đào tạo huyện Khoái Châu
================

Kinh nghiệm
Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Ngời thực hiện: Hoàng Ngọc Thắng
Tổ:
Khoa học tự nhiên
Trờng:
THCS Đông Tảo

Năm Học: 2004 - 2005

A. Đặt vấn đề:
Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng, nó đợc
ứng dụng rộng trong chơng trình dậy và học toán ở trờng phổ thông. Đặc biệt hơn
là ở cấp trung học cơ sở đợc áp dụng rất nhiều vào các bài toán Rút gọn phân thức
có thể biểu diễn két quả 1 phân thức dới dạng đơn giản hơn mà giá trị không thay
đổ hoặc áp dụng trong các trờng hợp khác nh:
- Giải phơng trình


- Chứng minh một biểu thức dơng âm
- Chứng minh cho mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc
- Tìm mẫu thức chung của một phép quy đồng nhiều mẫu thức
Đôi khi rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử và các kỹ năng khác.
Trong bài Tôi chỉ đề cập đến phơng pháp phân tích thành nhân tử để giúp
các em có thể phân tích các đa thức bậc cao, đa thức có tính chất hoán vị vòng
quanh thành nhân tử mà dùng những phơng pháp cơ bản nh: Đặt nhân tử chung,

dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử không thực hiện đợc.
Tuy nhiên phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phơng
pháp khác trong chơng trình năm nay có thay đổi và không đa vào trong sách giáo
khoa mới. Nhng tôi nhận thức thấy nó vẫn đợc sử dụng nhiều ở các sách nâng cao
và ở các lớp trên. Do vậy tôi chọn đề tài này để bồi dỡng cho học sinh kh¸, giái
trong c¸c kú thi häc sinh giái cÊp hun, häc sinh thi tèt nghiƯp vµ häc sinh thi
cÊp III.
B nội dung phơng pháp:

I. Tình hình chung:
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là dạng toán rất quan trọng
trong trờng phổ thông, nó đợc áp dụng nhiều trong các dạng toán khác tiện lợi
cho việc giải toán nh: Tìm nghiệm của các phơng trình bậc cao là dạng toán rất đa
dạng và phong phú cách giải. Ngoài ra còn có một số dạng toán khác tôi đÃc nói
phần mở đầu. Song để tìm đợc mỗi lời giải của bài toán ta cần phải biết sử dụng
linh hoạt các phơng pháp cơ bản để vận dụng cho từng bài toán cho phù hợp, và
tìm đợc lời giải ngắn nhất, đơn giản nhất. Để làm đợc điều đó, học sinh cần phải
biết khai thác những giả thiết đà có để làm cơ sở cho việc phân tích.
II. Những vấn đề cần giải quyết:
1. Phơng pháp phân tách hạng tử
2. Phơng pháp thêm bớt một hạng tử, phơng pháp giảm dần số mũ
3. Phơng pháp đổi biến
4. Phơng pháp hệ số bất định
5. Phơng pháp xét giá trị riêng
III phơng pháp tiến hành:
* Nhắc lại những kiến thức cơ bản cần áp dụng:
1.Nắm vững 7 hằng đẳng thức:
Với A, B là các biể thức tuỳ ý, ta có:
1. ( A + B )2 = a2 + 2ab + b2
2. ( A - B )2 = a2 - 2ab + b2

3. A2 – B2 = ( A + B ) . ( A – B )
2


4. ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3 + B3 = ( A +B )( A2 – AB + B2 )
7. A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 )
- Một số hằng đẳng thøc tỉng qu¸t:
8. ( K1+K2 + . . + Kn )2 = K12+K22 +...+ Kn2 +2K1K2+ ... +2K1Kn+ ...2Kn-1Kn
9. (xn –yn ) = (x – y)(xn-1 + xn-2y + . . . xyn-2 + y2k-1)
10.x2k – y2k = (x + y)(x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 + . . . y2k-1)
11. x2k+1 + y2k+1 = (x + y)(x2k – x2k-1y + x2k-2y2 - . . . + y2k

2. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đợc giới thiệu trong
sách giáo khoa:
2.1.Phơng pháp đặt nhân tử chung:
AB + AC = A(B + C)
Phơng pháp này nhớ vận dụng linh hoạt tính chất giao hoán, kết hợp của
các phép toán: Cộng và nhân, tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
2.2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
- Học sinh nắm đợc các hằng đẳng thức đà giới thiệu trên
- Vận dụng các hằng đẳng thức để để biến đổi thành tích của các nhân tử
hoặc luỹ thừa của các đa thức.
2.3.Phơng pháp nhóm các số hạng:
Dùng các tính chất giao hoán kết hợp của phép cộng của các đa thức ta kết
hợp những hạng tử của các đa thức thành từng nhóm thích hợp và rồi dùng các phơng pháp khác phân tích đa thức thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích
chung đối với các nhóm.
3. Các phơng pháp khác phân tích đa thức thành nhân tử:
1.Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:

