Bài giảng DE TAI LOC

§Ò tµi : TÝnh chia hÕt trong vµnh sè nguyªn “ ”
Häc viªn : T« ThÞ Léc Líp To¸n khãa 2 - §HSPHN, T¹i chøc Trang–
1
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
Mục Lục
Trang
Phần I : Mở đầu ........ 02
1.Lý do chọn đề tài .02
2.Mục đích nghiên cứu 02
3.Nhiệm vụ nghiên cứu 03
4.Phạm vi và đối tợng nghiên cứu ..03
5.Phơng pháp nghiên cứu 03
Phần II : Nội dung ...... ...03
Chơng I : Cơ sở lý luận và mục đích của đề tài 03
Chơng II : Các biện pháp tiến hành .03
I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ ..03
II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải ....08
III. Giúp đỡ học sinh tìm tòi một số lời giải bài toán ...13
Chơng III : Thực nghiệm s phạm 14
A. Mục đích thực nghiệm .14
B. Nội dung thực nghiệm .14
C. Kết quả thực nghiệm 17
D. Bài học kinh nghiệm ....19
E. Điều kiện áp dụng 19
F. Vấn đề còn hạn chế bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu ...19
Phần III : Kết luận 20
Tài liệu tham khảo . ...20
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
2
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
Phần i: mở đầu

1.Lý do chọn đề tài
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn
toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng. Thông qua môn toán, học sinh nắm
vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng
những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động,
trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học.... Để giúp HS học tốt
môn toán đòi hỏi ngời thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc.
Một vấn đề lớn trong chơng trình toán THCS là vấn đề chia hết. Vấn đề này đợc
đa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và đợc đề cập trong những bài toán nâng cao
dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9. Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, đặc biệt
là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và thờng là những bài
khó. Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nh SGK thì rất dễ nh-
ng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một quy tắc chung nào để
giải, phải sử dụng các phơng pháp khác nhau một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong khi
năng lực t duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thờng bế tắc
trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là
phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải. Hơn nữa để
giải đợc các bài tập nâng cao về tính chia hết thì ngoài việc nắm kiến thức cơ bản có
trong chơng trình, HS còn phải nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng, những
kiến thức này không đợc phân phối trong các tiết học nên HS ít đợc vận dụng và rèn
luyện trừ khi gặp những bài tập khó.Vì thế kỹ năng vận dụng các kiến thức đó cha đợc
thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy một tổng chia hết cho m thì
vội vã kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy am và an thì kết luận
ngay là amn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không.
2.Mục đích nghiên cứu:
Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về tính
chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dỡng HS giỏi, góp phần vào việc
đào tạo và bồi dỡng nhân tài. Tôi xin trình bày kinh nghiệm Hớng dẫn HS lớp 6
giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong Z. Đây là sự đúc rút kinh
nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng các bài toán về tính chia hết và

hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu nội dung dạy học về tính chia hết trong vành số nguyên
Tìm hiểu mạch kiến thức về tìm ƯC, ƯCLN, BC, BCNN thuật toán Ơclit trong vành số
nguyên Z
Điều tra về thực trạng:
Thờng xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến ƯC, ƯCLN, BC, BCNN
trong SGK vàSBT
Thờng xuyên kiểm tra đánh giá để nhận sự phản hồi của học sinh. Qua đó nhận ra
những khuyết điểm, những sai lầm mà các em hay mắc phảI đối với các bài
toán về ƯC, ƯCLN, BC, BCNN để tìm hớng khắc phục, tìm ra những phơng pháp phù
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
3
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
hợp giúp nâng cao chất lợng giảng dạy.
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
Khi viết đề tài này tôI đã nghiên cứu tại trờng THCS Văn Lang Hạ Hòa Phú Thọ
đối với học sinh đại trà
Phạm vi : 35 em học sinh lớp 6A
5. Phơng pháp nghiên cứu
Phơng pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phơng pháp thực nghiệm s phạm
Phần hai : nội dung
Chơng I : cơ sở lý luận và mục đích của chuyên đề
Để làm đợc các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm đợc định nghĩa,
các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm đợc tính chất chia hết
có liên quan đến số nguyên tố nh thế nào. Các em còn cần đợc mở rộng một số dấu
hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN. Từ đó các em phải nắm đợc
phơng pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các bài tập có liên quan.
Ngoài ra HS cần nắm đợc một số dạng toán điển hình về chia hết và cóphơng
pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng. Có đợc kỹ năng này các em sẽlàm đợc các

bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt.
Để giải quyết đợc những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực,t duy
sáng tạo. Còn giáo viên là ngời thiết kế, hớng dấn các em, khơi dậy t duy, tạo hứng thú
học tập. Có nh vậy chơng trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao.
Chơng II : Các biện pháp tiến hành :
I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ :
- Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho các em
những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó là:
- Đối với giáo viên để giảng dạy cho học sinh hiểu kiến thức về chia hết thì ngời giáo
viên phải hiểu đầy đủ kiến thức về phép chia hết và phép chia có d trong vành số
nguyên Z nh sau:
1.Tính chia hết:
*Định nghĩa:Số nguyên a đợc gọi là chia hết cho số nguyên b nếu a= b.q với một số
nguyên q nào đó.Khi đó ta nói alà bội của b và ký hiệu a + b.
Ta cũng nói bchia hết a hay b là ớc của a và ký hiệu b a.
Quan hệ chia hết có một số tính chất đơn giản sau.Đối với mọi số nguyên a,b,c ta
luôn có:
1. a 0.
2. aa (tính phản xạ)
3. Nếu 0 a thì a = 0
4. a b và b c thì kéo theo a c ( tính bắc cầu )
5. Nếu a chia hết các số nguyên c,( i = 1,...,n) thì a cũng chia
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
4
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
( Ta coi xc là một tổ hợp tuyến tính nguyên của các c ) .
Những tính chất này đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Chẳng hạn đối với tính
chất 4 ta có:
b = ad và c = bd => c = a(dd ).
*Mệnh đề 1:Các ớc của 1 ( còn gọi là ớc của đơn vị )trong Z gồn có 1.

Chứng minh: mệnh đề khẳng định rằng:
ab = 1 a = b =1 hoặc a = b = -1.
Thật vậy từ giả thiết ab = 1 suy ra ab =a.b = 1. Do a 0 nên a
1 Cũng nh vậy b 1 Từ đó a=b =1 ,bởi vậy
a = b= 1 hoặc a = b = -1.

*Hệ quả 2: Nếu hai số nguyên a và b chia hết lẫn nhau thì a = b.
Chứng minh: Do a b và ba nên tồn tại các số nguyên u ,v sao cho
a = bu, b = av . từ đó a = a(uv). Do a 0 nên
uv = 1 u = 1 a = b .
2. Phép chia với d:
2.1 Định lí 3: Cho hai số nguyên a và b , b 0 .Khi đó tồn tại duy nhất cặp số
nguyên q, r sao cho :
a = bq + r , 0 r < b.
Chứng minh:
a, Sự tồn tại.
Gọi M là tập hợp tất cả các bội của b không vợt quá a,
M = { bx bx a, x Z }
Tập hợp M vì:
- ba -a a - ba M.
Tập M bị trặn trên nên nó có số lớn nhất . Chẳng hạn số đó là bq .Do số nguyên
bq + b cũng là bội của b nêntừ tính lớn nhất của bq trong M ta có
bq a < bq + b
Từ đó:
0 a - bq < b .
Đặt r = a - bq ta có
a= bq + r ; 0 r < b
Là điều phải chứng minh.
b,Tính duy nhất:
Giả sử có : a = bq +r = bp +s , 0 r ; s < b .

Từ đó ta có : b( q - p) = s - r
-Nếu q - p 0 thì:b(q - p) = b.q - pb (1)
Mặt khác s - r < b (2)
Mâu thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ q = p khi đó s = r.
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
5
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
Chứng minh:
Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp của hệ quả vừa nêu trên.
Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.Hiển nhiên 1 là một ớc chung của các số
nguyên a ,a , ,a . Hơn nữa do
1 = xa + xa + +xa
Nên mọi ớc chung của các số nguyên a ,a , ,a cũng là ớc chung của 1. Bởi vậy
1 =( a ,a , ,a ).
Mệnh đề 7: Nếu k là một số nguyên thì
( ak, ak, ... ,ak) = ( a , a , ...,a )
Hệ quả 8: (a,b) = d ( , ) = 1
Chứng minh :thật vậy theo mệnh đề 7 ta có
(a,b) = d ( , )d = d ( , ) = 1
Mệnh đề 9 :Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau và b là ớc của ac thì b
là ớc của c .
Chứng minh: Do ( a, b) = 1 tồn tại u,v Z sao cho
1 = au + bv
Từ đó c = acu + bcv
Nếu b là ớc của ac thì b là ớc của biểu thức của vế phải,do đó b là ớc của c.
Mệnh đề 10: nếu hai số a và b nguyên tố cùng nhau thì
(ac,b) = (c, b), với mọi c Z.
Chứng minh :Nếu d là một ớc chung của ac và b thì nó cũng là -
ớc chung của ac và bc ,do đó nó là ớc của
(ac,bc) = (a,b)c = c.