1.1 Bằng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
* Phơng pháp:
Học sinh nắm đợc dạng tổng quát là:
a2 + bx + c
(a 0)
- Khi mét tam thøc bËc hai ta nhận thấy nó không có dạng hằng đẳng thức,
không chứa thứa số chung và cũng không thể nhóm các số hạng tử để áp dụng các
phơng pháp nhóm nhờ việc thực hiện.
+ Làm xuất hiện các số tỉ lệ làm xuất hiện thừa số chung.
Cụ thể: Để phân tích a2 + bx + c thành nhân tử ta tách bx thµnh b1x + b2x
sao cho b1/a = c/b2 tøc lµ a.c = b1b2
Trong thùc hµnh ta lµm nh sau:
3


Bớc 1: Tìm tích ac
Bớc 2: Phân tích ac thành tÝch 2 thõa sè b»ng mäi c¸ch
Bíc 3: Chän 2 thừa số mà có tổng bằng tích
thức.

Ngoài ra tách a2 + bx + c thành hiệu hai bình phơng rồi áp dụng hằng đẳng

+ Ví dụ:
Bài 1:

Phân2 tích đa thức thành nhân tử: 2
a,3x 8x +4
b, x 6x + 8
c, 9x2 + 6x +8
Đối với bài toán này các em cha dợc giới thiệu phơng pháp tách một hạng

tử thành nhiều hạng tử thì thấy rất khó khăn trong việc phân tích. Tôi hớng dẫn
các em tách theo các cách sau:
a, 3x2 8x +4
Cách 1:
Tách số hạng tử thứ 2 ( số hạng bậc 1) theo cách tỉng qu¸t:
3x2 – 8x +4 ta t¸ch – 8x = -6x – 2x
3x2 – 8x +4 = 3x2 -6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x 2)(3x-2)
Cách 2:
Tách số hạng thứ nhất
3x2 8x +4 ta t¸ch 3x2 = 4x2 - x2
3x2 – 8x +4 = 4x2 - 8x +4 - x2
= (4x2 - 8x +4) - x2 = (2x - 2)2 - x2
= (2x - 2 - x)(2x- 2 + x)
= (x – 2)(3x 2)
b, x2 6x + 8

Tách hạng tử thứ hai (hạng tử bậc 1)
Tách -6x = -2x 4x
Ta đợc x2 6x + 8 = x2 - 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x 2) = (x 2)(x
4)
Tách hạng tử thứ 3 (hạng tử tự do):
Cách1:
Tách 8 = 9 1
Ta đợc: x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 12
= (x – 3) – 1x- 3 +1 = (x – 4)( x- 2)
C¸ch 2:
T¸ch 8 = 12 – 4
4

Ta đợc x2 6x + 8 = x2 6x + 1 = (x2 – 4) – 6(x – 2)
= (x –2)(x+2) – 6(x – 2)
= (x –2)(x + 2 – 6) = (x-2)(x-4)
C¸ch 3:
T¸ch 8 = 24 – 16
Ta đợc: x2 6x + 8 = x2 6x + 24 – 16
= ( x2 – 16) – (6x – 24)
= (x - 4)(x +4 ) – 6(x - 4)
= (x - 4)(x + 4 - 6)
= (x 4)(x- 2)
Tách đồng thời hạng tử thứ 2 và thứ 3:
Tách: 6x = -2x 4x và 8 = 4 + 4
Ta đợc: x2 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x-2)
= (x –2)(x - 2 - 2) = (x - 2)(x - 4)
NhËn xÐt:
ë c©u a, b ta tách hạng tử bậc 2 hoặc hạng tử tự do là do hạng tử bậc nhất có
hệ số chẵn, hạng tử tự do có thể viết dới dạng bình phơng. Do vậy tách hạng tử
bậc hai thành hiệu 2 số bình phơng hoặc tách hạng tử tự do thành số viết đợc dới
dạng chính phơng. Sau khi tách áp dụng phơng pháp nhóm xuất hiện hiệu 2 bình
phơng áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích ra thành nhân tử một cách dễ
ràng.
c, 9x2 + 6x +8
Đối với câu c tôi hớng dÃn học sinh nên tách theo 2 cách thông dụng nhất.
Cách 1:
Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rối dùng phơng pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung mới tách :
Tách : 6x = 12x –6x (h¹ng tư bËc nhÊt)

Ta cã: 9x2 + 6x +8 = 9x2 - 6x + 12x –8
= 3x(3x –2) + 4(3x –2)
= (3x –2) (3x + 4)
Cách 2:
Tách hạng tử không đỏi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của
bình phơng:
9x2 + 6x +8 = 9x2 + 6x + 1 – 9
= (9x2 + 6x + 1) – 9
5


= (3x + 1)2 - 32
= (3x +1 –3)(3x +1 +3) = (3x –2)(3x +4)
KÕt luËn :
Qua viÖc thùc hiÖn tách các hạng tử trong đa thức ta thấy có nhiều cách.
Song có 2 cách sau là thông dụng nhất:
Cách 1:
Tách hạng tử số 2 (hạng tử bậc nhất) thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
Cách 2:
Tách hạng tử không đổi (hạng tử thứ 3) thành 2 hạng tử đa đa thức về dạng
hiệu 2 bình phơng.
- Chú ý:
Trong trờng hợp a2 + bx + c có b là số lẻ hoặc a không là bình phơng của
một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.
* Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:
a, x2 – 7x + 12
b, 4x2 – 3x –1
c, x2 – 4x – 3

d, 6x2 – 11x + 3
e, 6x2 – 11x + 5
f, 2x2 + 3x – 27
g, 9x2 + 6x – 8
h, x2 – 5x – 14
+ Ta xét một câu trong bài tập áp dụng trên:
Câu d: 6x2 11x + 3
áp dụng phơng pháp tách hạng tử bậc 1 (Cách1)
6x2 11x + 3 = 6x2 – 9x – 2x + 3
= 3x(2x – 3) – (2x – 3) = (2x – 3)(3x – 1)
áp dụng phơng pháp phân tích hạng tử không đổi ta nhËn thÊy:
- H¹ng tư bËc 1 cã hƯ sè lẻ, hạng tử bậc 2 có hệ số chẵn nhng không là bình
phơng của một số nguyên. Do vậy cách này áp dụng gặp nhiều khó khăn ta chỉ
lên sử dụng cách 1 (tách hạng tử bậc 1)
Bài tập mở rộng:
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a. 2x2 – 5xy + 3y2
b. 2x2 – 5xy – 3y2
+ Híng dÉn:
6


- Ta có thể áp dụng phơng pháp tách hạng tử thứ 2 để phân tích cho tam
thức bậc 2 ®èi víi 2 biÕn.
- Chän 1 biÕn lµm biÕn chÝnh
Cơ thÓ:
a. 2x2 – 5xy + 3y2 = 2x2 – 3xy – 2xy + 3y2
= x(2x – 3y) – y(2x – 3y)
= (2x – 3y)(x – y)
b. T¬ng tù: 2x2 – 5xy – 3y2 = 2x2 - 2xy - 3xy- 3y2

= (x 3y)(2x + y)
Bài tập khác từ các bài tập trên:
Bài 3: Chứng minh rằng:
a. x 2 + x +6  0
x
b. x2 + x +1  0
x
c. x2 + 2x + 5  0
x
d. x2 + 2x + 4  0
x
e. –x2 + 2x – 2  0
x
2
f. –x + 8x – 17  0 x
g. –3x2 + 12x 19 0 x
Bài toán này đợc suy ra từ việc phân tích đa thức thành nhân tử:
Cụ thĨ: Tõ x2 + x + 6
- NhËn thÊy kh«ng phân tích đợc thành nhân tử trong phạm vi số hữu tỉ. Vì
tách theo cách 1 thì a.c = 6.
Ta thấy b=1 không có 2 số hữu tỉ nào mà có tổng bằng 1 và tích bằng 6.
- Tách theo cách 2: Đa về dạng (ax)2 k thì k lại không là bình phơng
của một số hữu tỉ nào c¶.
Cơ thĨ:
x2 + x + 1 + 23
4

Ta thÊy 23
4

4

=

1
2

2

( )
x+

+ 23
4

không là bình phơng cuả một số nào cả.

2. Phân tích đa thức có bậc 3 và cao hơn:
+ Phơng pháp: Học sinh nắm đợc:
Dạng tổng quát: a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an
Cách làm:
- Ta dựa vào cách tìm nghiệm của đa thức để làm xuất hiện hệ số tỷ lệ.
- Nhắc lại khái niệm của đa thức a là nghiệm của đa thức (x)

7


nếu
(a)= 0. Nh vậy nếu đa thức
(x) chứa nhân tử chung là x a

thì a là nghiệm của đa thøc (x). Tõ ®ã suy ra:
(x) = (x – a). q(x)
hay (x): (x – a)
Chøng tá hÖ sè tù do cđa
(x) chia hÕt cho a hay nghiƯm nguyªn nÕu cã
cđa đa thức phải là ớc của hệ số tự do của đa thức.
- Tôi củng cố cho các kiến thức trên cho học sinh để áp dụng vào các ví
dụ sau:
VÝ dơ 1:
Ph©n tÝch ra thõa sè
(x) = x3 – x2 4
Tôi hớng dẫn các em giải theo cách trên:
Giải: Ước của 4 là: 1, 2, 4. Lần lợt thay x = 1, 2, 4 vào
(x) để kiểm tra ta cã:
(2) = 23 – 22 – 4 = 0
VËy ®a thøc cã nghiƯm lµ x = 2. Do ®ã đa thức (x) chứa nhân tử x
2.Nên ta tách các số hạng nh sau:
Cách 1:
Tách -4 = -8 + 4
x3 – x2 – 4 = x 3 - 8 - x2 + 4
= (x3 – 8) – (x2 – 4)
= (x – 2)(x2 + 2x +4) – (x –2)(x + 2)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – (x – 2)(x + 2)
= (x –2)(x2 + 2x + 4 – x – 2)
= (x – 2)( x2 + x +2)
* NhËn xÐt:
Sau khi cho häc sinh lµm vÝ dụ này,tôi đa ra cho học sinh một định lý tìm
nghiệm nh sau:
a. Nếu đa thức
(x) có tổng các hệ số bằng 0 thi 1 là nghiện của đa