điều này có nghĩa là nếu d là ớc chung của b và c thì d cũng là ớc chung của
b và ac . Nh vậy tập hợp các ớc chung của ac và b trùng với tập các ớc chung của
c và b .Bởi vậy
(ac,b) = (c, b).
4. Thuật toán Ơclit để tìm ƯCLN
Để tìm ƯCLN của hai hay nhiều số tự nhiên ta thờng sử dụng tính chất sau;
a = bq + c (a,b) = (b,c)
( Lu ý rằng ở đây không đòi hỏi 0 < r < b)
Thuật toán Ơclít đợc tiến hành nh sau:
- Nếu a= bq thì (a,b) = b.
- Nếu a không chia hết cho b thực hiện liên tiếp các phép chia với d ta đợc
a = bq + r . 0 < r < b
b = rq + r , 0 < r < r
.......................................
r = rq + r , 0 < r < r
r = rq
Dày phép chia này phải là hữu hạn , vớu phép chia cuối cũng là một phép chia hết.
Theo nhận xết ban đầu ta đợc

Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
6
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
( a,b) = (b,r) = ... = ( r , r ) =r
nghĩa là ƯCLN của a và b bằng số d cuối cùng r trong thuật toán nói trên.
Bây giờ việc tìm ƯCLN của n số ( n > 2) sẽ đợc tính theo công thức truy hồi:
( a ,a , ,a) =( ( a ,a , ,a ), a )
4. Bội chung - Bội chung nhỏ nhất:
a) Số nguyên m đợc gọi bội chung của các số nguyên a ,a , ,a
( n 2 ) nếu nó chia hết cho mỗi số nguyên đó.
b) Bội chung m của các số nguyên a ,a , ,a đ ợc gọi là bội chung nhỏ

nhất ( viết tắt là BCNN) nếu nó là ớc của mọi bội chung của a ,a , ,a .
* Chú ý: Nếu m và m là bội chung nhỏ nhất của các số a ,a , ,a thì
m = m .Trong trờng hợp m > 0 ta ký hiệu
m = BCNN ( a ,a , ,a) , hoặc m = [ a ,a , ,a].
và quy ớc nó là BCNN của a ,a , ,a.
Định lí 11:( về sự tồn tại của bội chung nhỏ nhất)
Tồn tại bội chung nhỏ nhất của n số nguyên a ,a , ,a ( n 1 ).
Chứng minh:
Gọi M là tập hợp tất cả các số dơng chia hết cho mọi a ( i = 1,2,.., n) .Khi đó rễ
thjấy M khác rỗng vì aa a M.
Do đó trong M tồn tại phần tử bé nhất m . Đó chính là BCNN của a ,a , ,a.Thật
vậy, giả sử k là bội chung của các a ( i = 1,2,.., n) , ta chứng tỏ k là một bội của
m . Không mất tính tổng quát ta có thể coi k > 0 chia k cho m ta đợc
k = mq + r, 0 r <m.mọi a ( i = 1,2,.., n)
Do k và m đều chia hết cho a ( i = 1,2,.., n) . Điều này chứng tỏ r M nếu
r 0.Nhng điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của m .Bởi vậy r = 0 và k
chia hết cho m .
Mệnh đè sau cho mối liên hệ giữa ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của
hai số nguyên a,b, đồng thời cho một cách tìm bội chung nhỏ nhất của hai số đó .
Mệnh đề 12: Với hai số nguyên dơng a , b ta có

[a,b] = .
Chứng minh: Đặt m = . Rõ ràng
m = a. = b.
Nên m là một bội chung của a và b .
Bây giờ nếu k là mmọt bội chung nào đó của a và b thì
k = ak = bk , k ,k Z
Suy ra : k = k .
Do và nguyên tố cùng nhau nên là ớc của k .Từ đó
Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang

7
Đề tài : Tính chia hết trong vành số nguyên
m = là ớc của ak = k. điêù này chứng tỏ m là bội chung nhỏ nhất của a
và b , nghĩa là
= [a, b] .
Bội chung nhỏ nhất của n số ( n > 2) đợc tính theo công thức
[ a , a , ,a ] = [ [ a , a , ,a] , a ].
Trong nhiều trờng hựp BCNN của nhiều số còn dợc xác định nhờ tính chất sau:
m = [ a , a , ,a ] [ , , , ] = 1
-Đối với học sinh :Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng
cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan,
đó là:
1/Định nghĩa :
cho hai số tự nhiên a và b (b 0). Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự nhiên
q sao cho a = b.q . Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia hết cho b.
2/ Các tính chất về chia hết :
* Tính chất chung :
a) Số 0 chia hết cho mọi số b 0.
b) Mọi số a 0 đều chia hết cho chính nó.
c) Tính chất bắc cầu : Nếu ab, bc thì a + c.
+ Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
d) Nếu am, bm thì tổng a + bm, a - bm.
+ Hệ quả :
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và am thì bm.
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và bm thì am.
e) Nếu am, bm thì a + bm, a - bm ;
Nếu am, bm thì a + bm, a - bm.
f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
+ Hệ quả: Nếu am thì a
n

m (n là số tự nhiên 0).
g) Nếu am, bn thì abmn
+ Hệ quả : nếu ab thì a
n
b
n
.
h) Nếu AB thì mA +nBB , mA nBB.

Học viên : Tô Thị Lộc Lớp Toán khóa 2 - ĐHSPHN, Tại chức Trang
8