thức. Do ®ã ®a thøc chøa thøa sè lµ x – 1.
b. Nếu đa thức
(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng
tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì đa thức ấy có nghiệm là -1. Do ®ã
®a thøc chøa x + 1.
Chøng minh:
a. Gäi (x) = a0xn + a1xn-1 + . . . an-1x + an
Theo gi¶ thiÕt a0 + a1 + . . . + an-1 + an = 0
(1)
8


Theo định lý Bơdu số d trong phép chia
bằng s = (1) = a0 + a1 + . . . + an-1 + an
Tõ (1), (2) suy ra s = 0 . Nên 1 là nghiệm

(x) cho (x 1)
(2)

Vậy (x) chia hÕt cho x – 1 hay chøa thõa sè chung lµ x – 1
b. Gäi (x) = a0x2n + a1x2n-1 + a2x2n-2 . . . a2n - 2x2 + an-1x + a2n
Trong ®ã a0 cã thĨ b»ng 0.
Theo gi¶ thiÕt a0 + a2 …+ a2n = a1 + a3 + . . . + a2n-1
Nªn (a0 + a2 …+ a2n) – (a1 + a3 + …+ a2n-1) = 0
(3)
Theo định lý Bơdu số d của phép chia (x) cho (x + 1) b»ng
s:(-1) = a0 – a1 + a2 + …+a2n-2 + a2n
= ( a0 + a2 …+ a2n) – ( a1 + a3 + …+ a2n-1)  0
Tõ (3) suy ra: s = 0
VËy (x) cã nghiÖm lµ -1 hay (x) chia hÕt cho x + 1

Cơ thể ví dụ:
Ví dụ1:
phân tích đa thức sau thành nhân tö
x3 – 5x2 + 8x – 4 cã 1 – 5 + 8 4 = 0
Nên đa thức có nghiệm là 1. Hay đa thức chứa thừa số chung là x 1.
Vậy ta tách đa thức nh sau:
x3 – 5x2 + 8x – 4 = x3 – 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3
= (x – 1)(x2 + x + 1) – 5x(x – 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1 – 5x + 3)
= (x – 1)(x – 2)2
VÝ dô 3: phân tích đa thức thành nhân tử
x3 5x2 +3x + 9
Cã 9 – 5 = 1 + 3 nªn 1 là nghiệm của đa thức hay đa thức trên có chứa
thừa số là x + 1.
Vậy ta tách nh sau:
C¸ch 1:
x3 –5x2 +3x + 9 = x3 + 3x2 + 3x + 1 –8x2 + 8
= (x + 1)3 – 8(x2 – 1)
= (x + 1)3 – 8(x – 1)(x + 1)
= (x + 1)(x + 1)2 – 8(x – 1) = (x+1)(x2 – 6x + 9)
= (x + 1)(x – 3)2
C¸ch 2:
x3 –5x2 +3x + 9 = x3 + x2 – 6x2 – 6x + 9x + 9 = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x +
1)
= (x + 1) (9x2 – 6x + 9) = (x + 1) (x – 3)2
9


Nhận xét:
Tôi hớng dẫn các em không gặp các bài toán ở dạng trên thì ta sử dụng

cách loại trừ các uớc của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức nh sau:
Nếu a là nghiệm nhuyên của đa thức
(x) thì (1); (-1) khác 0 thì
f (1)
a 1

và f ( 1) đều là số nguyên.
a+1

Chứng minh:
Số a là nghiệm của đa thức f(x).
Nên f(x) = (x a)Q(x)
(1)
Thay x – 1 vµo (1) ta cã f(1) = (1 a)Q(1)
Do f(1) 0 nên a 1 vì thế Q(1) = f (1) là số nguyên.
a+1

Bài tập áp dụng:
Ví dụ 4: phân tích đa thức f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thành nhân tử
Ta có: U(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ta cã ngay: 1 không là nghiệm của đa thức vì:
f(1) = -18  0 vµ f(-1) = -44  0
Ta thÊy:

− 18
;
− 3 1

18
;

6 1

18
;
9 1

18
18 1

không nguyên nên 3;

6; 9, 18 không là nghiệm.
Ta thấy: 44 thuộc Z nên 2 không là nghiệm
2+ 1

44
= - 11;
3+ 1

− 18
= 9;
3−1

− 44
= 44;
− 2+1

− 18
=6
− 2− 1

VËy 3 và -2 có khả năng là nghiệm.
Kiểm tra lại : f(3) = 0  3 lµ nghiƯm
F(-20 = -48 – 13.4 + 9(-2) – 18 = -112  0
Ta tách các số hạng nh sau:
4x3 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18
= 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x- 3)
= (x – 3)(4x2 – x + 6)
Nhận xét:
Đối với đa thức không có nghiệm nguyên là ớc của hạng tử tự do cũng
không phải là nghiệm cuả đa thức. Nhng đa thức có có thể có nghiệm hữu tỉ thì
trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng

m
n

trong đó

m là ớc của hạng tử không đổi còn n là ớc dơng của hạng tử cao nhất.
1


Điều này tôi hớng dẫn các em áp dụng không chứng minh
Cụ thể:
Ví dụ5:
Phân tích đa thức f(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3  nh trªn íc cđa 3
lµ 1; 3 :
 f(10) = 2  0
f(-1) = -18 0
Vậy 1 không phải là nghiệm

Ta có :

2
=1 ;
+3 − 1

2
−1
=
;
− 3 −1 2

− 18 − 9
=
;
3+1
2

−18
=9
− 3+1

Suy ra 3 cã thĨ lµ nghiƯm
Ta cã f(3) = 3.27 – 5.9 + 8.3 – 3 = 30  0 loạI
Do đó đa thức không có nghiệm nguyên.
Vậy nghiệm hữu tỉ có thể là: 1 ; 3
2

Sau khi thay vào ta thấy x =

2

1
2

là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử

chung là x - 1 hay 2x 1
2

Do đó ta tìm đợc cách tách các hạng tư cđa ®a thøc :
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
= x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1)
= (2x – 1)(x2 – 2x +3)
* Chú ý:
Tách các hạng tử sao cho đa thức phải xuất hiện nhân tử chung
là 2x 1.
Bài tập tơng tự:
Bài 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a. x3 + 2x – 3
b. x3 – 7x + 6
c. x3+ 5x2 + 8x + 4
d. x3 – 9x2 + 6x + 16
e. x4 + 2x3 + x2 + x + 1
Tôi hớng dẫn làm theo ví dụ 1 và ví dụ 2:
Bài 2:
Phân tích đa thức sau thành nhân tö :
a. x3 – x2 – 4
1

b. x3 – x2 – x – 2
c. x3 + x2 – x + 2
d. x3 – 6x2 – x + 30
e. x3 7x - 6
Tôi hớng dẫn làm theo ví dụ 4.
Bài 3:
Phân tích đa thức sau thành nh©n tư :
a. 27x3 – 27x2 + 18x – 4
b. 2x3 – x2 + 5x + 3
c. 3x2 + 17x 5
Tôi hớng dẫn làm theo ví dụ 5
* Kết luận:
Khi phân tích đa thức thành nhân tử các em cần phải chú ý từng dạng bài
tập, phân biệt đợc dạng tam thức bậc hai hay dạng đa thức bậc cao. Từ đó sử dụng
đúng phơng pháp để đạt hiệu quả giải toán nhanh, chính xác và gọn nhất.
3. Phơng pháp thêm bớt hạng tử:
3.1 Đa thức có luỹ thừa bậc chẵn:
* Phơng pháp :
Tôi hớng dẫn học sinh thêm hoặc bớt một hạng tử nào đó vào đa thức để
làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phơng pháp khác để
phân tích đợc.
* Các ví dụ cụ thể:
a. ví dụ 1:
Phân tích thành nhân tử : a4 + 4
Đối với ví dụ này các em thấy rất lúng túng khi phân tích thành nhân tư t«i
híng dÉn nh sau :
Ta cã: a4 = (a2)2 suy ra 2.2.a2 = 4a4
4 = 22

VËy: a4 + 2a2.2 + 4 –4a2 = (a2 + 2)2 – 4a2
= (a2 2a +2)(a2 + 2a + 2)
Nhận xét:
Hạng tử thêm bớt nó cũng là một bình phơng ta ghép hạng tử thêm vào
tổng ban đầu để xuất hiện hằng đẳng thức, hạng tử bớt đi mang dấu trừ ở ngoặc
sau để xuất hiện hiệu hai bình phơng.
b. ví dụ 2:
4x4 + 81 = (2x2)2 + 92
Có dạng tổng 2 bình phơng ta cần thêm bớt 2 lần tích 2 cơ số 2x 2 và 9 ta đợc:
4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 – 2.2x2.9
1


= (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9 – 6x)( 2x2 + 9 + 6x)
= (2x2 – 6x + 9)(2x2 + 6x + 9)
Bài tập áp dụng :
1. 4x2 + 1
2. 64x4 + y4
3. x4 + 324
4. x8 + x4 + 1
5. (x2 – 8)2 + 36
3.2 Cã mét số đa thức bậc cao nếu sử dụng phơng pháp xét nghiệm thì ta không
thể phân tích đa thức thành nhân tử. Do đó ta áp dụng quy tắc chia hết của đa thức
cho đa thức để xác định nhân tử:
Cách 1:
Học sinh cần nắm chắc bài toán tổng quát:
f(x) = x3m+1 + x3n +2 + 1 ( n N)
= x3m+1 – x + x2n + 2 – x2 + x2 + x +1
f(x) = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x +1)

Ta thÊy: x3m – 1 vµ x3n – 1 chia hÕt cho x3 – 1
Do ®ã chia hÕt cho x2 + x + 1
Hay f(x) = x3m + 1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho x2 + x + 1
C¸ch 2:
Ta cã thĨ giảm dần số mũ đối với các đa thức có d¹ng a 7 + a5 + 1, a8 + a4 +
1 . . . là những đa thức có dạng tổng quát nh trên khi giảm dấn số mũ cũng cần
phảo chú ý đến các đa thức a6 1, a3 – 1 chia hÕt cho a2 + a + 1
Cụ thể:
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử :
A = a 5 + a4 + 1
Giải:
Cách 1: A = a5 + a4 + a3 – a3 + 1
= a3(a2 + a + 1) – (a – 1)( a2 + a + 1)
= ( a2 + a + 1)(a3 – a +1)
C¸ch 2: A = a5 + a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a – a + 1
= (a5 + a4 + a3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a + 1)
= a3(a2 + a + 1) - a a2 + a + 1) + a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1)(a3 – a + 1)
NhËn xÐt:
Nnãi chung khi ph©n tÝch đa thức thành nhân tử phải vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các phơng pháp trên, và phải biết phối hợp một cách hợp lí.
1


Ví dụ 2:
Phân tích thành nhân tử :
x7 + x2 + 1 ( víi m = 2, n = 0)
C¸ch 1:
Ta thªm bít x
Ta cã x7 + x2 + 1 = = x7 – x + x2 +x + 1

= x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1)(x+ 1)(x2 – x +1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1)
C¸ch 2: hớng dẫn cho học sinh tự làm.
Bài tập tơng tự:
Phân tích thành nhân tử :
1. x7 + x5 + 1
2. x5 + x + 1
3. x8 + x + 1
4. x8 + x4 + 1
5. x4 + x2 + 1
4.ph¬ng pháp đổi biến:
* phơng pháp :
- Học sinh biết nhận dạng các đa thức cần phải biến đổi dơn giản bằng phơng pháp đổi biến.
- Đó là những đa thức bậc cao chứa nhiều số hạng phức tạp mà áp dụng phơng pháp trên không thể phân tích đợc, có phân tích dợc cũng không triệt để.
- Do đó tôi phải hớng dẫn đặt ẩn số phụ (tức là đổi biến số)
* Cụ thể:
Ví dụ 1:
Phân tích thành nhân tử :
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + 1
Giải :Đặt x2 + 5x + 5 = a, đa thức có dạng: (a 1)(a + 1) + 1 = a2 – 1 + 1 = a2
Thay a = x2 + 5x + 5 ta đợc (x2 + 5x + 5)2
Nhận xét:
Nhờ phơng pháp đổi biến ta đà biến đổi đa thức phức tạp đối với biến x
thành đa thức bậc 2 đơn giản với biến y và phân tích thành nhân tử một cách đơn
giản.
Ví dụ 2:
Phân tích thành nhân tử :
1

(x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
Giải:
Đặt y = x2 + 4x + 8
ta cã: y2 + 3xy + 2x2 = (y2 + 2xy + x2) + (xy + x2)
= (x + y)2 + x(x + y)
= (x + y)( x + y + x)
= (x + y)(2x + y)
= (x + x2 + 4x + 8)(2x + x2 + 4x + 8)
= (x2 + 5x + 8)(x + 2)(x + 4)
VÝ dơ 3:
Ph©n tích thành nhân tử :
B = 2(x4 + y4 + z4) – (x2 + y2 + z2) – 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y +
z)4
Đối với bài này các em thờng lúng túng trong cách đặt tôi hớng dẫn các em
nhận xét và đặt nh sau:
Giải:
Ta thấy x2 + y2 + z2 và x + y + z xuất hiện nhiều lần nên ta đặt:
x 4 + y4 + z 4 = a
x 2 + y2 + z 2 = b
x+y+z=c
Ta đợc:
B = 2a – 2b2 – 2bc2 + c4
= 2a – 2b2 + b2 – 2bc2 + c4 (t¸ch –b2 = b2 – 2b2)
= 2(a – b2) + (b – c2)2
v× a – b2 = -2(x2y2 + y2z2 + z2x2)
b – c2 = -2(xy + yz +zx)
Do ®ã B = -4(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4 (xy + yz +zx)2
= 8(xy2z + xyz2 + x2yz)
= 8xyz(x + y + z)

Bài tâp tơng tự:
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử :
a. (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
b. x2 + 2xy + y2 – x – y –12
c. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
d. (x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)(x + 5) - 24
Bµi 2:
1


Phân tích thành nhân tử :
a. (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4
c. (x2 + y2 + z2) (x + y + z) + (xy + yz + zx)2
Hớng dẫn: Đặt a+b = m, a b = n

Lời bình:
Cơ sở để thực hiện phơng pháp ®ỉi biÕn lµ ta chun tõ ®a thøc bËc cao,
phøc tạp về đa thức bậc thấp hơn, đơn giản bằng biến mới. Đặc biệt khi đa thức có
nhiều hạng tử khác nhau thì ta có thể chọn nhiều biến mới để đặt nh ví dụ 3.
5.Phơng pháp hệ số bất định:
Ta đa ra ví dụ làm mẫu hớng dẫn học sinh làm theo. Xét ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử :
x3 15x 18 (1)
Nhận xét:
Muốn phân tích đa thức thà 1 nhân tử bằng phơng pháp này ta phải phân
tích thành tích của đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 nh sau:
Giả sử đẳng thức trên đợc phân tích thì:
x3 15x 18 = (x + a)(x2 + bx + c)
 x3 – 15x –18 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac

Đồng nhất đa thức ở hai vế ta đợc:

a+ b=0
ab+ c=15
ac=18
{{


Từ ac = -18 ta có thể chän a = 3  c = -6; b = -3
VËy x3 – 15x –18 = (x + 3)(x2 – 3x 6)
Nhận xét:
Từ cách làm ở trên thì phơng pháp hệ số bất định cho ta cách thực hiện rõ
ràng hơn và không bị đi đến bế tắc.
Bài tập tơng tự:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
1. 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
2. 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
3. x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1
4. x4 – 8x + 63
5. x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1
6. 3x2 + 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
6.phơng pháp xét giá trị riêng:
1


* Cách thực hiện:
Ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến
của các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
* Ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử :

f(x) = x3 x2 – 14x + 24
Híng dÉn gi¶i:
Víi x = 2 ta cã f(2) = 8 – 4 – 28 + 24 = 0
Suy ra f(x) chia hÕt cho x – 2 và tìm đợc
f(x) = (x 2)(x2 + x –12)
T¬ng tù víi x = 3, -4  f(3) = 0; f(-4) = 0
Và ta đợc
f(x) = (x 2)(x 3)(x- 4)
Nhận xét:
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này rất tiện lợi và nhanh,
có hiệu quả đôi lúc nó còn phân tích đợc cả những bài toán tởng nh không thể
phân tích nổi vi dụ:
Ví dụ 2:
Phân tích thành nhân tử :
A = x(y2 z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
Híng dÉn giải:
Thay x = y vào A A = 0.
Do ®ã A : (x – y)
Ta thÊy vai trß x, y, z nh nhau nªn A : (y – z)
A : (z – x)
Suy ra A: (x – y)(y – z)(z x)
Mặt khác bậc của các đơn thức trong đa thức A cao nhất là 3, còn bậc của
các ®¬n thøc trong ®a thøc (x – y)(y – z)(z – x) cao nhÊt cịng lµ 3.
Suy ra: A = k(x – y)(y – z)(z – x)
XÐt c¸c biÕn nhËn giá trị riêng x = 0, y = 1, z = 2.
Ta cã: (12 – 22) + 1(22 – 02) + 2(02 – 12) = k(0 – 1)(1 – 2)(2 – 0)
 k = 1 vËy A = (x – y)(y 2)(z 2)
* Bài tập tơng tự:
Phân tích thành nhân tử
1. M = a(b +ca)2 + b(c+ab)2 + c(a +b – c)2+ (a +b– c)(b + c – a)(c

+a – b)
2. N = a(m – a)2 + b(m – b) + c(m – c)2 – abc víi 2m = a + b + c
3. E = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2)
1


4. F = (a + b + c) – a3 b3 c3

Lời bình:
Đối với các bài toán dạng này các em phải phát hiện đợc vai trò của các
hạng tử trong đa thức một cách linh hoạt, để từ đó xác định đợc giá trị riêng và
các thừa số của các đa thức thực hiện việc phân tích sẽ rễ ràng hơn.
* Tiểu kết:
Khi sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì các em
phải biết phân dạng các bài toán sử dụng phơng pháp hợp lí, không lên áp dụng
một cách máy móc, cần phải có sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu của bài ra mà ta ứng
dụng các phơng pháp sao cho đạt đợc hiệu quả cao nhất.
Đối với những bài toán bậc cao cần phải hạ bậc đa thức mà vẫn phải sử
dụng đợc các phơng pháp phân tích đà biết. Tóm lại các em phải nắm đợc các
dạng toán mà tôi đà giới thiệu ở trên và đi sâu vào vận dụng sao cho thành thạo về
kĩ năng giải.

IV. Kết quả:
Qua việc chọn và phân dạng bằng một hệ thống bài tập cùng với các phơng
pháp giải tôi thấy các em hình thành kĩ năng giải toán nhanh hơn tìm ra hớng giải
các bài toàn tốt và nhanh rõ rệt, có đọ chính xá cao. Từ đó các em đam mê, hào
hứng với bộ môn toán.
Cụ thể qua việc kiĨm tra häc sinh líp 8A, 8B nh sau:
Giái
2%

Sau khi học:
Giỏi
16%

Khá
11%

Trung bình
29%

TB yếu
58%

Khá
27%

Trung bình
50%

TB yếu
7%

V. Vấn đề còn hạn chế.
* Với học sinh :
Do mức độ nhận thức, kĩ năng giải toán cha linh hoạt nên các em chỉ tiếp
thu kiến thức ở mức độ nhất định đối với những bài toán phức tạp các em vẫn còn
nhiều lúng túng. ĐIều này là do phần rèn luyện cho học sinh cha nhiều và đặc
biệt bài tập áp dụng còn ít.
1

Hơn nữa ở đây tôi cung cấp cho học sinh những phơng pháp phân tích chứ
không thể đi khai thác hết đợc tất cả những bài toán có dạng phân tích thành nhân
tử .
* Với giáo viên:
Do thời gian còn ít nên khả năng tìm tòi và vốn kiến thức còn hạn chế nên
khả năng tổng hợp, phân dạng cha đầy đủ ý tởng đề ra và cha khoa học.
VI. Điều kiện áp dụng:
Nội dung bài viết này giúp cho học sinh lớp 9 ôn thi học sinh giỏi và có thể
áp dụng cho học sinh ôn thi thi tốt nghiệp và ôn thi vào cấp III.
Tài liệu này giúp cho t«i cã thĨ båi dìng häc sinh giái hun hoặc giúp học
sinh ôn luyện vào các trờng chuyên ban. Đối với các dạng toán trong mỗi phơng
pháp trên giúp các em có thể tìm ra hớng giải quyết các bài toán phân tích thành
nhân tử hoặc tìm nghiệm của mét ®a thøc bËc cao hay chøng minh sù chia hÕt
chia cã d cđa ®a thøc.
VII. Híng ®Ị xt tiÕp tục nghiên cứu:
Khi tôi đa ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì thấy rõ
các em có sự hình thành kĩ năng và nhiều em có sự say mê, yêu thích môn toán
hơn, có óc t duy sáng tạo trong một số cách giải bài toán có liên quan đến phân
tích đa thức thành nhân tử .
Từ các phơng pháp này nhiều em đà tìm ra hớng giải quyết bài toán nhanh
và chính xác.
Tuy nhên vấn đề này vẫn còn nhiều hạn chế nh hệ thống bài tập cha nhièu,
cha sắp xếp một cách hợp lý khoa học vì thời gian có hạn. Do đó vấn đề này còn
tiếp tục nghiên cứu.

C. Kết luận:
Nh đà nói ở trên, tôi đà giới thiệu một số phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử. Đây là những định hớng chung giúp các em giải bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử . Từ cac phơng pháp này còn giúp các em có thể di sâu vào

các dạng toán sau này có liên quan đến phân tích thành nhân tử nh rút gọn phân
thức.
Để áp dụng tốt các em cần nắm vững đợc các phơng pháp cơ bản và khi áp
dụng các em phải biết phối hợp nhiều phơng pháp với nhau để thực hiện việc giải
toán có hiệu quả cao nhất.
Do thời gian có hạn, kinh nghiệm giảng dạy và chuyên môn cha nhiều nên
không thể trành khỏi thiếu sót trong viết kinh nghiệm, mong các đồng nghiệp
giúp đỡ,chỉ bảo thêm để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy trong nhà trờng.
1


Tôi xin chân thành cảm ơn.
Đông Tảo, ngày 10 tháng 11 năm 2004
Ngời viết

Hoàng Ngọc Thắng

Tài liệu tham khảo
1. Một số vấn đề phát triển đại số 8
2. Tuyển chọn đại số 7
3. Bốn trăm bài toán 8
4. Toán nâng cao và các chuyên đề 8
5. Toán cơ bản và nâng cao 8
6. Những bài toán hay và khó 8
7. Bồi dỡng học sinh giỏi toán 8
8. 45 bộ đề toán 9
9. Toán học và tuổi trẻ
10. Tạp chí thế giới trong ta
11. Thực hành và giải toán

NXBGD
NXBGD
NXBTR
NXBGD
NXBGD
NXBĐN
NXBGD
NXBTR
NXBGD
NXBGD
NXBGD

2


Mục lục
A. đặt vấn đề
B. Nội dung
I. Tình hình chung
II. Những vấn đề cần giải quyết
III. Phơng pháp tiến hành
1. Nắm vững 7 hằng đẳng thức
2. Các phơng pháp phân tích thành nhân tử đợc giới
thiệu trong SGK
3. Các phơng pháp khác phân tích đa thức thành nhân
tử
1. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
2. Phân tích đa thức có bậc ba và cao hơn
3. Phơng pháp thêm bớt hạng tử
4. Phơng pháp đổi biến

5. Phơng pháp hệ số bất định
6. Phơng pháp xét giá trị riêng
IV. Kết quả
V. Vấn đề còn hạn chế
VI. Điều kiện áp dụng
C. Kết luận
Tài liêu tham khảo

Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 4
Trang 9
Trang 15
Trang 17
Trang 19
Trang 20
Trang 22
Trang 23
Trang 23
Trang 24
Trang 25

2